Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo proposicional o de enunciados. Explica que este cálculo analiza las relaciones de inferencia entre proposiciones mediante el examen de la validez formal de las inferencias. Define los elementos del cálculo como variables proposicionales y constantes lógicas como el negador, conjuntor, disyuntor, condicional y bicondicional. Finalmente, introduce las reglas de formación y deducción natural como esquemas válidos de inferencia en la lógica proposicional.
Describimos el uso de tablas de verdad, as como las deniciones de los
principales conectivos logicos: :, ^, _, Y, ) y ,. Nos extendemos un
poco en la discusion del conectivo condicional ).
Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo proposicional, incluyendo las definiciones de proposición, proposición simple, proposición molecular, operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción inclusiva y exclusiva, condicional y bicondicional. También explica las formas proposicionales, tautologías, contradicciones, leyes del álgebra proposicional, circuitos lógicos y métodos de demostración como la demostración directa y por contrarreciproca.
Este documento presenta una introducción al cálculo proposicional. Explica que el cálculo proposicional estudia las relaciones lógicas entre proposiciones, que pueden interpretarse como afirmaciones con un valor de verdad de verdadero o falso. Define los conceptos básicos de proposición, valor lógico, operaciones veritativas y conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Finalmente, introduce los conceptos de circuitos combinatorios y tablas de ver
El documento explica los conceptos básicos de la lógica proposicional. Define una proposición como una expresión que puede ser verdadera o falsa. Introduce los conectivos lógicos como la conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. Explica cómo determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas usando estas operaciones lógicas a través de tablas de verdad. Finalmente, da ejemplos para practicar la evaluación de proposiciones compuestas.
Este documento introduce las proposiciones lógicas y los operadores lógicos. Explica que una proposición es una afirmación que es verdadera o falsa pero no ambas. Hay dos tipos de proposiciones: simples o atómicas que no pueden dividirse más, y compuestas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por operadores lógicos. Los tres operadores lógicos básicos son la conjunción, la disyunción y la negación.
Este documento explica conceptos lógicos como tautología, contradicción y contingencia. Una tautología es una expresión lógica que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de sus componentes. Una contradicción es siempre falsa. Una contingencia puede ser verdadera o falsa dependiendo de los valores de verdad. Para determinar si una expresión es una de estas, se construye una tabla de verdad.
Este documento presenta información sobre proposiciones, conectivos lógicos y tablas de verdad. Define proposiciones simples y compuestas, y describe los conectivos lógicos de negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica cómo construir tablas de verdad y proporciona ejemplos de términos lógicos como tautologías y contradicciones. También cubre conceptos como razonamiento lógico y métodos de demostración como directa e indirecta.
El documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional. Explica que una proposición puede ser atómica o molecular, y describe los conectivos lógicos como la conjunción, disyunción y negación. También introduce las tablas de verdad y las leyes de las proposiciones, como la equivalencia, identidad y dominancia.
Describimos el uso de tablas de verdad, as como las deniciones de los
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Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo proposicional, incluyendo las definiciones de proposición, proposición simple, proposición molecular, operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción inclusiva y exclusiva, condicional y bicondicional. También explica las formas proposicionales, tautologías, contradicciones, leyes del álgebra proposicional, circuitos lógicos y métodos de demostración como la demostración directa y por contrarreciproca.
Este documento presenta una introducción al cálculo proposicional. Explica que el cálculo proposicional estudia las relaciones lógicas entre proposiciones, que pueden interpretarse como afirmaciones con un valor de verdad de verdadero o falso. Define los conceptos básicos de proposición, valor lógico, operaciones veritativas y conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Finalmente, introduce los conceptos de circuitos combinatorios y tablas de ver
El documento explica los conceptos básicos de la lógica proposicional. Define una proposición como una expresión que puede ser verdadera o falsa. Introduce los conectivos lógicos como la conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. Explica cómo determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas usando estas operaciones lógicas a través de tablas de verdad. Finalmente, da ejemplos para practicar la evaluación de proposiciones compuestas.
Este documento introduce las proposiciones lógicas y los operadores lógicos. Explica que una proposición es una afirmación que es verdadera o falsa pero no ambas. Hay dos tipos de proposiciones: simples o atómicas que no pueden dividirse más, y compuestas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por operadores lógicos. Los tres operadores lógicos básicos son la conjunción, la disyunción y la negación.
Este documento explica conceptos lógicos como tautología, contradicción y contingencia. Una tautología es una expresión lógica que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de sus componentes. Una contradicción es siempre falsa. Una contingencia puede ser verdadera o falsa dependiendo de los valores de verdad. Para determinar si una expresión es una de estas, se construye una tabla de verdad.
Este documento presenta información sobre proposiciones, conectivos lógicos y tablas de verdad. Define proposiciones simples y compuestas, y describe los conectivos lógicos de negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica cómo construir tablas de verdad y proporciona ejemplos de términos lógicos como tautologías y contradicciones. También cubre conceptos como razonamiento lógico y métodos de demostración como directa e indirecta.
El documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional. Explica que una proposición puede ser atómica o molecular, y describe los conectivos lógicos como la conjunción, disyunción y negación. También introduce las tablas de verdad y las leyes de las proposiciones, como la equivalencia, identidad y dominancia.
Este documento presenta una introducción al álgebra a través de tres oraciones. Primero, define una proposición como una afirmación que puede ser verdadera o falsa. Segundo, distingue entre proposiciones atómicas, que no contienen otras proposiciones, y proposiciones moleculares, que están formadas por dos o más proposiciones unidas por conectivos lógicos. Tercero, introduce los conectivos lógicos como símbolos que unen proposiciones para formar nuevas proposiciones, y describe los conectivos de neg
Este documento describe diferentes conceptos lógicos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y métodos de demostración. Define una proposición como un juicio declarativo que puede ser verdadero o falso. Explica conectivos como la negación, conjunción, disyunción y condicional y sus tablas de verdad correspondientes. Finalmente, describe métodos de demostración como la demostración directa, indirecta, por reducción al absurdo y del contrarrecíproco.
Este documento describe las leyes de la lógica proposicional. Explica que las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas y que las proposiciones se pueden representar simbólicamente usando letras como p, q, r. También define proposiciones simples y compuestas y los conectivos lógicos como la conjunción y la disyunción que se usan para unir proposiciones.
Este documento describe los conceptos básicos de la lógica formal, incluyendo las definiciones de proposiciones atómicas y moleculares, los diferentes tipos de conectores lógicos (conjunción, disyunción, condicional, negación, bicondicional), y cómo estos afectan el valor de verdad de las proposiciones. También incluye tablas de verdad para cada conector lógico y ejemplos ilustrativos.
El documento introduce el cálculo de predicados como una extensión de la lógica proposicional que permite representar razonamientos cuya validez no puede establecerse con la lógica proposicional. Explica que el cálculo de predicados introduce predicados y funciones para representar las componentes de las proposiciones, como sujetos y predicados, permitiendo representar argumentos donde se utilizan partes de proposiciones. Finalmente, presenta los elementos básicos del alfabeto del cálculo de predicados, incluyendo símbolos para constant
Este documento describe los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo las clasificaciones de proposiciones (abiertas, cerradas, simples, compuestas), los conectores lógicos y sus símbolos, y cómo los valores de verdad de una proposición dependen del número de proposiciones simples que la componen.
Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del razonamiento y define conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, tautologías y contradicciones. También describe métodos de demostración en lógica matemática.
Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica que la lógica matemática utiliza lenguajes formales definidos artificialmente para formular enunciados sobre el mundo. Luego, se enfoca en la lógica proposicional, describiendo su sintaxis, los símbolos utilizados y las conectivas lógicas como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, incluyendo tablas de verdad para cada una. Finalmente, muestra cómo construir tablas de verdad
El documento define y proporciona ejemplos de diferentes tipos de proposiciones lógicas, incluidas proposiciones atómicas, moleculares y los diferentes operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. Explica que las proposiciones atómicas son simples mientras que las moleculares contienen operadores lógicos y los términos de enlace son los elementos que se usan para formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples.
Este documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Explica que una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas. Introduce los operadores lógicos de negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional, y provee sus tablas de verdad correspondientes. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar el uso de estos operadores lógicos.
El documento resume conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo definiciones de proposición, conectivos lógicos (negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional), tablas de verdad, y tipos de proposiciones (atómicas, moleculares). También explica cómo formalizar proposiciones usando símbolos lógicos y cómo construir tablas de verdad para evaluar proposiciones compuestas.
Este documento introduce la lógica de predicados como un sistema formal para estudiar la inferencia en lenguajes de primer orden. Explica conceptos como predicados, cuantificadores universales y existenciales, variables libres y ligadas, e interpretación semántica de expresiones mediante asignación de valores de verdad a predicados y términos del universo del discurso.
Una proposición es cualquier oración o enunciado que puede evaluarse como verdadero o falso. Las proposiciones pueden ser simples (no pueden dividirse) o compuestas (formadas por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional o bicondicional). Las tablas de verdad muestran los valores de verdad de las proposiciones compuestas en función de los valores de sus proposiciones componentes.
Este documento presenta conceptos básicos de lógica matemática, incluyendo definiciones de proposiciones lógicas, operadores lógicos como "y", "o", "si...entonces", tablas de verdad, tautologías, contradicciones y leyes lógicas como las leyes de De Morgan y la distribución.
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo tablas de verdad, fórmulas macromoleculares, tautologías, contradicciones e indeterminadas. También explica reglas lógicas como inferencias, equivalencias, silogismos y dilemas. Finalmente, muestra ejemplos de cómo resolver problemas lógicos sacando conclusiones a partir de premisas dadas.
La proposición se define como una cadena de signos expresados en un lenguaje que puede ser interpretada y referirse a entidades de la realidad. Existen proposiciones atómicas simples y proposiciones moleculares compuestas formadas por la unión de proposiciones más simples mediante conectivos lógicos. Los principales conectivos lógicos son la negación, la conjunción, la disyunción y la implicación, los cuales permiten construir proposiciones compuestas a partir de proposiciones más simples.
La lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lógicos:
1. La SINTAXIS de lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de axiomas.
2. La SEMÁNTICA de las lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.
3. Los ASPECTOS METALÓGICOS de las lenguas formales, como por ejemplo la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o la existencia de modelos de cierto tipo, etc.
INFORMATE MÁS, formate mejor, en La Academia programas oficiales, además, para completar tus estudios, Inefop, Cecap, Plan Rescate a ni-nis y Uruguay Estudia, todo presencial o a distancia.
EDUCACIÓN TÉCNICA A DISTANCIA: los DVD que preparamos son de nivel técnico profesional, superintensivos con fines de salida laboral inmediata, editados de modo accesible a quienes no han estudiado. Están editados para ser visualizados desde un DVD común, ideal para quien no cuenta con PC.
PROGRAMAS OFICIALES: Y si querés terminar tus estudios, a distancia podés con nuestros videotutoriales, cualquiera sea tu edad o nivel alcanzado. Diseñados para mantener un progreso PERMANENTE sostenido con calibraciones periódicas.
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1º TRABAJO: http://wp.me/3diS2
2º ENSEÑANZA: http://wp.me/2fnL3
3º CIENCIA: http://wp.me/3cLe9
Comunicate: tel. 4664 2047 academiapasodelostoros@gmail.com o en la red cliqueando aquí. https://www.facebook.com/pages/Academia-Paso-de-los-Toros-Prof-Slekis/179837692039031
Este documento presenta información sobre lógica proposicional. Explica conceptos como proposiciones atómicas y compuestas, tablas de verdad, conectivos lógicos, tautologías y contradicciones. También incluye ejemplos de conversiones entre diferentes sistemas de numeración como binario, decimal, octal y hexadecimal.
Este documento describe brevemente la contabilidad y sus objetivos principales. La contabilidad se ocupa del análisis y medición de patrimonios de individuos y empresas. Sus objetivos incluyen predecir ventas, evaluar ingresos y gastos, calcular impuestos, y determinar la producción necesaria. La contabilidad es importante porque indica información como cantidades de mercancía, ganancias, pérdidas e impuestos. Existen diferentes tipos como contabilidad financiera, fiscal, de costos, administrativa y por actividades.
Este documento describe la arquitectura cliente-servidor, explicando que permite integrar una amplia gama de productos y servicios de forma que puedan utilizarse eficazmente dentro de una organización. Señala que la selección del modelo de arquitectura debe basarse en el contexto tecnológico y organizativo, y que la arquitectura cliente-servidor requiere especialización de los componentes cliente y servidor.
Este documento presenta una introducción al álgebra a través de tres oraciones. Primero, define una proposición como una afirmación que puede ser verdadera o falsa. Segundo, distingue entre proposiciones atómicas, que no contienen otras proposiciones, y proposiciones moleculares, que están formadas por dos o más proposiciones unidas por conectivos lógicos. Tercero, introduce los conectivos lógicos como símbolos que unen proposiciones para formar nuevas proposiciones, y describe los conectivos de neg
Este documento describe diferentes conceptos lógicos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y métodos de demostración. Define una proposición como un juicio declarativo que puede ser verdadero o falso. Explica conectivos como la negación, conjunción, disyunción y condicional y sus tablas de verdad correspondientes. Finalmente, describe métodos de demostración como la demostración directa, indirecta, por reducción al absurdo y del contrarrecíproco.
Este documento describe las leyes de la lógica proposicional. Explica que las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas y que las proposiciones se pueden representar simbólicamente usando letras como p, q, r. También define proposiciones simples y compuestas y los conectivos lógicos como la conjunción y la disyunción que se usan para unir proposiciones.
Este documento describe los conceptos básicos de la lógica formal, incluyendo las definiciones de proposiciones atómicas y moleculares, los diferentes tipos de conectores lógicos (conjunción, disyunción, condicional, negación, bicondicional), y cómo estos afectan el valor de verdad de las proposiciones. También incluye tablas de verdad para cada conector lógico y ejemplos ilustrativos.
