Este documento introduce la noción de conjunto y describe sus elementos básicos. Define un conjunto como una colección de objetos llamados elementos que comparten una propiedad común. Explica cómo representar y determinar conjuntos, así como las relaciones entre ellos, incluyendo pertenencia, inclusión, igualdad y conjuntos disjuntos.
Este documento describe los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica que cada conjunto se amplía para incluir nuevos tipos de números a medida que surgen necesidades matemáticas. Define cada conjunto y proporciona ejemplos de los tipos de números que contiene.
Este documento introduce los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de un conjunto, elementos, conjunto universal, conjunto vacío, conjuntos finitos e infinitos, subconjuntos, diagramas de Venn y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica que un conjunto es cualquier colección de objetos y define términos como elemento, conjunto universal y conjunto vacío. Luego discute la diferencia entre conjuntos finitos e infinitos, numerables y no numerables, y proporciona ejemplos de cada uno.
The document discusses various topics in vector algebra including:
1. Methods for adding and subtracting vectors using graphical (parallelogram and polygon methods) and analytical methods.
2. Multiplying a vector by a scalar, which changes the magnitude but not the direction of the vector.
3. Computing the dot product of two vectors, which results in a scalar value used to determine the angle between the vectors.
El documento introduce conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjunto, subconjunto propio, conjunto vacío y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y complemento. Explica cómo construir conjuntos mediante extensión e intención y cómo representar relaciones entre conjuntos usando diagramas de Venn.
El documento describe los elementos básicos del sistema diédrico de representación, incluyendo la proyección de puntos, rectas y planos, así como sus posiciones relativas. Explica cómo representar estos elementos geométricos mediante proyecciones cilíndricas ortogonales y sus trazas sobre los planos de proyección horizontal y vertical.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores en el plano para el primer año de bachillerato. Introduce la noción de vector fijo y libre, y define vectores equipolentes. Explica operaciones con vectores como el producto de un número por un vector. Finalmente, ilustra gráficamente ejemplos de vectores múltiplos.
1) Se define un espacio vectorial como un conjunto E con dos operaciones internas y externas que cumplen ciertas propiedades.
2) Se presentan ejemplos de espacios vectoriales como Rn, Cn, las matrices y los polinomios.
3) Un subespacio vectorial es un subconjunto de E que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones.
Este documento describe los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica que cada conjunto se amplía para incluir nuevos tipos de números a medida que surgen necesidades matemáticas. Define cada conjunto y proporciona ejemplos de los tipos de números que contiene.
Este documento introduce los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de un conjunto, elementos, conjunto universal, conjunto vacío, conjuntos finitos e infinitos, subconjuntos, diagramas de Venn y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica que un conjunto es cualquier colección de objetos y define términos como elemento, conjunto universal y conjunto vacío. Luego discute la diferencia entre conjuntos finitos e infinitos, numerables y no numerables, y proporciona ejemplos de cada uno.
The document discusses various topics in vector algebra including:
1. Methods for adding and subtracting vectors using graphical (parallelogram and polygon methods) and analytical methods.
2. Multiplying a vector by a scalar, which changes the magnitude but not the direction of the vector.
3. Computing the dot product of two vectors, which results in a scalar value used to determine the angle between the vectors.
El documento introduce conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjunto, subconjunto propio, conjunto vacío y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y complemento. Explica cómo construir conjuntos mediante extensión e intención y cómo representar relaciones entre conjuntos usando diagramas de Venn.
El documento describe los elementos básicos del sistema diédrico de representación, incluyendo la proyección de puntos, rectas y planos, así como sus posiciones relativas. Explica cómo representar estos elementos geométricos mediante proyecciones cilíndricas ortogonales y sus trazas sobre los planos de proyección horizontal y vertical.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores en el plano para el primer año de bachillerato. Introduce la noción de vector fijo y libre, y define vectores equipolentes. Explica operaciones con vectores como el producto de un número por un vector. Finalmente, ilustra gráficamente ejemplos de vectores múltiplos.
1) Se define un espacio vectorial como un conjunto E con dos operaciones internas y externas que cumplen ciertas propiedades.
2) Se presentan ejemplos de espacios vectoriales como Rn, Cn, las matrices y los polinomios.
3) Un subespacio vectorial es un subconjunto de E que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones.
Este documento describe conceptos estadísticos bidimensionales. Explica que una distribución bidimensional representa la relación entre dos variables a través de una nube de puntos, y que la correlación entre las variables puede ser directa, inversa o nula. También cubre conceptos como distribuciones marginales y condicionadas, covarianza, coeficiente de correlación lineal y rectas de regresión.
La estadística estudia la recopilación y análisis de datos para comprender fenómenos. Se aplica a todas las ciencias al facilitar el estudio de hechos sociales. Examina conceptos como población, muestra, variables, frecuencias y distribuciones de datos. Utiliza gráficos como diagramas de barras e histogramas para presentar información de manera clara.
El documento describe diferentes tipos de variables y técnicas de redondeo de datos. Explica que las variables pueden ser discretas u continuas dependiendo de si toman valores enteros o decimales, y que los datos pueden ser cualitativos u cuantitativos. También describe dos criterios para redondear datos cuantitativos, redondear por exceso o al número par más próximo, ilustrando que este último método es más preciso.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
Este documento explica los números reales, incluyendo racionales e irracionales. Define una recta numérica y cómo los números naturales y racionales pueblan la mayor parte de ella. Sin embargo, números como la raíz cuadrada de 2 y pi son irracionales y no pueden expresarse como fracciones. Juntos, los números racionales e irracionales forman el conjunto de los números reales que llena completamente la recta numérica.
