Este documento presenta 16 ejercicios resueltos sobre funciones afines y lineales. Los ejercicios abordan conceptos como determinar la ecuación de una recta a partir de puntos, analizar gráficas de funciones, calcular el dominio y recorrido de funciones, y aplicar funciones a problemas matemáticos. Las respuestas detalladas muestran los pasos de cálculo para llegar a la solución correcta en cada caso.

1. SOLC3AMTA04441V2
NÚMEROS ENTEROS
Y RACIONALES
MINI ENSAYO
MT- 441
1

2. 1. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Análisis
Al ubicar los puntos en el plano cartesiano resulta
y
R
S
b
P
Como a
a
Q
x
b, entonces PQRS es un rectángulo. Luego:
I)
Falsa, ya que QS corresponde a un segmento decreciente, por lo cual su
pendiente es negativa.
II)
Falsa, ya que PR y QS corresponden a las diagonales del rectángulo, y las
diagonales de un rectángulo no son perpendiculares.
III)
Verdadera, ya que al trazar una diagonal en un rectángulo, siempre se forman
dos triángulos congruentes.
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
2. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Aplicación
x – py – 12 = 0, (– 8, – 7) pertenece a esta recta, entonces:
x – py – 12 = 0
– 8 – (– 7 p) – 12 = 0
– 20 + 7p = 0
7p = 20
20
p=
7
(Reemplazando (– 8, – 7))
(Despejando p)
2

3. 3. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Aplicación
y
5
3
x
La recta pasa por los puntos (3, 0) y (0, 5), entonces:
(3, 0)
(0, 5)
x 1= 3, y1 = 0
x2 = 0, y2 = 5
Aplicando la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
y
y1
y2
x2
y1
x
x1
5 0
(x – 3)
0 3
5
y=
(x – 3)
3
y–0=
y=
x1
(Reemplazando)
(Desarrollando)
(Distribuyendo)
5
x+5
3
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la figura es:
5
y=
x+5
3
3

4. 4. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Análisis
Analicemos las opciones, utilizando la ecuación principal de la recta y = – 11
I)
Verdadera, ya que la pendiente es cero.
II)
Falsa, ya que el coeficiente de posición es – 11, entonces L1 intersecta al eje Y en
el punto (0, – 11).
III)
Verdadera, ya que en la recta de ecuación y = 7, la pendiente es cero.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
5. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
f(x) = ax + 4, con a
Relaciones y funciones
Aplicación
0 y f(q) + f(3q) + f(5q) = 18
Evaluemos la función f(x) = ax + 4 en q, 3q y 5q
f(q)= aq + 4
f(3q)=3aq + 4
f(5q)= 5aq + 4
Entonces:
f(q) + f(3q) + f(5q) = 18
aq + 4 + 3aq + 4 + 5aq + 4 = 18
9aq + 12 = 18
9aq = 6
6
q=
9a
2
q=
3a
(Reemplazando)
(Reduciendo términos semejantes)
(Despejando q)
(Simplificando)
4

5. 6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Relaciones y funciones
Análisis
Según la gráfica, la función pasa por los puntos (– 6, 0), (6, 0) y (0, – 4). Luego, al
reemplazar la primera coordenada de cada uno de ellos en la función, el resultado será la
respectiva segunda coordenada.
O sea, f (– 6) = 0, f (6) = 0 y f (0) = – 4
Tomando la primera igualdad:
f (– 6) = 0
2
6
6
4a
a
0
36 4a
0
6 a
36 + 4a = 0
4a = – 36
36
a
4
a=–9
(Reemplazando)
(Desarrollando)
(Multiplicando cruzado)
(Ordenando)
(Despejando a)
Por lo tanto, el valor de a es – 9
7. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Relaciones y funciones
Análisis
y
–5 –4
4
–3
3
5 6
x
f(x)
5

6. Analicemos las aseveraciones:
I)
Verdadera, ya que f(5) = – 3 y f(– 5) = – 3
II)
Verdadera, ya que f(6) = – 3 y f(– 2) > – 3.
III)
Verdadera, ya que f(0) = 0 y f(1) < 0.
Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.
8. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
f(x) =
Relaciones y funciones
Análisis
5
4 x 12
Para determinar el dominio debemos tener presente que el denominador no puede ser
cero. Entonces:
4x – 12 ≠ 0
(Despejando 4x)
4x ≠ 12
(Despejando x)
12
x≠
(Simplificando)
4
x≠3
Luego, el dominio es IR – {3}.
Para determinar el recorrido debemos despejar la variable x en función de y, para luego
analizar las indeterminaciones.
5
f(x) =
4 x 12
5
y=
4 x 12
y(4x – 12) = 5
(Distribuyendo)
4xy – 12y = 5
(Despejando 4xy)
4xy = 12y + 5
(Despejando x)
12 y 5
x=
4y
El único valor que NO puede tomar y es 0. Luego, el recorrido es IR – {0}.
6