El documento introduce el cálculo de predicados como una extensión de la lógica proposicional que permite representar razonamientos cuya validez no puede establecerse con la lógica proposicional. Explica que el cálculo de predicados introduce predicados y funciones para representar las componentes de las proposiciones, como sujetos y predicados, permitiendo representar argumentos donde se utilizan partes de proposiciones. Finalmente, presenta los elementos básicos del alfabeto del cálculo de predicados, incluyendo símbolos para constant
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Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del razonamiento y define conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, tautologías y contradicciones. También describe métodos de demostración en lógica matemática.
Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica que la lógica matemática utiliza lenguajes formales definidos artificialmente para formular enunciados sobre el mundo. Luego, se enfoca en la lógica proposicional, describiendo su sintaxis, los símbolos utilizados y las conectivas lógicas como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, incluyendo tablas de verdad para cada una. Finalmente, muestra cómo construir tablas de verdad
El documento define y proporciona ejemplos de diferentes tipos de proposiciones lógicas, incluidas proposiciones atómicas, moleculares y los diferentes operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. Explica que las proposiciones atómicas son simples mientras que las moleculares contienen operadores lógicos y los términos de enlace son los elementos que se usan para formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples.
Este documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Explica que una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas. Introduce los operadores lógicos de negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional, y provee sus tablas de verdad correspondientes. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar el uso de estos operadores lógicos.
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1. La SINTAXIS de lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de axiomas.
2. La SEMÁNTICA de las lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.
3. Los ASPECTOS METALÓGICOS de las lenguas formales, como por ejemplo la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o la existencia de modelos de cierto tipo, etc.
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Este documento presenta información sobre lógica proposicional. Explica conceptos como proposiciones atómicas y compuestas, tablas de verdad, conectivos lógicos, tautologías y contradicciones. También incluye ejemplos de conversiones entre diferentes sistemas de numeración como binario, decimal, octal y hexadecimal.
Este documento describe brevemente la contabilidad y sus objetivos principales. La contabilidad se ocupa del análisis y medición de patrimonios de individuos y empresas. Sus objetivos incluyen predecir ventas, evaluar ingresos y gastos, calcular impuestos, y determinar la producción necesaria. La contabilidad es importante porque indica información como cantidades de mercancía, ganancias, pérdidas e impuestos. Existen diferentes tipos como contabilidad financiera, fiscal, de costos, administrativa y por actividades.
Este documento describe la arquitectura cliente-servidor, explicando que permite integrar una amplia gama de productos y servicios de forma que puedan utilizarse eficazmente dentro de una organización. Señala que la selección del modelo de arquitectura debe basarse en el contexto tecnológico y organizativo, y que la arquitectura cliente-servidor requiere especialización de los componentes cliente y servidor.
El documento describe el coltán, un mineral compuesto de colombita y tantalita que se utiliza en la industria electrónica y de telecomunicaciones. El coltán se extrae principalmente en la República Democrática del Congo, que contiene el 80% de las reservas mundiales. Se usa principalmente para fabricar condensadores gracias a sus propiedades eléctricas y se requiere para la producción de muchos dispositivos electrónicos como teléfonos, computadoras y juegos.
El documento describe un proyecto educativo que busca implementar estrategias pedagógicas mediadas por TIC para fortalecer las habilidades de escritura de estudiantes con disgrafía en una escuela primaria. El proyecto analiza las causas de la disgrafía, desarrolla objetivos y metodologías, y propone el uso de objetos virtuales de aprendizaje para mejorar las dificultades en la escritura.
1) El documento presenta varias fórmulas y conceptos matemáticos como integrales, derivadas y funciones.
2) Explica que las derivadas y integrales deben cumplir ciertas propiedades como ser lineales y continuas.
3) Resuelve algunos ejemplos numéricos aplicando las fórmulas presentadas.
Los seres vivos se relacionan entre síNora Giraldo
El documento describe las diferentes formas en que los seres vivos se relacionan entre sí, incluyendo la reproducción, depredación, competencia por territorio y alimento, y relaciones de mutualismo, comensalismo y parasitismo. Plantea preguntas sobre si ciertas interacciones corresponden a depredación, competencia o reproducción, y si otras son de mutualismo, comensalismo o parasitismo.
Este documento presenta un resumen de un tema sobre bajada de cargas en estructuras metálicas. Se detalla la información básica sobre el alumno Belmont Salvador Arturo del Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Tecamachalco que cursa la materia de Estructuras Metálicas en el grupo 6AV8 en turno vespertino.
The document provides details about several forts and palaces in Rajasthan, India. It begins with background on Mehrangarh Fort in Jodhpur, describing its size, location atop a hill, thick walls, gates, and the museum housed within. It then provides brief summaries of Umaid Palace in Jodhpur, Golden Fort in Jaisalmer known for its yellow walls, Nahargarh Fort in Jaipur built for retreat and hunting, and Jaigarh Fort built to protect Amber Fort with interconnected passages below.
Este documento trata sobre diferentes tipos de energía. Brevemente describe energías renovables como la solar, eólica, hidráulica y de biomasa. También cubre energías no renovables como los combustibles fósiles y la energía nuclear. Por último, explica conceptos como energía geotérmica, mareomotriz y algunas formas de generar energía en pequeñas cantidades como la fricción, reacciones químicas, presión y calor.
Actividad de aprendizaje unidad 3 requisitos e interpretacion de la norma iso...jorge arias
Este documento explica la unidad 3 de un programa de formación sobre la norma ISO 9001:2008. La unidad se enfoca en los requisitos e interpretación de la norma. Instruye a los participantes a identificar, interpretar y evidenciar el cumplimiento de los requisitos de la norma. Ellos deben completar una tabla detallando los requisitos o "debes" de varias secciones de la norma e indicar cómo darían cumplimiento a cada uno. El objetivo es que los participantes entiendan mejor la norma e implementen acciones en sus empresas para cu
Este documento describe las características anatómicas de la base del cráneo, incluyendo sus caras externa e interna, las tres fosas craneales y los principales forámenes y su contenido. La cara externa se divide en tres zonas - anterior, media y posterior - mientras que la cara interna contiene las fosas craneales anterior, media y posterior. Cada fosa aloja diferentes estructuras cerebrales y contiene numerosos forámenes por los que pasan vasos sanguíneos y nervios craneales.
Energia Eólica é a transformação da energia do vento em energia útil, tal como na utilização de aero geradores para produzir eletricidade, moinhos de vento para produzir energia mecânica ou velas para impulsionar veleiros.
Cisco asa 5500 x series migration options-asa 5555-x, asa 5525-x & asa 55...IT Tech
The document discusses Cisco's recommendations for migrating from older ASA 5500 firewall models like the ASA 5510, ASA 5520, and ASA 5550 to newer ASA 5500-X next-generation firewall models like the ASA 5515-X, ASA 5525-X, and ASA 5555-X. It provides comparison tables of features between the older and newer models, noting improvements in throughput, connections, interfaces, memory, and the ability of the newer models to run services like IPS and advanced security without extra hardware.