Se explican conceptos básicos acerca de los triángulos y nos centramos en la solución de triángulos en los que no se cumplen las razones trigonometricas
Los números imaginarios son números complejos cuya parte real es igual a cero y pueden escribirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde i es la raíz cuadrada de -1. Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano complejo y aumentan positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Todas las propiedades de los números imaginarios se derivan de que pueden escribirse como z = a + bi, donde a es un número real y b es la unidad imaginaria i, con la propiedad
Los números enteros, incluidos los positivos y negativos, son importantes en nuestra vida diaria y se ordenan de izquierda a derecha, con los números negativos a la izquierda de cero y los positivos a su derecha. La ley de los signos establece que al sumar números del mismo signo el resultado es positivo, mientras que al sumar números de signos opuestos el resultado es negativo.
El documento describe 7 propiedades fundamentales de la suma y la multiplicación de números reales: 1) Interna, 2) Asociativa, 3) Conmutativa, 4) Elemento neutro, 5) Elemento opuesto, 6) Distributiva y 7) Factor común. También explica que la resta y la división se pueden definir en términos de la suma y la multiplicación, respectivamente.
Este documento presenta las definiciones y propiedades de varias estructuras algebraicas como monoides, semigrupos, grupos, anillos y cuerpos. Define cada una de estas estructuras y sus propiedades asociativas, conmutativas, elementos neutros e inversos. También incluye ejemplos de cada una de estas estructuras algebraicas.
Este documento describe la clasificación de los diferentes tipos de números. Comienza con los números naturales, que incluyen enteros positivos y cero, y se usan para contar objetos o indicar posición. Luego describe los números enteros, que incluyen números positivos y negativos, y los números racionales, que son cocientes de enteros. También cubre los números irracionales, que tienen decimales no periódicos, e incluyen π y e. Finalmente, explica que los números reales son la unión de los racionales e irracionales.
Este documento describe las operaciones básicas que se pueden realizar con matrices, incluyendo suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices. Explica que la suma y resta requieren que las matrices tengan el mismo tamaño, y que la multiplicación de matrices solo es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar la multiplicación de matrices.
Este documento define y explica varias medidas de dispersión como el rango, la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación. Describe que estas medidas cuantifican la separación de los valores de una distribución con respecto a la media y que permiten evaluar la confiabilidad del valor central y determinar si una distribución es homogénea u heterogénea.
Este documento describe tres medidas de tendencia central: la media, la mediana y la moda. La media es el promedio de los valores y se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número total de datos. La mediana es el punto medio de los datos ordenados y la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. Cada medida tiene ventajas e inconvenientes dependiendo de si se quiere representar el centro de la distribución, reducir la influencia de valores atípicos o analizar datos cualitativos.
Este documento explica cómo convertir entre grados y radianes usando fórmulas de conversión. También define ángulos coterminales como aquellos que comparten el mismo punto inicial y final, y ángulos de referencia como el ángulo agudo formado por la línea terminal de un ángulo no agudo y el eje x positivo o negativo.
Unidad I Estadistica I - Conceptos Basicoseerg8585
La estadística es una técnica para estudiar fenómenos de masa mediante observaciones individuales. Se divide en estadística descriptiva, que resume datos sin inferir más allá, e inferencial, que infiere sobre poblaciones a partir de muestras. La estadística es útil para describir, resumir y deducir conclusiones de datos.
Este documento describe el producto escalar de dos vectores. Explica que el producto escalar es el producto de los módulos de dos vectores por el coseno del ángulo entre ellos. También muestra cómo calcular el coseno del ángulo entre dos vectores a partir de su producto escalar, y define el producto escalar como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Finalmente, indica cómo expresar los vectores en función de sus componentes cartesianas para calcular su producto escalar.
La teoría de conjuntos permite analizar problemas visualizando las intersecciones y partes que los componen. Explica los diferentes tipos de conjuntos como naturales, enteros, racionales e irracionales. Describe propiedades como subconjuntos, conjuntos vacíos e identidad. Define conceptos como intersección, diferencia y universo.
Este documento define y explica las funciones trigonométricas básicas. Define el seno, coseno y tangente en términos de los lados de un triángulo rectángulo asociado a un ángulo dado. También define la cotangente, cosecante y secante y especifica la periodicidad de cada función trigonométrica.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, relación de pertenencia, conjuntos especiales como el conjunto vacío y universal, diagramas conjuntistas, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y clases de conjuntos como finitos e infinitos.
Este documento introduce los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos, conjuntos especiales y clases de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, determinados por una propiedad común. Define las formas de notar y determinar conjuntos, así como las relaciones de inclusión, igualdad, comparabilidad y disyunción entre ellos.
Este documento describe conceptos estadísticos bidimensionales. Explica que una distribución bidimensional representa la relación entre dos variables a través de una nube de puntos, y que la correlación entre las variables puede ser directa, inversa o nula. También cubre conceptos como distribuciones marginales y condicionadas, covarianza, coeficiente de correlación lineal y rectas de regresión.
La estadística estudia la recopilación y análisis de datos para comprender fenómenos. Se aplica a todas las ciencias al facilitar el estudio de hechos sociales. Examina conceptos como población, muestra, variables, frecuencias y distribuciones de datos. Utiliza gráficos como diagramas de barras e histogramas para presentar información de manera clara.
El documento describe diferentes tipos de variables y técnicas de redondeo de datos. Explica que las variables pueden ser discretas u continuas dependiendo de si toman valores enteros o decimales, y que los datos pueden ser cualitativos u cuantitativos. También describe dos criterios para redondear datos cuantitativos, redondear por exceso o al número par más próximo, ilustrando que este último método es más preciso.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
Este documento explica los números reales, incluyendo racionales e irracionales. Define una recta numérica y cómo los números naturales y racionales pueblan la mayor parte de ella. Sin embargo, números como la raíz cuadrada de 2 y pi son irracionales y no pueden expresarse como fracciones. Juntos, los números racionales e irracionales forman el conjunto de los números reales que llena completamente la recta numérica.
Se explican conceptos básicos acerca de los triángulos y nos centramos en la solución de triángulos en los que no se cumplen las razones trigonometricas
Los números imaginarios son números complejos cuya parte real es igual a cero y pueden escribirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde i es la raíz cuadrada de -1. Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano complejo y aumentan positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Todas las propiedades de los números imaginarios se derivan de que pueden escribirse como z = a + bi, donde a es un número real y b es la unidad imaginaria i, con la propiedad
Los números enteros, incluidos los positivos y negativos, son importantes en nuestra vida diaria y se ordenan de izquierda a derecha, con los números negativos a la izquierda de cero y los positivos a su derecha. La ley de los signos establece que al sumar números del mismo signo el resultado es positivo, mientras que al sumar números de signos opuestos el resultado es negativo.
El documento describe 7 propiedades fundamentales de la suma y la multiplicación de números reales: 1) Interna, 2) Asociativa, 3) Conmutativa, 4) Elemento neutro, 5) Elemento opuesto, 6) Distributiva y 7) Factor común. También explica que la resta y la división se pueden definir en términos de la suma y la multiplicación, respectivamente.
Este documento presenta las definiciones y propiedades de varias estructuras algebraicas como monoides, semigrupos, grupos, anillos y cuerpos. Define cada una de estas estructuras y sus propiedades asociativas, conmutativas, elementos neutros e inversos. También incluye ejemplos de cada una de estas estructuras algebraicas.
Este documento describe la clasificación de los diferentes tipos de números. Comienza con los números naturales, que incluyen enteros positivos y cero, y se usan para contar objetos o indicar posición. Luego describe los números enteros, que incluyen números positivos y negativos, y los números racionales, que son cocientes de enteros. También cubre los números irracionales, que tienen decimales no periódicos, e incluyen π y e. Finalmente, explica que los números reales son la unión de los racionales e irracionales.
Este documento describe las operaciones básicas que se pueden realizar con matrices, incluyendo suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices. Explica que la suma y resta requieren que las matrices tengan el mismo tamaño, y que la multiplicación de matrices solo es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar la multiplicación de matrices.
Este documento define y explica varias medidas de dispersión como el rango, la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación. Describe que estas medidas cuantifican la separación de los valores de una distribución con respecto a la media y que permiten evaluar la confiabilidad del valor central y determinar si una distribución es homogénea u heterogénea.
Este documento describe tres medidas de tendencia central: la media, la mediana y la moda. La media es el promedio de los valores y se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número total de datos. La mediana es el punto medio de los datos ordenados y la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. Cada medida tiene ventajas e inconvenientes dependiendo de si se quiere representar el centro de la distribución, reducir la influencia de valores atípicos o analizar datos cualitativos.
Este documento explica cómo convertir entre grados y radianes usando fórmulas de conversión. También define ángulos coterminales como aquellos que comparten el mismo punto inicial y final, y ángulos de referencia como el ángulo agudo formado por la línea terminal de un ángulo no agudo y el eje x positivo o negativo.
Unidad I Estadistica I - Conceptos Basicoseerg8585
La estadística es una técnica para estudiar fenómenos de masa mediante observaciones individuales. Se divide en estadística descriptiva, que resume datos sin inferir más allá, e inferencial, que infiere sobre poblaciones a partir de muestras. La estadística es útil para describir, resumir y deducir conclusiones de datos.
Este documento describe el producto escalar de dos vectores. Explica que el producto escalar es el producto de los módulos de dos vectores por el coseno del ángulo entre ellos. También muestra cómo calcular el coseno del ángulo entre dos vectores a partir de su producto escalar, y define el producto escalar como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Finalmente, indica cómo expresar los vectores en función de sus componentes cartesianas para calcular su producto escalar.
La teoría de conjuntos permite analizar problemas visualizando las intersecciones y partes que los componen. Explica los diferentes tipos de conjuntos como naturales, enteros, racionales e irracionales. Describe propiedades como subconjuntos, conjuntos vacíos e identidad. Define conceptos como intersección, diferencia y universo.
