Este documento describe las medidas de variabilidad y dispersión, que miden el grado de dispersión de los valores alrededor de las medidas de tendencia central. Explica las principales medidas como la amplitud total, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variabilidad, y proporciona fórmulas y ejemplos para calcular cada una. El objetivo es medir el grado de concentración o dispersión de los datos para analizar mejor la distribución.

1. Estadística I Prof: Luis A. Fernández Rivera
MEDIDAS DE VARIABILIDAD Y DISPERSION
1. CONCEPTO
Las medidas de variabilidad o dispersión son aquellas cuyo objetivo principal es
medir el grado de dispersión o concentración de los valores o datos, alrededor
de alguna de las medidas de tendencia central.
2. IMPORTANCIA
En todo análisis existe la necesidad de tener información acerca de la forma
como están distribuidos los valores o datos alrededor de alguna de las medidas
de tendencia central. Frente a una comparación total pueden existir casos de
nuestras o de series que pese a tener las mismas medidas de tendencia central,
tengan diferentes medidas de dispersión.
Observemos los siguientes ejemplos: 1°
Como se podrá observar, estas dos curvas tienen las mismas medidas de tendencia
central (media aritmética), pero diferentes distribuciones; es decir, distintas
medidas de dispersión.
2° Sean las siguiente series de siete elementos cada uno:
a = 12, 4, 2, 12, 16, 20, 18
Media aritmética = 12
Mediana = 12
b = 12, 10, 10, 12, 14, 14, 12
Media aritmética = 12
Mediana = 12
como se podrá apreciar, estas dos series tienen las mismas medidas de tendencia
central, sin embargo, sus distribuciones no son iguales, o sea, sus medidas de
dispersión son diferentes.
3° Observa lo siguientes gráficos:
Estas dos curvas tienen diferentes medidas de tendencia central. Sin embargo,
sus distribuciones son iguales (gráficos). Es decir, tienen las mismas medidas
de dispersión.
Estos tres ejemplos, nos permiten apreciar la importancia de las medidas de
dispersión en la descripción y análisis de una serie de datos.
3. PRINCIPALES MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSION
Las principales medidas de variabilidad o dispersión son:
· La amplitud total o rango (Rx)
· La desviación media (DM)
· La varianza (Var)
· La desviación típica o estándar (DS)
· El coeficiente de variabilidad (CV)
3.1. La Amplitud Total o Rango (Rx)
3.1.1. Concepto
Es la más sencilla de las medidas de dispersión. Se obtiene calculando la
diferencia que existe entre el mayor y el menor valor de una variable
estadística.
Se expresa en la misma unidad de la variable; es decir, cuanto mayor es el
rango, mayor es la dispersión de los datos alrededor de la medida de tendencia
central.
Para calcular su valor se aplica la siguiente fórmula:
RX = XM - Xm
Donde:
Rx = Amplitud Total o Rango
XM = Mayor valor de la variable
Xm = Menor valor de la variable
3.1.2. Ejemplos:
1° hallar el rango o amplitud total de la siguiente serie de datos no agrupados:
35, 40, 90, 75, 65, 50, 62
75, 72, 95, 120, 80, 70, 25
Reemplazando valores en la fórmula, tenemos:
Rx = 120 - 25
Rx = 95
1

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Luego, la amplitud total o rango de la serie es 95.
2° Determinar la amplitud total o rango de la serie de los datos agrupados de
nuestro ejemplo:
Clase (C1)
130 - 134
125 - 129
120 - 124
115 - 119
110 - 114
105 - 109
100 - 104
95 - 99
90 - 94
85 - 89
80 - 84
En este caso, el puntaje mayor se ubica en el límite superior del intervalo de
clase de los máximos puntajes cuyo valor es XM = 134, y el puntaje menor se
ubica se ubica en el límite inferior de la clase de los mínimos puntajes, y su
valor es Xm = 80. Luego, aplicando la fórmula, tenemos:
RX = XM - Xm
Rx = 134 - 80
Rx = 54
Luego, el rango o amplitud total de la serie es 54.
- Ventajas:
Radica en su sencillez y cálculo rápido.
- Desventajas:
Da una falsa impresión del grado de dispersión, porque el rango depende de la
distancia que existe entre sus dos valores extremos con relación a los demás.
Por ejemplo, veamos las siguientes series:
A = 80, 150, 92, 126, 19
Rx = 196 - 90
RX = 76
B = 30, 76, 92, 104, 106
Rx = 106 - 30
RX = 76
Como se puede observar, en ambas series la amplitud total o rango son iguales.
Sin embargo, el grado de dispersión es diferente porque en la serie A los
valores extremos están más alejados de los demás, lo que no sucede en la serie
B.
4. La Desviación Media (DM)
4.1. Definición:
La desviación media llamada también variación promedio o variación media se
define como la Media Aritmética de las diferencias de cada valor de una serie de
datos con respecto a la media aritmética de la misma serie de datos.
4.2. Cálculo de la Desviación Media
1. Recolección de datos
2. Orden y clasificación
3. Fórmula
DM =
d
N
å
Xi
2468
19
2

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4.3. Cálculo de la Desviación Media en Tipo II.
Xi fi
2
16
4
12
6
10
8
14
10
8
1. Recolección de datos
2. Orden y clasificación
3. Fórmula
4.4. Cálculo de la Desviación Media en Tipo III.
Yi fi
15 - 19
12
20 - 24
4
25 - 29
13
30 - 34
16
35 - 39
7
40 - 44
8
a. Multiplicar Yi. fi
b. Sumar Yi.fi
c. Dividir å / 60
X = 1750 / 60
X = 29.16
5. Varianza (Var o S2)
5.1. Definición:
Es una medida que mide el grado de concentración o de dispersión de los datos
alrededor de la media aritmética.
5.2. Cálculo de la Varianza en el Tipo I.
Xi Xi - x d / d / d2
0
2
4
6
8
10
1. Recolección de datos
2. Orden y clasificación
3