The document outlines the planned opening scene for a student film project. It will show a psychologically disturbed girl who appears lonely. The scene will be shot on March 11th. Mary will be the photographer, Lakshmi the actor, and Gabriella the editor. The film pitch is about the girl making a long-term bet with friends that turns sinister. The opening scene will consist of 10 shots showing the girl's disturbed mental state and hints that she has planned something threatening for her friends.
El pequeño dinosaurio se alejó de su manada siguiendo a un ave y se perdió. Mientras trataba de encontrar el camino de regreso, se encontró con dos dragones peleando y uno casi le lanza fuego. Asustado, corrió hasta encontrar refugio para dormir. A la mañana siguiente, fue asustado por monos saltarines antes de reencontrarse con su mamá bebiendo agua, aliviado de haberla encontrado.
Este documento describe dos sistemas de producción: lineal e intermitente. El sistema lineal produce altos volúmenes de un producto estandarizado de manera eficiente a través de una secuencia fija de procesos. El sistema intermitente produce una gran variedad de productos en lotes más pequeños y flexibles que pasan por departamentos variables, con una mayor diversidad pero menor eficiencia.
El documento introduce los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que una proposición es una afirmación sujeta a un valor de verdad, y que las proposiciones se clasifican en atómicas y moleculares. Las proposiciones atómicas son indivisibles, mientras que las moleculares están compuestas por proposiciones atómicas unidas por conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces", y "no". Finalmente, describe los símbolos y tablas de verdad de los principales
El documento introduce los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que una proposición es una afirmación sujeta a un valor de verdad, y que las proposiciones pueden ser atómicas o moleculares. Las proposiciones moleculares están compuestas por proposiciones atómicas unidas por conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces", y "no". Finalmente, describe los diferentes tipos de conectivos lógicos y sus tablas de verdad.
El documento proporciona una introducción a la lógica proposicional. Explica que la lógica simbólica sólo se interesa por los enunciados, que son oraciones que pueden ser verdaderas o falsas. Describe los argumentos lógicos y su forma, así como la lógica formal como ciencia abstracta que analiza la validez de los argumentos independientemente de su contenido. Finalmente, introduce los conceptos básicos del lenguaje formal de la lógica proposicional, incluyendo símbolos, reglas de form
El documento trata sobre la lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos usando un lenguaje formal. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha sido fundamental para los fundamentos de las matemáticas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la lógica proposicional. Define una proposición como un enunciado que puede ser verdadero o falso. Explica que la lógica proposicional estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples usando conectivas lógicas como la negación, conjunción, disyunción y condicional. También presenta tablas de verdad para estas conectivas y leyes lógicas como las leyes de Morgan y la distribución.
Este documento presenta los objetivos de una unidad sobre lógica proposicional. Los objetivos incluyen definir proposiciones y sus conectivos lógicos, identificar diferentes formas proposicionales, conocer las leyes del álgebra proposicional, y aplicar métodos de demostración. También explica qué son las proposiciones, sus conectivos como la negación, conjunción y disyunción, y cómo las formas proposicionales dependen del valor de verdad de sus proposiciones componentes y conectivos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo las definiciones de proposiciones, variables, constantes lógicas, tablas de verdad, y métodos de demostración. Explica que una proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa, y que las proposiciones se pueden combinar usando conectores lógicos como "y", "o", "no", para formar proposiciones compuestas. También resume los principales métodos de demostración en lóg
Este documento presenta los objetivos y contenidos de la Unidad 1 de la asignatura Estructura Discreta. Los objetivos generales son experimentar métodos de demostración directa e indirecta. Los objetivos específicos incluyen definir proposiciones, identificar conectivos lógicos, formas proposicionales y leyes del álgebra proposicional, y aplicar métodos de demostración. También explica conceptos como proposiciones, formas proposicionales como funciones de verdad, y métodos para probar leyes del ál
El documento presenta una introducción a la lógica formal, incluyendo sus elementos básicos como proposiciones, conectores lógicos y tablas de verdad. Explica que la lógica se basa en un lenguaje simbólico para formalizar el razonamiento y permite derivar nuevas inferencias a partir de conceptos iniciales siguiendo reglas definidas.
La lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos como conjuntos y números usando un lenguaje formal. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. Ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
El documento presenta tres temas principales: 1) introduce la lógica proposicional y su uso para modelar circuitos de caja negra, 2) explica los conceptos de razonamiento válido, verdad y validez, y 3) describe los símbolos utilizados en lógica proposicional como variables proposicionales y operadores lógicos como el negador, conjuntor, disyuntor, implicador y coimplicador.
1. El documento habla sobre la lógica proposicional y define qué es una proposición.
2. Explica que una proposición puede ser verdadera o falsa y presenta ejemplos de proposiciones simples y compuestas.
3. Describe los diferentes conectores lógicos (negación, conjunción, disyunción, condicional e implicación) que pueden unir proposiciones simples en proposiciones compuestas y cómo representarlos de forma abreviada.
Este documento presenta una introducción a la lógica, incluyendo definiciones, tipos de razonamiento lógico como silogismos, simbolización, tablas de valores de verdad, métodos abreviados y leyes lógicas. También describe conceptos como conjunción, disyunción, negación, condicionales y bicondicionales.
Este documento introduce los conceptos básicos de la lógica. Explica que la lógica estudia las formas del pensamiento humano y las proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Describe las proposiciones atómicas y compuestas, y las conectivas lógicas como la conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. También presenta las tablas de verdad y las leyes del álgebra de proposiciones.
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional. Define proposición, conectivos lógicos y sus símbolos. Explica las formas de proposiciones como negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional junto con sus símbolos y tablas de verdad. Finalmente, introduce la diferencia simétrica de conjuntos.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de la Unidad 1 de la asignatura Estructuras Discretas I. Introduce conceptos clave como proposición, conectivos lógicos, formas proposicionales y lógica proposicional. Explica que las formas proposicionales son funciones de verdad que dependen de si sus proposiciones componentes son verdaderas o falsas y de los significados de los conectivos lógicos que las unen. También menciona las leyes del álgebra proposicional y que estas pued
1. Se llama proposición a todo enunciado respecto del cual se puede determinar su valor de verdad como verdadero o falso.
2. Las proposiciones pueden ser simples o compuestas de varias proposiciones unidas mediante conectores lógicos como "y", "o", "si...entonces".
3. Los valores de verdad de una proposición compuesta se determinan mediante tablas de verdad que muestran todas las combinaciones posibles de los valores de las proposiciones simples que la componen.
El documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica conceptos como proposiciones, tablas de verdad, conectivos lógicos como AND, OR, condicionales y bicondicionales. También define tipos de proposiciones como tautologías, contradicciones y leyes notables de la lógica como la doble negación y las leyes de asociatividad.
1. La lógica estudia la forma del razonamiento y determina si un argumento es válido mediante reglas y técnicas. 2. Se aplica ampliamente en filosofía, matemáticas, computación y física para determinar la validez de razonamientos y demostrar teoremas. 3. Cualquier tarea que involucre un procedimiento, como ir de compras o pintar una pared, implica la aplicación de la lógica.
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Espero que esta información sea útil para quienes la lean y les ayude a comprender mejor las TIC y su impacto en nuestra vida cotidiana.
1. 9
4. EL CÁLCULO DE PROPOSICIONES Y DE PREDICADOS
¬→ν^↔
“Ser o no ser, esa es la cuestión.”
William Shakespeare
1. CONCEPTO DE CÁLCULO.
1.1 ELEMENTOS DEL CÁLCULO.
1.2 REGLAS DE FORMACIÓN.
1.3 REGLAS DE TRANSFORMACIÓN.
1.4 CARACTERÍSTICAS.
2. EL CÁLCULO DE PROPOSICIONES O ENUNCIADOS.
2.1 NOCIONES BÁSICAS Y ELEMENTOS.
2.2 LA LÓGICA PROPOSICIONAL COMO CÁLCULO DE DEDUCCIÓN NATURAL.
3. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PROPOSICIONES.
4. EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE ARGUMENTOS.
5. BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS WEB.
2. 9
1. CONCEPTO DE CÁLCULO.
El concepto de cálculo, sus elementos, reglas de formación y de transformación, así como sus
características, fueron explicados en el tema anterior sobre el lenguaje natural y los lenguajes formales. Ahora
aplicaremos la noción de cálculo para estudiar la formalización o esquematización de nuestra forma natural
de razonar o argumentar lógicamente.
2. EL CÁLCULO DE PROPOSICIONES O ENUNCIADOS.
2.1 NOCIONES BÁSICAS Y ELEMENTOS.
2.1.1 ENUNCIADOS Y CONECTIVAS.
El cálculo base sobre el que se construye todo el edificio lógico es el cálculo proposicional o de
enunciados. Consiste en el análisis lógico, dispuesto como cálculo, de las relaciones de inferencia entre
proposiciones, es decir, los resultados formales del examen de la validez formal de las inferencias mediante
las cuales deducimos un enunciado tomado en bloque de otro enunciado tomado en bloque.
Debemos distinguir entre forma y contenido de un razonamiento. Puede haber distintos razonamientos
que tienen una forma común siendo sus contenidos diferentes. A partir de esta distinción debemos establecer
la distinción entre dos tipos de signos: las constantes lógicas, que expresan formas iguales en distintos
argumentos, y las variables proposicionales, que expresan los posibles contenidos concretos. Veamos un
ejemplo con dos argumentos:
-“Si llueve (proposición1), entonces las calles se mojan (proposición2).
Llueve (prop1).
Por tanto, las calles se mojan (prop2).”
-“Si el agua de la fuente se congela (prop1), entonces estamos bajo cero (prop2).
El agua de la fuente está congelada (prop1).
Por tanto, estamos bajo cero (prop2).”
El contenido de ambos argumentos es diferente, uno habla sobre la lluvia y las calles mojadas, mientras
que el otro sobre el agua congelada y la temperatura. Pero ambos tienen una estructura común: Si
“proposición1”, entonces “proposición2. “Proposición1”. Por tanto, “proposición2”.
El contenido de ambos se corresponde con las variables proposicionales, mientras que la forma o
estructura en común se corresponde con las constantes lógicas.
La lógica estudia la forma de los argumentos, por lo que prescinde de los contenidos de los distintos
enunciados, pero no puede prescindir de la idea de contenido. La forma de los razonamientos es el modo en
que los enunciados se relacionan entre sí. El contenido, en cambio, son los enunciados mismos.
2.1.2 LENGUAJE LÓGICO Y LENGUAJE COTIDIANO.
¿Podemos decir que las constantes lógicas del cálculo corresponden estrictamente a las conjunciones
del lenguaje ordinario? La respuesta es que no. Cada constante lógica no se corresponde a una única
conexión entre enunciados en el lenguaje ordinario, ni tampoco todas las conexiones del lenguaje ordinario
tienen una traducción al lenguaje lógico. La “traducción” del lenguaje natural al lenguaje lógico recibe el
nombre de formalización de enunciados o proposiciones. Veamos un ejemplo:
“Cuando uno no tiene imaginación, la muerte es poca cosa;
cuando uno la tiene, la muerte es demasiado1
”
Se puede formalizar así: (¬p→q)^ (p→¬q)2
La lógica es un lenguaje artificial y por tanto restringido, con un radio de expresión corto. Esto le
permite una precisión mayor. Como la lógica tiene como objeto de estudio la validez formal de las
inferencias, es necesario un estudio del lenguaje en el que se realizan las inferencias. De este estudio surge el
lenguaje artificial de la lógica. La lógica basa su análisis del lenguaje natural en los elementos relevantes para
la validez formal de los argumentos y nada más. El resultado es un lenguaje formal que integra los elementos
del lenguaje natural en la estructura del cálculo. Vamos a exponer los elementos y el funcionamiento de ese
cálculo.
1
Louis-Ferninand Céline, Viaje al fin de la noche.
2
Más adelante analizaremos en profundidad la formalización de expresiones del lenguaje natural.
3. 9
2.1.3 SIMBOLIZACIÓN.
Los enunciados serán representados en el cálculo por medio de variables, designadas por letras
minúsculas del alfabeto a partir de la “p”: p, q, r… Estas letras recibirán el nombre de variables
proposicionales. Ejemplos:
-“Júpiter gira alrededor del Sol”= p
-“El Támesis es un río”= q
-“Suiza es un país europeo”= r
Las constantes lógicas, conectivas o conectores del cálculo proposicional son:
• Negador: Representado por el símbolo “¬”, puede ser considerado como la partícula “no” del
lenguaje ordinario o natural. Se le puede añadir a cualquier proposición, que pasa a
denominarse “no p”: “¬p”. Si p es verdadera, su negación será falsa, y viceversa. Podemos
expresarlo en la siguiente tabla de verdad, donde “1” es igual a “verdadero” y “0” es igual a
“falso”.
p ¬p
1 0
0 1
(La tabla indica que cuando la p es verdadera, su negación ¬p es falsa, mientras que si la p es
falsa, ¬p será verdadera)
• Conjuntor: Representado por el símbolo “^”, recibe el nombre de conjuntor o producto lógico;
puede ser considerado como la versión formal de la partícula del lenguaje ordinario “y”. La
expresión “p^q” se lee “p y q”, y es verdadera sólo si sus dos componentes lo son al mismo
tiempo:
p q p^q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
• Disyuntor: Representado por el símbolo “ν”, recibe el nombre de disyuntor o suma lógica, y
puede considerarse como uno de los usos de la partícula “o” del lenguaje ordinario3
. Este uso
es el no excluyente. La expresión “pνq” se lee “p o q”, y es verdadera cuando al menos una
de las dos proposiciones lo es, mientras que es falsa sólo si lo son las dos a la vez.
p q pνq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
• Condicional: El símbolo “→” se denomina condicional o implicador y puede considerarse
como una formalización, aunque imparcial e incompleta de la expresión del lenguaje
ordinario “si… entonces…”. Se forma uniendo dos proposiciones con el símbolo “→”: “p→q”,
que se lee “si p, entonces q”. La proposición que está antes del condicional se llama
“antecedente”, mientras que la que le sigue después se denomina “consecuente”. El lenguaje
ordinario permite expresar un condicional de muchas maneras:
-“Siempre que se va a hacer la revolución acaba luego no haciéndose.”