Este documento define y explica las funciones trigonométricas básicas. Define el seno, coseno y tangente en términos de los lados de un triángulo rectángulo asociado a un ángulo dado. También define la cotangente, cosecante y secante y especifica la periodicidad de cada función trigonométrica.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, relación de pertenencia, conjuntos especiales como el conjunto vacío y universal, diagramas conjuntistas, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y clases de conjuntos como finitos e infinitos.
Este documento introduce los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos, conjuntos especiales y clases de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, determinados por una propiedad común. Define las formas de notar y determinar conjuntos, así como las relaciones de inclusión, igualdad, comparabilidad y disyunción entre ellos.
1) Se define el concepto de conjunto como una colección de objetos llamados elementos que comparten una propiedad común.
2) Existen diferentes formas de notar y representar conjuntos, como mediante letras mayúsculas entre llaves o mediante una descripción de la propiedad común de sus elementos.
3) Los conjuntos pueden determinarse de forma extensiva, enumerando sus elementos, o de forma comprensiva, describiendo la propiedad que cumplen sus elementos.
Este documento define conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la notación de conjuntos, elementos, cardinalidad, pertenencia, subconjuntos, conjuntos vacíos, unitarios, finitos e infinitos. Explica formas de definir conjuntos como extensión y comprensión, e introduce diagramas de Venn, inclusión, igualdad, disyunción y conjuntos de conjuntos.
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, notación de conjuntos, tipos de conjuntos especiales como conjuntos vacíos, unitarios y finitos. También explica las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción, y las operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, notación de conjuntos, tipos de conjuntos especiales, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, unión e intersección, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica estos conceptos a través de ejemplos y propiedades matemáticas.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, notación de conjuntos, tipos de conjuntos especiales, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica cada concepto con ejemplos claros y proporciona propiedades y representaciones gráficas de las operaciones entre conjuntos.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, notación de conjuntos, tipos de conjuntos especiales como conjuntos vacíos, unitarios y finitos. También explica las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, comparabilidad y disyunción. Finalmente, introduce operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos, notación de conjuntos, tipos de conjuntos especiales, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, unión e intersección, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica estos conceptos con ejemplos y propiedades matemáticas.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, notación de conjuntos, tipos de conjuntos como conjuntos vacíos, unitarios, finitos e infinitos, y relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, unión, intersección y diferencia. También explica diagramas de Venn y el conjunto potencia.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos como uniones, intersecciones, diferencias y diagramas de Venn. Explica cómo representar conjuntos mediante notación de llaves y cómo determinar si un elemento pertenece o no a un conjunto. También define tipos de conjuntos como vacíos, unitarios, finitos e infinitos y operaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disjunción.
Este documento describe conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elementos, notación, conjuntos finitos e infinitos, igualdad de conjuntos, subconjuntos, conjuntos vacíos, comparabilidad y diagramas de Venn. Proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
Teoría de conjuntos para el estudio .ppt.pptxmatedico1
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos. Introduce la noción de conjunto, sus elementos y propiedades. Explica formas de determinar conjuntos como por extensión o comprensión. También cubre operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Diagramas de Venn son usados para representar relaciones entre conjuntos de manera gráfica.
Este documento introduce los conceptos básicos de conjuntos y subconjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos bien definidos y presenta ejemplos de conjuntos. Explica la notación utilizada para representar conjuntos y sus elementos. Introduce los conceptos de subconjuntos, conjuntos iguales, conjuntos vacíos, conjuntos finitos e infinitos, y conjuntos disjuntos.
Conjuntos Unidad III Estructuras Discretas IYormanP
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo: (1) La definición de un conjunto y cómo se representan sus elementos; (2) Las propiedades de los conjuntos como subconjuntos, conjuntos universales y conjuntos vacíos; y (3) Operaciones básicas con conjuntos como la unión e intersección.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de términos como conjunto, elemento, cardinalidad, notación de conjuntos, pertenencia, igualdad, inclusión, unión, intersección, diferencia y diagrama de Venn. También describe diferentes tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito, y presenta ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, notación de conjunto, diagramas de Venn, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y tipos especiales de conjuntos como conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto potencia. Explica cómo representar conjuntos y relaciones entre ellos de manera algebraica y gráfica.
Este documento introduce la teoría de conjuntos, definiendo un conjunto como una colección de elementos. Presenta formas de definir conjuntos como por extensión (enumerando elementos) o por comprensión (mediante una propiedad). Explica conceptos como pertenencia, conjunto vacío, subconjuntos, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, y propiedades de estas operaciones.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elementos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y conjunto unitario, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y operaciones básicas como unión e intersección de conjuntos.
La administración 120 es un documento sobre políticas administrativas. Establece las pautas para la contratación, evaluación y compensación del personal. También cubre temas como licencias, beneficios y conducta laboral.
Este documento describe las creencias y enfoques para la enseñanza de las matemáticas en la educación básica regular. Explica que los aprendizajes fundamentales deben desarrollar competencias para la vida y la ciudadanía. Luego describe los dominios matemáticos funcional, instrumental y formativo, y promueve el enfoque problematico y la resolución de situaciones problematicas contextualizadas. Finalmente, presenta capacidades matematicas como matematizar, comunicar, representar, elaborar estrategias, utilizar expresiones simbolicas y argumentar.
El padre lleva a su hija, que se queja de la dificultad de su vida, a su lugar de trabajo. Hierve zanahorias, huevos y café en agua para enseñarle que cada uno reacciona de forma diferente ante la adversidad: la zanahoria se ablanda, el huevo se endurece y el café mejora el agua. Le pregunta cómo ella responde a la adversidad, si se debilita como la zanahoria, se endurece como el huevo, o mejora las cosas como el café.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de un taller de inducción sobre el enfoque centrado en la resolución de problemas. Los objetivos son reconocer situaciones de la vida cotidiana que implican la resolución de problemas, analizar la propuesta del enfoque y plantear opiniones sobre su implicancia en el aprendizaje. Se explica la importancia de este enfoque para desarrollar competencias matemáticas y resolver problemas de manera funcional. Además, se describen los contenidos sobre números y operaciones y cambio y relaciones que se abordan a lo largo de
El taller de inducción tiene como objetivos reconocer situaciones de la vida cotidiana que implican la resolución de problemas, analizar la propuesta del enfoque centrado en la resolución de problemas, y plantear opiniones sobre la implicancia de este enfoque en el proceso de enseñanza y aprendizaje. El documento introduce el enfoque centrado en la resolución de problemas, el cual propone promover formas de enseñanza-aprendizaje mediante tareas y actividades matemáticas de progresiva dificultad en contextos reales. Este enfoque bus
La comunicación empática permite mejorar la comunicación interpersonal, especialmente en situaciones de conflicto. Se basa en comprender la perspectiva del otro y expresar la propia a través de la escucha activa y la expresión empática de sentimientos, necesidades y peticiones de forma positiva. El proceso incluye observar, reconocer sentimientos, identificar deseos insatisfechos y formular peticiones de manera constructiva.
Este documento define las inferencias lógicas y describe varias reglas de inferencia comúnmente utilizadas en las matemáticas, incluido el Modus Ponens, el Modus Tollens, el Modus Tollens Ponens y el Silogismo Hipotético. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla lógica.
El documento proporciona 25 maneras de ganarse a la gente, que incluyen empezar centrándose en los demás, practicar la regla de los 30 segundos de apreciación, afirmación y atención, hacerles saber a las personas que las necesitas, crear recuerdos positivos, elogiar a las personas en público, darles reputación que mantener, decir palabras alentadoras en el momento adecuado, alentar los sueños de los demás, dar mérito a otros, compartir un secreto, encontrar la llave para abrir los corazones de los demás
El resumen del documento en 3 oraciones o menos es:
Un caminante visitó un cementerio donde descubrió que todas las lápidas tenían las edades de fallecimiento de personas menores de 12 años, lo que lo perturbó. El guardián del cementerio explicó que su costumbre era grabar en las lápidas el tiempo que cada persona fue feliz en lugar de su edad de fallecimiento. La lección principal es que el tiempo realmente vivido es el tiempo en que somos felices.
Este documento describe tres modelos para mejorar la convivencia escolar: el modelo punitivo-sancionador, el modelo relacional y el modelo integrador. También propone tres líneas de acción para un proyecto educativo que promueva la convivencia: un programa para educar en valores, aprendizaje cooperativo y gestión democrática de la convivencia en la escuela.
El documento describe la adolescencia como una etapa de transición entre la niñez y la adultez que implica cambios físicos, psicológicos y sociales. Explica que durante la adolescencia los jóvenes buscan su identidad y experimentan el desarrollo sexual a través de la pubertad, lo que incluye la aparición del instinto sexual y diferentes modalidades de satisfacción. También señala que es una época complicada pero que ofrece nuevas oportunidades para los jóvenes.
El documento describe los componentes de la consejería escolar en Perú. La consejería escolar tiene la misión de contribuir a la formación integral de la comunidad educativa mediante valores humanos. Consta de cinco componentes: psicoafectivo, psicopedagógico, orientación vocacional, liderazgo estudiantil y comunitario. Cada componente tiene objetivos, funciones y una estrecha relación con los demás componentes para apoyar el desarrollo personal y académico de los estudiantes.
Este documento describe las funciones y responsabilidades de la tutoría y orientación educativa en el proceso pedagógico. Señala que la tutoría es un servicio de acompañamiento socioafectivo, cognitivo y pedagógico para los estudiantes que contribuye a su desarrollo integral y logro de aprendizajes. También establece las características, modalidades y perfil ideal del docente tutor, así como las disposiciones para conformar el comité de tutoría a nivel de instituciones educativas.
El documento describe los fundamentos y funciones de la convivencia y disciplina escolar democrática en el Perú. Explica que actualmente existe falta de respeto e incluso violencia entre estudiantes, y que se necesita un cambio hacia un modelo basado en los derechos humanos y el respeto. Describe que la convivencia escolar debe promover la formación ciudadana y democrática de los estudiantes, y tener funciones formativa, preventiva y reguladora para apoyar el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes.
Este documento discute el rendimiento académico, los hábitos y técnicas de estudio. Explica que el rendimiento académico puede verse afectado por factores familiares, escolares o personales y que se puede medir a través de las calificaciones. También destaca la importancia de que los docentes ayuden a los estudiantes a desarrollar buenos hábitos y a aplicar técnicas de estudio efectivas para mejorar su aprendizaje.
