Este documento define conceptos básicos de conjuntos como elementos, pertenencia, unión e intersección. Explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos y diferenciables, y que la pertenencia se denota con el símbolo de pertenencia. También describe formas de definir conjuntos como enumerando sus elementos o diciendo su propiedad característica, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y complemento.
Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales se llaman Elementos., también se le puede llamar: miembros, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”.
Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la palabra elementos del conjunto A, se escribe:
x ∈ A.
Que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:
x ∉ A.
Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:
A = { 2, 3, 5}
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:
A= {a, c, b}
B= {primavera, verano, otoño, invierno}
Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales se llaman Elementos., también se le puede llamar: miembros, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”.
Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la palabra elementos del conjunto A, se escribe:
x ∈ A.
Que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:
x ∉ A.
Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:
A = { 2, 3, 5}
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:
A= {a, c, b}
B= {primavera, verano, otoño, invierno}
Le damos el significado que le da el lenguaje usual, como una colección de objetos cualesquiera. Así, el conjunto formado por los números 1,2,3,4, entre otros.
1. Universidad “Fermin Toro”
Sistema interactivo de Educación a Distancia
Escuela de Ingeniería
Cabudare
Alumna:
Valeska Salazar C.I: 18.030.391
Profesor: Domingo Mendez
Enero, 2013
2. Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien
definidos y diferenciables entre si, que se llaman
elementos del mismo. Si a es un elemento del
conjunto A se denota con la relación de
pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se
denota aÏ A.
3. Es el conjunto formado por todos los elementos
del tema de referencia. Se simboliza con U y se
representa gráficamente con un rectángulo.
Por extensión: enumerando todos y cada uno de
sus elementos.
Por comprensión: diciendo cuál es la propiedad
que los caracteriza.
4. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por
extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pÎ Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es
una parte de B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.Dos
conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad
característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y
se denota à (A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A).
5. Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces à (A) = {Æ ,{a},{b},A}.Si a Î A entonces {a} Îà (A).
6. Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A |
a Ï B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B :=
(A - B) È (B - A).Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le
llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
Æ'=U.
U'=Æ.
(A')' = A .
A Í B Û B' Í A' .
Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U |
p(x) es una proposición falsa}.
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que
son elementos de A o de B,
es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.Se llama intersección de dos conjuntos A
y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.
7. Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es
fácil ver que A B = A B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección)
verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia A A=A A A=A
2.- Conmutativa A B=B A A B=B A
A (B C)=(A B A (B C)=(A B
3.- Asociativa
) C ) C
4.- Absorción A (A B)=A A (A B)=A
A (B C)=(A B A (B C)=(A B
5.- Distributiva
) (A C) ) (A C)
6.-
Complementarie A A' = U A A' =
dad