-“Para poder morir, basta con haber nacido.”
-“Cuando se compara Sodoma con Gomorra, sale ganando la segunda.”
-“Bien pensado, no hay por qué pensar bien.”
-“Como siga siendo tan feliz, acabará suicidándose.”
-“Se convertirá en un ideólogo, con tal de que le paguen.”
-“En no habiendo vino, no hay ya amor.”
-“Tú dedícate al amor libre y verás cómo te sorprende la muerte en pecado mortal.”
3
Los dos usos de la partícula “o” son: El uso excluyente: “o ganas, o pierdes”, donde sólo puede darse uno de los dos. Y el
uso no excluyente: “vas al cine o vas al teatro”, donde pueden darse uno, otro, los dos a la vez o ninguno de los dos. Éste
último es el uso que le vamos a dar en nuestro cálculo proposicional.
4. 9
-“De haber sabido que iban a triunfar, me hubiera apuntado.”
-“En caso de que necesites algo, no me lo pidas.”
Todas estas expresiones se pueden reducir, desde el punto de vista lógico a p→q (si p,
entonces q):
-“Si se va a hacer la revolución, entonces acaba luego no haciéndose.”
-“Si se ha nacido, entonces se muere.”
-“Si se compara Sodoma con Gomorra, entonces sale ganando la segunda.”
-“Si bien se piensa, entonces no hay por qué pensar bien.”
-“Si sigue siendo tan feliz, entonces acabará suicidándose.”
-“Si le pagan, entonces se convertirá en un ideólogo.”
-“Si no habiendo vino, entonces ya no hay amor.”
-“Si te dedicas al amor libre, entonces verás cómo te sorprende la muerte en pecado
mortal.”
-“Si hubiera sabido que iban a triunfar, entonces me hubiera apuntado.”
-“Si necesitas algo, entonces no me lo pidas.”
Un condicional es verdadero siempre que no se dé el caso de que su antecedente sea
verdadero y su consecuente falso al mismo tiempo, y es falsa sólo si se da esta circunstancia.
p Q p→q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
• Bicondicional: Se representa como “↔“ y se denomina bicondicional o coimplicador. En el
lenguaje matemático no formalizado se usa frecuentemente la expresión ”si y sólo si”, que se
considera sinónima de “equivale”. La expresión “p↔q” se lee como “si y sólo si p, entonces q”,
y es verdadera cuando sus dos componentes son verdaderos o cuando ambos son falsos al
mismo tiempo; en cambio es falsa cuando uno de sus componentes es verdadero y el otro
falso.
p q p↔q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2.1.4 REGLAS DE FORMACIÓN.
Las reglas de formación definen qué expresiones son fórmulas: expresiones bien formadas del cálculo
proposicional. Dichas reglas parten de una primera: una proposición cualquiera es una fórmula o expresión
bien formada del cálculo. Cuando la proposición está formada por una letra se denomina fórmula atómica:
p es una fórmula atómica. La unión de una fórmula atómica con otras por medio de las conectivas se
denomina fórmula molecular. Así, una fórmula molecular sería “p^q”, “¬p” o incluso “p^q→¬p”.
Una fórmula o expresión bien formada del cálculo es un símbolo o serie de símbolos de los definidos
anteriormente (letras de enunciados y conectivas) que se atiene estrictamente a las siguientes reglas de
formación:
• Regla 1. Una fórmula atómica (“p”) es una fórmula.
• Regla 2. Si “A” es una fórmula, “¬A” también es una fórmula. Donde “A” puede ser tanto una
fórmula atómica como molecular.4
• Regla 3. Si “A” y “B” son fórmulas, entonces “A^B”, “AνB”, “A→B”, “A↔B” son también fórmulas.
• Regla 4. Nada más es una fórmula.
2.1.5 SÍMBOLOS Y NOCIONES ADICIONALES.
4
Por ejemplo “A” puede ser la fórmula atómica “p” o una fórmula molecular como “p^q”. Otras fórmulas moleculares
pueden ser “¬p” o “(p^q)→ (p^q)”.
5. 9
Para expresar mejor y sin ambigüedades la estructura interna de las fórmulas se usan paréntesis que
delimitan exactamente el conjunto de fórmulas afectadas por cada signo lógico. La expresión “p^qνr”
puede resultar ambigua porque no sabemos si la conectiva principal es una conjunción “^” o una disyunción
“ν”. No es lo mismo p^(qνr), cuya conectiva principal es una conjunción, que la disyunción (p^q)νr” 5
. En la
práctica hay unas convenciones que simplifican el uso de los paréntesis, permitiéndonos prescindir de
algunos:
• Suprimir los paréntesis exteriores: (p→q) = p→q; (p^q) = p^q
• Omitir paréntesis internos en el caso de reiteración del conjuntor o el disyuntor:
p^(q^r) = p^q^r
pν(qνr) = pνqνr
• Otorgar preponderancia al condicional y al bicondicional sobre el conjuntor y el disyuntor:
(p^q)→r = p^q→r (Podemos prescindir de los paréntesis porque el condicional prima sobre el conjuntor)
p^(q→r) = p^(q→r) (El paréntesis indica que la conectiva principal es el conjuntor)
2.2 LA LÓGICA PROPOSICIONAL COMO CÁLCULO DE DEDUCCIÓN NATURAL.
2.2.1 Deducción natural. Reglas.
La lógica expresa los resultados de su análisis en forma de leyes que expresan esquemas válidos de
inferencia6
. Estos esquemas o reglas de inferencia son como “moldes correctos de razonamiento”, cuya
forma o estructura puede adoptar diferentes maneras, siendo la más común:
Premisa 1 A→B (Las letras mayúsculas representan cualquier fórmula dada, sea
Premisa 2 A atómica o molecular)
Conclusión B
Estos esquemas deben cumplir con un requisito fundamental: interpretadas sus variables con
proposiciones cualesquiera, si los enunciados de las premisas son verdaderos, también debe ser verdadero el
enunciado que aparece en la conclusión. Veamos el ejemplo:
En primer lugar interpretamos las variables de los esquemas:
A→B p→q “Si llueve, entonces las calles se mojan”. (p = llueve; q = las calles se mojan)
A p “Llueve”.
B q “Las calles se mojan”.
Una vez interpretadas, tenemos que cumplir el requisito fundamental: si las premisas son verdaderas,
entonces la conclusión también debe ser verdadera. Es decir, que si tomamos que “Si llueve, entonces las
calles se mojan” y “Llueve” son verdaderas, la conclusión “Las calles se mojan” debe ser necesariamente
verdadera.
Los esquemas o reglas de inferencia pueden sistematizarse en un cálculo de deducción natural, es
decir, formar un sistema o conjunto estructurado de reglas que se corresponden con la esquematización del
“modo natural” de razonar. Esta sistematización supone seleccionar un conjunto pequeño de “reglas
básicas” y a partir de ellas derivar, obtener mediante inferencias un conjunto mayor de otras “reglas
derivadas”.