La tutoría y orientación educativa tienen como objetivo contribuir a la formación integral del estudiante mediante el acompañamiento socio-afectivo, cognitivo y pedagógico. Esto requiere crear un ambiente escolar positivo donde se respeten los derechos de los estudiantes, se establezcan normas claras y se fomente la participación democrática.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
2. NOCIÓN DE CONJUNTO
Entendemos como conjunto a una colección de cualquier
tipo de objetos llamados elementos del conjunto, que está
determinado por una propiedad común de quienes lo
forman y enunciada por medio de un lenguaje preciso.
[Teoría de la aritmética, Peterson & Hashisaki, Ed. Limusa, 1994, México]
Ejemplos.- Son conjuntos las siguientes colecciones:
a) Los hijos de Carmela: Marlon, Rocío y Daniel.
b) Los números naturales: 1; 2; 3; ...; 20.
3. Notación de conjuntos
Un conjunto se denota con letras mayúsculas (A; B; C; ...) y
se representa mediante llaves: { }, en cuyo interior se
anotan sus elementos, representados por letras
minúsculas, separados por comas o punto y coma en el
caso de ser números.
Ejemplo 1.- El conjunto formado por los hijos de Carmela, del
ejemplo anterior, se puede denotar así:
C = {Marlon, Rocío, Daniel}
Interpretación: «C es un nombre para el conjunto cuyos
elementos son Marlon, Rocío y Daniel»
Ejemplo 2.- El conjunto de los números naturales del 1 al 20, se
puede denotar como:
A = {1; 2; 3; ...; 20}
Interpretación: «A es un nombre para el conjunto cuyos
elementos son los primeros 20 números naturales no nulos»
4. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Determinar un conjunto es listar o indicar, sin ambigüedades, los
términos o condiciones mediante los cuales un elemento dado es o
no integrante de dicho conjunto.
a) Por extensión o en forma tabular
Un conjunto se determina por extensión cuando se listan, o enumeran,
uno a uno sus elementos, o se da una fórmula que define la secuencia
de éstos.
Ejemplo.- Determinar, por extensión, el conjunto A cuyos
elementos son los números naturales impares menores
que 9.
Rpta: A = {1; 3; 5; 7; 9}
5. b) Por comprensión o en forma constructiva
Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia a sus
elementos por medio de una propiedad o cualidad común a ellos y que
le es válida únicamente a éstos.
Un conjunto por comprensión se denota así:
A = {x | x tiene cierta propiedad}
que se lee: «A es el conjunto de todos los elementos x tal que x
tiene cierta propiedad»
El símbolo | (barra vertical) se lee: «tal que» y el símbolo «x»
se llama variable.
Ejemplo.- A = {x | x es un dígito impar menor que 9 }
6. RELACIÓN DE PERTENENCIA
Llamamos relación de pertenencia a la correspondencia que existe entre
un objeto, llamado elemento, y un conjunto, de modo que el primero
forma parte del segundo.
Si un objeto «x» es elemento de un conjunto A, es decir, si A tiene a
«x» como uno de sus elementos, se escribe:
x ∈ A, que se lee: «x pertenece a A», o «x está en A»
Si por el contrario, un objeto «x» no es elemento de un conjunto A,
es decir, si A no tiene a «x» entre sus elementos, se escribe: x ∉ A
Obsérvese que la relación de pertenencia va de un objeto a otro,
donde el segundo es necesariamente un conjunto y el primero
puede o no ser un conjunto.
Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {a; {b; c}},
entonces se puede afirmar que:
1 ∈ A; 2 ∈ A; 3 ∈ A; a ∈ B; {b; c} ∈ B
Asimismo podemos afirmar que: a ∉ A; 2 ∉ B.
7. CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO VACÍO
El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos.
Representación: se denota comúnmente como: ∅ o { }.
Ejemplo 1.- Sea A un conjunto cuyos elementos son los campeonatos
mundiales de fútbol ganados por el Perú durante el siglo XX. Como
Perú no ganó ningún campeonato en dicho periodo, este conjunto no
tiene ningún elemento, luego:
A = { }, o , A = ∅
Ejemplo 2: A = { x ∈ | x < 5 ∧ x > 10 } A=∅
CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que posee un único elemento.
Ejemplo: B = { x ∈ | 3 x − 1 = 14 } B={5}
8. CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO UNIVERSAL
Dados el conjunto A o más conjuntos, el conjunto universal o de
referencia de A, denotado por , es otro conjunto cuyos elementos
son todos los elementos de los conjuntos dados.
Ejemplo.- Sean los siguientes conjuntos:
A = {1; 3; 5; 7; 9} y B = {0; 2; 4; 6; 8}
Construir el conjunto universal de los conjuntos A y B .
Rpta: = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Un conjunto universal o referencial se elige de manera arbitraria de
acuerdo a la situación particular que se esté estudiando.
En el ejemplo anterior se ha supuesto que solo existen los conjuntos
A y B.
9. DIAGRAMAS CONJUNTISTAS
Los diagramas conjuntistas son dibujos en los que se muestran las
relaciones existentes entre dos o más conjuntos.
Diagramas de Venn-Euler
Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas
que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos
anotando, en su interior, a sus correspondientes elementos.
Se estila representar al conjunto universal mediante un rectángulo.
