Este documento presenta una introducción a las funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria X es una variable aleatoria U si la imagen de los puntos al infinito de U corresponden a eventos con probabilidad cero. También describe cómo calcular la función de distribución de U a partir de la función de distribución de X y la función φ que mapea de X a U. Proporciona ejemplos ilustrativos de estas ideas y cómo determinar si una función es o no una variable aleatoria.

1. Cálculo de Probabilidades II
Semana 1: Funciones de variables aleatorias
Vladimiro Contreras Tito
Universidad Nacional Federico Villarreal
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Departamento de Matemática
Agosto 2021
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2. Funciones de variables aleatorias
Funciones de variables aleatorias
Recordemos que un vector aleatoria de dimensión n es una función que
a cada elemental w le asigna o asocia un elemento de Rn. Esto es:
Ω
X
−
→ Rn
w → X(w) = (X1(w), X2(w), ..., Xn(w)) ∈ Rn
con RX 6= φ.
Consideremos una función ϕ tal que a cada elemento X ∈ RX le asocia
un elemento U = ϕ(X) de Rp, esto es:
ϕ : RX → Rp
X → ϕ(X) = U = (ϕ1(X), ϕ2(X), ..., ϕp(X)) = (u1, u2, ..., up) =
Si representamos por U a la imagen de ϕ entonces tenemos:
Ω
X
−
→ RX
ϕ
−
→ U
w → X(w) → ϕ(X(w))
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3. Funciones de variables aleatorias
En general la función U es una v.a. o vector aleatorio de dimensión p
cuyo recorrido es U. De la definición de vector aleatorio, para que la
aplicación compuesta U = ϕ(X) satisfaga la condición necesaria para
ser v.a. ([U ≤ u] ∈ A) la única condición que debe acreditar es que en
U los puntos al infinito corresponden a eventos con probabilidad cero,
lo que equivale decir que las imágenes inversas sobre RX de los puntos
al infinito de U y corresponden a eventos con probabilidad cero.
Ejemplo 1.1.
Sea X la suma obtenida al extraer dos dı́gitos con reemplazamiento del
conjunto {0, 1, 2, 3} y sea la función U = ϕ(X) = 1
X . ¿Es U una v.a.?
Ejemplo 1.2.
Sea la v.a. X cuya distribución de probabilidad está dada por la
función de densidad
fX(x) =
(
1
3 , 2 < x < 5
0 , en otros casos
y sea U = ϕ(X) = 1
X−3. ¿U es una v.a.?
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4. Funciones de variables aleatorias
NOTA 1.1.
Nos interesa determinar la función de distribución de la función U
cuando es una v.a., a partir de las caracteristicas probabilisticas de X y
del conocimiento de la función ϕ. Para ello se considera un Principio
general que establece, que si V1 ⊂ RX es la imagen inversa por ϕ del
subconjunto U1 de U entonces la probabilidad que se asigna a U1 es
igual a la probabilidad asignada a V1 esto es:
Si v1 = ϕ−1(u1) entonces P[u ∈ U1] = P[x ∈ v1]
Ası́ por ejemplo,
V1 = {(x1, x2, ..., xn) / ϕi(x1, x2, ..., xn) ≤ ai , i = 1, 2, ..., p} es la
imagen inversa por ϕ de
U1 = {(u1, u2, ..., up) / xi ≤ ai , ∀i = 1, 2, ..., p} y por tanto:
P[u ∈ U1] = P[
P
i=1
[ui ≤ ai]] = P[X ∈ V1]
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5. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.3.
Del ejemplo anterior donde
fX(x) =
(
1
3 , 2 < x < 5
0 , en otros casos
y sea U = ϕ(X) = 1
X−3, halle la función de distribución de U.
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6. Funciones de variables aleatorias
a). Funciones de una sola variable
Función de una variable discreta
Si X es una v.a. discreta con recorrido RX, entonces RX es un
conjunto contable de números reales y su imagen mediante ϕ será
también un conjunto contable. Por lo tanto si U = ϕ(X) es una v.a. es
también una v.a. discreta.
Teorema 1.1.
Sea X una v.a. discreta con función de cuantı́a PX y sea U = ϕ(X)
entonces la función de cuantı́a de U está dada por
PU (u) =
P
x∈Au
PX(x)
donde Au = {x / ϕ(X) = u} es decir: Au = ϕ−1(u)
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7. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.4.
Si se tiene 5 llaves de las cuales sólo una abre una puerta, si se intenta
abrir una por una sin reemplazamiento, sea X el número de ensayos o
intenyos necesarios para abrir la puerta y sea Y = ϕ(X) = 4X − 5. Si
Y es una v.a., halle su distribución de probabilidad.
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