En una inferencia o deducción nos podemos encontrar unos supuestos y unas reglas de inferencia. Los
supuestos pueden ser premisas (denominados también supuestos previos) o bien supuestos provisionales, que
sirven momentáneamente de apoyo en el desarrollo de la deducción, pero siempre deben cancelarse o
cerrarse al final de la deducción. Veamos con más detenimiento en qué consiste ésto. El cálculo de
deducción natural es una secuencia finita de fórmulas; cada una de ellas es un supuesto previo, un supuesto
provisional o una fórmula deducida de otra u otras anteriores por aplicación de una de las reglas. La
conclusión se nos da de antemano, de lo que se trata es de demostrar la conclusión a partir de las premisas
dadas.
La deducción se realizaría así:
a) Se numeran en la izquierda a partir del número 1.
b) Las premisas se ponen en primer lugar, señalándose con un guión a la izquierda del número.
5
Para comprobarlo podemos recurrir a la tabla de verdad de la disyunción y la conjunción. Intuitivamente podemos
comprobar que la expresión “voy al cine y compro palomitas o me quedo en casa” no significa lo mismo si la conectiva
principal es una conjunción o una disyunción.
6
Una inferencia es un razonamiento, una argumentación racional; también se denomina deducción lógica.
6. 9
c) Los supuestos provisionales se señalan con un ángulo recto (┌) antes del número que se unirá con
un línea recta a otro ángulo (└) correspondiente a la línea que los cancela.
d) Se pone a la derecha un comentario: las siglas de la regla por la que se infiere la línea y los
números de las líneas a las que se ha aplicado la regla.
Veámoslo en el siguiente ejemplo:
A partir de las premisas “(p→q)^p” y “p”, demostrar “q”. Esto se escribiría así: (p→q)^p, p├─ q
Comenzamos escribiendo las premisas en las primeras líneas, siguiendo el orden establecido. En la
última línea debe aparecer la conclusión debidamente justificada por el uso de las reglas y los supuestos
provisionales.
-1. (p→q)^p (El guión a la izquierda del número 1 indica que es una premisa o supuesto previo)
-2. p (El guión a la izquierda del número indica que también es una premisa)
3. p→q E^1 (El comentario dice que se ha aplicado la regla de eliminación del conjuntor en 1)
4. q MP2,3 (Aquí dice que se ha aplicado la regla del modus ponens para eliminar el → en las
Líneas 2 y 3)
La deducción es correcta, pues a partir de las premisas hemos obtenido la conclusión aplicando las
reglas del cálculo. Pero para comprender cómo se ha conseguido la deducción, debemos conocer antes las
reglas básicas.
2.2.2 Reglas básicas
Las reglas básicas son las ocho seleccionadas por Gentzen, dos para cada unas de las cuatro
conectivas (¬, →, ν, ^), una de introducción y otra de eliminación.
*ELIMINACIÓN DEL CONJUNTOR (EC) o Simplificación (Simpl.)
A^B A^B Siempre que tengamos A^B, podemos eliminar ^
A B y quedarnos con A o B por separado.
Si una conjunción es verdadera, también lo deben ser cada uno de sus miembros (véase la tabla de
verdad)
*INTRODUCCIÓN DEL CONJUNTOR (IC) o Producto Lógico (Prod.)
A A Siempre que encontremos la fórmula A y la B por separado,
B B las podemos tener en conjunción, en el orden que sea.
A^B B^A
Si podemos afirmar dos verdades por separado, también podemos afirmar la verdad de su unión.
*ELIMINACIÓN DEL CONDICIONAL (EI) o Modus Ponens (MP)
A→B Siempre que encontremos la fórmula A→B y A, eliminar → y quedarnos con B.
A
B
*INTRODUCCIÓN DEL CONDICIONAL (IC) o Teorema de la Deducción (TD)
┌ A Si de un supuesto provisional A y de un conjunto de fórmulas, que puede ser vacío,
│ - obtenemos B, podemos decir que A→B.
│ -
└ B
A→B
*ELIMINACIÓN DEL NEGADOR (EN) o Doble negación (DN)
¬¬A Negar dos veces una cosa es afirmarla.
A
*INTRODUCCIÓN DEL NEGADOR (IN) o Reducción al absurdo (Abs.)
┌ A Si de un supuesto provisional A y de un conjunto de fórmulas, que puede ser vacío,
│ - obtenemos una contradicción B^¬B, el supuesto debe ser negado porque es inadmisible.
7. 9
│ -
└ B^¬B
¬A
No es posible afirmar una cosa y su negación al mismo tiempo, por el principio de no contradicción.
*ELIMINACIÓN DEL DISYUNTOR (ED) o Prueba por casos (Cas.)
AνB Si de todos los casos de una disyunción se sigue la misma conclusión C,
┌ A podemos afirmarla sin miedo a equivocarnos.
│ -
└ C
┌ B
│ -
└ C
C
*INTRODUCCIÓN DEL DISYUNTOR (ID) o Adición (Ad.)
A B A cualquier fórmula A puede introducirse un disyuntor con cualquier
AνB AνB fórmula B.
Si tenemos una fórmula verdadera, su valor de verdad no cambia al añadirle cualquier otra fórmula
por medio de disyuntor.
2.2.3 Resolución de argumentos.
El uso de reglas básicas es suficiente para resolver todo problema deductivo que tenga solución. Pero
debemos seguir una serie de estrategias en el uso de las reglas.
1) Asegurarse de la correcta formalización de un argumento si este ha sido traducido del lenguaje
ordinario.
2) Una vez dispuestas en columna y ordenadas las premisas se intentará extraer de éstas la
conclusión o las fórmulas que puedan acercarnos a ellas por sucesivas aplicaciones de las reglas.
3) Si no se puede extraer directamente la conclusión de las premisas, intentarlo utilizando supuestos
provisionales. Si la fórmula intermedia que necesitamos es un condicional, suponemos el
antecedente y si llegamos a su consecuente, aplicamos el Teorema de la Deducción. Si la
fórmula intermedia necesaria para llegar a la conclusión es un disyunción, debemos suponer sus
miembros y usar la Prueba por casos.
4) Si fallan estos intentos, se puede recurrir a la deducción indirecta, suponiendo la negación de la
conclusión y aplicando la reducción al absurdo.
2.2.4 Reglas derivadas y resolución de argumentos.
La resolución de argumentos se facilita y abrevia si se añaden a las reglas básicas de Gentzen otras
nuevas que se basan o derivan de ellas, por lo que reciben el nombre de reglas derivadas. Estas reglas
expresan leyes lógicas:
*Ley del silogismo hipotético:
A→B
B→C
A→C
*Principio de identidad:
A
A
*Ley de contraposición:
A→B
¬B→¬A
*Introducción de la doble negación:
8. 9
A
¬¬A
*Principio de no contradicción:
¬(A^¬A)
*Modus tollens:
A→B
¬B
¬A
*Silogismo disyuntivo:
AvB AvB
¬B ¬A
A B
*Leyes De Morgan:
¬(A^B) ¬(AvB)
¬Av¬B ¬A^¬B
*Principio de tercero excluido:
Av¬A
3. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PROPOSICIONES.
