Este documento contiene 20 problemas resueltos sobre relaciones y funciones. Cada problema presenta la subunidad temática, la habilidad evaluada y los pasos para resolverlo. Los problemas abarcan temas como producto cartesiano, definición de función, dominio y recorrido, evaluación y análisis de funciones, cálculo de pendientes y ecuaciones de rectas.

1. SOLUCIONARIO
PRUEBA MT- 051
SOLCANMTALA04051V1

2. 1. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Conocimiento
Si los conjuntos son
A =  3,2,1
B = z,w
Entonces, el producto cartesiano A x B, está determinado por todos los pares ordenados
que tengan como primera componente a los elementos del conjunto A y como segunda
componente a los elementos del conjunto B, es decir:
A x B = {(1, w), (1, z), (2, w), (2, z), (3, w), (3, z)}
2. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Análisis
Para que una relación sea función debe cumplir que: Todo elemento del conjunto de
partida debe estar relacionado con un único elemento del conjunto de llegada.
Analicemos las opciones:
I) Falsa, ya que:
a relacionado con 5
a relacionado con 6
a relacionado con 9
a tiene 3 imágenes.
II) Verdadera, ya que:
a relacionado con 5
b relacionado con 6
c relacionado con 9
III) Verdadera, ya que:
a relacionado con 5
b relacionado con 6
c relacionado con 10

3. 3. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Conocimiento
Como la función es de B en A, entonces:
El dominio es el conjunto de las preimágenes (conjunto B), es decir, {4, 5, 6}
El recorrido es el conjunto de las imágenes, es decir, {1, 2}
4. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Análisis
El dominio son los valores que puede tomar x de modo que resulte un número real;
como el denominador de una fracción no puede ser cero, vamos a calcular qué valor de
x hace cero al denominador para descartarlo:
x – 21 = 0
x = 21
El único número que no puede tomar x es 21.
Luego, el dominio es IR – {21}.
El recorrido son los valores que puede tomar y, para averiguarlo se debe despejar x.
y =
21
1
x
y(x – 21) = 1
xy – 21y = 1
xy = 21y + 1
y
y
x
121 

1
2
3
4
5
6
A B
f

4. El denominador no puede ser cero. Entonces, el único número que no puede tomar y es
0.
Luego, el recorrido es IR – {0}.
5. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Aplicación
Evaluemos la función f (x) = a2
, en (a – 3)
f (a – 3) = (a – 3)2
= a2
– 6a + 9
6. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Aplicación
Evaluemos la función f (h) = 3h + 7 en 5 y 4
f(5)= 15 + 7 = 22
f(4)= 12 + 7 = 19
Ahora reemplacemos los valores en la expresión dada
f(5) + f(4) = 22 + 19 = 41
7. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Aplicación
Evaluemos la función f (x) = x – 20 en (a + 4) y a
f(a + 4)= a + 4 – 20 = a – 16
f(a)= a – 20
Ahora reemplacemos los valores en la expresión dada
f(a + 4) – f(a) = a – 16 – (a – 20)
= a – 16 – a + 20
= 4

5. 8. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Comprensión
Evaluemos la función f (x) = 3(m + 2) en 5, la función es constante no varía la variable
dependiente
f (5)= 3(m + 2) = 3m + 6
9. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Aplicación
f (x) = mx + 2 en (Evaluando la función en (– 3))
f (– 3) = – 3m + 2
5 = – 3m + 2
3 = – 3m
– 1 = m
10. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Análisis
Evaluemos la función f (x) = cx + 12 en 15
f (15) = 15c + 12 = 0
15c = – 12
c =
5
4
15
12

Ahora, reemplacemos el valor de c en la función y evaluemos ésta en 8
f(x) =
5
4
 x + 12
f(8) = 
5
4
8 + 12
f(8) =
5
32
 + 12 =
5
28
5
6032


Luego, f(8) =
5
28

6. 11. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Análisis
Analicemos las opciones
I) Falsa, ya que sólo el elemento 12 tiene preimágen, entonces el recorrido no
es igual que el conjunto de llegada.
II) Falsa, ya que el 0 no es una preimágen, pues no pertenece al conjunto de
partida.
III) Falsa, ya que preimágenes distintas tienen la misma imagen, por ejemplo 1 y
– 1.
Por lo tanto, ninguna de ellas es verdadera.
12. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Función de variable real
Habilidad Comprensión
f (x) =
7
73 x
=
7
7
7
3

x
= 1
7
3

x
Luego, la pendiente es el coeficiente numérico de la variable x, es decir,
7
3
13. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Función de variable real
Habilidad Aplicación
Aplicando la fórmula de la pendiente entre (– 3, 0) y (0, – 6), tenemos:
12
12
xx
yy
m



2
3
6
30
06





m
Luego, la ecuación de la recta es y = – 2x – 6
x
y
- 3
- 6

7. 14. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Función de variable real
Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones, respecto a la recta:
I) Verdadera, ya que la pendiente es negativa.
II) Verdadera, encontremos la pendiente de la recta
entre los puntos (p, 0) y (0, q), tenemos
12
12
xx
yy
m



p
q
p
q
p
q
m 





0
0
Como las pendientes son iguales y los coeficientes de posición son distintos, entonces
son paralelas.
III) Falsa, el punto (p, q) no pertenece a L1.
15. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Función de variable real
Habilidad Análisis
(x1, y1) (x2, y2)
Debemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por (1,1) y (5,4), entonces
aplicando la fórmula, tenemos que:
y =
12
12
xx
yy


(x – x1) + y1
y =
15
14


(x – 1) + 1
y =
4
3
(x – 1) + 1
y = 1
4
3
4
3

x
y =
4
1
4
3

x
Luego, para determinar la intersección con el eje X debemos igualar a cero la
componente y, entonces:
0 =
4
1
4
3

x
4
3
4
1 x

x
y
q
p
L1
x
y
1
1
L1
5
4

8. – 1 = 3x
x
3
1
Entonces, la intersección con el eje X es 




 
0,
3
1
.
16. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Función de variable real
Habilidad Análisis
Debemos establecer los pares de puntos para encontrar la ecuación de la recta, entonces:
- Si hay 0º C, entonces equivale a 32º F, luego el punto es (0, 32) = (x1, y1)
- Si hay 100º C, entonces equivalen a 212º F, luego el punto es (100, 212) = (x2, y2)
Luego, aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta.
y =
12
12
xx
yy


(x – x1) + y1
y =
0100
32212


(x – 0) + 32
y =
100
180
(x – 0) + 32
y =
5
9
x + 32
17. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Función de variable real
Habilidad Análisis
Debemos establecer los pares de puntos para encontrar la ecuación de la recta, entonces:
- En la primera prueba, avanza 100 metros sin tomar descanso. El punto es
(1, 100) = (x1, y1)
- En la sexta prueba, avanza 20 metros sin tomar descanso. El punto es (6, 20) = (x2, y2)
Luego, aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta.
y =
12
12
xx
yy


(x – x1) + y1
y =
16
10020


(x – 1) + 100
y =
5
80
 (x – 1) + 100
y = – 16x + 16 + 100
y = – 16x + 116

9. 18. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Función de variable real
Habilidad Análisis
Debemos establecer los pares de puntos para encontrar la ecuación de la recta, entonces:
- Si tiene 3 ramas principales, tiene 12 ramas secundarias. El punto es (3, 12) = (x1, y1)
- Si tiene 5 ramas principales, tiene 20 ramas secundarias. El punto es (5, 20) = (x2, y2)
Donde x corresponde a las ramas principales e y a las ramas secundarias.
Luego, aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta.
y =
12
12
xx
yy


(x – x1) + y1
y =
35
1220


(x – 3) + 12
y =
2
8
(x – 3) + 12
y = 4x – 12 + 12
y = 4x
Ahora, evaluamos en x = 10
y = 4 • 10
y = 40
19. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Evaluación
(1) f (x) = 2x – 9a. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de
f (– 3), ya que no conocemos el valor de a.
(2) f (x) = 4 si x = 5. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico
de f (– 3), ya que no conocemos la función.
Con ambas juntas, podemos determinar el valor numérico de f (– 3), ya que evaluamos
la opción 2) con la función de 1).
Por lo tanto, la respuesta correcta es Ambas juntas, (1) y (2).

10. 20. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Función de variable real
Habilidad Evaluación
(1) L1 pasa por el origen y es decreciente. Con esta información, es posible determinar
el punto de intersección de L1 con el eje de las abscisas, ya que lo están dando, es el
(0,0).
(2) L1 es paralela a L2, cuya ecuación es y = – a x + 8. Con esta información, no es
posible determinar el punto de intersección de L1 con el eje de las abscisas, ya que
no conocemos la ecuación de L1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola.