El documento describe los diferentes tipos de movimiento de un cuerpo rígido, incluyendo la traslación, la rotación en torno a un eje fijo, y el movimiento plano cualquiera. Explica que en la rotación en torno a un eje fijo, la posición de una recta determina la orientación del cuerpo, y que todos los puntos siguen trayectorias circulares centradas en el eje de rotación, teniendo igual velocidad y aceleración angular.
Este documento introduce los conceptos de esfuerzo y deformación en un punto. Define esfuerzo como las fuerzas internas en un punto y deformación como un cambio de forma o volumen debido a fuerzas externas. Explica cómo calcular los esfuerzos normales y de corte en cualquier plano, y cómo representar gráficamente el estado de esfuerzos en un punto usando el círculo de Mohr. También cubre casos especiales como esfuerzo uniaxial y de corte puro.
El documento presenta la teoría del Círculo de Mohr para representar estados tensionales bidimensionales. Explica conceptos como esfuerzos, círculo de Mohr y teoría de polos. Luego propone un ejercicio donde se pide determinar esfuerzos principales, combinados y cortante máxima para un estado tensional dado, usando esta representación gráfica.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de momentos y rotación en mecánica de fluidos. Explica el momento de un vector, momento angular, momento de inercia, teorema de Steiner, momento de las fuerzas externas, rotación de un sólido rígido, conservación del momento angular y la segunda ley de Newton aplicada a la dinámica de rotación. Finaliza con una tabla resumen de las analogías entre la dinámica de traslación y rotación.
Este documento presenta conceptos clave de resistencia de materiales como el centroide, momento de inercia y perfiles comerciales. Explica que el centroide es el centro geométrico de un objeto, mientras que el momento de inercia depende de la distribución de masa. También cubre formas geométricas simples y compuestas, y cómo calcular sus áreas, centros de gravedad y momentos de inercia. El documento concluye describiendo la metodología de la clase, incluyendo evaluaciones y tareas.
El documento explica los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y centroide. Estos puntos pueden coincidir para un cuerpo en condiciones ideales, como un campo gravitatorio uniforme y una distribución homogénea de masa. El documento también presenta dos métodos para calcular el centroide de figuras planas: el método de las áreas y el método de integración directa. Luego, resuelve varios ejercicios numéricos como ejemplos de aplicación de estos métodos.
3 sistemas equivalentes de fuerzas estaticajrubio802
El documento presenta conceptos sobre sistemas equivalentes de fuerzas, incluyendo:
1) El principio de transmisibilidad y cómo sistemas de fuerzas pueden ser reemplazados por sistemas equivalentes.
2) Cómo calcular momentos de fuerzas con respecto a puntos y ejes, usando productos vectoriales y escalares.
3) La reducción de sistemas de fuerzas a fuerzas, pares y torsores equivalentes.
El documento explica los conceptos de centro de gravedad y centroide de cuerpos bidimensionales y tridimensionales. Define el centro de gravedad como el punto donde se puede considerar que actúa el peso del cuerpo, y el centroide como el punto a través del cual pasan los ejes de los momentos de primer orden. Explica cómo calcular los centros de gravedad y centroides para figuras simples y compuestas usando integrales y teoremas como el de los ejes paralelos. También introduce conceptos relacionados como los momentos de inerc
1) El documento describe el círculo de Mohr, el cual permite representar gráficamente el estado de esfuerzos bidimensional en el suelo.
2) El círculo de Mohr tiene como circunferencia el lugar geométrico de puntos que representan los esfuerzos sobre cualquier plano, donde la normal forma un ángulo θ con la dirección del esfuerzo principal mayor σ1.
3) El documento explica cómo utilizar el círculo de Mohr para leer directamente los esfuerzos normal y tangencial sobre cualquier plano a partir de
Este documento introduce los conceptos de esfuerzo y deformación en un punto. Define esfuerzo como las fuerzas internas en un punto y deformación como un cambio de forma o volumen debido a fuerzas externas. Explica cómo calcular los esfuerzos normales y de corte en cualquier plano, y cómo representar gráficamente el estado de esfuerzos en un punto usando el círculo de Mohr. También cubre casos especiales como esfuerzo uniaxial y de corte puro.
El documento presenta la teoría del Círculo de Mohr para representar estados tensionales bidimensionales. Explica conceptos como esfuerzos, círculo de Mohr y teoría de polos. Luego propone un ejercicio donde se pide determinar esfuerzos principales, combinados y cortante máxima para un estado tensional dado, usando esta representación gráfica.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de momentos y rotación en mecánica de fluidos. Explica el momento de un vector, momento angular, momento de inercia, teorema de Steiner, momento de las fuerzas externas, rotación de un sólido rígido, conservación del momento angular y la segunda ley de Newton aplicada a la dinámica de rotación. Finaliza con una tabla resumen de las analogías entre la dinámica de traslación y rotación.
Este documento presenta conceptos clave de resistencia de materiales como el centroide, momento de inercia y perfiles comerciales. Explica que el centroide es el centro geométrico de un objeto, mientras que el momento de inercia depende de la distribución de masa. También cubre formas geométricas simples y compuestas, y cómo calcular sus áreas, centros de gravedad y momentos de inercia. El documento concluye describiendo la metodología de la clase, incluyendo evaluaciones y tareas.
El documento explica los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y centroide. Estos puntos pueden coincidir para un cuerpo en condiciones ideales, como un campo gravitatorio uniforme y una distribución homogénea de masa. El documento también presenta dos métodos para calcular el centroide de figuras planas: el método de las áreas y el método de integración directa. Luego, resuelve varios ejercicios numéricos como ejemplos de aplicación de estos métodos.
3 sistemas equivalentes de fuerzas estaticajrubio802
El documento presenta conceptos sobre sistemas equivalentes de fuerzas, incluyendo:
1) El principio de transmisibilidad y cómo sistemas de fuerzas pueden ser reemplazados por sistemas equivalentes.
2) Cómo calcular momentos de fuerzas con respecto a puntos y ejes, usando productos vectoriales y escalares.
3) La reducción de sistemas de fuerzas a fuerzas, pares y torsores equivalentes.
El documento explica los conceptos de centro de gravedad y centroide de cuerpos bidimensionales y tridimensionales. Define el centro de gravedad como el punto donde se puede considerar que actúa el peso del cuerpo, y el centroide como el punto a través del cual pasan los ejes de los momentos de primer orden. Explica cómo calcular los centros de gravedad y centroides para figuras simples y compuestas usando integrales y teoremas como el de los ejes paralelos. También introduce conceptos relacionados como los momentos de inerc
1) El documento describe el círculo de Mohr, el cual permite representar gráficamente el estado de esfuerzos bidimensional en el suelo.
2) El círculo de Mohr tiene como circunferencia el lugar geométrico de puntos que representan los esfuerzos sobre cualquier plano, donde la normal forma un ángulo θ con la dirección del esfuerzo principal mayor σ1.
3) El documento explica cómo utilizar el círculo de Mohr para leer directamente los esfuerzos normal y tangencial sobre cualquier plano a partir de
Este documento presenta conceptos fundamentales de esfuerzo y deformación en mecánica de materiales. Explica que la mecánica de materiales estudia el comportamiento de sólidos bajo cargas externas, determinando esfuerzos y deformaciones. Define esfuerzo como la fuerza interna por unidad de área y deformación como el cambio de forma bajo cargas. También cubre temas como esfuerzo normal, cortante, promedio, permisible y diseño, así como deformación normal y cortante unitaria.
6. ed capítulo vi centro de gravedad y centroidejulio sanchez
Este documento describe los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y centroide para sistemas de partículas discretas y cuerpos de formas arbitrarias. Explica cómo calcular la ubicación de estos puntos y presenta métodos para determinar la resultante de una carga distribuida o de un fluido. También incluye ejemplos y ejercicios sobre estos temas.
