Conjunto, Operaciones con Conjuntos, Números Reales, Desigualdades, Definición de Valor Absoluto, Desigualdades de Valor Absoluto

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto- Estado Lara
NUMEROS REALES Y PLANO NUMERICO
Autor:
Roas López Franyinex.
C.I. Nro.: 30.014.183.
Aula. 0103.
PNF. Contaduría Pública

2. DEFINICION DE CONJUNTOS
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí
características y propiedades semejantes. Se representan con una letra mayúscula y a los
elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o paréntesis.
({,}).

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11}
la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

4. NUMEROS REALES
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal
periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo;
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π también es real.
Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen expansión
decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión decimal periódica se llaman
números Racionales y los números que tienen expansión decimal no periódica se llaman Irracionales.
En consecuencia a, b y c son números racionales y d, e, f y g son números irracionales.

5. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
 Propiedad: Conmutativa.
Operación: Suma y Resta
a+b = b+a
 Propiedad: Asociativa
Operación: Suma y Multiplicación
a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c
 Propiedad: Identidad
Operación: Suma y Multiplicación
a + 0 = a------ a x 1= a
 Propiedad: Inversos
Operación: Suma y Multiplicación
a + (-a) = 0------(a)1/a=1
 Propiedad: Distributiva
Operación: Suma respecto a Multiplicación
a (b + c) = ab + a c
Propiedades de las igualdades
 Propiedad Reflexiva
Establece que toda cantidad o
expresión es igual a sí misma.
Ejemplo: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
 Propiedad Simétrica
Consiste en poder cambiar el orden de
los miembros sin que la igualdad se
altere.
Ejemplo:
Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a - b = c, entonces c = a – b
Si x = y, entonces y = X

6. INECUACIONES
Inecuaciones
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno
de estos signos:
< Menor que 2x − 1 < 7
≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> Mayor que 2x − 1 > 7
≥ Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.

7. Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación
resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x <1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la
inecuación resultante es equivalente ala dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo,
inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
−x< 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5

8. DESIGUALDADES
Es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser
iguales, lo que se tiene es una igualdad).Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b
 La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b;
también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que“
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

9. DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor
absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así:
|20|
|x|
|4n − 9|
Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original
ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos
deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.
Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye operaciones, la expresión
debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto. Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que
podamos obtener el valor absoluto de la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos
eso, |6 − 4| se convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el valor
absoluto de 2, el cual es 2.
|6 − 4| = |2| = 2

10. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con
una variable dentro.
Ejemplo 1:
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos
descomponerla en una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Ejemplo 2:
| x + 2| ≥ 4
Separe en dos desigualdades.
x + 2 ≥ 4 O x + 2 ≤ -4
Reste 2 de cada lado en cada
desigualdad.
x ≥ 2 O x ≤ -6
La gráfica se vería así: