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La Problemática de la Enseñanza
y el Aprendizaje de las Matemáticas
en la Escuela Primaria
Curso de Actualización
Material del Participante
Alianza por la Calidad de la Educación
DIRECCIÓN GENERAL DE
FORMACIÓN CONTINUA
DE MAESTROS EN SERVICIO

La Problemática de la Enseñanza
y el Aprendizaje de las Matemáticas
en la Escuela Primaria
Curso de Actualización
Material de Participante

El material del participante La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas
en la Escuela Primaria fue elaborado por la Sociedad Matemática Mexicana y la Universidad de
Sonora en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio,
de la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública.
Coordinación
Sociedad Matemática Mexicana
Universidad de Sonora
Autores
Dr. Ramiro Ávila Godoy
Dr. José Luis Soto Munguía
Dr. Agustín Grijalva Monteverde
M. en C. Martha Cristina Villalva Gutiérrez
M. en C. Ana Guadalupe del Castillo Bojórquez
M. en C. Jorge Ruperto Vargas Castro
Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y
sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este
programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso
indebido de los recursos de este programa deberá ser denunciado y sancionado de acuerdo con la
ley aplicable y ante la autoridad competente.
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008
Argentina 28, colonia Centro,
06020, México, D.F.
ISBN En trámite

Contenido
Introducción al Curso
El papel de los problemas, los juegos, la calculadora y la computadora en la 11
enseñanza de las Matemáticas
Parte 1. El papel de los problemas en la enseñanza de las Matemáticas 14
Actividad No. 1. Cálculo de áreas 14
Actividad No. 2. Las monedas defectuosas 15
Actividad No. 3. El premio de los marineros 17
Actividad No. 4. El juego de Nim 19
Actividad No. 5. Un juego con dados 21
Actividad No. 6. Determinando cantidades numéricas 23
Actividad No. 7. Ejercicios con exponentes 23
Actividad No. 8. Conceptos de distancia 24
Aritmética
Parte 1. Los agrupamientos y la lectura y escritura de los números naturales 25
Actividad No. 1. Contando en base 5 25
Actividad No. 2. Calculando en base 5
Actividad No. 3. Diversos procedimientos para sumar y restar 28
Actividad No. 4. Diversos procedimientos para multiplicar y dividir 30
Actividad No. 5. Combinando operaciones 33
Actividad No. 6. Partir y repartir 33
Actividad No. 7. Comparar y medir 34
3
7
16
16
16
18
19
21
23
25
25
26
27
27
30
31
32
35
35
36

Geometría 36
Actividad No. 1. Doblado de papel.Trazos notables 36
Actividad No. 2. Doblado de Papel.Trazo de las mediatrices, 40
bisectrices,medianas y alturas en un triángulo
Actividad No. 3. Construcción de estructuras 42
Actividad No. 4. Construcción de cuadriláteros, dadas las medidas 43
de sus lados
Actividad No. 5. Construcción de triángulos, dadas las medidas de 45
Sus lados
Actividad No. 6. Construcción de estructuras 48
Actividad No. 7. ¿Qué significa medir? 49
Actividad No. 8. Calculando áreas 51
Predicción y Azar. Tratamiento de la Información 54
Actividad No. 1. Información General del Profesor-Alumno 54
Actividad No. 2. Antes del lanzamiento de monedas 59
Actividad No. 3. Experimentando con monedas 61
Actividad No. 4. Experimentando con monedas dobladas 63
Actividad No 5. Haciendo Pulseras 65
Actividad No. 6 Utilicemos cuentas del mismo color 66
Contenido
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44
45
47
50
51
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56
61
63
65
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68

Introducción
La problemática del aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas en los diversos niveles
educativos y en especial en la escuela primaria, ha sido objeto de investigación sistemática
e institucional en los últimos cuarenta años. Dichas investigaciones han arrojado luz sobre
los diversos factores que inciden en el problema y de ello se han derivado acciones
encaminadas a tratar de resolver tal problemática.
En particular, las investigaciones sobre dicho proceso han ayudado a entender que
los niños aprenden matemáticas partiendo, por lo general, de experiencias concretas
relacionadas con objetos y/o situaciones del mundo físico o social y que al interaccionar
con tales situaciones, los niños llevan a cabo procesos de abstracción que hacen posible
que, poco a poco, puedan prescindir de los objetos físicos. Tales investigaciones también
han permitido comprender que el diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de
vista entre los propios niños y con el profesor, son de gran ayuda para el aprendizaje y la
construcción de conocimientos matemáticos.
La comprensión de los procesos de aprendizaje de la matemáticas que viven los
niños ha dado lugar a una nueva concepción de la enseñanza, considerándola como el
proceso de conducción de la actividad de aprendizaje, lo cual a su vez, conlleva una nueva
concepción del profesor como el propiciador y conductor de dicha actividad de
aprendizaje, en contraposición con la concepción más tradicional del profesor como el
expositor y transmisor del conocimiento.
Esta concepción de la enseñanza implica la necesidad de que el profesor (a) diseñe
o seleccione actividades que promuevan la construcción de conceptos a partir de
experiencias concretas, en las que los niños puedan observar, explorar, conjeturar,
interactuar entre ellos y con el (la) profesor(a), ya que de ello depende en buena medida, el
éxito en el aprendizaje de las matemáticas.
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Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria
Introducción

Material
del Participante

Primaria
La promoción, por parte de los profesores, del aprendizaje de las matemáticas a
través de actividades como las descritas en el párrafo anterior, ocasionará a su vez, que
los niños conciban a esta disciplina, como un conjunto de herramientas funcionales y
flexibles que les ayudan a entender y resolver diversos problemas.
El presente curso de actualización ha sido diseñado para ofrecer a los profesores
de este nivel escolar, la oportunidad de vivir experiencias que les permitan ampliar y
profundizar su dominio de los contenidos matemáticos que son objeto de estudio en la
escuela primaria, así como experiencias que lleven a reflexionar sobre las estrategias
didácticas que pueden favorecer los procesos de aprendizaje de los alumnos de este nivel
escolar.
Objetivo General :
Que los profesores alumnos reflexionen y analicen la problemática de la enseñanza y
el aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria, así como el papel de los
problemas, los juegos y las nuevas tecnologías (calculadora y computadora) en ambos
procesos.
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Material
del Participante

Primaria
El Objativo General del Curso de Actualización, se derivade la expectativa de que, con una
mayor preparación en el conocimiento de las matemáticas y una mejor comprensión de los
planteamientos que sobre su aprendizaje y enseñanza aparecen en los planes y
programas de estudio de educación básica vigentes, el (la) profesor(a) mejorará
su práctica docente y, consecuentemente, habrá una elevación significativa en la
calidad de la educación que reciben los niños en la escuela.
Para el logro del objetivo general del Curso se plantean los siguientes:
Objetivos Específicos.
Que los profesores alumnos:
1. Amplíen y profundicen su conocimiento y comprensión de la problemática que se
presenta en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en la
escuela primaria.
2. Mejoren su comprensión sobre el papel de los problemas, los juegos y las nuevas
tecnologías en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela
primaria.
3. Experimenten una manera grata y creativa de enseñar, estudiar y aprender
matemáticas, que los motive a procurar que sus alumnos vivan experiencias
semejantes en su aula de clases.
4. Elaboren actividades y secuencias didácticas para su salón de clases sustentadas,
tanto en su experiencia como en razonamientos reconocidos.

Material
del Participante
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Primaria
Estructura del curso
El curso consta de cuatro secciones. Se pretende que las actividades propuestas en cada
una de ellas puedan realizarse en un tiempo aproximado de diez horas de trabajo colectivo
por los profesores participantes, bajo la conducción del instructor.
El enfoque de enseñanza propuesto para la escuela primaria privilegia la
resolución de problemas como la fuente principal de generación de conocimiento
matemático. Por esta razón la sección de inicio está dedicada a la reflexión sobre el papel
que juegan los problemas en la enseñanza, y en todas las actividades se ha tratado de
mantener el planteamiento, la resolución y el diseño de problemas como el eje que articula
los contenidos.
Las actividades han sido concebidas para que los profesores participantes se
involucren en ellas como una manera de vivir experiencias de aprendizaje que les sirvan
como referencia en su trabajo diario. No están pensadas para un grado escolar específico
y de ningún modo se recomienda trasplantarlas a los salones de clase de primaria. A lo
largo de todo el curso hemos tratado de aterrizar la recomendación general:
“Para que la propuesta actual de enseñanza de las matemáticas pueda ser
llevada convenientemente a la práctica es necesario que los maestros
interioricen el enfoque actual, que sepan vivencialmente cómo es el aprendizaje
a través de problemas, que sepan manejar situaciones problemáticas para
promover el desarrollo de habilidades, respetando los procesos de los alumnos,
y que aprendan a detectar cuándo éstos han logrado un avance en la
construcción de un conocimiento.”1
1
Alatorre, Silvia, et al (1999). Propósitos y Contenidos de la Enseñanza de las Matemáticas en el Nivel de
Educación Primaria en México, pp. xii, http://miayudante.upn.mx/docint/DI0007.pdf [15 de junio de 2008]
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Material
del Participante
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Primaria
En la primera sección titulada El papel de los problemas, los juegos, la calculadora y
la computadora en la enseñanza de las matemáticas, pueden distinguirse dos partes, en una
primera se plantean situaciones problemáticas, que incluyen el uso de juegos como una vía
para plantearlas y una segunda parte en la cual se discuten aplicaciones específicas de la
calculadora y la computadora en la enseñanza.
El propósito principal de las situaciones problemáticas que se presentan es generar
y analizar estrategias de solución, verificar los resultados obtenidos e introducir variantes
a la situación como una manera de generar nuevas situaciones problemáticas. Mientras
que el uso de la calculadora y la computadora pretenden ilustrar con ejemplos, la
potencialidad que pueden tener estos recursos para enseñar matemáticas en el nivel que
nos ocupa; en el caso de la computadora se propone la utilización de un software de
geometría dinámica, para la discusión de algunos conceptos geométricos.
En la segunda sección, que hemos titulado con el nombre genérico de Aritmética,
se abordan contenidos, principalmente, del eje temático llamado Los números, sus
relaciones y sus operaciones, aunque dichos contenidos están relacionados con los de los
ejes de Medición y Procesos de cambio. Las primeras actividades de esta sección se
refieren al uso de un sistema de numeración posicional de base 5, y se pretende poner a
discusión las dificultades que un niño enfrenta cuando intenta aprender a manejar un
sistema de numeración posicional de base 10.
Encontraremos también aquí una serie de actividades que promueven el cálculo
mental como recurso para la resolución de problemas y por último, se propone un conjunto
de actividades vinculadas al concepto de fracción. Este último tópico nos parece de
primordial importancia en virtud de que las dificultades para su aprendizaje han
representado uno de los grandes retos que enfrentan los maestros en su práctica docente.
Aunque las actividades sobre fracciones no pretenden ilustrar de manera exhaustiva estas
dificultades, sí se pretende mostrar el hecho de que las dificultades del concepto están
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del Participante
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Primaria
relacionadas con la diversidad de significaciones que tiene y con los obstáculos que
representa para un aprendiz la experiencia previa con el manejo de los números enteros.
La tercera sección, denominada Geometría, se refiere al eje temático que lleva el
mismo nombre, pero está relacionada también, con el eje de Medición. Ésta es la parte
donde se utiliza la mayor cantidad de recursos didácticos, desde simples hojas de papel
transparente, hasta la computadora para generar representaciones dinámicas de las
situaciones propuestas. En el primer grupo de actividades se emplea el doblado de papel
para plantear y resolver problemas relacionados con las líneas notables de un triángulo y
sus propiedades; la discusión está centrada aquí en el análisis de las estrategias
seleccionadas y en la argumentación sobre la efectividad de las mismas.
El segundo grupo de actividades se refieren a propiedades de triángulos y
cuadriláteros, se utiliza la construcción manual de una torre para analizar la rigidez como
propiedad exclusiva del triángulo; las actividades incluidas aquí dan lugar a diversas
situaciones en donde la observación, las conjeturas, los argumentos, las descripciones y el
enunciado de definiciones cobran especial importancia. Todos estos elementos son
componentes importantes del pensamiento matemático en general y del geométrico en
particular.
En el tercer grupo de actividades se aborda el concepto de medición; la finalidad
de estas actividades es promover la reflexión sobre lo que significa medir, identificando
algunas propiedades medibles de objetos geométricos, como longitud y superficie. Se
utilizarán, de inicio, unidades no estándar, para posteriormente dar paso a la discusión de
las convenciones establecidas en la determinación de unidades de medición.
La cuarta y última sección, denominada Datos y azar, aborda tópicos que a lo
largo de la escuela primaria forman parte de los ejes temáticos denotados La predicción y
el azar y Tratamiento de la información. Esta sección inicia con una primera actividad
que consiste en responder un cuestionario sobre la actividad profesional de los profesores-
estudiantes para posteriormente procesar los datos y analizar los resultados. El propósito
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del Participante
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Primaria
de esta actividad es que los profesores-estudiantes expliquen el comportamiento de una
variable estadística con base en las características globales de los datos.
Luego sigue un segundo grupo de actividades relacionadas con experimentos
aleatorios de lanzamientos de monedas; se pretende aquí que, a partir de estos
experimentos, los profesores participantes analicen algunos conceptos como: experimento
aleatorio, espacio muestra, eventos, regularidad estadística, entre otros.
El tercer grupo de actividades se trata principalmente el tema de combinatoria; se
espera aquí que los participantes pongan en juego las ideas relacionadas con espacio
muestra y combinatoria, con la pretensión de generar la reflexión en torno a la orientación
que pueden tener las actividades de enseñanza con sus alumnos.
Metodología
La estrategia metodológica general para el desarrollo de las diversas actividades
diseñadas para el tratamiento de los contenidos matemáticos a abordar en el curso, será el
planteamiento de una situación problemática en la que se propondrá realizar alguna tarea
(problémica) o responder una cierta pregunta (problémica) con objeto de propiciar la
reflexión a través de la cual se construyan los conocimientos y se desarrollen las
habilidades y actitudes que se pretenden lograr con la actividad en particular y con el
curso en general.
En un primer momento, se promoverá el trabajo individual con la situación, con
objeto de que este primer momento permita a los profesores alumnos un primer nivel de
conocimiento de la situación, el cual es necesario para la realización de la actividad del
segundo momento, que se desarrollará en equipos.
En este segundo momento las actividades a realizar son de comunicación y tienen
la intención de que los participantes tengan la necesidad de verbalizar el conocimiento
adquirido en la primera etapa para poder contrastar su versión de lo aprendido con la
versión de sus compañeros de equipo, de tal forma que la contrastación de puntos de vista
y opiniones sobre las tareas realizadas, o, en su caso, las respuestas a las preguntas
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Material
del Participante
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Primaria
formuladas, permitan arribar a un segundo nivel de conocimiento más eficaz para la
interpretación de la situación problémica, objeto de estudio.
En un tercer momento, el trabajo será a nivel de todo el grupo, de interacción entre
equipos y la conducción del profesor, con el propósito de obtener un conocimiento todavía
más eficaz del objeto de estudio, que permita formular una versión del mismo, compartida
por todos los integrantes del grupo y avalada e institucionalizada por el profesor.
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del Participante
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Primaria
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Evaluación
La evaluación que se hará en el curso tendrá como base los siguientes lineamientos:
Asistencia regular (más de treinta y cinco horas de asistencia) y participación
activa en las sesiones del curso.
Presentación por escrito del diseño, análisis y argumentación de una actividad
didáctica para cada uno de los temas abordados.
Exposición satisfactoria, a juicio de los instructores, de una de las actividades
didácticas diseñadas.