Esfuerzo, deformacion, flexion, fatiga y torsionMigueZR
Este documento trata sobre varios temas fundamentales de mecánica de materiales como esfuerzo, deformación, flexión, fatiga y torsión. Explica conceptos como esfuerzo y deformación, esfuerzos permisibles, comportamiento elástico vs plástico, flexión pura y no uniforme, deformaciones en elementos sometidos a flexión, funciones de fuerza cortante y momento flexionante, diagrama S-N para fatiga y definición de torsión. El objetivo es proveer conocimientos sobre estos temas importantes para el an
Este documento presenta las soluciones a 4 problemas de ingeniería mecánica. En el primer problema, se calcula el diámetro interior de una columna de hierro fundido sometida a compresión axial. En el segundo, se determina la carga máxima aplicada a un tubo sujeto por pernos de diferentes materiales. El tercer problema calcula la tensión en un cable que sostiene una barra. El cuarto problema determina la deflexión en dos puntos de una barra rígida soportada por eslabones de aluminio y acero.
1) Las rocas tienen varias propiedades ingenieriles importantes como la resistencia, elasticidad, densidad y porosidad. La resistencia depende de la composición mineralógica y es mayor cuando hay más cuarzo.
2) Las rocas también tienen propiedades físicas como la permeabilidad, porosidad y absorción de agua. La porosidad y absorción dependen del tamaño y cantidad de poros.
3) Otras propiedades incluyen la textura, dureza y cómo se miden propiedades como la densidad.
Este documento describe los conceptos básicos de esfuerzo cortante y momento flector en vigas. Explica los tipos de vigas como vigas en voladizo, simplemente apoyadas y con voladizo. Describe cómo se calculan las fuerzas cortantes y momentos en una sección de la viga y cómo se representan en diagramas. También relaciona el esfuerzo cortante y momento flector a través de su ecuación diferencial. Finalmente, propone ejercicios para determinar las ecuaciones y dibujar los diagramas correspondientes.
Este documento presenta información sobre el equilibrio de cuerpos rígidos en estática. Explica los conceptos de diagrama de sólido libre, fuerzas externas e internas, y tipos comunes de apoyos y conexiones en 2D y 3D. Luego, proporciona varios problemas de ejemplo para practicar la representación de diagramas de sólido libre de diferentes configuraciones de cuerpos rígidos.
El documento describe un experimento para localizar el centro de gravedad de placas de acrílico de forma irregular mediante métodos experimentales y teóricos, y comparar los resultados. Se midieron las dimensiones de las placas, se determinaron experimentalmente los centroides colgando las placas de hilos y trazando líneas verticales, y se calcularon teóricamente y usando AutoCAD. Los estudiantes compararon los valores obtenidos y calcularon porcentajes de error.
Este documento presenta los conceptos básicos de la estática de fluidos. Introduce los objetivos de comprender las distribuciones de presión hidrostática, usar la ley fundamental de la hidrostática y determinar fuerzas sobre superficies sumergidas. Explica los estados de la materia, incluyendo sólidos, líquidos, gases y plasma, y define un fluido. Describe propiedades físicas como densidad, peso específico, presión y viscosidad. Finalmente, establece que la presión varía con la altura en un fluido en reposo según
Este documento trata sobre centros de gravedad, centroides y fuerzas distribuidas. Explica que el centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se puede considerar que actúa toda su masa, y cómo calcular el centroide de áreas bidimensionales y líneas. También cubre primeros momentos de áreas y líneas, y cómo determinar centroides de figuras compuestas y mediante integración. Finalmente, presenta los teoremas de Pappus-Guldinus y cómo analizar cargas distribuidas en vigas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinética de sólidos rígidos. Explica las leyes de Newton y el principio de D'Alembert para describir el movimiento de traslación y rotación de cuerpos rígidos. También define conceptos clave como centro de gravedad, momento angular, momento de inercia y sus aplicaciones en las ecuaciones de movimiento de sólidos rígidos sometidos a diferentes tipos de movimiento.
El documento presenta conceptos básicos sobre armaduras. Define una armadura como una estructura compuesta por miembros rectos conectados en empalmes, donde ningún miembro es continuo a través de una articulación. Explica que una armadura simple se construye agregando sucesivamente dos miembros y una conexión triangular básica. Además, introduce el método de nodos para el análisis de armaduras, el cual involucra crear un diagrama de cuerpo libre para cada miembro y perno y establecer ecuaciones de
Este documento presenta el método de diseño por desplazamiento para estructuras de concreto armado. Explica que este método se basa en definir primero el desplazamiento máximo deseado de la estructura y luego determinar la rigidez y resistencia necesarias para alcanzar ese desempeño. También compara este método con el tradicional diseño basado en fuerzas, señalando que el método de desplazamiento es más racional y práctico. Finalmente, detalla los pasos para aplicar el método de diseño directo bas
El documento presenta información sobre el análisis de armaduras mediante los métodos de los nodos y de las secciones. Explica que las armaduras son sistemas estructurales formados por vigas y columnas interconectadas que permiten resistir cargas aplicadas. Describe los conceptos clave de armaduras simples y compuestas y la fórmula m=2n-r para garantizar la estabilidad. También resume los pasos para determinar las fuerzas internas en los miembros utilizando equilibrio estático en los nodos o al cortar la e
Este documento presenta una guía para aplicar el método matricial de rigidez para el cálculo de estructuras esqueletales como pórticos, vigas y cerchas. Inicialmente, se realiza una breve reseña histórica del método. Luego, se explican conceptos clave como grados de libertad, sistemas de coordenadas locales y globales, y matrices de rigidez y transformación. A continuación, se muestran los pasos para obtener la ecuación general del método y su desarrollo cuando hay cargas en nudos o luces
Este documento describe las fuerzas ejercidas por fluidos estáticos sobre superficies. Explica que la fuerza es igual a la presión multiplicada por el área cuando la presión es uniforme, pero que se debe considerar la variación de presión en otras superficies. También cubre cómo calcular las fuerzas resultantes y la ubicación del centro de presión en superficies planas, rectangulares, inclinadas y curvas.
El texto abarca teoria y problemas Resueltos y Propuestos relacionados con los esfuerzos en traccion, flexion, torsion Calculo de vigas estaticamente indeterminadas, vigas continuas..
Análisis de vigas indeterminadas y marcos por el método de pendienteMichael James Chele
El documento describe el análisis de vigas indeterminadas y marcos mediante el método de pendiente-deflexión. Introduce el método y cómo se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión para relacionar los momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos de los nudos y las cargas aplicadas. Luego, ilustra el procedimiento analizando una viga continua de dos claros y deduce la ecuación de pendiente-deflexión para un miembro típico a flexión.
This document describes procedures for determining the point load strength index (Is) of rock samples. Is is used to estimate the uniaxial compressive strength (UCS) of rocks and is determined by applying a concentrated load to cylindrical rock specimens until failure. The document provides details on sample size requirements, test setup, data collection, calculations of Is and corrections to Is(50). It also describes applications to irregular rock lumps and includes examples of test data and results.
Este documento introduce el concepto de momento de inercia como una medida de la resistencia de un cuerpo a la rotación. Explica que el momento de inercia depende de la distribución de masa del cuerpo y de su geometría, y no de las fuerzas actuantes. Además, presenta fórmulas para calcular el momento de inercia de sistemas de partículas y cuerpos continuos, y describe cómo se puede representar el momento de inercia mediante un tensor de inercia.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la cinemática de cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es aquel cuyas dimensiones no cambian bajo ninguna fuerza. Describe los tipos de movimiento como traslación pura, rotación pura y movimiento general. Aplica las leyes de Newton al movimiento de traslación y rotación de cuerpos rígidos. Finalmente, concluye que un cuerpo rígido es aquel que no sufre deformaciones significativas bajo fuerzas externas.
El documento describe los diferentes tipos de movimiento de un cuerpo rígido, incluyendo la traslación, rotación alrededor de un eje fijo, y movimiento plano general. Explica que la cinemática de cuerpos rígidos estudia las relaciones entre posición, velocidad y aceleración de las partículas de un cuerpo durante el movimiento. También analiza conceptos como la velocidad y aceleración absoluta y relativa durante la traslación y rotación de un cuerpo rígido.
Este documento presenta conceptos fundamentales de esfuerzo y deformación en mecánica de materiales. Explica que la mecánica de materiales estudia el comportamiento de sólidos bajo cargas externas, determinando esfuerzos y deformaciones. Define esfuerzo como la fuerza interna por unidad de área y deformación como el cambio de forma bajo cargas. También cubre temas como esfuerzo normal, cortante, promedio, permisible y diseño, así como deformación normal y cortante unitaria.
