Buuuuu

1. TÉCNICAS DE
CONTEO

2. Espacio muestral
El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
EXPERIMENTO ALEATORIO
Símbolos:
Ω S
Reproducción controlada de un fenómeno y cuyo resultado depende del azar.
Ejemplos: lanzar un dado, lanzar una moneda o seleccionar una carta de una baraja.

3. Cuando el número de posibles resultados de un experimento es finito, su espacio
muestral es finito y su cardinal es un número natural.
Si el experimento es simple, el espacio muestral es unidimensional, constituido por
puntos muestrales con una sola componente, y el cardinal es simplemente el
número de posibles resultados del experimento, los que se pueden enumerar
fácilmente.
Si el experimento es combinado, el cardinal puede ser tan grande, que sería del
todo absurdo pretender enumerarlos todos, por ser un proceso lento, tedioso,
costoso y susceptible de errores.
EXPERIMENTO ALEATORIO
PROBABILIDAD

4. EJEMPLO
Se le solicitó a los alumnos de estadística del grupo 617, entrar a
https://dado.online/ y tirar 2 dados de 5 caras 120 veces.
Ahora bien, si yo lanzo un primer dado, me puede salir 1, y este 1 se va a combinar con
las 5 caras del otro dado, y así sucesivamente.

5. ¿Cuál es el espacio muestral?
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5}
Respuesta: en total hay 25 puntos muestrales

6. Ahora bien, estos fueron los resultados de tirar los 2 dados de 5 caras 120 veces

7. Calcula la probabilidad:

8. Calcula la probabilidad:

9. Calcula la probabilidad:
Resultados:

10. Si yo tengo un evento A que se puede realizar de m formas y luego de realizar A se realiza B
de n formas, entonces A y B se pueden realizar de m x n formas.
O bien para un experimento que consta de K eventos sucesivos donde:
El primer evento puede resultar de maneras distintas.
El segundo evento puede resultar de maneras distintas.
El k-ésimo evento puede resultar de maneras distintas.
Debemos usar el principio fundamental de conteo o principio multiplicativo, si se trata de una
secuencia de acciones.
1.
2.
3.
Principio fundamental de conteo

11. El número total de resultados para el experimento completo está dado por:
¿De cuántas formas se puede ordenar una pizza, si hay 2 opciones de masa (tradicional y
especial), y 4 sabores (hawaiana, carne, vegetariana y americana). Solo se puede pedir una
masa y un sabor.
EJEMPLO 1:
Respuesta = La pizza se puede ordenar de 8
formas

12. Paula planea ir al cine con sus amigas, y para escoger la ropa que usará, separo 3 blusas y
2 faldas. ¿De cuántas maneras se puede vestir Paula?
EJEMPLO 2:
Respuesta = Paula se puede vestir de 6 maneras.
n • m = 3 • 2 = 6

13. ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con los dígitos: 1; 2; 3; 4 y 5, si:
EJEMPLO 3:
a) Si se pueden repetir los dígitos.
b) No se pueden repetir los dígitos.
Respuesta a: 25 números de 2 cifras considerando
que si se pueden repetir lo dígitos
Respuesta b: 20 números de 2 cifras considerando
que no se pueden repetir lo dígitos

14. Permutaciones lineales
EL NÚMERO TOTAL DE PERMUTACIONES SE EXPRESA DE LA FORMA:
Se llaman permutaciones a las diferentes maneras en que se pueden ordenar n objetos; todas las
permutaciones son distintas si difieren en al menos un elemento o en el orden de estos y el número
de opciones se reduce en cada paso.
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra LUNA?
EJEMPLO 1:
n=4
Pn = n! = 4! = 4*3*2*1 =24
Respuesta: 24 palabras diferentes.
L
U
N
A
U
N
A
N
A
A
4 3 2 1

15. Permutaciones lineales
Respuesta: De 90 maneras
diferentes
10 personas de distintos países concursan en la olimpiada de matemáticas. ¿De
cuántas maneras se pueden dar el primer y segundo premio entre las 10 personas?
EJEMPLO 2:
10 9
1°
lugar
2°
lugar

16. SU FÓRMULA ES:
Permutaciones circulares
Son las diferentes maneras en que se pueden colocar n objetos
alrededor de un círculo; en este tipo de permutaciones, lo que importa
son las posiciones relativas de los objetos con respecto a ellos mismos y
no las posiciones absolutas de los objetos en el círculo.
6 personas van a jugar cartas sentados alrededor de una mesa, ¿de cuántas maneras
diferentes se pueden ubicar?
EJEMPLO 1:
Respuesta: Se pueden ubicar de 120 maneras diferentes.

17. Permutaciones circulares
¿De cuántos modos distintos podemos ubicar las cifras del 1 al 7 en la figura siguiente?
EJEMPLO 2:
En primer lugar, ubicamos una cifra en el centro para el cual
hay 7 posibilidades.
Luego, utilizamos la permutación circular para los 6 círculos
restantes.
Entonces: #maneras = 7*5! = 7*120 = 840
Resupuesta: de 840 maneras distintas.

18. EL NÚMERO TOTAL DE PERMUTACIONES ES:
Es la manera en la que se puede ordenar un conjunto de n objetos diferentes, formados en
conjuntos de r objetos y en donde se permite la repetición de los elementos.
Permutaciones con repetición
Un maestro quiere ordenar los siguientes libros que tiene: 4 de matemáticas, 2 de literatura y
1 de física (los de una misma materia son iguales). ¿De cuántas formas puede ordenarlos en
el estante?
EJEMPLO 1:
Respuesta: Puede ordenar los libros de 105 formas.

19. Permutaciones con repetición
M A T M T A
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra
MATEMÁTICAS?
EJEMPLO 2:
Respuesta: Hay 1,663,200 palabras diferentes
E Á I C S

20. Combinaciones con restricciones
SE EXPRESA DE LA FORMA:
Es cuando se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las combinaciones son subconjuntos de r
objetos, en donde una combinación es distinta de otra si difiere en al menos un elemento, sin
importar el orden de éstos.
En una habitación hay 10 personas, ¿de cuántas formas se pueden saludar?
EJEMPLO 1:
Respuesta: se pueden saludar de 45 formas.
Combinaciones sin repetición

21. Un chef va a preparar una ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y
brócoli. ¿De cuántas formas se puede preparar la ensalada usando solo 2
ingredientes?
EJEMPLO 2:
Combinaciones con
restricciones
Respuesta: La ensalada se puede preparar de 6 formas.

22. Combinaciones con restricciones
Combinaciones con repetición
Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, se forman conjuntos de r objetos, en donde se
permite la repetición, sin importar el orden de los elementos; aquí también, una combinación es
distinta de otra si difieren en al menos un elemento
Ejemplo:
En una heladería hay 8 sabores de helado diferentes, ¿Cuántas combinaciones de helados de 3 bolas,
con repetición, se pueden comprar?
Respuesta: Se pueden comprar 120 combinaciones de helados en esa heladería.
n = 8 r = 3

24. FUENTES CONSULTADAS
Pérez, V. Permutaciones circulares, 2010, La Guía, de https://matematica.laguia2 000.com/general/permutaciones-circulares
Rodríguez, C. formulas de permutacion y combinación, 2018, matematicas discretas, de
http://rodriguezcamposmatematicasdiscretas.blogspot.com/2018/05/fo rmulas-de-permutacion-y-combinacion.html
Matemáticas profe Alex, Permutación explicación completa | Lineal, Circular y con elementos repetidos, 2020, de
https://www.youtube.com/watch?v=iczs93s3k1I
Valdez, I. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA-FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD-CONCEPTOS PREVIOS: REPASO
DE CONJUNTOS, 2018, FACULTAD DE INGENIERÍA UNAM, de http://www.dcb.unam.mx/prof esores/irene/Notas/Tema_2-0.pdf
Matemóvil. (2019, 6 febrero). Experimento Aleatorio, Espacio Muestral, Evento o Suceso y Probabilidades [Vídeo]. YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=fTIS83G7aC8
D’alessio Torres, V. J. (s. f.). Principio multiplicativo: técnicas de conteo y ejemplos. Lifeder. Recuperado 18 de febrero de 2022, de
https://www.lifeder.com/principio-multiplicativo/
Matemóvil. (2018, 1 octubre). Principios de Adición y Multiplicación (Suma y Producto) - Nivel 1 [Vídeo]. YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=BeA6saiK-_8&list=LL&index=1