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del Participante
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Primaria
Sección 1: El papel de los problemas, los
juegos, la calculadora y la computadora en la
enseñanza de las matemáticas
Actividad 1
Cálculo de áreas
El profesor de quinto grado, en la clase de Matemáticas, colocó en el
pizarrón, una cartulina con la siguiente figura:
Nos pidió que la observáramos porque la clase consistiría en
contestar diversas preguntas referentes a ella.
En realidad las primeras preguntas fueron muy fáciles, pues nos
preguntó cuáles figuras observábamos. De inmediato, Manuelito, que
muchas veces está distraído, pero que esta vez no lo estaba, dijo que
observaba un rectángulo y tres triángulos, uno grande, uno mediano y uno
chico. También dijo que el rectángulo estaba lleno de cuadritos, que el
triángulo grande era verde, que el mediano era amarillo y que el chico era
azul.
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Material
del Participante
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Primaria
La segunda pregunta fue que cuántos cuadritos había en total, en el
rectángulo. Esto resultó también fácil pues hubo muchos que querían
contestar, pero, finalmente, el profesor le pidió a Gustavo que él contestara y
lo hizo muy bien.
Poco a poco las preguntas fueron siendo menos fáciles, aunque cada
vez más interesantes, pues al menos para mi y mis compañeros de equipo,
eran retos que nos motivaban a tratar de vencerlos, sobre todo porque el
profesor nos decía, esta pregunta vale cinco puntos o, el que conteste esta
pregunta gana diez puntos de la calificación del periodo. Yo logré contestar
algunas y acumulé quince puntos.
Entre las preguntas que hizo y que nos hicieron pensar mucho, están
las siguientes:
a) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo verde?
b) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo azul?
c) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo amarillo?
Por cierto que al principio nos confundimos pues creíamos que se
refería sólo a cuadritos completos, pero el profesor nos aclaró que se trataba
de saber cuántos eran en total, es decir, se trataba de ver cuántos se
completaban contando también los que sólo tenían pintada una parte.
Contesten, cada uno de ustedes, las preguntas que formuló el
profesor y luego comenten en equipo, además de la respuesta que
obtuvieron, lo que hicieron para obtenerla. Vean si hay más de una manera
de llegar a la respuesta y, si hay diversas maneras, pónganse de acuerdo
sobre cuál o cuáles de las maneras les parecen las mejores. Además ¿Qué
otras preguntas relacionadas con la figura pueden formular?
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del Participante
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Primaria
Actividad 2
Las monedas defectuosas
Juan es un estudiante muy inquieto e ingenioso que acostumbra retar a sus
compañeros, y a veces también a sus maestros, con problemas diversos. El
que proponemos en esta actividad, se lo planteó a varios de sus
compañeros diciéndoles que estaba dispuesto a pagar cien pesos a quien
ideara una estrategia, al menos tan breve como la que él había diseñado,
para resolverlo. El problema es el siguiente:
Se tienen diez bolsas, todas iguales, conteniendo 10 monedas cada
una. Las monedas de nueve de las bolsas son auténticas y todas iguales,
mientras que una de las bolsas contiene monedas falsas. Las monedas
falsas sólo se distinguen de las auténticas porque pesan un gramo menos,
esto es, cada moneda auténtica pesa 10 gramos, mientras que cada moneda
falsa pesa sólo 9 gramos. El problema consiste en determinar cuál es el
mínimo número de pesadas que es necesario hacer para saber cuál es la
bolsa que contiene las monedas falsas.
Juan dijo a sus amigos que él ideó una manera de saber cuál es la
bolsa que contiene las monedas falsas y que es una forma en la que usa
muy poquitas pesadas, pero que si alguien logra una forma de saberlo en
menos pesadas que él, le dará cien pesos.
Diseñen una estrategia para saber cuál es la bolsa de las monedas
falsas, procurando hacerlo en el menor número de pesadas, luego comparen
sus estrategias para ver quién lo logró en menos pesadas. Si alguno lo hizo
en menos pesadas que Juan, se habrá ganado cien pesos.
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del Participante
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Primaria
Actividad 3
El premio de los marineros
En esta actividad trabajaremos con un problema adaptado de una anécdota
narrada en el hermoso libro “El hombre que calculaba”2
, cuya lectura
recomendamos ampliamente. El problema es el siguiente:
a) El Capitán de un barco anuncia que a la mañana siguiente, al desembarcar,
a tres de sus marineros les sería repartida como recompensa una cantidad de
monedas de oro que colocó en una bolsa. Uno de los marineros despierta
antes que los demás y decide tomar su parte de la recompensa por
adelantado. Al querer distribuir en tres partes iguales las monedas se dio
cuenta que la división no era exacta ya que sobraba una moneda. Para evitar
problemas con sus compañeros, tiró la moneda sobrante al mar, tomó su parte
y se fue a dormir de nuevo. Por la mañana, el ayudante del capitán, que
desconocía la cantidad original de monedas en la bolsa, sustrajo una de ellas
para él y enseguida reunió a los tres marineros a los que repartió
equitativamente el resto.
Si el ayudante del capitán entregó 23 monedas a cada uno de los tres
marineros, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente y cuántas
le tocaron al marinero madrugador?
b) Supongamos ahora que los tres marineros se hubieran levantado por
la noche (en diferentes momentos) y decidido, cada uno, tomar su parte
2
Malba, T., El hombre que calculaba. Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores. México,
2003.
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Material
del Participante
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Primaria
por adelantado. Supongamos también, que cada uno de los tres se
hubiera encontrado con la misma situación que el marinero madrugador
de arriba y hubiera procedido en la misma forma que éste, es decir, tirar
una moneda de la bolsa al mar, dividido las restantes en tres partes
iguales y tomar una de esas partes para él, dejando las restantes para
que fueran repartidas.
Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse
con una moneda, reparte equitativamente el resto dándole a cada
marinero 23 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa
originalmente, y cuántas le tocaron a cada marinero?
c) Consideremos finalmente otra versión de la historia. En esta versión
hay también un marinero madrugador que procede exactamente como se
relata en la pregunta del inciso a), sólo que ahora la información que se
tiene es la siguiente:
Si el ayudante del capitán reparte equitativamente las monedas que
quedan en la bolsa (después de apropiarse una) y después de esta
repartición al marinero madrugador le tocaron en total 78 monedas,
¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron
a cada uno de los otros dos marineros?
d) Supongamos ahora otra vez que los tres marineros se levantaron por
la noche (en diferentes momentos), se encontraron con la situación que
antes describimos para el marinero madrugador y procedieron igual que
éste.
Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse
con una moneda, reparte equitativamente el resto y después de esta
repartición, al tercer marinero madrugador (el que se levanta más tarde)
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Material
del Participante
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Primaria
le tocaron en total 78 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa
originalmente, y cuántas le tocaron a cada marinero?
Actividad 4
El juego de Nim
Este es un juego muy interesante y muy antiguo también, por lo que es
posible que usted conozca alguna de sus versiones. En cualquier caso, el
juego es para dos personas, digamos el jugador A y el jugador B. Nosotros
iniciaremos jugando con la siguiente versión. Se colocan sobre la mesa dos
filas o montones de piedritas, por ejemplo, una fila con 7 piedras y otra con
5:
F I L A 1 :
F I L A 2 :
Figura 1
a) El jugador A debe escoger una fila y quitar de ella una o más piedras
(tantas como desee, desde una hasta la totalidad). Por ejemplo, puede
retirar 2 piedras de la segunda fila quedando entonces las filas de la
siguiente manera:
F I L A 1 :
F I L A 2 :
Figura 2
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Material
del Participante
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Primaria
b) Enseguida le toca jugar a B, quien puede también retirar tantas
piedras como quiera de la fila que él escoja. Por ejemplo, puede quitar 3
piedras de la primera fila, quedando ahora las filas así:
F I L A 1 :
F I L A 2 :
Figura 3
c) Enseguida juega A de nuevo y se repiten lo pasos anteriores hasta
que se acaben las piedritas de ambas filas. Gana el jugador que retira
por última vez. Hay que enfatizar que las piedras se quitan de una sola
fila, la que el jugador escoja en cada turno.
Ensaye ahora en su equipo varias veces con los siguientes objetivos:
d) Con las filas del ejemplo usado arriba, trate de encontrar una
estrategia ganadora, es decir, una estrategia para ganar con seguridad.
e) Investigue ahora si la estrategia encontrada funciona cuando se
modifica el número inicial de piedras en alguno de los montones o en
ambos.
f) Cambiemos ahora las reglas del juego, primeramente restringiendo el
número de piedras que pueden retirarse a un máximo de 2. ¿Existe
ahora una estrategia ganadora? ¿Qué pasa si hay solamente una fila de
piedras?
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Material
del Participante
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Primaria
Actividad 5
Un juego con dados
Este juego puede llevarse a cabo entre tres, cuatro o cinco jugadores, entre
los cuales uno será el cajero por acuerdo de los integrantes del equipo. A
quien se elija para ser el cajero, se le entregará una caja que contiene fichas
de los siguientes colores: rojas, azules y amarillas. Las fichas amarillas
valen cinco pesos, las azules valen veinte pesos y las rojas valen ochenta
pesos.
Se utilizan además dos dados que, por turnos, lanzarán cada uno de los
jugadores con excepción del cajero. Antes de iniciar el juego, el cajero
entregará a cada uno de los jugadores una ficha roja, una ficha azul y una
ficha amarilla. Las reglas del juego son las siguientes:
i) Al iniciar el juego, cada jugador apostará una ficha amarilla, que
entregará al cajero.
ii) Luego, por turnos, cada uno de los jugadores lanza los dos dados.
iii) Si la suma de los puntos que obtiene, es mayor que siete, el cajero le
entregará un número de fichas amarillas igual a la diferencia entre los
puntos obtenidos y siete,
iv) Si el número de puntos obtenidos, es menor que siete, entonces el
jugador debe pagar al cajero, tantas fichas amarillas como indique la
diferencia entre siete y el número de puntos obtenidos.
e) Si el número de puntos obtenidos es siete, ni se pierden ni se ganan
fichas.
v) Cuando los dos dados marquen el mismo número de puntos, el
número de fichas que se gana o se pierde será el doble de la diferencia
antes indicada.
vi) Cada vez que un jugador completa cuatro fichas amarillas deberá
pedirle al cajero que se las cambie por una ficha azul y cada vez que
completa cuatro fichas azules deberá cambiarla por una roja.
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Material
del Participante
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Primaria
a) Organicen los equipos y jueguen de tal manera que cada jugador
lance los dados, diez veces. Al terminar, determinen si ganaron o
perdieron dando la respuesta en fichas, es decir, alguien puede decir,
por ejemplo: gané una ficha roja y dos amarillas o perdí tres fichas
azules y una amarilla.
b) Sin que el cajero tenga que revisar las fichas que tiene, determinen
cuánto ganó o cuánto perdió dando la respuesta en fichas.
Tomando en cuenta que cuatro fichas amarillas equivalen a una ficha azul y
que cuatro azules equivalen a una roja, determine, lo que, en cada caso se
pide:
c) ¿Qué fichas tuvo, al final del juego, un jugador que al principio tenía
123 (una, dos, tres) fichas (donde el número de la derecha indica la
cantidad de fichas amarillas, el del medio, la cantidad de fichas azules y
el de la izquierda, la cantidad de fichas rojas) y ganó 33 (tres, tres)
fichas. (No olvide que siempre que se completan cuatro fichas de un
color se cambian por una de otro color que sea equivalente).
d) ¿Cuántas fichas ganó un jugador que al principio tenía 32 (tres, dos)
fichas y al final tenía 111 (una, una, una) fichas?
e) Un tercer jugador ganó 203 (dos, cero, tres) fichas con las cuales
completó 302 (tres, cero, dos) ¿Cuántas fichas tenía al principio?
f) En un determinado juego, en el que participaron tres jugadores,
sucedió que, al terminar, los tres tenían exactamente 123 (una, dos, tres)
fichas ¿Cuántas fichas tienen entre los tres?
22