3.1 FUNCIONES DE VERDAD.
Una deducción es correcta cuando la verdad de sus premisas implica la verdad de su conclusión. La
semántica trata de las interpretaciones de las fórmulas. En lógica, la interpretación de un enunciado o
proposición será su valor de verdad.
Una fórmula atómica es una fórmula compuesta por una sola variable proposicional. Una fórmula
molecular es una fórmula compuesta por una o varias variables proposicionales y una o varias conectivas. En
el cálculo de proposiciones es posible determinar exactamente el valor de verdad de una fórmula molecular
a partir del valor veritativo del de las fórmulas atómicas que la componen y de las definiciones de las
conectivas. El valor “verdadero” se representa con un “1”, mientras que el valor “falso” con un “0”.
3.2 TABLAS DE VERDAD.
Las funciones de verdad pueden representarse mediante tablas. Ya presentamos ejemplos de tablas al
definir las conectivas. Veamos ahora cómo se construyen para fórmulas más complejas.
El primer paso para construir una tabla es calcular el número de filas que debe tener para recoger
todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de los enunciados que las componen. Siendo “n”
el número de variables proposicionales de una fórmula, el número de filas es de “2n
”.
El segundo paso es la determinación del número de columnas. La tabla debe tener una columna por
cada uno de los elementos diferentes entre sí del conjunto de sus subfórmulas y una para la fórmula
completa.
El tercer paso es construir el encabezamiento de la tabla, que debe contener todas las subfórmulas
ordenadas de izquierda a derecha, de las fórmulas atómicas a las más complejas, terminando en el extremo
derecho con la fórmula completa que analizamos.
El cuarto paso atribuir los valores de verdad a las variables proposicionales de las columnas iniciales,
que deben recoger todas las posibles combinaciones de valores posibles, para lo que se utilizará la siguiente
estrategia: Se divide entre dos el número de filas de la tabla, colocándose primero los unos seguidos y luego
9. 9
los ceros; si hubiera una segunda columna se divide el número total por cuatro y se van colocando primero
los unos y después los ceros; si hubiera una tercera columna la división sería entre ocho y así sucesivamente.
El quinto paso es la elaboración de las columnas intermedias correspondientes a cada una de sus
subfórmulas, a partir de los valores de verdad de las variables proposicionales y las definiciones de las
conectivas. Se comienza por las variables negadas, luego por las subfórmulas con dos variables unidad por
una conectiva y así sucesivamente, en orden inverso a la complejidad de las subfórmulas, es decir, de las
más simples a las más complejas.
El sexto y último paso es atribuir el valor de verdad a la última fórmula, que es la fórmula analizada, la
más compleja, a partir de las columnas de las subfórmulas.
Sea la fórmula que quiero analizar (p^q)^(¬rv¬p), aplico los pasos y obtengo esta tabla:
p q r ¬p ¬r p^q ¬rv¬p (p^q)^(¬rv¬p)
1 1 1 0 0 1 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1 0
3.3 TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.
Al observar la última columna de una tabla de verdad podemos ver tres tipos de resultados:
a) Sólo valores positivos (unos). Son las tautologías.
b) Sólo valores negativos (ceros). Son las contradicciones.
c) Valores de los dos tipos. Son las contingencias o indeterminaciones.
3.4 INTERDEFINICIÓN DE CONECTIVAS.
Las conectivas son interdefinibles entre sí a partir de los valores de verdad, es decir, que cuando dos
tablas de verdad son idénticas, podemos decir que dos fórmulas son equivalentes, porque tienen el mismo
valor de verdad. Estas definiciones reciben el nombre de leyes de interdefinición, y pueden usarse como
leyes derivadas. Son de varios tipos, según en qué conectivas se basen:
a) Basadas en ¬ y ^:
AvB=¬(¬A^¬B) Df.
A→B=¬(A^¬B) Df.
b) Basadas en ¬ y v
A^B=(¬Av¬B) Df.
A→B=¬AvB Df.
c) Basadas en ¬ y →
A^B=¬(A→¬B) Df.
AvB=¬A→B Df.
AvB=¬B→A Df.
AvB=(A→B)→B Df.
AvB=¬((A→B)→¬(B→A) Df.
4. EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE ARGUMENTOS.
4.1 FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES.
Formaliza las siguientes proposiciones:
10. 9
1. Si el instinto de conservación y la tendencia al incremento en el ser es un elemento originario,
entonces el bien será aquello que conserva e incrementa nuestro ser, y el mal aquello que lo
perjudica y lo destruye. (Zenón de Citio)
2. La muerte no tiene importancia. Si estoy existiendo entonces la muerte no está presente, y si la
muerte está presente, entonces yo no estoy existiendo. Por tanto, si la muerte no está presente o sí
lo está, no tiene importancia alguna. (Epicuro)
3. No es posible ser y no ser al mismo tiempo. (Parménides)
4. Hay cosas producidas para lograr una finalidad y otras que ocurren por azar. Aquello que se ha
constituido para lograr un objetivo y un fin, necesita una inteligencia que lo haya producido
previamente. Es decir, si hay cosas que tienen una finalidad, entonces deben tener una causa
previa que les haya dado tal finalidad (una Inteligencia o Dios). Por tanto, existe una causa previa
que da la finalidad. (Jenofonte)
5. Todos los artífices de esta tierra aparecen junto a sus obras. Si los artífices de las cosas de la tierra
aparecen junto a sus obras, la causa previa de las cosas debería verse. Sin embargo, la causa
previa de las cosas es invisible. Por tanto, no es cierto que todos los artífices de esta tierra
aparezcan junto a sus obras. (Sócrates)
5. BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS WEB.
• Deaño, A. Introducción a la lógica formal, Madrid, Alianza, 1980.
• Eco, U. Tratado de semiótica general, Barcelona, Lumen, 1981.
• Ferrater Mora, J. Diccionario de filosofía, Madrid, Alianza, 1982.
• Ferrater Mora, J. Indagaciones sobre el lenguaje, Madrid, Alianza, 1980.
• Garrido, M. Lógica simbólica, Madrid, Tecnos, 1983.
• Haak, S. Filosofía de las lógicas, Madrid, Cátedra, 1982.
• Hierro Pescador, J. Elementos de filosofía del lenguaje, Madrid, Alianza, 1985.
• Hierro Pescador, J. “Lenguaje”, en Quintanilla, M. A. (dir.) Diccionario de filosofía
contemporánea, Salamanca, Sígueme, 1976.
• Jakobson, R. Lingüística y poética, Madrid, Cátedra, 1983.
• Ortiz-Osés, A. “Comunicación”, en Quintanilla, M. A. (dir.) Diccionario de filosofía
contemporánea, Salamanca, Sígueme, 1976.
• Russell, B. El conocimiento humano, Barcelona, Orbis, 1983.