6. ed capítulo vi centro de gravedad y centroidejulio sanchez
Este documento describe los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y centroide para sistemas de partículas discretas y cuerpos de formas arbitrarias. Explica cómo calcular la ubicación de estos puntos y presenta métodos para determinar la resultante de una carga distribuida o de un fluido. También incluye ejemplos y ejercicios sobre estos temas.
Esfuerzo, deformacion, flexion, fatiga y torsionMigueZR
Este documento trata sobre varios temas fundamentales de mecánica de materiales como esfuerzo, deformación, flexión, fatiga y torsión. Explica conceptos como esfuerzo y deformación, esfuerzos permisibles, comportamiento elástico vs plástico, flexión pura y no uniforme, deformaciones en elementos sometidos a flexión, funciones de fuerza cortante y momento flexionante, diagrama S-N para fatiga y definición de torsión. El objetivo es proveer conocimientos sobre estos temas importantes para el an
Este documento presenta las soluciones a 4 problemas de ingeniería mecánica. En el primer problema, se calcula el diámetro interior de una columna de hierro fundido sometida a compresión axial. En el segundo, se determina la carga máxima aplicada a un tubo sujeto por pernos de diferentes materiales. El tercer problema calcula la tensión en un cable que sostiene una barra. El cuarto problema determina la deflexión en dos puntos de una barra rígida soportada por eslabones de aluminio y acero.
1) Las rocas tienen varias propiedades ingenieriles importantes como la resistencia, elasticidad, densidad y porosidad. La resistencia depende de la composición mineralógica y es mayor cuando hay más cuarzo.
2) Las rocas también tienen propiedades físicas como la permeabilidad, porosidad y absorción de agua. La porosidad y absorción dependen del tamaño y cantidad de poros.
3) Otras propiedades incluyen la textura, dureza y cómo se miden propiedades como la densidad.
Este documento describe los conceptos básicos de esfuerzo cortante y momento flector en vigas. Explica los tipos de vigas como vigas en voladizo, simplemente apoyadas y con voladizo. Describe cómo se calculan las fuerzas cortantes y momentos en una sección de la viga y cómo se representan en diagramas. También relaciona el esfuerzo cortante y momento flector a través de su ecuación diferencial. Finalmente, propone ejercicios para determinar las ecuaciones y dibujar los diagramas correspondientes.
Este documento presenta información sobre el equilibrio de cuerpos rígidos en estática. Explica los conceptos de diagrama de sólido libre, fuerzas externas e internas, y tipos comunes de apoyos y conexiones en 2D y 3D. Luego, proporciona varios problemas de ejemplo para practicar la representación de diagramas de sólido libre de diferentes configuraciones de cuerpos rígidos.
El documento describe un experimento para localizar el centro de gravedad de placas de acrílico de forma irregular mediante métodos experimentales y teóricos, y comparar los resultados. Se midieron las dimensiones de las placas, se determinaron experimentalmente los centroides colgando las placas de hilos y trazando líneas verticales, y se calcularon teóricamente y usando AutoCAD. Los estudiantes compararon los valores obtenidos y calcularon porcentajes de error.
Este documento presenta los conceptos básicos de la estática de fluidos. Introduce los objetivos de comprender las distribuciones de presión hidrostática, usar la ley fundamental de la hidrostática y determinar fuerzas sobre superficies sumergidas. Explica los estados de la materia, incluyendo sólidos, líquidos, gases y plasma, y define un fluido. Describe propiedades físicas como densidad, peso específico, presión y viscosidad. Finalmente, establece que la presión varía con la altura en un fluido en reposo según
Este documento trata sobre centros de gravedad, centroides y fuerzas distribuidas. Explica que el centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se puede considerar que actúa toda su masa, y cómo calcular el centroide de áreas bidimensionales y líneas. También cubre primeros momentos de áreas y líneas, y cómo determinar centroides de figuras compuestas y mediante integración. Finalmente, presenta los teoremas de Pappus-Guldinus y cómo analizar cargas distribuidas en vigas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinética de sólidos rígidos. Explica las leyes de Newton y el principio de D'Alembert para describir el movimiento de traslación y rotación de cuerpos rígidos. También define conceptos clave como centro de gravedad, momento angular, momento de inercia y sus aplicaciones en las ecuaciones de movimiento de sólidos rígidos sometidos a diferentes tipos de movimiento.
El documento presenta conceptos básicos sobre armaduras. Define una armadura como una estructura compuesta por miembros rectos conectados en empalmes, donde ningún miembro es continuo a través de una articulación. Explica que una armadura simple se construye agregando sucesivamente dos miembros y una conexión triangular básica. Además, introduce el método de nodos para el análisis de armaduras, el cual involucra crear un diagrama de cuerpo libre para cada miembro y perno y establecer ecuaciones de
Este documento presenta el método de diseño por desplazamiento para estructuras de concreto armado. Explica que este método se basa en definir primero el desplazamiento máximo deseado de la estructura y luego determinar la rigidez y resistencia necesarias para alcanzar ese desempeño. También compara este método con el tradicional diseño basado en fuerzas, señalando que el método de desplazamiento es más racional y práctico. Finalmente, detalla los pasos para aplicar el método de diseño directo bas
El documento presenta información sobre el análisis de armaduras mediante los métodos de los nodos y de las secciones. Explica que las armaduras son sistemas estructurales formados por vigas y columnas interconectadas que permiten resistir cargas aplicadas. Describe los conceptos clave de armaduras simples y compuestas y la fórmula m=2n-r para garantizar la estabilidad. También resume los pasos para determinar las fuerzas internas en los miembros utilizando equilibrio estático en los nodos o al cortar la e
Este documento presenta una guía para aplicar el método matricial de rigidez para el cálculo de estructuras esqueletales como pórticos, vigas y cerchas. Inicialmente, se realiza una breve reseña histórica del método. Luego, se explican conceptos clave como grados de libertad, sistemas de coordenadas locales y globales, y matrices de rigidez y transformación. A continuación, se muestran los pasos para obtener la ecuación general del método y su desarrollo cuando hay cargas en nudos o luces
Este documento describe las fuerzas ejercidas por fluidos estáticos sobre superficies. Explica que la fuerza es igual a la presión multiplicada por el área cuando la presión es uniforme, pero que se debe considerar la variación de presión en otras superficies. También cubre cómo calcular las fuerzas resultantes y la ubicación del centro de presión en superficies planas, rectangulares, inclinadas y curvas.
El texto abarca teoria y problemas Resueltos y Propuestos relacionados con los esfuerzos en traccion, flexion, torsion Calculo de vigas estaticamente indeterminadas, vigas continuas..
Análisis de vigas indeterminadas y marcos por el método de pendienteMichael James Chele
El documento describe el análisis de vigas indeterminadas y marcos mediante el método de pendiente-deflexión. Introduce el método y cómo se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión para relacionar los momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos de los nudos y las cargas aplicadas. Luego, ilustra el procedimiento analizando una viga continua de dos claros y deduce la ecuación de pendiente-deflexión para un miembro típico a flexión.
This document describes procedures for determining the point load strength index (Is) of rock samples. Is is used to estimate the uniaxial compressive strength (UCS) of rocks and is determined by applying a concentrated load to cylindrical rock specimens until failure. The document provides details on sample size requirements, test setup, data collection, calculations of Is and corrections to Is(50). It also describes applications to irregular rock lumps and includes examples of test data and results.
Este documento introduce el concepto de momento de inercia como una medida de la resistencia de un cuerpo a la rotación. Explica que el momento de inercia depende de la distribución de masa del cuerpo y de su geometría, y no de las fuerzas actuantes. Además, presenta fórmulas para calcular el momento de inercia de sistemas de partículas y cuerpos continuos, y describe cómo se puede representar el momento de inercia mediante un tensor de inercia.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la cinemática de cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es aquel cuyas dimensiones no cambian bajo ninguna fuerza. Describe los tipos de movimiento como traslación pura, rotación pura y movimiento general. Aplica las leyes de Newton al movimiento de traslación y rotación de cuerpos rígidos. Finalmente, concluye que un cuerpo rígido es aquel que no sufre deformaciones significativas bajo fuerzas externas.
El documento describe los diferentes tipos de movimiento de un cuerpo rígido, incluyendo la traslación, rotación alrededor de un eje fijo, y movimiento plano general. Explica que la cinemática de cuerpos rígidos estudia las relaciones entre posición, velocidad y aceleración de las partículas de un cuerpo durante el movimiento. También analiza conceptos como la velocidad y aceleración absoluta y relativa durante la traslación y rotación de un cuerpo rígido.