Material
del Participante
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Primaria
g) Si se reparten 213 (dos, una, tres) fichas entre tres personas, de
manera equitativa ¿Cuántas fichas le tocan a cada quien?
Actividad 6
Determinando cantidades numéricas
Utilizando la calculadora, resuelva cada uno de los siguientes problemas:
a) Encuentre un número que multiplicado por 0.4 de un resultado
mayor que 4.3, pero menor que 4.31
b) Encuentreun número que al dividirlo entre 0.25 de un resultado
mayor que 3.24, pero menor que 3.25
c) Entre cuanto hay que dividir el número 8.375 para que el resultado
sea menor que 41.9, pero mayor que 41.8
d) Determine tres números enteros consecutivos, tales que su
producto sea 15600
e) Determine cinco números pares consecutivos, cuya suma sea 1800.
Actividad 7
Ejercicios con exponentes
a) Si 42
= 16 y 43
= 64; ¿Cuál debe ser el exponente para que el resultado sea
32? Proponga algún número y luego use la calculadora para comprobar si el
número propuesto fue el correcto o no. En caso de que no haya sido,
inténtelo de nuevo.
b) Utilice la calculadora para indagar a qué potencia debe elevarse el cuatro
para que el resultado sea 23.
23

Material
del Participante
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Primaria
Actividad 8
Conceptos de distancia
1.- Con ayuda de algún software de geometría dinámica (preferentemente
gratuito como el GeoGebra), marque dos puntos y determine la distancia
entre ellos. __________________
2.- Determine la longitud del segmento que une a los dos puntos arriba
mencionados, deslice uno de ellos y compare ambos datos. La longitud es:
______________________
3.- Con base en los resultados de 1 y 2, escriba una definición del concepto
de distancia entre dos puntos.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
______________________________________________________
4.- En el mismo ambiente de geometría dinámica, trace una línea recta y un
punto fuera de ella; una vez hecho lo anterior, use los menús del software
mencionado para determinar directamente la distancia entre la recta y el
punto dados. __________________
5.- Con las herramientas del software, trace una perpendicular a la recta
dada desde el punto dado y determine el punto de intersección de ambas
rectas.
6.- Determine la longitud del segmento de recta que une al punto dado con la
intersección de rectas mencionado en 5 y compárelo con la distancia
obtenida en 4. La longitud es: _____________
24

Material
del Participante
27
Primaria
7.- Con base en lo analizado en 4, 5 y 6, escriba una definición del concepto
de distancia entre un punto y una recta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
______________________________________________________
Sección 2: Aritmética
Actividad 1
Contando en base 5
En una elección, al contar los votos que obtuvieron cada uno de tres candidatos,
se utilizó el conocido sistema de marcar una rayita por cada voto (V) obtenido,
agrupando las rayitas en conjuntos (C) de cinco. Los conjuntos de cinco votos, a
su vez, se anotaban formando una fila (F) de cinco conjuntos; luego se empezaba
otra fila y cuando se completaban cinco filas, se encerraban en un rectángulo y a
éste se le llamaba un paquete (P) y con cinco paquetes se formaba un bloque (B).
A continuación aparecen los registros de la votación obtenida en una de las
casillas por cada uno de los candidatos.
Casilla A
Candidato Votos
Anselmo
25

Material
del Participante
28
Primaria
Federico
Rogelio
Observe los registros y conteste cada una de las preguntas que se formulan
a continuación:
a) Sin contar las marcas, ¿puede determinar cuál de los candidatos obtuvo
más votos?
Utilice las equivalencias mostradas en la tabla siguiente para responder en
términos de bloques, paquete, filas y votos sueltos, las tres preguntas planteadas
a continuación.
Equivalencia
Cinco votos Un conjunto (C)
Cinco conjuntos Una fila (F)
Cinco filas Un paquete (P)
Cinco paquetes Un bloque (B)
b) ¿Cuántos votos más necesitaba Anselmo para completar un bloque de
votos?
c) ¿Cuántos votos se emitieron en la casilla?
d) ¿Cuántos votos de ventaja obtuvo el candidato con mayor votación sobre
el candidato con menor votación?
26

Material
del Participante
29
Primaria
Para registrar los votos de cada candidato, en las diferentes casillas de
cada sección (formada por cinco casillas), se utilizó la siguiente tabla en la cual, la
columna con la letra P, indica el número de paquetes obtenidos por casilla. En la
tabla, la primera columna de la izquierda está marcada con la letra B, para anotar
en ella el número de bloques que obtenga cada candidato, cuando se contabilicen
todas las secciones. Las tablas mostradas enseguida corresponden a la primera
de las secciones.
Anselmo Federico Rogelio
B P F C V B P F C V B P F C V
A 3 2 3 2 A 3 1 2 4 A 3 1 4 4
B 2 0 2 3 B 1 4 4 4 B 4 0 1 3
C 3 2 0 0 C 1 2 0 2 C 2 4 3 2
D 4 0 0 4 D 2 2 1 4 D 2 0 4 0
E 2 4 3 1 E 2 0 1 1 E 2 1 3 4
Total Total Total
A partir de los resultados registrados para cada candidato en cada una de
las casillas de la primera sección, determine en cada caso lo que se le pide,
escribiendo sus respuestas en términos de bloques, paquetes, filas, conjuntos y
votos sueltos.
a) ¿En cuál casilla obtuvo, cada candidato, el mayor número de votos y en
cuál el menor número?
b) ¿Cuál fue el mayor número de votos obtenido por un candidato en una
casilla y cuál fue el menor?
c) Completa los datos de la tabla anotando los que corresponden al último
renglón. No se permite utilizar los dígitos: 5, 6, 7, 8 y 9.
d) ¿Cuál fue el total de votos que se emitieron en la primera sección?
e) ¿Cuál fue la diferencia de votos entre el candidato que más obtuvo y el
que menos obtuvo?
27

