Este documento presenta una unidad sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Resuelve 10 ejercicios utilizando métodos como sustitución, el wronskiano, ecuación característica y coeficientes indeterminados. Explica conceptos como soluciones homogéneas y no homogéneas, y raíces complejas de la ecuación característica.

1. TRABAJO COLABORATIVO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
SILVIA MARIA JARAMILLO RAMIREZ
CÓDIGO 43518640
JUAN JESUS CRUZ
TUTOR DEL CURSO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
INGENIERÍA INDUSTRIAL
APARTADÓ, OCTUBRE DE 2011

2. INTRODUCCIÓN
En el mundo de la física, de la mecánica y de la electrónica son muchas las situaciones que
deben ser modelas con Ecuaciones diferenciales de segundo orden o de orden superior,
aplicaciones como el movimiento armónico simple, la ley de Hooke (F = k*s), la segunda
ley de Newton (F= m*a), Movimiento libre no amortiguado, circuitos R-L-C, en fin son
muchas las aplicaciones que se dan a este tipo de ecuaciones diferenciales. Es aquí donde
radica la importancia de estudiar y desarrollar las competencias necesarias para resolver las
ecuaciones diferenciales de segundo orden y orden superior mediante los métodos
establecidos.
En esta unidad estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes
constantes y su forma de solución, utilizando una herramienta del álgebra que es la
ecuación característica. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones
homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que
se pueden presentar en la ecuación diferencial.
Para el aprendizaje de los temas vistos se solucionarán 10 ejercicios correspondientes a la
unidad 2.

3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. Resuelva el problema de valor inicial
Sustitución.
( )
( )
(
)
Sustituimos en la ecuación original.
(
(
(
)
)
)
(
(
(
(
(
)(
)
)
)
)
)
Condición inicial

4. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2. Determine el Wronskiano de los siguientes pares de funciones:
A.
(
)
|
|

5. B.
(
)
(
)
|
(
)
|
(
)
(
)
(
)
C.
(
)
(
)
|
|
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes
contantes
A.
Dividimos la ecuación por 4, para llevarla a la forma de la ecuación característica
Hallamos las soluciones de la ecuación por el método general para ecuaciones
cuadráticas:
√

6. √
√
√
( ⁄ )
√
√
√
Esto nos indica que la ecuación característica tiene Raíces complejas de la forma
Por lo tanto tenemos que:
√
Entonces la solución general es:
(
)
(
)
√
(
)
(
√
)
B.
Hallamos las soluciones de la ecuación por el método general para ecuaciones
cuadráticas:
√
√
√
√
( )
√
√
√
√
√
Esto nos indica que la ecuación característica tiene Raíces complejas de la forma

7. Por lo tanto tenemos que:
√
Entonces la solución general es:
(
)
(
)
r1 5
r2 4
(√
)
(√
)
C.
Suponemos que la solución es de la forma
y erx
Ecuación característica
r 2 9r 20 0
Factorizamos
r 2 9r 20 0
r
r
r
9 (9) 2 4 *1* 20
2 *1
9 81 80
2
9 1
2
9 1 10
2 2
9 1 8
2 2
r1 5
r2 5

8. Conjunto fundamental de soluciones
CFS
e
5 x , e4 x
Solución general
y C1e5 x C2e4 x
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes
indeterminados:
A.
Inicialmente hallamos la solución a la ecuación diferencial:
Factorizando tenemos:
Ahora hallamos
Reemplazamos
(
)(
)
en la ecuación diferencial tenemos:
(
)
(
)
Se concluye que la solución general de la ecuación dada es:

9. B.
Ecuación auxiliar:
(
)
√(
)
( )( )
√
√
( )
Esto nos indica que la ecuación característica tiene Raíces complejas de la forma
Por lo tanto tenemos que:
Entonces la solución general es:
(
( )
)
( )
(
)
Ahora hallamos
Reemplazando
en la ecuación diferencial tenemos:
)
(
)
(

10. Se concluye que la solución general de la ecuación dada es:
( )
C.
Inicialmente hallamos la solución a la ecuación diferencial:
Factorizando tenemos:
( )
Ahora hallamos
Reemplazamos
(
)(
)
en la ecuación diferencial tenemos:
(
)
(
)
Resolvemos el sistema de ecuaciones
(
)

11. (
)
(
)
Se concluye que la solución general de la ecuación dada es:

12. REFERENCIAS BIBLOGRÁFICAS
BUCHELI CHAVES, Carlos Iván. Módulo de Ecuaciones Diferenciales. Universidad
Nacional Abierta y a Distancia, Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería. San
Juan de Pasto 2010. Recuperado el 8 de agosto de 2011 de:
http://campus07.unadvirtual.org/moodle/file.php/54/2010_1/MODULO.pdf
BECERRIL ESPINOSA, José Ventura. ELIZARRARAZ MARTINEZ,
David.
Ecuaciones Diferenciales, Técnicas de Solución y Aplicaciones. Universidad Autónoma
Metropolitana. Primera Edición México 2004. Recuperado el 2011-09-26 de:
http://macox.wordpress.com/2009/09/19/ecuaciones-diferenciales-tecnicas-de-solucion-y-aplicaciones/