Ejemplo.- El siguiente es un U B
diagrama de Venn-Euler de los
A 2
conjuntos A, B, C y su
1
conjunto universal : 4 3
6 5 C
10. Diagrama de Carroll
Este diagrama es un recurso gráfico que consiste en un plano dividido
en rectángulos, en el que cada región representa a un conjunto con
dos o más características.
Ejemplo.- Sea el siguiente diagrama de Carroll:
11. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
Inclusión
La inclusión de un conjunto en otro conjunto es la relación según la cual
todos los elementos del primero pertenecen al segundo.
Sobre la base de este tipo de relación se establecen dos definiciones:
A. Subconjunto
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto
B, entonces se dice que A está incluido en B, o A es un subconjunto de
B, y se denota como A ⊂ B.
Simbólicamente: A ⊂ B ↔ (∀ x ∈ A, x ∈ B)
↔ : Significa “si, y solo si”
12. Ejemplo 1.- Sean los conjuntos P = {1; 3; 5} y Q = {1; 2; 3; 4; 5}
Como todo elemento de P
también pertenece a Q P Q
concluimos que P es subconjunto 1 2
de Q y se denota: P ⊂ Q
3
5 4
Ejemplo 2.- ¿Es el conjunto R = {2; 3; 4} un subconjunto del
conjunto S = {4; 3; 2}? R
3
2 S
4
Rpta. SÍ
En efecto, todo elemento de R: 2; 3 ó 4,
también pertenece a S.
∴ R⊂S
Obsérvese que, en este ejemplo, también podemos decir que S está
incluido en R.
13. B. Subconjunto Propio
Se establece que A es subconjunto propio de B, denotado por A ⊆ B,
si todo elemento de A es elemento de B, y existe al menos un
elemento de B que no le pertenece a A.
La condición de existencia: «al menos un elemento de B no le pertenece
a A» significa que el conjunto B no está incluido en A.
Ejemplo.- ¿Es el conjuntos: M = {1;M2; 3} un subconjunto propio
1 2
N
0
de N = {0; 1; 2; 3}? 3
Rpta. SÍ
Se puede reconocer que todos los elementos de M son también los
elementos de N, pero N tiene al menos un elemento, el 0, que no le
pertenece al conjunto M.
Luego M es subconjunto propio
de N, lo cual denotaremos así:
M⊂N y N⊄M
o
M⊆N
14. OJO
En adelante, al referirnos a subconjunto y subconjunto propio,
emplearemos la misma notación: ⊂, en el entendido que se reconoce,
desde ahora, la diferencia entre ellos.
Propiedades de la Inclusión de Conjuntos
1ro. Todo conjunto está incluido en si mismo.
∀ A se cumple que: A ⊂ A
2do. El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto e inclusive
en él mismo.
∀ A se cumple que: ∅ ⊂ A
Obsérvese que si A = ∅ , entonces se cumple que:
∅ ⊂ ∅.
15. Igualdad de Conjuntos
Dos conjuntos A y B se llaman iguales, denotado como A = B, si
cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B
es un elemento de A.
Simbólicamente: A = B ↔ A ⊂ B y B ⊂ A
Conjuntos Comparables
Dos conjuntos A y B se llaman comparables si se cumple que uno de
los conjuntos es subconjunto del otro.
Simbólicamente: A⊂ B o B⊂ A
Conjuntos Disjuntos
Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si se cumple que ninguno de
los conjuntos es subconjunto del otro.
Simbólicamente: A⊄B o B⊄A
16. OJO
Si una misma letra, número u objeto aparece más de una vez en
cualquier lista de los elementos de un conjunto será considerado como
solamente una letra, un número o un objeto, respectivamente.
Ejemplo.- D = {a, b, a, a}
En este ejemplo, la letra «a» aparece tres veces en la lista de los
elementos del conjunto D. Para nuestro propósito el conjunto D
tiene solamente dos elementos diferentes.
Por lo tanto: D = {a, b}
17. Ejemplo 1.- Sean los conjuntos: D = {a, b, a, a} y E = {a, b}.
Se observa que cada elemento del conjunto D está en el
conjunto E y cada elemento del conjunto E está en el conjunto
D, por lo tanto:
D=E
Ejemplo 2.- ¿Son A y B dos conjuntos iguales:
A = {x | (x−3)(x−4)(x−5) = 0} A = {3; 4; 5}
∴ A=B
B = {x ∈ N | 2 < x < 6} ? B = {3; 4; 5}
Ejemplo 3.- ¿Son o no comparables los conjuntos:
A = {a, b} y B = {a, b, c} ?
Rpta. SÍ
Porque uno de ellos, en este caso A, es un subconjunto del otro, B.
18. Ejemplo 4.- ¿Son disjuntos los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1; 2; 3; 4}?
Rpta: SÍ
Se observa que ningún elemento de A está en B y ninguno de B está
en A:
∴ A y B son conjuntos disjuntos.
Ejemplo 5.- ¿Son disjuntos los conjuntos: R = {a, b, c} y S= {c, d, e, f}?
Rpta: NO
Puesto que «c» está en R y en S concluimos que R y S no son
disjuntos.