Material
del Participante
30
Primaria
Actividad 2
Calculando en base 5
En el contexto de la actividad anterior, escribir 203 (dos, cero, tres) significa dos
paquetes, 0 conjuntos y 3 votos sueltos. Considerando esto y las equivalencias
entre bloques, paquetes, filas, conjuntos y votos sueltos, efectúe las siguientes
operaciones:
3 1 2 +
2 3 1 2 0 0 1 – 2 0 3 × 1 3 2 ×
1 0 3 1 3 1 2 3 1 3 3 3 0 1 2 1 2 2 2 0 1
__ 1 3 +
3 __ 2 3 __ 2 __ – 2 __ 3 × 1 __ 3 × __ __ __
1 0 __ __ 0 __ 3 3 2 3 3 2 0 __ __
1 3 2 0 1 3 3 1 __ __ 1 __ __ 2 __ __ __
3 0 1 2 __
3 4 3 4 0
28

Material
del Participante
31
Primaria
Actividad 3
Diversos procedimientos para sumar y restar
1. Resuelva mentalmente las siguientes sumas y luego conteste lo que se le
pregunta en cada caso:
a) 68 + 7 =
¿Cómo hizo la operación?
¿Contó a partir del 69 hasta llegar al 75?
¿Descompuso el 7 en 2 + 5, luego sumó 68 + 2 obteniendo 70 y después
sumó 5 para obtener 75?
¿Descompuso el 68 en 60 + 8, luego sumó 8 + 7 obteniendo 15, que
luego descompuso en 10 + 5 y sumó 60 + 10 obteniendo 70, y al 70 le
sumó 5 y obtuvo 75?
¿Lo hizo de otra manera?, ¿cómo?
b) 40 + 36 =
¿Sumó 40 + 30 obteniendo 70 y después sumó 6?
¿Sumó 0 + 6 = 6 y 4 + 3 = 7 y con estos números formó el 76?
c) 80 + 30 =
¿Sumó 8 + 3 = 11 y al 11 le agregó el 0?
¿Sumó 0 + 0 = 0 y 8 + 3 = 11 y con estos números formó el 110?
¿Descompuso el 30 en 20 +10, luego sumó 80 +20, obteniendo 100, y
al 100 le sumó 10?
¿Observó que el 30 es tres veces 10 y sabiendo esto contó de 10 en 10
a partir del 90, diciendo 90, 100, 110?
d) 148 + 252 =
¿Cómo hizo la operación? Explique cómo procedió.
29

Material
del Participante
32
Primaria
2. Efectúe mentalmente las siguientes restas y explique cuál fue el
procedimiento que utilizó:
5. 78 – 9 =
6. 56 – 38 =
7. 314 – 125 =
8. 432 – 198 =
3. Formen equipos de tres personas para comentar y analizar los
procedimientos que cada uno utilizó al realizar las operaciones, tratando de dar
respuesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Por qué eligieron el procedimiento que utilizaron, en cada caso?
b) Analicen las respuestas que cada uno de los integrantes del equipo dio a
la pregunta anterior y, con base en ellas, determinen, en su opinión ¿De qué
depende el procedimiento que las personas eligen para efectuar operaciones
mentales?
c) ¿Promueven, con sus alumnos, actividades de cálculo mental? ¿Con qué
propósitos lo hacen?
d) ¿Consideran que las respuestas que han dado a la pregunta del inciso b),
reafirman su idea de los objetivos que deben formularse al promover las
actividades de cálculo mental con sus alumnos, o los induce a reformularlos?
e) Si consideraron en la pregunta anterior que los objetivos del cálculo
mental deben ser reformulados, escriban los que ahora creen que deben ser.
4. Reflexionen, comenten y enlisten diversos procedimientos que pueden
promover con los niños para efectuar sumas y restas mentalmente, anotando el
grado o los grados en los que creen conveniente promover cada uno, así como el
rango numérico en que consideran más apropiado utilizar dicho procedimiento.
Actividad 4
Diversos procedimientos para multiplicar y dividir
1. Intente, de manera individual, resolver los siguientes problemas sin utilizar la
técnica o el algoritmo usual para multiplicar y luego comente y analice con su
equipo, los procedimientos que cada uno utilizó para realizar las operaciones.
30

Material
del Participante
33
Primaria
a) ¿Cuántas botellas hay en 125 cajas, si en cada caja se colocan 24
botellas?
b) Un ciclista dio, en la semana 598 vueltas a una pista que mide 450 metros.
¿Cuántos metros ha recorrido en total?
c) Para recubrir con mosaico, el piso de un patio rectangular se necesitan
175 mosaicos a lo largo y 120 a lo ancho. ¿Cuántos mosaicos se necesitan
en total?
d) Juan, que trabaja en una taquería, utiliza la siguiente lista de precios para
calcular el consumo de sus clientes.
No. de
tacos
Precio
1 $ 13
2 $ 26
3 $ 39
7 $ 91
10 $ 130
¿Cómo calcularía usted, lo que debe pagarse por 4, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 17,
132 tacos?
Juan, para calcular cuánto debe pagarse por 12 tacos, suma lo que cuestan
dos tacos con lo que cuestan 10, es decir efectúa la siguiente suma:
2 6
+ 1 3 0
1 5 6
Compare lo que hace Juan con el procedimiento usual de multiplicar 13 x
12.
31

Material
del Participante
34
Primaria
1 3 ×
1 2
2 6
1 3
1 5 6
¿En qué se parecen dichos procedimientos y en qué son diferentes?
Por analogía con el procedimiento que utiliza Juan para calcular cuánto
cuestan 12 tacos, ¿cuál cree que sea el procedimiento de Juan para saber
cuál es el precio de 17 tacos?
Escriba el procedimiento de Juan y compárelo con el procedimiento usual
de multiplicar 13 × 17.
Ahora usted calcule cuánto cuestan 132 tacos, utilizando el procedimiento
de Juan, y después compare dicho procedimiento con el usual de multiplicar
132 × 13.
2. Intente resolver los siguientes problemas sin utilizar la técnica o el algoritmo
usual para dividir y comenten y analicen, en equipo, los procedimientos que cada
uno utilizó para realizar las operaciones.
a) Se quieren empacar 768 naranjas en 48 bolsas de tal manera que haya el
mismo número de naranjas en cada bolsa, ¿cómo hacerlo y cuántas deberán
ponerse en cada una?
b) ¿Cuántas cajas se necesitan para acomodar 2904 botellas, si en cada
caja se colocan 24 botellas?
c) Se van a preparar 35 arreglos florales, para lo cual se dispone de 665
flores. Si se quiere que cada arreglo tenga el mismo número de flores,
¿cuántas tendrá cada uno?
d) Un atleta corrió, en su práctica matutina, 7200 metros en un pista circular,
si la pista mide 450 metros, ¿cuántas vueltas dio?
32

Material
del Participante
35
Primaria
e) Para recubrir con mosaico, el piso de un patio rectangular, se utilizaron
2992 mosaicos, si a lo ancho se colocaron 34 mosaicos por fila, ¿cuántos
mosaicos se utilizaron a lo largo, en cada fila?
f) Un automovilista, viajando siempre a la misma velocidad, recorrió 1235
kilómetros en 13 horas. ¿cuántos kilómetros recorría cada hora?
Actividad 5
Combinando operaciones
Diseñen, en cada caso, una o más estrategias para efectuar mentalmente las
siguientes operaciones. Efectúenlas y luego comente cada quien con su
compañero de al lado, las estrategias diseñadas y la razón o las razones que
tuvieron para hacerlo como lo hicieron:
a) 998 + 987
b) 1407 – 508
c) 97 × 215
d) 998 × 987
e) 64 × 50
f) 72 × 25
g) 56 × 125
h)
5
360
i)
25
675
j)
19
4199
Actividad 6
Partir y repartir
Intente resolver cada uno de los dos siguientes problemas. Después de que los
haya resuelto (o lo haya intentado) comente con su equipo las respuestas y la
forma en que cada quien llegó a ellas, tratando de ponerse de acuerdo en la
33