Este documento describe la cinemática del cuerpo rígido, incluyendo el movimiento de traslación, rotación y rototraslación. Explica conceptos como el centro de masa, la velocidad y aceleración de los puntos del cuerpo rígido, y el eje instantáneo de rotación pura. También define los conceptos de centro de gravedad y centroide y cómo calcular la posición de estos puntos.
Este documento presenta un resumen de una tesis sobre los factores que influyen en la contaminación atmosférica por material particulado en la ciudad de Ica, Perú. La tesis analiza datos históricos de MP10 en Ica y su centro urbano, y determina que a pesar de las reducciones en los niveles generales de MP10, la estación en el centro urbano continúa superando los límites normativos. La tesis también encuentra una variabilidad espacial de las concentraciones de MP10 dentro de Ica y su centro ur
Se realizó una práctica para calcular el momento de inercia de una barra de metal utilizando dos métodos. Primero, se midió el período de oscilación de la barra con una interfaz y un cronómetro. Luego, se usaron las mediciones, junto con las dimensiones y masa de la barra, en fórmulas para calcular el momento de inercia teórico y experimental. Hubo un error significativo entre los valores teórico y experimental, posiblemente debido a errores en la práctica.
Tema II: Cinemática de un cuerpo rígidoRafael Medina
1) El documento describe los sistemas de referencia rígidos y el movimiento de un cuerpo rígido, incluyendo traslación, rotación y movimiento complejo.
2) Explica conceptos como la velocidad angular, el eje instantáneo de rotación, y el centro instantáneo de rotación.
3) Describe el movimiento uniplanar de un cuerpo rígido y las condiciones de rodadura.
Este documento describe los tres tipos de movimiento plano de un cuerpo rígido: traslación, rotación alrededor de un eje fijo, y movimiento plano general. La traslación incluye traslación rectilínea y curvilínea. La rotación ocurre cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo. El movimiento plano general es una combinación de traslación y rotación, donde la traslación ocurre en un plano y la rotación alrededor de un eje perpendicular a ese plano. También define
3. ed capítulo iii equilibrio de un cuerpo rígido (2)julio sanchez
Este documento presenta el concepto de equilibrio para cuerpos rígidos. Explica que para lograr equilibrio, un cuerpo rígido debe satisfacer las ecuaciones de equilibrio y estar adecuadamente restringido por sus soportes. Describe diferentes tipos de soportes y cómo generan reacciones. También cubre cómo dibujar diagramas de cuerpo libre, aplicar las ecuaciones de equilibrio y asegurar restricciones apropiadas. Finalmente, incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento describe conceptos fundamentales de la cinemática de cuerpos rígidos, incluyendo movimiento angular, movimiento circular, movimiento plano de cuerpos rígidos (traslación, rotación alrededor de un eje fijo, movimiento plano general), y aplica estos conceptos a ejemplos numéricos.
(Semana 05 cinemática iii m.c. y m. del cuerpo rigido 2009 b)Walter Perez Terrel
1. El documento describe los elementos y conceptos del movimiento circunferencial, incluyendo desplazamiento lineal, desplazamiento angular, velocidad lineal, velocidad angular, posición del punto material, relación entre las velocidades, y movimiento circunferencial uniforme.
2. Se define el movimiento circunferencial como aquel donde la partícula describe una trayectoria curva circular, y se explican conceptos como periodo, frecuencia, aceleración centrípeta, y leyes de Kepler para este tipo de movimiento.
3. También se analizan casos
El documento trata sobre dinámica rotacional. Explica conceptos como energía cinética de rotación, momento de inercia y cómo calcular el momento de inercia para diferentes objetos como placas rectangulares. También cubre temas como el radio de giro, movimiento de rotación y traslación combinados, y rodamiento sin deslizamiento. Finalmente, presenta algunos problemas de aplicación.
Este documento contiene información sobre una clase de dinámica impartida a estudiantes de ingeniería mecánica. La clase cubrió conceptos como el movimiento de cuerpos rígidos, incluyendo traslación, rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general. También se explicaron velocidad y aceleración absoluta y relativa, así como el centro instantáneo de rotación. Los estudiantes resolvieron ejercicios prácticos y concluyeron que es importante aplicar los conceptos teóricos para
Este documento trata sobre los momentos y sistemas equivalentes de fuerza y momento. Explica qué es un momento, cómo se representa vectorialmente y cómo se calcula el momento de una fuerza respecto a un punto u eje. También cubre la suma de momentos según el teorema de Varignon y cómo simplificar sistemas de fuerzas mediante la determinación de sus resultantes y momentos resultantes. El documento incluye varios ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe los conceptos fundamentales de los momentos de inercia y sus componentes. Explica que el momento de inercia depende de la geometría del cuerpo y la posición del eje de giro, pero no de las fuerzas involucradas. También cubre temas como la determinación del momento de inercia por integración, el teorema de los ejes paralelos, los momentos de inercia de áreas compuestas y el círculo de Mohr para calcular momentos y productos de inercia con respecto a ejes orientados.
Tema 02 sistemas_de_fuerzas_concurrentesHugo Vázquez
Este documento trata sobre la estática y sistemas de fuerzas concurrentes. Explica conceptos clave como la resultante de dos o más fuerzas concurrentes, la descomposición de fuerzas en componentes y el uso de componentes rectangulares. También presenta ejemplos numéricos para calcular resultados y ángulos de fuerzas usando métodos trigonométricos.
Este documento presenta un manual de prácticas de laboratorio sobre fuerzas de fricción en fluidos. El manual describe los objetivos, materiales, marco teórico y conceptos relacionados con la práctica de laboratorio número 01 sobre el módulo de rigidez de un material. Se estudiará experimentalmente el comportamiento de los resortes y la dependencia del período de oscilación con la masa para calcular la constante elástica de un resorte.
Este documento presenta un manual de prácticas de laboratorio sobre fuerzas de fricción en fluidos. El manual describe los objetivos, materiales, marco teórico y conceptos relacionados con la práctica de laboratorio número 01 sobre el módulo de rigidez de un material. Se estudiará experimentalmente el comportamiento de los resortes y la dependencia del período de oscilación con la masa para calcular la constante elástica de un resorte.
Cinematica solido rigidodinamica del 1 bimestre.....Mocha Danny
1. El documento trata sobre la mecánica del sólido rígido y describe sus aspectos cinemáticos, dinámicos y estáticos.
2. Se definen los diferentes tipos de movimiento de un sólido rígido como traslación, rotación, movimiento plano general y movimiento general.
3. También se explican conceptos como el centro de masas, las ecuaciones del movimiento para traslación y rotación, y el análisis cinemático del movimiento de mecanismos.
Este documento trata sobre la dinámica del movimiento de rotación. Explica que cuando un objeto gira, sus diferentes partes tienen velocidades y aceleraciones distintas, por lo que es mejor considerarlo como un cuerpo rígido. Define el movimiento de rotación y la energía cinética de rotación. También cubre el momento de inercia, la relación entre torque y aceleración angular, y aplica estos conceptos al análisis de ejemplos como una barra giratoria y una rueda con un bloque colgando.
1) El documento describe el movimiento de rotación y conceptos como momento de inercia, energía cinética de rotación y su relación con la fuerza y aceleración angular. 2) Incluye tablas de momentos de inercia para diferentes figuras geométricas y ejemplos resueltos sobre rotación de una barra y una rueda. 3) También introduce el movimiento de rodadura, donde el eje de rotación no es fijo, ilustrando con un cilindro que rueda sin deslizamiento.
Este documento presenta el marco teórico y los procedimientos para realizar una práctica de laboratorio sobre fuerzas de fricción en fluidos. La práctica tiene como objetivos estudiar experimentalmente el comportamiento de los resortes y la dependencia del período de oscilación con la masa, así como calcular la constante elástica de un resorte y el módulo de rigidez de un alambre. Se describen los materiales requeridos y los conceptos teóricos como movimiento armónico simple, ley de Hooke y deformación angular necesarios para comp
Este documento describe los conceptos fundamentales de momento de torsión (torque) y inercia rotacional. Define torque como una medida de la fuerza que puede hacer girar un objeto alrededor de un eje, análogo a la aceleración lineal. Explica que la inercia rotacional depende de la distribución de masa de un sistema y juega el mismo papel que la masa en la segunda ley de Newton para sistemas rotacionales. Además, proporciona fórmulas clave como τ = Iα para relacionar torque, inercia rot
1) El documento describe la dinámica de la rotación y las leyes de Newton para el movimiento rotacional. Introduce conceptos como momento de inercia, torque, trabajo y potencia rotacionales.
2) Explica que el momento de inercia depende de la distribución de masa de un objeto y que cuanto mayor sea el momento de inercia de un objeto, más difícil será cambiar su estado de rotación.
3) Según la segunda ley de Newton para la rotación, el torque aplicado a un cuerpo rígido genera una aceleración angular directamente
Este documento presenta información sobre la cantidad de movimiento angular. En primer lugar, introduce conceptos como posición y desplazamiento angular. Luego define la cantidad de movimiento angular (L) y explica que apunta en la dirección del eje de rotación produciendo cierta estabilidad en el giro. Finalmente, resume que para una partícula, L es el producto vectorial entre el vector posición r y el momento lineal p, y que para un sistema de partículas L se obtiene sumando la contribución de cada una.
El documento resume conceptos clave de dinámica rotacional como energía cinética de rotación, inercia rotacional, momento de inercia, teorema de ejes paralelos, momento angular y su conservación. Proporciona ejemplos y ejercicios para calcular el momento de inercia de diferentes objetos como partículas, barras, discos y esferas.
Este documento resume conceptos clave sobre rotación de cuerpos rígidos, incluyendo: (1) movimiento circular uniformemente variado y sus componentes de aceleración, (2) momento de inercia y cómo depende de la forma y distribución de masa de un cuerpo, (3) torque, energía cinética, trabajo y potencia rotacionales y sus analogías con sus equivalentes lineales.
Este capítulo trata sobre el movimiento plano de cuerpos rígidos. Se presentan las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido, incluyendo la cantidad de movimiento angular. Se aplica el principio de D'Alembert para demostrar que las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes a las fuerzas efectivas de sus partículas. Finalmente, se resuelven varios problemas para ilustrar cómo aplicar estas ecuaciones al análisis del movimiento de cuerpos rígidos.
Este documento presenta tres prácticas experimentales relacionadas con diferentes tipos de movimiento rectilíneo. La primera práctica estudia el movimiento rectilíneo uniforme midiendo la velocidad de un carro que se desliza a lo largo de un carril de aire. La segunda práctica analiza el movimiento rectilíneo uniformemente variado usando un plano inclinado. La tercera práctica examina la caída libre como un ejemplo de este tipo de movimiento.
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MECANICA IMECANICA I
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALESDepartamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
TEMA Nº 14:TEMA Nº 14:
DINÁMICADINÁMICA
CINEMÁTICA DELCINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDOCUERPO RÍGIDO
2. - 2 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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IndiceIndice
Punto 14.1 Introducción
Punto 14.2 Traslación
Punto 14.3 Movimiento plano
Punto 14.4 Rotación en torno a un eje fijo
Punto 14.4.1 Movimiento de una recta en la rotación en torno a un eje fijo
Punto 14.4.2 Movimiento de un punto en la rotación en torno a un eje fijo
Punto 14.5 Movimiento plano cualquiera
Punto 15.5.1 Análisis del movimiento absoluto
Punto 14.5.2 Velocidad relativa
Punto 14.5.3 CIR
Punto 14.5.4 Aceleración relativa
Punto 14.6 Movimiento relativo a ejes en rotación
Punto 14.6.1 Posición
Punto 14.6.2 Velocidad
Punto 14.6.3 Aceleración
3. - 3 -
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14.1 Introducción
En el capítulo anterior veíamos que para describir perfectamente el movimiento de un
punto bastaba con conocer en todo instante su situación. Sin embargo, en el caso del
movimiento de un sólido rígido la descripción completa de su movimiento exige que se
den la situación y la orientación del cuerpo, interviniendo tanto magnitudes lineales
como angulares.
En un cuerpo rígido, la separación entre dos puntos
cualesquiera es fija e independiente del tiempo,
con lo que también lo serán los ángulos
determinados por toda tripleta de puntos (figura).
Los cuerpos reales nunca son rígidos, no obstante,
en la mayoría de las aplicaciones técnicas, las
deformaciones debidas a las fuerzas aplicadas
suelen ser relativamente pequeñas.
Una vez terminado el análisis cinético, deberán calcularse las deformaciones. Si son
grandes, es posible que haya que repetir los análisis cinemático y cinético teniendo en
cuenta la deformación.
4. - 4 -
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Consideraremos 5 tipos generales de movimiento
de un cuerpo rígido:
1.- Traslación. En la traslación de un cuerpo rígido, la orientación de todo segmento
rectilíneo del cuerpo se mantiene constante. NO HAY ROTACIÓN.
Un movimiento en el cual una recta se mantenga siempre paralela a la velocidad, se
dice que es de traslación rectilínea en el que todo punto del cuerpo sigue una
trayectoria rectilínea en el sentido del movimiento.
En una traslación curvilínea, la orientación de todo segmento rectilíneo sigue siendo
invariable pero los distintos puntos no siguen trayectorias rectilíneas.
En la traslación coplanaria, la trayectoria de cada punto se mantiene siempre en un
plano.
5. - 5 -
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• En la rotación en torno a un eje fijo, una recta del cuerpo, el eje de rotación, está fija.
• Los puntos que no son del eje recorren trayectorias circulares centradas en el eje.
• Si el eje de rotación no corta al cuerpo, podemos imaginar que este se extiende hasta
incluir el eje de rotación, es decir, a fines cinemáticos el movimiento del cuerpo es el
mismo que tendría si formara parte de un cuerpo rígido mayor que incluyera al eje de
rotación.
• Como cada trayectoria circular está contenida en un plano, la rotación de un cuerpo
en torno a un eje fijo es un movimiento plano.
2.- Rotación en torno a un eje fijo.
6. - 6 -
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La traslación coplanaria y la rotación en torno a un eje fijo constituyen tipos concretos
de movimiento plano en los cuales las rectas del cuerpo cumplen condiciones
particulares. Todo otro tipo de movimiento plano entra en la categoría de movimiento
plano cualquiera.
3.- Movimiento plano cualquiera.
Cada punto del cuerpo permanece en un plano.
4.- Rotación en torno a un punto fijo. Uno de los
puntos del cuerpo está fijo y cada punto se mueve
siguiendo una trayectoria situada en la superficie
de una esfera centrada en el punto fijo.
5.- Movimiento cualquiera. El resto de movimientos entra dentro de esta categoría.
7. - 7 -
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14.2 Traslación
Si A y B son dos puntos cualesquiera del cuerpo, sus
posiciones estarán relacionadas por la regla del triángulo
para la suma de vectores:
ABAB rrr /+=
Como la posición de B relativa a A (rB/A) es constante tanto en módulo como en
dirección, su derivada será nula, así al derivar respecto al tiempo la ecuación anterior se
tiene simplemente:
AB vv =
Expresión que nos dice que en un cuerpo rígido en traslación todos sus puntos tienen
igual velocidad. Podemos derivar respecto al tiempo la ecuación anterior y obtenemos:
AB aa =
La orientación de todo
segmento rectilíneo de
un cuerpo rígido se
mantiene constante.
Expresión que nos dice que en un cuerpo rígido en traslación todos sus puntos tienen
igual aceleración.
Como la forma, tamaño y orientación del cuerpo no importan para describir el
movimiento, la Cinemática de los puntos que constituyen un cuerpo rígido en
movimiento de traslación coincide con la Cinemática del punto (capítulo 13).
8. - 8 -
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14.3 Movimiento plano.
Características generales
• Cada punto del cuerpo permanece en un plano.
• Como todos los puntos de rectas perpendiculares a un plano
tienen igual movimiento, bastará considerar el movimiento en un
solo plano. En adelante, se utilizará el plano que contiene el
centro de masa al que llamaremos plano del movimiento.
• Así, la posición de un cuerpo rígido en movimiento plano
quedará determinada al dar la situación de un punto y la
orientación de una recta del plano del movimiento.
• La orientación de la recta se puede determinar o bien dando el
ángulo que forma con una dirección fija o dando la situación de
dos puntos cualesquiera de la recta.
• El movimiento de todo el cuerpo podrá determinarse a partir del
movimiento de dicho punto y el movimiento de la recta.
9. - 9 -
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Considerando el cuerpo de la figura en el que se han dibujado
dos segmentos rectilíneos separados un ángulo fijo β. Ambos
están en el plano de movimiento y los ángulos que forman con
una dirección fija de referencia son θAB y θCD. Estos ángulos
están relacionados de la forma:
Es importante observar que el movimiento
angular de rectas del plano del movimiento es
el mismo para toda recta de un cuerpo rígido:
βθθ += ABCD
Al moverse el cuerpo, variarán los ángulos θAB y θCD pero no el ángulo fijo β con lo que
al derivar la ecuación anterior respecto al tiempo, tendremos
ωωθθω ==== ABABCDCD
Donde ω es la velocidad angular, variación por unidad de tiempo de la posición
angular. Esta ecuación nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual velocidad
angular ω. Derivando respecto al tiempo la ecuación anterior, tenemos
ααωθθωα ====== ABABABCDCDCD
Donde α es la aceleración angular, variación por unidad de tiempo de la velocidad
angular. Esto nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual aceleración
angular α.
10. - 10 -
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14.4 Rotación en torno a un eje fijo
Se ha indicado que la posición de un cuerpo rígido en movimiento plano queda
determinada al dar la situación de un punto y la orientación de una recta del plano del
movimiento.
Así, el movimiento plano de todo cuerpo se puede determinar a partir del movimiento
de dicho punto y el movimiento de la recta.
En nuestro caso, en la rotación alrededor de un eje fijo, el punto del eje permanece
siempre en él. Por tanto, el movimiento de todo cuerpo se podrá determinar a partir del
movimiento de una recta.
A continuación se va a analizar,
en la rotación en torno a un eje fijo:
• El movimiento de una recta.
• El movimiento de un punto.
11. - 11 -
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14.4.1 Movimiento de una recta en la
rotación en torno a un eje fijo
En la rotación en torno a un eje fijo, la posición del cuerpo queda determinada al dar la
posición angular θ de una recta cualquiera del plano de movimiento.
La derivada respecto al tiempo de la posición angular da la velocidad angular ω(t) y la
segunda derivada da la aceleración angular α(t) del cuerpo rígido:
)(;)( 2
2
t
dt
d
dt
d
t
dt
d
α
ωθ
ω
θ
===
Si conocemos la aceleración angular en función del tiempo podremos integrar para
obtener la velocidad angular y la posición angular en función del tiempo así:
∫∫ =−=−
tt
dtttdttt
0
0
0
0 )()(;)()( ωθθαωω 2
000
2
1
)(;)( ttttt αωθθαωω ++=+=
Cuando se conozca la aceleración angular en función de la posición angular y no del
tiempo, la regla de la cadena para la derivación da
θ
ω
ω
θ
θ
ωω
θα
d
d
dt
d
d
d
dt
d
===)(
α=cte
que se puede integrar para obtener la velocidad angular
en función de la posición angular ∫=−
2
1
)(2/2/ 2
1
2
2
θ
θ
θθαωω d
12. - 12 -
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14.4.2 Movimiento de un punto en la
rotación en torno a un eje fijo
En la rotación en torno a un eje fijo, los puntos que no estén en el eje recorren
trayectorias circulares centradas en dicho eje.
La velocidad del punto P puede escribirse en función de un
vector velocidad angular ω definido por: ω = ω k , de
- dirección: la del eje en torno al cual gira el cuerpo
- sentido: regla de la mano derecha
y en función de rP (vector de posición del punto P medido
relativo al eje de rotación), de la siguiente manera
tPPP errv ωω == x
Expresando el producto vectorial en función de las
coordenadas x-y, tenemos:
ji)ji)k θωθωθθω cosrsenrsenrcosrv PPPPP +−=+= (x(
13. - 13 -
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La aceleración del punto P que recorre su
trayectoria circular alrededor del eje de rotación,
tendrá componentes normal y tangencial
jiji θωθωθαθα senrcosrcosrsenra PPPPP
22
−−+−=
Por analogía con la velocidad de P, la componente tangencial
de la aceleración se podrá escribir en la forma:
PtP ra x)( α=
donde α es el vector aceleración angular definido por α = αk de
- dirección: la del eje en torno al cual gira el cuerpo
- sentido: regla de la mano derecha
Las componentes x-y de la aceleración se obtienen derivando la la velocidad así:
( ) ( ) nPtPnPtPP ereraaa 2
ωα +=+=
La componente normal de la aceleración se podrá escribir en la forma:
nPtPPnP ererva 2
)(x)k(x)( ωωωω ===
así: )x(xxxx PPPPP rrvra ωωαωα +=+=
14. - 14 -
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PROBLEMA 14.1PROBLEMA 14.1
El plato de un tocadiscos alcanza su velocidad de
funcionamiento de 33,33 rpm al cabo de 5 revoluciones a
partir del momento de ponerlo en marcha.
Determinar la aceleración angular inicial α0 del
plato si:
a) la aceleración angular es constante α = α0 =
constante
b) la aceleración angular disminuye linealmente
con la velocidad angular desde α0 cuando ω = 0
hasta α0/4 cuando ω = 33,33 rpm.
15. - 15 -
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PROBLEMA 14.2PROBLEMA 14.2
Una rueda dentada de 80 mm de
diámetro gira en torno a un eje que
pasa por su centro O. En cierto
instante, la velocidad angular de la
rueda es de 2 rad/s en sentido
antihorario, aumentando a razón de 1
rad/s2
. Determinar la aceleración (en
módulo, dirección y sentido) del
diente A en dicho instante.
16. - 16 -
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14.5 Movimiento plano cualquiera
En este apartado se va a tratar todo movimiento plano en el cual las rectas del cuerpo
giren sin que haya ningún punto del cuerpo fijo.
Veremos que los movimiento planos cualesquiera son una SUPERPOSICIÓN de una
traslación y una rotación en torno a un eje fijo.
Existen dos métodos generales para la solución de los problemas de movimiento plano
cualquiera:
Método 1 (del movimiento absoluto): Se escriben las relaciones geométricas
que describen las ligaduras a las que está sometido el cuerpo y su interacción con
otros cuerpos. Después se utilizan estas relaciones para describir la situación y
movimiento de otros puntos del cuerpo.
Método 2 (del movimiento relativo): Aprovecha el concepto del movimiento
relativo de puntos. Como la distancia entre dos puntos de un cuerpo rígido es
invariable, las expresiones de la velocidad y aceleración relativas adoptan formas
sencillas que sólo dependen de la velocidad angular y de la aceleración angular
del cuerpo.
17. - 17 -
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14.5.1 Análisis del movimiento absoluto
Las ecuaciones relativas al movimiento angular del cuerpo rígido y al movimiento de
alguno de sus puntos se pueden obtener efectuando un análisis minucioso de la relación
entre puntos y rectas del cuerpo rígido.
Primero se obtiene la situación de un cierto punto del cuerpo en función de la
orientación angular de éste.
A continuación, las derivadas respecto al tiempo de esta relación dan la velocidad y la
aceleración del punto en función de la orientación angular, la velocidad angular y la
aceleración angular del cuerpo.
Como este método se apoya totalmente en la descripción geométrica del cuerpo o
cuerpos del problema, no se pueden deducir unas fórmulas generales. Habrá que
deducir fórmulas específicas para cada problema concreto.
18. - 18 -
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PROBLEMA 14.3PROBLEMA 14.3
Deducir una expresión que relacione la posición
de un punto del borde de una rueda cuando
ruede sin deslizamiento sobre una superficie
horizontal en reposo. Utilizar dicha expresión
para:
a) Dar la velocidad del punto en función de θ y
ω.
b) Demostrar que la velocidad del punto de
contacto entre la rueda y la superficie es
instantáneamente nula.
c) ...
d) ...
19. - 19 -
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14.5.2 Velocidad relativa
Si A y B son dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido,
sus posiciones estarán relacionadas así:
ABAB /rrr +=
y derivándola respecto al tiempo:
ABAB /vvv +=
Ecuaciones aplicables a dos puntos cualesquiera, tanto si forman parte del cuerpo
rígido como si no. Si los puntos A y B pertenecen a un cuerpo rígido, su separación
será constante y el punto B resulta recorrer una trayectoria circular alrededor del punto
A. Por tanto, la velocidad relativa vB/A vendrá dada por
ABtABAB r /// rxkev ωω ==
entonces ABAtABAABAB r /// rxkvevvvv ωω +=+=+=
Por tanto, la velocidad del punto cualquiera B de un cuerpo rígido es la suma de la
traslación de todo el cuerpo con A más una rotación de todo el cuerpo alrededor de A.
20. - 20 -
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Por lo tanto, la ecuación de la velocidad relativa se puede utilizar en los siguientes casos:
a) Para hallar las dos componentes de la velocidad de un cierto punto B cuando se
conozcan la velocidad angular del cuerpo y la velocidad de otro punto del cuerpo.
b) Cuando se conozcan las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B (ejemplo:
si se deslizan a lo largo de guías fijas) y se da una de las tres magnitudes que faltan
(módulo de la velocidad en A, idem en B o la velocidad angular)
Cuando dos o más cuerpos rígidos estén unidos por un
pasador, podrán escribirse por separado las ecuaciones
de la velocidad relativa correspondientes a cada uno de
los cuerpos. Uno de los puntos utilizados en cada
ecuación deberá ser el punto común que une los dos
cuerpos y cuya velocidad será la misma para cada cuerpo.
CBBCCABABA
CBCABAB
//
//
rxkvrxkv
vvvvv
ωω +=+
+=+=
La ecuación anterior es una ecuación vectorial,
que en el caso de movimiento plano, tiene dos
componentes escalares independientes (una para
i y otra para j).
21. - 21 -
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PROBLEMA 14.4PROBLEMA 14.4
Una escalera AB tiene una longitud
de 3 m y se desliza por la pared y el
suelo. Cuando el ángulo θ vale 30º,
el extremo inferior de la escalera se
está moviendo hacia la derecha con
una velocidad constante de 2 m/s.
Determinar la velocidad del
extremo superior de la escalera y la
velocidad angular de ésta en ese
instante.
22. - 22 -
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PROBLEMA 14.5PROBLEMA 14.5
La rueda del mecanismo corredera-cigüeñal de la figura gira en sentido
antihorario con velocidad constante de 10 rad/s.
Determinar la velocidad de la corredera B y la velocidad angular de la biela AB
del cigüeñal cuando θ vale 60º.
23. - 23 -
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PROBLEMA 14.5PROBLEMA 14.5
bisbis
24. - 24 -
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14.5.3 Centro instantáneo de rotación (CIR)
En un movimiento plano cualquiera de un cuerpo rígido, no hay ningún punto que se
halle siempre en reposo. No obstante, en cada instante, es siempre posible hallar un
punto del cuerpo (o de su extensión), llamado CIR, que tenga velocidad nula.
El CIR de un cuerpo rígido en movimiento plano cualquiera no es un punto fijo. La
aceleración del CIR no suele ser nula. Por tanto, diferentes puntos del cuerpo rígido
serán CIR en diferentes instantes y la situación del CIR se moverá respecto al tiempo.
Para situar el CIR trazaremos perpendiculares a las
velocidades conocidas (de al menos dos puntos) y el
punto de corte indicará el CIR (punto C). Eso es debido a
que la velocidad de C es nula y que las velocidades de A
y de B se calculan como:
CBB
CAA
/
/
rxkv
rxkv
ω
ω
=
=
25. - 25 -
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Si las velocidades de los puntos A y de B fuesen
paralelas, el CIR debería hallarse en la recta que
une dichos puntos. Como el módulo de la
velocidad relativa es ωr, la situación del CIR se
halla por semejanza de triángulos.
Una vez localizado el CIR, la velocidad de cualquier otro punto del cuerpo se podrá
hallar utilizando la ecuación de la velocidad relativa CDCDCD // rxkvvv ω=+=
Si las velocidades de los
puntos fuesen iguales en
un instante cualquiera, el
cuerpo se hallaría
instantáneamente en
traslación y ω = 0. (CIR
en el infinito).
Cuando dos o más cuerpos estén unidos por un pasador, podremos hallar un CIR para
cada cuerpo. En general, estos CIR no coincidirán en posición. Como la velocidad
absoluta del punto que une dos cuerpos es la misma para cada uno de ellos, los CIR de
uno y otro deberán estar sobre la recta que pase por el punto común de ambos cuerpos.
26. - 26 -
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PROBLEMA 14.6PROBLEMA 14.6
En el instante representado en la figura, la corredera A se está moviendo hacia
la derecha con una velocidad de 3 m/s. Hallar la situación del CIR y utilizarlo
para hallar la velocidad angular del brazo AB y la velocidad de la corredera B.
27. - 27 -
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14.5.4 Aceleración
relativa
Derivando dos veces respecto al tiempo la ecuación
de la posición relativa obtenemos:
Ecuación aplicable a dos puntos cualesquiera, tanto
si forman parte del cuerpo rígido como si no.
ABAB aaa /+=
Pero si los puntos A y B pertenecen a un cuerpo rígido, su separación será constante y
el punto B resulta recorrer una trayectoria circular alrededor del punto A. Por tanto, la
aceleración relativa aB/A vendrá dada por
( ) ( ) ( ) ( )[ ] nABtABABABnABtABAB rraaa eerxkxkrxk 2
/////// ωαωωα +=+=+=
( ) ( )[ ] nABtABAABABAABAB rraaaaa eerxkxkrxk 2
///// ωαωωα ++=++=+=
y
Como la componente normal de la aceleración relativa contiene a ω, habrá que resolver
antes el problema de la velocidad relativa para poder resolver el de aceleración relativa.
Luego:
28. - 28 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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PROBLEMA 14.7PROBLEMA 14.7
Para las condiciones e instante especificados en el ejemplo 14-4. Hallar la
aceleración angular de la escalera y la aceleración de su extremo superior.
θ= 30º
ω = 0,770 rad/s (antihorario)
vA = 1,155 m/s ↓
aB = 0
29. - 29 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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PROBLEMA 14.8PROBLEMA 14.8
Para las condiciones e instante
especificados en el ejemplo 14-5.
Hallar la aceleración angular de la
biela AB y la aceleración de la
corredera B. θ = 60º
Ø = 15,06º
ωAB = 1,553 rad/s (horario)
vB = 22,50 m/s ←
30. - 30 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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14.6 Movimiento relativo a ejes
en rotación
Hasta ahora se ha descrito la posición, la velocidad y la aceleración de cada punto
utilizando un sistema de coordenadas fijo. Sin embargo, existen otros tipos de
problemas para los cuales conviene describir el movimiento de uno de los puntos
relativo a un sistema de coordenadas en rotación, a saber:
1.- Cuando el movimiento se observa desde un sistema de coordenadas que está
girando. Ejemplo: Cuando se observa desde la Tierra en rotación el movimiento de
cohetes o naves espaciales.
2.- Cuando los movimientos de dos puntos están relacionados de alguna manera
pero no son iguales y no están en un mismo cuerpo rígido. Ejemplo: Mecanismos
conectados mediante pasadores que se deslizan por ranuras. El movimiento relativo se
especifica suficientemente dando la traslación y la rotación de la pieza que contiene la
ranura, la forma de dicha ranura y la rapidez con que el pasador la recorre.
3.- Problemas de cinética en los que interviene la rotación de cuerpos rígidos de
forma irregular. Para algunos cuerpos, si utilizamos ejes de coordenadas que giran con
el cuerpo, los momentos y productos de inercia serán constantes, cosa que no ocurre
con ejes fijos, a menos que el cuerpo presente simetrías.
31. - 31 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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14.6.1 Posición
Consideremos que A y B sean dos puntos
cualesquiera animados de movimiento plano.
En función de un sistema de coordenadas fijo X-Y,
las situaciones de A y B vienen dadas por:
jiji BBBAAA YXrYXr +=+= y
Supongamos que el punto A pertenece a un cuerpo rígido que gira con velocidad
angular ω y con aceleración angular α, de valores:
Supongamos además que el movimiento del punto A pueda describirse fácilmente en
el sistema de coordenadas fijo.
Por otra parte, supongamos que el punto B se mueva de una manera prefijada relativa
al cuerpo rígido giratorio (Ejemplo- pasador que corre por una ranura).
Aun cuando pudiera ser fácil describir el movimiento del punto B relativo al cuerpo
giratorio, pudiera no ser fácil la descripción de su movimiento relativo al sistema de
coordenadas fijo X-Y.
kyk θαθω ==
32. - 32 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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Sea x-y un sistema de coordenadas, con origen en
el punto A, solidario al cuerpo rígido y que gire
con él. Así, el vector de posición relativa es
yxAB eyexr +=/
Donde ex y ey son los vectores unitarios asociados a
los ejes giratorios, por lo que varían con el tiempo.
Por tanto, la posición de B vendrá determinada por:
( )yxAABAB eyexrrrr ++=+= /
x
y
rA = XAi + YAj
ex = cosθ i + senθ j
ey = - senθ i + cosθ j
En donde: son funciones del tiempo conocidas.
Vamos a describir el movimiento del punto B
relativo al cuerpo giratorio:
33. - 33 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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14.6.2 Velocidad
Derivando respecto al tiempo la expresión de la
posición del punto B:
( )
dt
ed
y
dt
ed
xvv
dt
ed
ye
dt
dy
dt
ed
xe
dt
dx
v
dt
eyexd
v
dt
rd
vv
yx
BrelA
y
y
x
xA
yx
A
AB
AB
+++=
=++++=
+
+=+= /
vBrel es la velocidad de B relativa al sistema de coordenadas giratorio x-y y los dos
últimos términos aparecen por que las direcciones de los vectores unitarios ex y ey
varían con el tiempo por la rotación de los ejes x-y.
θ
θ
θ
θθ
θ
θ
θ d
ed
dt
d
d
ed
dt
ed
d
ed
dt
d
d
ed
dt
ed yyyxxx ==== y
Como:
x
y
y
x
e
d
ed
e
d
ed
−==
θθ
y
Tenemos:
yx
y
xy
x
ee
dt
ed
ee
dt
ed
xyx ωθωθ =−===
( )yxAABAB eyexrrrr ++=+= /
Brelv
34. - 34 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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Aplicando estos resultados en la ecuación de la
velocidad relativa tenemos:
( ) ( ) BrelABAyxBrelAB vrveyexvvv ++=+++= /xxx ωωω
Donde vA, vB y ω se miden relativos al sistema de coordenadas fijo X-Y.
rB/A y vBrel se miden relativos al sistema de coordenadas giratorio x-y
Todos los vectores de la ecuación anterior se deben expresar en un sistema de
coordenadas común antes de efectuar las sumas y el producto vectorial.
O bien rB/A y vBrel se expresan en el sistema de coordenadas fijo X-Y mediante:
ex = cosθ i + senθ j ey = - senθ i + cosθ j
O bien vA y vB deberán expresarse en el sistema de coordenadas giratorio x-y usando:
i = cosθ ex - senθ ey j = senθ ex + cosθ ey
La elección se basará en la forma en que se conozcan los datos y en la forma en que
quieran tenerse los resultados.
35. - 35 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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( ) BrelABAB vrvv ++= /xω
Si A y B son dos puntos fijos de un mismo cuerpo rígido, entonces la vBrel = 0, ω será
su velocidad angular y la ecuación anterior se reduce a la deducida en el apartado
14.5.2 que analizaba la velocidad relativa en movimiento plano cualquiera.
Si A es un punto fijo de un cuerpo rígido en rotación y B es un pasador que corre en
una ranura del cuerpo será la velocidad que tendría el punto B si
estuviera fijo en el cuerpo en vez de estar moviéndose respecto a él. El último término
vBrel (tangente a la ranura) es la velocidad adicional que tiene el punto B a causa de su
movimiento a lo largo de la ranura.
( )ABA rv /xω+
Interpretación de la expresión obtenida:
36. - 36 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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PROBLEMA 14.10PROBLEMA 14.10
Al oscilar el brazo BC, de
400 mm de longitud, del
mecanismo representado en
la figura, el collar C se
desliza en uno y otro sentido
por el brazo AD. Sabiendo
que Ø = 1,5 sen πt rad donde
t se expresa en segundos,
determinar la velocidad de
rotación del brazo AD y la
velocidad de la corredera a
lo largo del brazo AD
cuando t = 1/3 s.
37. - 37 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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14.6.3 Aceleración
Derivando respecto al tiempo la ecuación de la
velocidad obtenida anteriormente:
dt
vd
dt
rd
r
dt
d
aa BrelAB
ABAB +++= /
/ xx ω
ω
Del cálculo de la velocidad relativa: ( )ABBrel
AB
rv
dt
rd
/
/
xω+=
( ) ( )
( ) ( )BrelBrelyxBrel
yx
yx
yxBrel
vaeyexa
dt
ed
y
dt
ed
xeyex
dt
eyexd
dt
vd
xxx ωωω +=++=
=
+++=
+
=
Un cálculo semejante de la derivada de la velocidad de B relativa nos da:
es la aceleración de B relativa al sistema de coordenadas giratorio x-y (medida en él).
Aplicando las ecuaciones anteriores en la ecuación * y reagrupando términos se llega a
( ) BrelABAB vrvv ++= /xω
*
α
38. - 38 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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( ) BrelBrelABABAB varraa x2xxx // ωωωα ++++=
Donde aA, aB, ω y α se miden relativos al sistema de coordenadas fijo X-Y.
rB/A, vBrel y aBrel se miden relativos al sistema de coordenadas giratorio x-y
Todos los vectores de la ecuación anterior se deben expresar en un sistema de
coordenadas común antes de efectuar las sumas y productos vectoriales.
O bien rB/A, vBrel y aBrel se expresan en el sistema de coordenadas fijo X-Y mediante:
ex = cosθ i + senθ j ey = - senθ i + cosθ j
O bien aA, aB, ω y α deberán expresarse en el sistema de coordenadas giratorio x-y
usando: i = cosθ ex - senθ ey j = senθ ex + cosθ ey
La elección se basará en la forma en que se conozcan los datos y en la forma en que
quieran tenerse los resultados.
39. - 39 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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Interpretación de la expresión obtenida:
( ) BrelBrelABABAB varraa x2xxx // ωωωα ++++=
Si A y B son dos puntos fijos de un mismo cuerpo rígido, entonces la vBrel = aBrel = 0, ω
y α son la velocidad angular y la aceleración angular y la ecuación anterior se reduce a
la deducida en el apartado 14.5.4 que analizaba la aceleración relativa en movimiento
plano cualquiera.
Si A es un punto fijo de un cuerpo rígido en rotación y B es un pasador que se desliza
por una ranura del cuerpo, la aceleración que tendría el punto B si estuviera fijo en el
cuerpo en vez de estar moviéndose respecto a él será:
El término aBrel es la aceleración adicional que tiene el punto B a causa de su
movimiento a lo largo de la ranura.
El término restante 2 ω x vBrel es la aceleración de Coriolis, perpendicular tanto a ω
como a vBrel y por tanto estará en el plano de movimiento y será perpendicular a la
ranura a lo largo de la cual se mueve el pasador.
( )ABABA rra // xxx ωωα ++
40. - 40 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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PROBLEMA 14.11PROBLEMA 14.11
En el mecanismo de la figura, el brazo
AB gira en sentido horario con una
frecuencia constante de 6 rpm
mientras el pasador P se mueve hacia
fuera a lo largo de una guía radial
practicada en el disco giratorio con
una velocidad constante de 25 mm/s.
En el instante representado, r = 7,5
cm, ω = 12 rpm, α = 0,1 rad/s2
, ambas
en sentido horario. Determinar la
velocidad y la aceleración absolutas
del pasador P en ese instante.
41. - 41 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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PROBLEMA 14.11PROBLEMA 14.11
bisbis
42. - 42 -
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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PROBLEMAPROBLEMA
EXAMENEXAMEN
La barra AB de la figura tiene una
velocidad angular antihoraria de 2 rad/s
y una aceleración angular antihoraria de
10 rad/s2
.
a) Determinar la velocidad angular de la
barra AC y la velocidad del pasador A
respecto a la ranura de la barra AB.
(ωAC = 10 rad/s; vA rel = -3,58 m/s)
b) Determinar la aceleración angular
angular de la barra AC y la aceleración
del pasador A respecto a la ranura de la
barra AB. (αAC = 170 rad/s2
; aA rel =
-75,13 m/s2
)