19. CONCLUSIÓN:
Si A y B son dos conjuntos entonces solo es posible que sean:
CONJUNTOS CONJUNTOS CONJUNTOS
COMPARABLES IGUALES DISJUNTOS
A • A A •
•2 7 •2 • 7 •
7 •2 5
• •
5 B 5 B B
A≠B A=B A≠B
Conjuntos No Disjuntos Conjuntos No Comparables
Observación:
Como todo conjunto está contenido en sí mismo, se dice que dos
conjuntos iguales también son conjuntos comparables
20. Clases de conjuntos
Conjunto finito
Un conjunto es finito cuando se puede listar exhaustivamente sus
elementos en algún orden y en consecuencia contarlos uno a uno hasta
alcanzar el último.
Ejemplo.- ¿Es finito el conjunto de letras del abecedario?
Como los elementos de : A = {a, b, c, ..., z} se pueden listar hasta el
último, concluimos que A es un conjunto finito.
Conjunto infinito
Un conjunto es infinito cuando no se pueden listar exhaustivamente
sus elementos en algún orden y en consecuencia no posee un último
elemento.
Ejemplo.- ¿Es el conjunto de los números naturales, , un conjunto infinito?
Como = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ...}, se observa que no es posible
alcanzar el último elemento de este conjunto, luego N es un conjunto infinito.
21. Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto A, denotado como n(A), es el número natural
que indica la cantidad de elementos diferentes que tiene dicho conjunto.
Ejemplo 1.- Sea el conjunto A = {a, b, c, d, e, f}, entonces su cardinal
n(A) se obtiene así:
Ejemplo 2.- Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:
a) A = { }
Puesto que A es un conjunto que no presenta elementos, es decir, es un
conjunto vacío, se propone que: n(A) = 0. En adelante se aplicará:
n(∅) = 0
22. b) B = {x ∈ | 3 < x < 5}
Sabiendo que el símbolo < significa «menor que», concluimos que 4
es el único número natural que verifica la condición dada, luego: B =
{4}, y por consiguiente:
n(B) = 1.
c) C = {∅}
En este caso el conjunto C tiene un elemento, este elemento es
el conjunto vacío, por consiguiente se trata de un conjunto
unitario y se cumple que:
n(C) = 1
d) D = {x |x es un miembro del equipo de fútbol profesional que está
jugando en cancha}
Dado que un equipo de fútbol profesional, jugando en cancha,
está constituido de 11 jugadores, se concluye que:
n(D) = 11.
23. Conjunto de conjuntos
Definición.- El conjunto de conjuntos, llamado también clase o familia
de conjuntos, es el que tiene por elementos a otros conjuntos.
[Teoría de conjuntos y temas afines, Ph. D. Seymour Lipschutz, Ed.
McGraw Hill, 1969, México]
Ejemplo 1.- Sea C el conjunto cuyos elementos son: {a, b}, {a, c} y
{d}. Luego podemos escribir el conjunto de conjuntos C así:
C = {{a, b}, {a, c}, {d}}
Observación.- En teoría es posible que un conjunto tenga entre sus
elementos algunos que sean a su vez conjuntos y otros que no lo
sean, pero en las aplicaciones de la Teoría de Conjuntos este caso
se presenta rara vez.
Ejemplo 2.- El conjunto: D = {{0; 1}; {1}; 2; 3}, es una familia de
conjuntos
24. Conjunto Potencia
Definición.- Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A,
denotado como P(A), a la familia de conjuntos cuyos elementos son
todos los subconjuntos de A.
Debemos recordar que en la lista de todos los subconjuntos de un
conjunto está el conjunto vacío.
Ejemplo 1.- Sea A = {a; b}, determinar su conjunto potencia.
Rpta: P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
Obsérvese que se han listado los conjuntos de ninguno, uno y
dos elementos.
25. Ejemplo 2.- Dado: A = {1; 2; 3} mediante combinaciones determinar todos
los subconjuntos de A.
– Conjunto sin elementos = 1: ∅
– Conjuntos de 1 elemento = 3: {1}, {2}, {3}
– Conjuntos de 2 elementos = 3: {1; 2}, {2; 3}, {1; 3}
– Conjunto de 3 elementos = 1: {1; 2; 3}
A partir de los subconjuntos de A se puede construir el conjunto
potencia de A:
P(A) = { 144444444, 2444444444 } , {1 24 } }
∅, { 1 } , { 2 } , { 3 } { 1; 2 } , { 2; 3 } , { 1; 3
4 3
1; 2; 3
4 3
Subconjuntos propios de A A
Obsérvese que n(A) = 3 y n[P(A)] = 8, cumpliéndose que: 8 = 2 3
Asimismo 7 son los subconjuntos propios y 1 es el conjunto propio.
7 = 23 - 1 ; 8 = 7 + 1
26. En general, si n(A) es el cardinal del conjunto A, entonces el
cardinal del conjunto potencia de A, denotado como n[P(A)], y el
número de subconjuntos propios de A, denotado como sA, están
dados por:
n[ P( A)] = 2n( A)
sA = 2n( A) − 1
n[ P( A)] = sA + 1
29. P={3}
EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes Q={-3;3}
conjuntos:
A ) P = { x ∈ ¥ x 2 − 9 = 0}
F={}
B ) Q = { x ∈ ¢ x − 9 = 0}
2
C ) F = { x ∈ ¡ x 2 + 9 = 0} 4
T ={ }
3
{
D ) T = x ∈ ¤ (3x − 4)(x − 2) = 0}
E ) B = { x ∈ I (3x − 4)(x − 2) = 0} B= { 2}
RESPUESTAS