Material
del Participante
36
Primaria
validez o no de lo que hicieron. Analicen y comenten, también, en qué se parecen
y en qué son diferentes los problemas.
a) Si cinco niños se reparten en forma equitativa siete chocolates, ¿Qué
tanto chocolate le toca a cada niño? Intente hacer el reparto (equitativo) de
más de una manera.
b) Al repartirse equitativamente, tres chocolates (del mismo tamaño) entre
cuatro niños, a cada uno le tocó una porción de chocolate del siguiente
tamaño:
¿De qué tamaño era cada uno de los tres chocolates?
Actividad 7
Comparar y medir
Después de haber comentado y analizado los problemas anteriores, procedan de
la misma manera con los siguientes:
a) Si el área del hexágono es una unidad de área, ¿cuánto es el área de
cada una de las siguientes figuras?
34

Material
del Participante
37
Primaria
b) Divida el siguiente segmento en siete partes iguales:
c) Compare la longitud de los siguientes dos segmentos y determine cuántas
veces más largo es uno que el otro.
d) Localice dos puntos, tales que ambos estén dos veces más lejos del
extremo A que del extremo B, del siguiente segmento:
e) Los números colocados en la recta numérica indican la longitud del
segmento que va del punto en el que se coloca el cero, al punto en el que se
coloca el otro número. Por ejemplo, el segmento que va del 0 al 1, mide 1; el
segmento que va del 0 al 4, mide 4: el que va del 0 al
5
8
, mide
5
8
. De
acuerdo con esto, coloque los siguientes números en la recta numérica:
7
3
y
3
7
y determine la longitud del segmento que va del
7
3
al
3
7
.
35

Material
del Participante
38
Primaria
f) Ahora localice el punto medio del segmento cuya longitud acaba de
determinar y anote el número que le corresponde.
g) Localice los puntos que dividen en cinco partes iguales al segmento que
va del
2
1
al
4
9
y determine el número que le corresponde a cada uno.
Sección 3: Geometría
Actividad 1
Doblado de papel. Trazos notables
Esta actividad se desarrolla individualmente pero comentando con su pareja de
trabajo.
Usted necesita hojas traslúcidas para doblar. Su asesor le proporcionará las
necesarias.
Es importante que tan sólo trabaje con sus manos, la hoja que esté doblando y el
lápiz con el que resaltará, en algún doblez, el trazo requerido.
¿Tiene a la mano su primera hoja para doblar? Si es así ya está usted listo(a) para
realizar algunas de las construcciones geométricas más prácticas en una gran
cantidad de ámbitos: costura, arquitectura, albañilería, deporte, ingeniería, arte,
cocina, etc.
1. Tome la hoja y trace un segmento de recta:
36

Material
del Participante
39
Primaria
2. Ahora, ¿cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento?
Después de marcarlo en el segmento comente con su pareja cómo es que
con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido.
Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal
afirmación:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Coméntenlo con el resto del grupo.
3. Si ahora traza usted una línea perpendicular al segmento que pase por ese
punto medio, obtendrá la mediatriz del segmento. La mediatriz tiene la
propiedad de que cualquiera de sus puntos equidista de los extremos del
segmento.
Trace la mediatriz y verifique la propiedad mencionada en el párrafo
anterior, tomando cualquier punto de ella (menos el de intersección con el
segmento).
Describa brevemente cómo dobló el
papel para obtener la mediatriz
¿Qué es lo que le permite asegurar
que la línea trazada por ese punto
medio es perpendicular al segmento?
37

Material
del Participante
40
Primaria
Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo
es que llevó a cabo la verificación sobre la propiedad de la mediatriz dada
en el primer párrafo de este punto.
4. Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior.
Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento,
pero no alineado con él. Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una
línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y pase por ese
punto.
Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede
asegurar que efectivamente la línea es perpendicular.
5. Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y
seleccione de nuevo un punto cualquiera, con las mismas restricciones que
antes. Construya una paralela al segmento que pase por el punto.
Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede
asegurar que efectivamente la línea es paralela
38

Material
del Participante
41
Primaria
6. Ahora, realice las construcciones anteriores haciendo uso del software de
geometría dinámica disponible. Comente con sus compañeros las
diferencias y similitudes de los procesos de construcción en ambos
ambientes.
Actividad 2
Doblado de Papel. Trazo de las mediatrices, bisectrices, medianas
y alturas en un triángulo
Para esta actividad el asesor les proporcionará al menos 12 hojas de papel
traslúcido. Para llevarla a cabo, se le invita a integrarse en un equipo de cuatro
personas.
1. En primer término tomen una hoja cada integrante del equipo. Dibujen en
cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden ser parecidos
a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):
2. En cada triángulo tracen las mediatrices, tomando en cuenta que:
Un triángulo tiene tres mediatrices.
Cada mediatriz es una recta perpendicular que pasa por el punto
medio del lado correspondiente.
Comenten brevemente cómo llevaron a cabo la construcción de cada
mediatriz y escriban sus conclusiones.
39

Material
del Participante
42
Primaria
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
3. Tomen otra hoja y repitan el dibujo de los triángulos diferentes.
En cada uno tracen las medianas, tomando en cuenta que:
Un triángulo tiene tres medianas.
Cada mediana es un segmento de recta cuyos extremos son el punto
medio de un lado del triángulo y el vértice opuesto a él.
mediana y escriban sus conclusiones.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
4. Tomen otra hoja y repitan el dibujo de los triángulos diferentes.
En cada uno tracen las bisectrices, tomando en cuenta que:
Un triángulo tiene tres bisectrices.
Cada bisectriz es un segmento de recta que biseca (divide en dos partes
iguales) cada uno de sus tres ángulos, y por lo tanto parte de un vértice
hasta el lado opuesto.
bisectriz y escriban sus conclusiones.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
40

Material
del Participante
43
Primaria
____________________________________________________________
5. En cada triángulo trace las alturas, tomando en cuenta que:
Un triángulo tiene tres alturas.
Cada altura es un segmento de recta que parte desde un vértice
hasta el lado opuesto -o su prolongación-, con una dirección
perpendicular a ese lado opuesto.
Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada altura.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
6. Respondan brevemente a las siguientes cuestiones y luego comparen sus
respuestas con las de sus compañeros.
¿En todos los triángulos se mantiene la misma dificultad? Comente
ampliamente __________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
41

Material
del Participante
44
Primaria
¿Qué particularidad tomarán esas características en un triángulo isósceles?
Coméntenlo con sus compañeros y a juicio del asesor verifique su
conjetura.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
___________________________________________________________
7. Ahora, realice las construcciones anteriores haciendo uso del software de
geometría dinámica disponible. Comente con sus compañeros las
diferencias y similitudes de los procesos de construcción en ambos
ambientes.
8. ¿Qué ventajas tiene el uso de software de geometría dinámica para
fortalecer o refutar las conjeturas formuladas en esta secuencia?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Actividad 3
Construcción de estructuras
Para esta actividad se necesitarán palillos de dientes y bombones miniatura (u otro
tipo de material que sirva como conector). Se trabaja en equipos de 4 personas.
Su equipo tiene 20 minutos para construir la estructura más alta posible que se
pueda sostener por sí sola. Al término de los 20 minutos, mida la altura de su
estructura y conteste las siguientes preguntas.
42

Material
del Participante
45
Primaria
1. ¿Qué altura alcanzó la estructura? ____________________________
2. ¿Qué características observan en su estructura? (se mantiene rígida, se
bambolea, se ladea, alcanzó poca altura, etc.)
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
3. ¿A qué creen que se deban esas características?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Sin destruir esta estructura, continúen con las siguientes actividades.
Actividad 4
Construcción de cuadriláteros, dadas las medidas de sus lados
1. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el instructor para tratar
de construir cuadriláteros con las medidas indicadas en la tabla de abajo y
llene los recuadros en blanco. Si puede construir el cuadrilátero, trate de
cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados y llene la sexta columna.
En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por
usted mismo.
43

Material
del Participante
46
Primaria
Lado A
(Unidades)
Lado B
(Unidades)
Lado C
(Unidades)
Lado C
(Unidades)
¿Se puede
construir el
cuadrilátero?
(Si/No)
¿Se puede
deformar el
cuadrilátero?
(Si/No)
10 10 10 10
10 7 5 4
10 5 6 4
7 6 3 4
8 6 4 4
6 4 1 2
8 3 3 2
9 2 3 3
2. ¿Se pueden construir dos cuadriláteros diferentes, dadas las medidas de sus
lados? Justifique su respuesta
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
3. Escriba con sus propias palabras una regla que describa cuándo se puede
construir un cuadrilátero dadas las longitudes de sus lados. Compare la regla
que escribió, con la de sus compañeros.
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
44