7. 9. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Análisis
f (x) = – 2x – 3
I)
Falsa, ya que si el punto (– 1, – 5) pertenece a la recta, entonces, al reemplazar
en la ecuación, se debe cumplir la igualdad.
y = – 2x – 3
(Reemplazando x = – 1 e y = – 5)
–5=–2∙–1–3
(Multiplicando)
–5=2–3
(Desarrollando)
5≠ –1
Por lo tanto, (– 1, – 5) NO pertenece a la recta correspondiente a la función.
II)
Verdadera, ya que:
Coeficiente de posición: – 3, entonces intersecta al eje Y en (0, – 3)
III)
Falsa, ya que:
Pendiente: – 1, como es negativa, la función es decreciente.
Por lo tanto, sólo la afirmación II es verdadera.
10. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Análisis
y
L2
2
L1
x
–2
L1: f(x) = x – 5
7

8. I)
Verdadera, ya que la ecuación de la recta que pasa por (– 2, 0) y (0, 2) es:
y
y1
y2
x2
y1
x
x1
(Reemplazando)
x1
2 0
(x – (– 2))
0 ( 2)
2
y–0=
(x – (– 2))
2
y=x+2
y–0=
(Desarrollando)
Por lo tanto, la función correspondiente a la recta L2 es g(x) = x + 2 y como tiene
la misma pendiente que L1, tiene la misma inclinación con respecto al eje de las
abscisas.
II)
Falsa, ya que es una función afín.
III)
Verdadera, ya que la ecuación de la recta correspondiente a L2 es y = x + 2.
Por lo tanto, solo la afirmación II es falsa.
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Análisis
y
2
x
I)
Falsa, ya que la función correspondiente a la recta es f(x) = 2 que es una función
constante.
II)
Verdadera.
III)
Falsa, ya que la función correspondiente a la recta es f(x) = 2.
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.
8

9. 12. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Aplicación
L1 pasa por el punto (0, – 7) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 9x + y = 8.
9x + y = 8
y = – 9x + 8
(Expresando la ecuación de la forma principal)
Por lo tanto, la pendiente de L1 es
1
.
9
Aplicando la fórmula punto pendiente:
y – y1 = m(x – x1)
1
y – (– 7) = (x – 0)
9
1
y+7= x
9
1
y= x–7
9
(Reemplazando)
(Desarrollando)
(Despejando y)
Por lo tanto, la función correspondiente a L1 es f(x) =
1
x–7
9
13. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Análisis
Debemos establecer los pares de puntos para encontrar la ecuación de la recta,
entonces:
- 3 alumnos, $ 14.000
(3, 14.000)
- 4 alumnos, $ 18.000
(4, 18.000)
Aplicando la fórmula de la ecuación de la recta:
y
y1
y2
x2
y1
x
x1
(Reemplazando)
x1
9

10. 18.000 14.000
(x – 3)
(Desarrollando)
4 3
4.000
y – 14.000 =
(x – 3)
(Distribuyendo)
1
y – 14.000 = 4.000x – 12.000
(Despejando y)
y = 4.000x – 12.000 + 14.000
y = 4.000x + 2.000
y – 14.000 =
Por último, evaluamos en x = 7
y = 4.000 ∙ 7 + 2.000
y = 28.000 + 2.000
y = 30.000
(Multiplicando)
Por lo tanto, el profesor cobrará $ 30.000 por 7 alumnos.
14. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Análisis
Si S(x) es el sueldo mensual que recibe el vendedor por la venta de x libros, entonces
S(x) = mx + n, siendo m la comisión por cada libro y n el sueldo fijo.
Como en enero vendió 26 libros, recibiendo un sueldo de $ 248.000, entonces:
S(26) = 26m + n = 248.000 (1)
Como en febrero vendió 34 libros, recibiendo un sueldo de $ 312.000, entonces:
S(34) = 34m + n = 312.000 (2)
Restando (2) – (1), resulta:
34m + n – 26m – n = 312.000 – 248.000
8m = 64.000
64.000
m
8
m = 8.000
Reemplazando m en (1), resulta:
26 ∙ 8.000 + n = 248.000
208.000 + n = 248.000
n = 248.000 – 208.000
n = 40.000
(Reduciendo)
(Despejando m)
(Multiplicando)
(Despejando n)
10

11. Luego, S(x) = 8.000 x + 40.000. Entonces, si en marzo recibe el doble de sueldo que en
enero, se plantea:
8.000 x + 40.000 = 2 ∙ 248.000
8.000 x + 40.000 = 496.000
(Ordenando)
8.000 x = 496.000 – 40.000
8.000 x = 456.000
(Despejando x)
456.000
x
8.000
x = 57
Por lo tanto, en marzo debe vender 57 libros para recibir el doble del sueldo que recibió
en enero.
15. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Si 32 7 x
Función parte entera y función valor absoluto
Aplicación
10 , entonces existen dos posibilidades:
32 – 7x = 10
– 7x = 10 – 32
– 7x = – 22
22
x
7
22
x
7
32 – 7x = – 10
– 7x = – 10 – 32
– 7x = – 42
42
x
7
x=6
(Ordenando)
(Restando)
(Despejando x)
(Aplicando ley de los signos)
(Restando)
(Despejando x)
(Aplicando ley de los signos)
22
y 6. Como esta pareja
7
no aparece entre las cuatro primeras alternativas, entonces la respuesta es: ninguna de
las parejas de valores anteriores.
Por lo tanto, los valores de x que cumplen la igualdad son
11

