Este documento presenta información sobre las distribuciones Binomial y Poisson. Explica que la distribución Binomial se aplica a experimentos con un número finito de ensayos independientes con dos posibles resultados. La distribución Poisson se aplica a eventos que ocurren continuamente en el tiempo. Proporciona ejemplos y fórmulas para calcular probabilidades y medidas resumen para ambas distribuciones. También incluye ejercicios resueltos como aplicaciones prácticas.

1. Distribuciones discretas importantes:
distribuciones Binomial y Poisson
ESTADÍSTICA GENERAL

2. LOGRO ESPERADO
Resuelve problemas sobre experimentos aleatorios utilizando las distribuciones
Binomial y Poisson en situaciones de contexto profesional/social.
INDICADORES DE LOGRO
• Calcula la probabilidad de ocurrencia de un evento utilizando la función de
probabilidad que corresponde a las distribuciones Binomial y Poisson.
• Explica la probabilidad obtenida a partir de las referencias teóricas dadas.

3. SITUACIÓN MOTIVADORA
A un restaurante llegan 2 tipos de clientes, los
que piden comida criolla y los que piden
pescados y mariscos. Si 8 clientes llegan al
restaurante y la probabilidad que un cliente que
llega pida comida criolla es 0.70, calcule la
probabilidad de que como máximo 2 de los
clientes pidan comida criolla.

4. 1. ¿Cuándo n eventos son independientes?
2. ¿Cuándo n eventos son igualmente probables

5. CONTENIDOS
Variable aleatoria
Distribución Binomial
Distribución Poisson

6. VARIABLE ALEATORIA
VARIABLE ALEATORIA
Una variable aleatoria es una
función que asigna un número a
cada elemento en Ω.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Una variable aleatoria X, es
discreta si los valores que toma la
variable son enumerativos; es
decir, existe un primer valor, un
segundo valor, etc.
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
X
P(X)

7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
A partir de ciertas características los siguientes experimentos aceptan un
modelo Binomial:
Lanzar una moneda 20 veces y observar el número de caras que aparecen.
Lanzar un dado 10 veces y observar el número de veces que el dado muestra
inscrito el número seis.
Un experimento Binomial tiene las siguientes características:
 Consiste de n ensayos independientes.
 En cada ensayo, solo hay dos posibles resultados, a uno se le denomina éxito
y al otro fracaso.
 La probabilidad p de éxito es la misma en cada ensayo.

8. DEFINICIÓN
Una variable aleatoria X sigue distribución Binomial con parámetros 𝑛 y 𝑝, y se
representa por 𝑋𝐵𝑖(𝑛, 𝑝), si su función de probabilidad está dada por:
𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝑪𝒙
𝒏 𝒑𝒙 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙 𝒙: 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
Donde:
𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠
𝑝 = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜
Medidas de resumen
Esperanza matemática: Varianza:
𝑬 𝑿 = 𝒏 𝒑 𝑽 𝑿 = 𝒏 𝒑 (𝟏 − 𝒑)

9. EJEMPLO 1
Se lanza una moneda 10 veces, si el interés es contar el número de caras que
aparecen en los 10 lanzamientos, calcule:
a) Indique la variable de estudio
b) La probabilidad de que el número de caras sea igual a 3.
c) La probabilidad de que el número de caras sea a lo más 2.
d) La probabilidad de que el número de caras sea al menos 2.
e) El valor esperado y la varianza del número de caras.

10. SOLUCIÓN
a) La variable aleatoria es:
𝑋 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 10 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑛 = 10 𝑝 = 0.5 (probabilidad de que resulte cara en cualquier lanzamiento)
b) Se pide: P(X = 3)
P X = 3 = 𝐶3
10
0.53 1 − 0.5 10−3
𝐏 𝐗 = 𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟐
c) Se pide: 𝑃 𝑋 ≤ 2
P X ≤ 2 = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P X ≤ 2 = 𝐶0
10
0.50 1 − 0.5 10−0 + 𝐶1
10
0.51 1 − 0.5 10−1 + 𝐶2
10
0.52 1 − 0.5 10−2
𝐏 𝐗 ≤ 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟕

11. d) Se pide: P X ≥ 2
P X ≥ 2 = 1 − P X < 2
P X ≥ 2 = 1 − [P X = 0 + P X = 1 ]
P X ≥ 2 = 1 − [𝐶0
10
0.50 1 − 0.5 10−0 + 𝐶1
10
0.51 1 − 0.5 10−1]
P X ≥ 2 = 1 − [0.0107]
𝐏 𝐗 ≥ 𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟖𝟗𝟑
e) El valor esperado se calcula de la
siguiente manera:
E X = np
E X = 10 × 0.5
𝐄 𝑿 = 𝟓
La varianza se calcula de la siguiente
manera:
V X = np(1 − p)
V X = 10 × 0.5 × (1 − 0.5)
𝐕 𝑿 = 𝟐. 𝟓

12. EJERCICIO RESUELTO
A un restaurante llegan 2 tipos de clientes, los que piden comida criolla y los que
piden pescados y mariscos. Si 8 clientes llegan al restaurante y la probabilidad
que un cliente que llega pida comida criolla es 0.70, se pide:
a) Indique la variable de estudio.
b) Indique los parámetros que le corresponden a la variable definida
c) Calcule la probabilidad de que como máximo 2 de los clientes pidan comida
criolla.
d) Si se sabe que por lo menos 2 clientes piden comida criolla. Calcule la
probabilidad de que menos de 4 pidan comida criolla.
e) Calcule el número de clientes que tendrían que llegar al restaurante para que
el número esperado de clientes que pidan comida criolla sea igual a 21.
Justifique.