Material
del Participante
47
Primaria
______________________________________________________________
______________________________________________________________
4. Considere las longitudes de los lados de los cuadriláteros anteriores. ¿Podría
unir los segmentos en un orden diferente para hacer un cuadrilátero diferente?
Si es así, ¿en cuáles?
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_____________________________________________________________
5. En el cuadrilátero de medidas 8, 6, 4, 4, elimine uno de los lados y cierre la
figura, ¿Qué observa en cuanto a la flexibilidad de la nueva figura?
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Actividad 5
Construcción de triángulos, dadas las medidas de sus lados
1. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el instructor para tratar
de construir triángulos con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene
los recuadros en blanco. Si puede construir el triángulo, trate de cambiar su
forma sin cambiar la longitud de sus lados para llenar la quinta columna. En
los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted
mismo.
45

Material
del Participante
48
Primaria
Lado A
(Unidades)
Lado B
(Unidades)
Lado C
(Unidades)
¿Se puede
construir el
triángulo?
(Si/No)
¿Se puede
deformar el
triángulo?
(Si/No)
8 8 8
8 7 4
5 4 2
7 3 4
6 3 2
2. Si se le pide construir triángulos en los que un lado mide 8 unidades, y los
otros dos se dan en la lista de abajo, ¿en qué casos cree que podría
construirlo? Justifique su respuesta sin tratar de construir el triángulo.
Lado B
(Unidades)
Lado C
(Unidades)
¿Se puede
construir el
triángulo?
¿Por qué?
6 6
8 7
9 10
6 10
8 9
10 4
14 6
46

Material
del Participante
49
Primaria
14 1
3. ¿Qué condición considera deben cumplir las longitudes de tres segmentos
para poder construir un triángulo? Escriba con sus propias palabras una
regla que describa la relación entre las medidas de los lados de un
triángulo.
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
4. Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros.
5. Suponga que se le pide construir un triángulo cuyos lados miden 14.5, 21.4
y 17.3 cms. ¿Cree que podrá hacerlo? Justifique su respuesta.
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
6. ¿Se pueden construir dos triángulos diferentes, dadas las tres medidas de
sus lados? Justifique su respuesta.
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
47

Material
del Participante
50
Primaria
Actividad 6
Construcción de estructuras
Para esta actividad de nuevo su equipo utilizará la estructura construida en la
actividad 5.
Observen su estructura y contesten las siguientes preguntas.
1. ¿Qué tipo de figuras usaron en su estructura?
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
2. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más fuerte?
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
3. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más débil?
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
4. Si tuvieran la oportunidad de construir la estructura otra vez, ¿qué
cambiarían?
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
48

Material
del Participante
51
Primaria
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Construyan una nueva estructura en 20 minutos. El propósito es construir una
estructura más alta que la anterior.
Altura de la nueva estructura: _____________________
Actividad 7
¿Qué significa medir?
Esta actividad se desarrolla en equipos de tres personas, pero se recomienda
trabajar primero individualmente y después comentar con los compañeros de
trabajo.
Usted necesitará tres triángulos para medir, los cuales le serán proporcionados
por su asesor.
1. Utilice todos los tres triángulos para construir las siguientes figuras:
49

Material
del Participante
52
Primaria
2. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura
tiene mayor área? Justifique su respuesta.
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
3. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura
tiene menor perímetro? ¿Cuál tiene mayor perímetro? Justifique su
respuesta.
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
50

Material
del Participante
53
Primaria
4. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ordene los polígonos de
menor a mayor, según su perímetro. Explique como lo hace.
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
5. Explique por qué utilizamos medidas estándar si podemos medir sin ellas.
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_____________________________________________________________
Actividad 8
Calculando áreas
1. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área del rectángulo
que se muestra en la retícula, tomando como unidad de área un cuadrado
mínimo de ella.
2. Si llamamos b a la base del rectángulo y h a su altura, escriba y explique la
fórmula para obtener el área del rectángulo.
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
51

Material
del Participante
54
Primaria
______________________________________________________________
______________________________________________________________
3. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un triángulo
rectángulo en una retícula:
4. Si llamamos b a la base del triángulo rectángulo y h a su altura, escriba y
explique la fórmula para obtener el área del triángulo rectángulo.
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
5. ¿La fórmula anterior sirve para calcular el área de cualquier triángulo?
a. Para responder esta pregunta, primero observemos lo siguiente:
Tenemos un paralelogramo de base b y altura a, y un rectángulo de base b
y altura a. Compare las áreas de las dos figuras. ¿Cuál es la fórmula para el
área de un paralelogramo? ____________________________________
52

Material
del Participante
55
Primaria
b. Recorte dos triángulos congruentes. Puede seguir el siguiente
procedimiento: Doble una hoja de papel y dibuje un triángulo
arbitrario. Marque su base y su altura. Recorte el triángulo sobre el
papel doblado, de modo que obtendrá dos triángulos congruentes.
Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo con la misma
base y la misma altura del triángulo.
c. ¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la del paralelogramo?
______________________________________________________
d. Escriba la fórmula para el área de un triángulo arbitrario, de base b y
altura h.
_______________________________________________________
6. Recorte dos trapecios congruentes. Puede usar el procedimiento descrito
en el punto anterior. Marque en cada trapecio, su base mayor B, su base
menor b y su altura h. Acomódelos de modo que se forme un
paralelogramo.
a. ¿Cuál es el área de este paralelogramo? Escriba la fórmula.
__________________________________________________
b. ¿Cómo se relaciona el área del trapecio con la del paralelogramo?
___________________________________________________
c. Escriba la fórmula para el área del trapecio.
___________________________________________________
7. Encuentre el área de los triángulos marcados en los siguientes polígonos
regulares. Suponga que la medida de cada lado de los polígonos es de 2
unidades.
53

Material
del Participante
56
Primaria
a. Utilice la información para encontrar el área de los polígonos.
______________ ________________ ______________
b. ¿Cómo relaciona estos resultados con la fórmula que usted conoce
para encontrar el área de un polígono regular?
__________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Sección 4: Datos y Azar
Actividad 1
Información General del Profesor-Alumno
Conteste la siguiente encuesta indicando en cada caso lo se te pide
1. Género: Masculino Femenino
2. ¿Cuántos años de servicio tiene en primaria? _____________
3. ¿Tiene computadora en tu casa?
Si No
54

Material
del Participante
57
Primaria
4. Señale con una X, ¿qué tanto utiliza Internet?
Nunca_______
A lo más una hora a la semana_______
Más de una y hasta cinco horas a la semana _______
Más de cinco horas a la semana ______
5. ¿Qué le parece la reforma de planes y programas de educación básica
realizada en 1993?
a) Excelente b)Buena c)Regular d)Mala e)Pésima
6. ¿Ha utilizado Word? Si No
7. ¿Ha utilizado Excel? Si No
8. ¿Cuántas horas a la semana trabaja un tema de matemáticas frente a un
grupo? _______
9. ¿En qué grado de la escuela primaria trabaja actualmente?________________
10. Para las preguntas que aparecen abajo, considere como respuesta uno de los
siguientes ejes temáticos.
a. Los números, sus relaciones y sus operaciones,
b. Medición
c. Geometría
d. Procesos de cambio
e. Tratamiento de la información
f. La predicción y el azar
i. ¿Cuál de los ejes le parece más importante? ( )
ii. ¿Cuál de los ejes le gusta más? ( )
iii. ¿A cuál de los ejes le dedica menos tiempo? ( )
iv) De acuerdo a su experiencia, ¿En qué eje presentan ( )
mayor dificultad los estudiantes?
v) ¿Cuál de los seis ejes le parece menos importante? ( )
b) Organice las respuestas de sus compañeros en la siguiente tabla.
55

Material
del Participante
58
Primaria
No. De
Respuesta
No. De Pregunta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i ii iii iv v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
c) De acuerdo a la información anterior responda lo siguiente:
56