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3. Fórmula
5.3. Cálculo de Varianza en el Tipo II.
Yi Yi.fi Yi - X d / d / fi . /d/
17
204
22
88
27
351
32
512
37
259
42
336
17 -
29.16
22 -
29.16
27 -
29.16
32 -
29.16
37 -
29.16
42 -
29.16
-12.16
-7.16
-2.16
2.84
7.84
12.89
12.16
7.16
2.16
2.84
7.84
12.89
145.92
28.64
28.08
45.44
54.88
108.72
1. Recolección de datos
2. Orden y Clasificación
. Multiplicar Yi. fi
b. Sumar Yi. fi
c. Dividir å / N
X = 1750 / 60
X = 29.16
DM = 405.68 / 60
DM = 6.76
CUADRRO RESUMEN DE FORMULAS
6. La Desviación Típica o Estándar ( DS )
6.1. Concepto
Es una de las medidas de dispersión más confiable. Mide el grado de normalidad
de la distribución de los datos muestrales alrededor de la media aritmética,
dentro de sus valores extremo mínimo y máximo.
El valor mínimo se halla restando una desviación estándar a la media aritmética
(M - DS) y, el valor máximo, sumando una desviación estándar a la media
aritmética (M - DS). Si la zona comprendida entre estos dos valores hallados
contiene el 68% de los datos de la muestra se dice que la curva estadística es
normal o gaussiana. Por ejemplo, observemos el siguiente gráfico:
6.2. Cálculo de la Desviación Típica o Estándar ( DS ) en una Distribución de
Frecuencias de Datos no Agrupados
Sea la siguiente serie:
X
100
98
96
94
92
90
88
86
84
82
80
Para hallar el valor de la desviación típica o estándar de esta serie se procede
del modo siguiente:
1º Se determina la media aritmética ( M )
2º Se hallan las desviaciones.
4

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3º Se eleva al cuadrado las desviaciones halladas y luego, se suman dichos
valores ( å d2 )
Veamos:
X d d2 X - X
100
10
100
98
8
64
96
6
36
94
4
16
92
2
4
90
2
4
88
-2
4
86
-4
16
84
-6
3
82
-8
64
80
-10
100
N = 11 å = 440
Finalmente, se aplica la siguiente formula:
å 2
DS = d
N
Reemplazando valores se tiene:
DS = 440
11
DS = 40
DS = 6.3
Luego, la desviación estándar de esta distribución de frecuencias de datos no
agrupados es 6.3.
6.3.Cálculo de la Desviación Típica o Estándar ( DS ) en una Distribución de
Frecuen-cias
de Datos Agrupados
Para lo cual se utilizan dos métodos:
a) Método Directo: Se aplica la siguiente fórmula:
= å 2
DS fd
N
Cl f
130 - 134
125 - 129
120 - 124
115 - 119
110 - 114
105 - 109
100 - 104
95 - 99
90 - 94
85 - 89
80 - 84
2
1
3
3
8
10
6
6
8
0
3
N = 50
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En la elaboración de esta tabla se ha seguido el mismo procedimiento utilizado
para el cálculo del valor de la varianza.
Entonces, reemplazando en la fórmula con los valores obtenidos en la tabla se
tiene:
DS = 7050
50
DS = 141 ; DS = 11.87
Luego el valor de la desviación estándar por el método directo de esta
distribución es 11.87.
b) Método Abreviado: Se utiliza la siguiente fórmula:
DS i
f.d2 . 2
.
N
f d
N
= -é
ë ê
ù
û ú
Tomemos ahora la siguiente distribución: CI = 11 i = 5 ( espera las
indicaciones de tu profesor )
Cl f
130 - 134
125 - 129
120 - 124
115 - 119
110 - 114
105 - 109
100 - 104
95 - 99
90 - 94
85 - 89
80 - 84
2
1
3
3
3
0
6
6
8
0
3
N = 50
7. El Coeficiente de Variabilidad (CV)
7.1. Concepto
Es otra de las medidas de dispersión que sirve para determinar la homogeneidad o
heterogeneidad del grupo o serie estadística que se analiza. Se representa por
el símbolo CV. Su valor se da en términos de porcentaje.
7.2. Cálculo del Valor del Coeficiente de Variabilidad (CV)
Para hallar el valor del coeficiente de variabilidad se utiliza la siguiente
fórmula:
CV = 100 ( DS
)
M
Donde:
100 = Constante
DS = Desviación Media
M = Media Aritmética
El valor del coeficiente de variabilidad obtenido con la fórmula anterior, se
compara con el valor convencional de 33% que indica el límite de homogeneidad o
heterogeneidad.
Si el valor del coeficiente de variabilidad es menor que el 33% se dice que el
grupo es más homogéneo.
Si el valor del coeficiente de variabilidad es mayor que el 33% se dice que el
grupo es más heterogéneo. Es decir, a menor valor del coeficiente de
variabilidad mayor homogeneidad.
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7. Estadística I Prof: Luis A. Fernández Rivera
Por ejemplo, en la distribución de datos de nuestro ejemplo se han obtenido los
siguientes valores:
M = 105
DS = 11.85
Si reemplazamos la fórmula con estos valores tendremos:
CV DS
= 100 ( ) CV = 100
M
x 11.85
105
CV = 1185
, CV = 11,28%
185
Luego, el valor del coeficiente de variabilidad es de 11.28% que es menor al
valor convencional (33%), lo cual significa que la distribución de nuestro
ejemplo tiene un apreciable grado de homogeneidad.
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