13. SOLUCIÓN
a) Sea la variable:
X = Número de clientes que piden comida criolla de un total de 8.
c) P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2
P X ≤ 𝟐 = C0
𝟖
(0. 𝟕)0(0. 𝟑)𝟖+C𝟏
𝟖
(0. 𝟕)𝟏(0. 𝟑)𝟕+C𝟐
𝟖
(0. 𝟕)𝟐(0. 𝟑)𝟔
𝐏 𝐗 ≤ 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟑
b) Sea los parámetros:
n = 8 p = 0.7 (Probabilidad de que un cliente pida comida criolla)

14. e) Sea la variable:
𝒀 = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒎𝒊𝒅𝒂 𝒄𝒓𝒊𝒐𝒍𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒏
𝒏 = ? 𝒑 = 𝟎. 𝟕𝟎
Se sabe que:
𝐸 Y = 21 ⟹ 𝑛𝑝 = 21 ⟹ 0.70 × 𝑛 = 21 ⟺ 𝒏 = 𝟑𝟎
d) Se pide:
P X < 4
𝑋 ≥ 2 =
𝑃(2 ≤ 𝑋 < 4)
𝑃(𝑋 ≥ 2)
P X < 4
𝑋 ≥ 2 =
P X = 2 + P X = 3
1 − 𝑃(𝑋 < 2)
=
P X = 2 + P X = 3
1 − P X = 0 + P X = 1
P X < 4
𝑋 ≥ 2 =
C2
8
(0.7)2
(0.3)6
+C3
8
(0.7)3
(0.3)5
1 − C0
8
(0.7)0(0.3)8+C1
8
(0.7)1(0.3)7
=
0.0567
0.9987
𝐏 𝑿 < 𝟒
𝑿 ≥ 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟔𝟖

15. EJERCICIO PROPUESTO
El director del área de recursos humanos de la empresa agro industrial CHICLIN
S.A. ha determinado que la probabilidad de que un empleado se ausenté por
motivo de estrés es del 10% en un día determinado. Si el director toma una
muestra aleatoria de 15 empleados, se pide:
a) Indique la variable de estudio, los parámetros, la distribución de
probabilidad que le corresponde.
b) Calcule la probabilidad de que 4 empleados estén ausentes por motivo de
estrés.
c) Calcule la probabilidad que por lo menos 3 empleados estén ausentes por
motivos de estrés.
d) Calcule la probabilidad de que menos de 3 empleados estén ausentes por
motivos de estrés, si se sabe que por lo menos 2 empleados estén ausentes
por motivos de estrés.

16. DISTRIBUCIÓN POISSON
A partir de ciertas características los siguientes experimentos aceptan un modelo
Poisson:
Observar el número de aviones que llegan a un aeropuerto en una hora
determinada.
Observar el número de llamadas que recibe la central telefónica de una
universidad entre las 8 y 9 de la mañana.
En un experimento Poisson, se observa el número de ocurrencias de un evento en
una unidad de espacio o tiempo.

17. DEFINICIÓN
Una variable aleatoria X sigue una distribución Poisson con parámetro 𝜆, y se
representa por (𝑋𝑃 (𝜆)), si su función de probabilidad está dada por:
𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝒆−𝝀 ×
𝝀𝒙
𝒙!
𝐱: 𝟎, 𝟏, 𝟐, …
Donde:
𝜆 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
Medidas de resumen
Esperanza matemática: Varianza:
𝑬 𝑿 = 𝝀 𝑽 𝑿 = 𝝀

18. EJEMPLO 2
El jefe del área de control de calidad de la empresa “San Ignacio Industrial” ha
observado que el número de botellas defectuosas que fabrica una máquina sigue una
distribución Poisson con una media de 5 botellas cada 4 horas.
a) Indique la variable de estudio.
b) Calcule la probabilidad que obtenga 3 botellas defectuosas en 4 horas.
c) Calcule la probabilidad que obtenga a lo más 2 botellas defectuosas en 2 horas.
d) Si se sabe que habrán menos de 5 botellas defectuosas en 2 horas, calcule la
probabilidad que se obtengan más de 2 botellas defectuosas.

19. SOLUCIÓN
a) X= Número de botellas defectuosas en 4 horas.
𝜆 = 5 botellas ⟶ 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
b) 𝑃 𝑋 = 3 = 𝑒−5 ×
53
3!
= 𝟎. 𝟏𝟒𝟎𝟒
Y= Número de botellas defectuosas en 2 horas
𝜆 = 5 botellas ⟶ 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝝀 = 𝟐. 𝟓 𝐛𝐨𝐭𝐞𝐥𝐥𝐚𝐬 ⟶ 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
c) P Y ≤ 2 = P Y = 0 + P Y = 1 + P Y = 2
𝑃 𝑌 ≤ 2 = 𝑒−2.5
×
2.50
0!
+ 𝑒−2.5
×
2.51
1!
+ 𝑒−2.5
×
2.52
2!
𝑃 𝑌 ≤ 2 = 0.0821 + 0.2052 + 0.2565
𝑷 𝒀 ≤ 𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟒𝟑𝟖

20. d) Se pide:
P Y > 2
Y < 5 =
P 2 < Y < 5
P Y < 5
=
P Y = 3 + P Y = 4
P Y < 5
P Y > 2
Y < 5 =
𝑒−2.5 ×
2.53
3! + 𝑒−2.5 ×
2.54
4!
𝑒−2.5 ×
2.50
0!
+ 𝑒−2.5 ×
2.51
1!
+ 𝑒−2.5 ×
2.52
2!
+ 𝑒−2.5 ×
2.53
3!
+ 𝑒−2.5 ×
2.54
4!
𝑃 𝑌 > 2
𝑌 < 5 =
0.2138 + 0.1336
0.0821 + 0.2052 + 0.2565 + 0.2138 + 0.1336
=
0.3474
0.8912
𝑷 𝒀 > 𝟐
𝒀 < 𝟓 = 𝟎. 𝟑𝟖𝟗𝟖

21. EJERCICIO RESUELTO
El gerente de transporte en el distrito de La Molina, cree que el número de
accidentes automovilísticos en el cruce de la Av. Javier Prado y Av. La Molina, es en
promedio de 3 accidentes por semana.
a) Indique la variable de estudio a partir del enunciado propuesto.
b) Calcule la probabilidad que por lo menos haya un accidente en 2 semanas.
c) Si se sabe que hay más de 2 accidentes automovilísticos, ¿cuál es la
probabilidad de que suceda como máximo 4 accidentes en una semana y
media?

22. SOLUCIÓN
a) Sea la variable: 𝑋 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎.
Distribución Poisson 𝜆 = 3 ⟶ 1 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎
c) 𝑍 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑦 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎.
Sea el parámetro: 𝜆 = 4.5 ⟶ 1.5 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠
P Z ≤ 4/Z > 2 =
P 2 < Z ≤ 4
P Z > 2
=
P Z = 3 + P Z = 4
1 − P Z ≤ 2
P Z ≤ 4/Z ≥ 2 =
0.3585
0.8264
= 0.4338
b) 𝑌 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑛 2 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠.
Sea el parámetro: 𝜆 = 6 ⟶ 2 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠
P Y ≥ 1 = 1 − P Y ≤ 0 = 1 − e−6 ×
60
0!
= 0.9975

23. EJERCICIO PROPUESTO
En una empresa que fabrica pisos cerámicos, el gerente general ha observado
que llegan en promedio 20 trabajadores en 2 horas para recibir su salario.
a) Indique la variable de estudio del problema.
b) Calcule la probabilidad de que lleguen a recibir su salario 6 trabajadores en
una hora.
c) Si se sabe que llegaran por lo menos 2 trabajadores a recibir su salario en la
próxima media hora, ¿cuál es la probabilidad de que lleguen a lo más 4
trabajadores a recibir su salario?.

24. VERIFICANDO LO APRENDIDO
¿Qué características tiene un experimento binomial?
¿Qué características tiene un experimento Poisson?

25. METACOGNICIÓN
¿Que aspectos le han parecido interesantes?
¿Que contenido considera más importante del tema trabajado?
¿Qué competencias del tema podría aplicar en su vida diaria?

26. RESUMEN
Distribución Binomial
 Función de probabilidad de la
distribución Binomial.
𝑷 𝑿 = 𝒙 = ∁𝒙
𝒏
𝒑𝒙
𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙
• Medidas de resumen.
• Esperanza Matemática 𝑬 𝑿 = 𝒏 𝒑
• Varianza 𝑽 𝑿 = 𝒏 𝒑(𝟏 − 𝒑)
Distribución Poisson
 Función de probabilidad de la
distribución Poisson.
𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝒆−𝝀 ×
𝝀𝒙
𝒙!
• Medidas de resumen.
– Esperanza Matemática 𝑬 𝑿 = 𝝀
– Varianza 𝑽 𝑿 = 𝝀

27. PARA REFORZAR LO APRENDIDO
RESOLVER LOS EJERCICIOS DEL
LIBRO (TRABAJO AUTÓNOMO)

28. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Montesinos, L.,Llanos, K., Cerna, E., Pajuelo, S. y Coaquira,
F.(2017) Estadística Descriptiva e Inferencial. Fondo Editorial
USIL 1° Edición. Lima, Perú
2. Montgomery, D. (2014). Applied statistics and probability for
engineers (6a ed.). United States of America.: Hoboken, NJ2.
3. Mendenhall, W. & Sincich, T. (2016). Statistics for engineering
and the sciences (6a ed.). Boca Raton: CRC Press, Taylor &
Francis Group.