12. 16. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
f(x) =
f(4) =
f(4) =
Función parte entera y función valor absoluto
Aplicación
8 3x
(Evaluando la función en 4)
4
8 3 4
(Multiplicando)
4
8 12
f(4) =
4
4
(Aplicando definición de valor absoluto)
4
4
4
f(4) = 1
f(4) =
17. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Función parte entera y función valor absoluto
Análisis
Debemos desplazar el gráfico de f(x) = |x| dos unidades a la derecha, es decir:
f(x) = x 2
y
2
x
2
12

13. 18. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Función parte entera y función valor absoluto
Análisis
I)
Falsa, ya que la gráfica escalonada corresponde a la función parte entera.
II)
Falsa, ya que el recorrido es IR +
III)
Verdadera, ya que:
f(x) = 2
x 3
{0}.
(Evaluando la función en
1
)
2
f
1
2
=2
1
3
2
(Resolviendo)
f
1
2
=2
5
2
(Aplicando definición de valor absoluto)
f
1
2
=2∙
f
1
2
=5
5
2
(Simplificando)
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
19. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función parte entera y función valor absoluto
Aplicación
f(x) = |x – 3| – |6 – x|
Para determinar el punto de intersección del gráfico de la función, con el eje de las
ordenadas, la abscisa debe ser igual a 0, entonces:
f(0) = |0 – 3| – |6 – 0|
= |– 3| – |6|
=3–6
=–3
(Resolviendo)
(Aplicando definición de valor absoluto)
Luego, el punto donde intersecta al eje de las ordenadas es (0, – 3).
13

14. 20. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Función parte entera y función valor absoluto
Aplicación
Evaluando en la función f(x) = x – 1:
f(3) = 3 – 1 = 3 – 1 = 2
f(1,8) = 1,8 – 1 = 1 – 1 = 0
Entonces, el valor de f(3) – f(1,8) = 2 – 0 = 2
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
3,8
2
Función parte entera y función valor absoluto
Aplicación
5,2
(Aplicando definición de parte entera)
2,6
32
( 6)
2
9 6
2
15
2
(Desarrollando)
(Sumando)
22. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
I)
Función parte entera y función valor absoluto
Análisis
Falsa, ya que
6
= [– 1,5]
4
– 1,5 está entre – 1 y – 2, el menor entre ambos es – 2.
II)
Verdadera, ya que 12,7 está entre 12 y 13 y el menor entero entre ambos es 12.
III)
Verdadera, ya que
2
7
= 1,4
5
5
1,4 está entre 1 y 2, el menor entre ambos es 1.
1
Por lo tanto, solo las igualdades II y III son verdaderas.
14

15. 23. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
I)
Función parte entera y función valor absoluto
Análisis
Verdadera, ya que:
f 2,5
2,5
2,5
(Aplicando valor absoluto y parte entera)
f (2,5) = 2,5 + 2
f (2,5) = 4,5
II)
Verdadera, ya que:
f 2,5
2,5
2,5
(Aplicando valor absoluto y parte entera)
f (– 2,5) = 2,5 + (– 3)
f (– 2,5) = 2,5 –
3
f (– 2,5) = – 0,5
III)
Verdadera, ya que:
f 5
5
5
(Aplicando valor absoluto y parte entera)
f (– 5) = 5 + (– 5)
f (– 5) = 5 –
5
f (– 5) = 0
Por lo tanto, todas las afirmaciones son verdaderas.
24. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Relaciones y funciones
Evaluación
(1) f(– 3) = 5. Con esta información, es posible determinar el valor de m, ya que:
f(– 3) = – 6m + 3
5 = – 6m + 3
Con esta ecuación, se puede determinar m.
5
si x = 2. Con esta información, es posible determinar el valor de m, ya que:
3
f(2) = 4m + 3
5
= 4m + 3
3
Con esta ecuación, se puede determinar m.
(2) f(x) =
15

16. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
25. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Evaluación
Sea f(x) = mx + n, es posible determinar que la función es afín si:
(1) La recta correspondiente a f(x) intersecta al eje de las ordenadas en (0, 4). Con esta
información, no es posible determinar que la función es afín, ya que no tenemos
información de la pendiente, por lo que podría ser función constante.
(2) f(x) es una función decreciente. Con esta información, no es posible determinar
que la función es afín, ya que no tenemos información del coeficiente de posición
y podría pasar por el origen.
Con ambas informaciones, es posible determinar que la función es afín.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
16