Material
del Participante
59
Primaria
1. ¿Cuántas personas en total contestaron la encuesta?
_____________________
2. ¿Cuántas personas son del sexo masculino?______ ¿Qué porcentaje
representan? ________
3. ¿Cuál es el mayor número de años de servicio y cuántas personas cumplen
con este número? _______ y ¿a qué porcentaje de personas corresponde
ese dato? _______
4. ¿La mayoría tiene computadora en su casa? _______ ¿en qué basa su
respuesta?
______________________________________________________
5. ¿Qué puede comentar acerca del uso que hacen de Internet sus compañeros
de grupo? ___________________________________________ ¿Y los
profesores de su localidad? ____________________________________
______________________________________________________________
6. Realice una tabla, respecto a lo que les pareció la Reforma de planes y
programas de educación básica realizada en 1993.
¿Cuáles fueron las características sobresalientes de lo que acaba de hacer?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
¿A qué cree que se deban estas características?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
7. ¿Podría decir qué en general se tiene conocimiento sobre Word y Excel por
parte del grupo?
______________________________________________________________
8. ¿Entre qué valores se encuentra el número de horas que trabajan temas de
matemáticas frente a un grupo? ____________________________________
57

Material
del Participante
60
Primaria
9. De acuerdo al grado en el que imparten clase, ¿cómo se distribuyen sus
compañeros?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
10.¿Cuál es el nombre del eje que a la mayoría le parece menos importante?
_________________________________ ¿Por qué cree que esto sea así?
______________________________________________________________
11.¿Cuál es el nombre del eje más gustado?
______________________________________________________________
12.¿Cuál es el nombre del eje al que se le dedica menor tiempo?
______________________________________________________________
13.¿Cuál es el nombre del eje, en el cual, de acuerdo a la experiencia de sus
compañeros, los alumnos presentan mayor dificultad? __________________
14.¿Coincide el eje más importante con el eje más gustado? _________ ¿Por
qué?__________________________________________________________
15.¿Coincide el eje al que se le dedica menor tiempo con el que, según la
experiencia, presentan mayor dificultad los estudiantes? _________ ¿Por
qué?
______________________________________________________________
16.Plantee una pregunta sobre algún punto abordado en la encuesta que le
parezca interesante o pertinente, para explorar algún punto del tratamiento
de la información, la predicción y el azar _____________________________
______________________________________________________________
58

Material
del Participante
61
Primaria
Actividad 2
Antes del lanzamiento de monedas
1. Al jugar a los volados con una moneda ¿cuál es la probabilidad de obtener águila?
______________________________________________________________________
¿Por qué cree eso?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
¿Qué significado le atribuye a esa probabilidad?
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Si hace 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda ¿cuántas águilas espera que
ocurran?
______________________________________________________________________
¿Por qué cree eso?________________________________________________________
2 ¿Cuál de las siguientes sucesiones es más probable que resulte al lanzar una moneda
cinco veces? (bajo la convención de que se anota A cuando sale “águila” y S cuando sale
“sello”)
a) AAASS; b) SAASA; c) SASSS;
d) ASASA; e) Las cuatro sucesiones son igual de
probables.
Inciso: _________
¿Por qué ha dado esa respuesta?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
59

Material
del Participante
62
Primaria
3. Cuatro personas lanzan siete veces una moneda. Los resultados que han tenido los
anotan en una hoja, quedando su registro como se muestra a continuación.
José A A A A A A A
María A S A S A S A
Pedro A A S S S A A
Pablo S S S S A S S
Si cada una de estas personas hace otro lanzamiento, ¿cuál cree que será el resultado
para cada una de ellas? José ____ María ____ Pedro ____ Pablo ____
¿En qué se ha basado para dar esa respuesta? ________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4. Si lanzara dos veces consecutivas una moneda ¿qué posibles resultados tendría?
________________________________________________________________________
Si lanzara tres veces consecutivas una moneda ¿qué posibles resultados tendría?
________________________________________________________________________
Si lanzara una moneda y, sólo en el caso de haber obtenido águila, la volviera a lanzar,
¿qué posibles resultados tendría? ___________________________________________
5 ¿Cuál de las siguientes sucesiones es menos probable que resulte al lanzar una
moneda cinco veces?:
a) AAASS; b) SAASA; c) SASSS;
d) ASASA; e) Las cuatro sucesiones son igual de
probables.
Inciso: _________
¿Por qué ha dado esa respuesta? ____________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
60

Material
del Participante
63
Primaria
Actividad 3
Experimentando con monedas
1. Efectúe ochenta lanzamientos de una moneda y, utilizando la tabla que aparece
abajo, registre los resultados de cada lanzamiento como A (águila) o S (sello),
formando grupos de cinco resultados. Luego, contabilizando el número de águilas
acumuladas en los grupos sucesivos o frecuencias (f) regístrelo en la columna
correspondiente así como su acumulación o frecuencias acumuladas (fa) y los
resultados de dividir estas últimas cantidades entre el número de lanzamientos
acumulados o frecuencias acumuladas relativas (far).
Registro tabular
Lanz.
acum..
Resultados f fa far
Lanz.
Acum.
Resultados f fa Far
5 45
10 50
15 55
20 60
25 65
30 70
35 75
40 80
61

Material
del Participante
64
Primaria
2. Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias
acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haga una gráfica de
puntos unidos por segmentos de recta como resumen de este experimento de
lanzamiento de monedas.
Registro gráfico
far
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Número de lanzamientos acumulados
3. Describa el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas y responda
las siguientes preguntas ¿qué relación tiene este comportamiento con la
probabilidad que usted cree tiene el obtener águila en el lanzamiento de una
moneda? ¿Qué quiere decir que la probabilidad de obtener águila en el
lanzamiento de una moneda sea el número que usted cree?
__________________________________________________________________
62

Material
del Participante
65
Primaria
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Actividad 4
Experimentando con monedas dobladas
1. Si le hacemos un doblez a la moneda con una pinza de mecánica ¿cuál es la
probabilidad de obtener águila en un lanzamiento de esta moneda?
_______________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
_________________________________________________________________
¿Qué significado le atribuye a esa probabilidad?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Si hace 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda doblada ¿cuántas águilas
espera que ocurran?________________________________________________
__________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. Utilizando ahora monedas dobladas con una pinza de mecánica, efectúe
ochenta lanzamientos de una moneda y utilice la tabla que aparece abajo para
registrar los resultados de cada lanzamiento formando grupos de cinco resultados,
las frecuencias (f) obtenidas en los grupos sucesivos, frecuencias acumuladas (fa)
y las frecuencias acumuladas relativas (far).
Registro tabular
Lanz.
Acum.
Resultados f fa Far
Lanz.
Acum.
Resultados f fa Far
5 45
10 50
15 55
63

Material
del Participante
66
Primaria
20 60
25 65
30 70
35 75
40 80
3. Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias
acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haga una gráfica de
puntos unidos por segmentos de recta como resumen de este experimento de
lanzamiento de monedas.
Registro gráfico
far
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Número de lanzamientos acumulados
64

Material
del Participante
67
Primaria
4. Describa el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas y responda
las siguientes preguntas: ¿qué relación tiene este comportamiento con la
probabilidad que usted cree tiene el obtener águila en el lanzamiento de una
moneda doblada? ¿Qué quiere decir que la probabilidad de obtener águila en el
lanzamiento de esta moneda sea el número que usted cree?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Actividad 5
Haciendo Pulseras3
Maura y Enrique quieren hacer pulseras con cuentas de distintos colores.
Disponen de cuentas de tres colores distintos, amarillo, rojo, verde.
1. Diseñe un tramo de pulsera de tres cuentas de colores diferentes, como las
que podrían hacer Maura y Enrique.
2. ¿Puede diseñarse un tramo de pulsera distinto con las mismas
cuentas?__________
3
Basada en la lección 34 del Libro de Texto: Matemáticas, Quinto Grado. SEP, 2004.
65

Material
del Participante
68
Primaria
3. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer con estas cuentas?
Si agregamos cuentas de otros colores,
4. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer utilizando cuatro
cuentas de diferentes colores?
5. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer utilizando cinco
cuentas de diferentes colores?
Actividad 6
Utilicemos cuentas del mismo color
Analicemos ahora tramos en lo que se pueden utilizar cuentas del mismo color.
1. Muestre un tramo de tres cuentas que tenga dos cuentas del mismo color.
2. ¿Cuántos diseños con la característica del tramo anterior pueden hacerse?
66

Material
del Participante
69
Primaria
67
3. Muestra un tramo de cuatro cuentas que tenga dos cuentas del mismo color
4. ¿Cuántos diseños con la característica del tramo anterior pueden hacerse?

DIRECCIÓN GENERAL DE
FORMACIÓN CONTINUA
DE MAESTROS EN SERVICIO

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