Tema 4: Fading and diversity

Propagación de Ondas
Capítulo 4: Fading and Diversity
Francisco Sandoval1
1Departamento de Ciencias de la Computación y Electrónica
Universidad Técnica Particular de Loja
Loja, Ecuador
fasandoval@utpl.edu.ec
2017.1

Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad

Wireless Mobile Communications
Tabla: Family of 2G/2.5G/2.75G Standards
2G GSM 10 Kbps Global System for Mobile Communications
2G CDMA 10 Kbps Code Division Multiple Access
2.5G GPRS ∼ 50 Kbps General Packet Radio Service
2.5G EDGE ∼ 200 Kbps Enhanced Data for GSM Evolution
Tabla: Family of 3G/3.5G Wireless Standards
3G WCDMA/UMTS 384 Kbps
WCDMA → Wideband CDMA,
UMTS → Universal Mobile Telecommunication Standard
3G CDMA 2000 384 Kbps Code Division Multiple Access - 2000
3.5G HSPA/HSUPA 5-30 Mbps
HSDPA → High speed downlink packet access
HSUPA → High speed uplink packet access
3.5G
IxEVDO
Rev. A,B,C
5-30 Kbps IxEDO → Evolution Data Optimized
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 3 / 88

Wireless Mobile Communications
Tabla: Family of 4G Wireless Standards
4G LTE 100-200 Mbps LTE → Long Term Evolution
4G WiMAX 100-200 Mbps WiMAX → Worldwide Interoperability for Microwave Access
Tabla: Sumirize
2G, 2,5G 10 - 100 Kbps voice + data
3G, 3,5G 300 Kbps - 30 Mbps voice + data + video calling
4G 100 Mbps - 200 Mbps online gaming, HDTV

Comunicaciones Inalámbricas
Reflection
Scattering
Diffraction
Direct LOS Path
Dispersiones
Ej.: árboles, autos,
ediﬁcios.
Ambiente de propagación
multi-trayecto.
LOS → Line of sight
NLOS → Non-line of sight

Comunicaciones Inalámbricas
Interferencia constructiva y destructiva.
señal
transmitida
señal
recibida
canal
inalámbrico

Atenuación
MS
BS
a0δ(t − τ0)
a1δ(t − τ1)
a2δ(t − τ2)
...
aL−1δ(t − τL−1)
a0 → factor de atenuación, τ0 → retardo
a1δ(t − τ1) → Primer trayecto, NLOS.
h(t) = a0δ(t − τ0) + a1δ(t − τ1) + · · · + aL−1δ(t − τL−1)
=
L−1
i=0
aiδ(t − ti)

Señal Inalámbrica
Baseband - Passband
representation
Complex Baseband
equivalent of
the passband signal
fc es la frecuencia portadora.
GSM: 900 MHz, 1800 MHz.
3G/4G: 2.3 GHz a 2.4 GHz.
y(t) = s(t) ∗ h(t),
donde ∗ representa la convolución.

Señal Inalámbrica
y0(t) = {a0sb(t − τ0)ej2πfc(t−τ0)
}
y1(t) = {a1sb(t − τ1)ej2πfc(t−τ1)
}
...
yL−1(t) = {aL−1sb(t − τL−1)ej2πfc(t−τL−1)
}
Por tanto, la señal en el receptor es
y(t) =
L−1
i=0
aisb(t − τi)ej2πfc(t−τi)
=
L−1
i=0
aisb(t − τi)e−j2πfcτi
ej2πfct
,
donde L−1
i=0 aisb(t − τi)e−j2πfcτi → señal compleja

Señal Inalámbrica
Complex Baseband Rx signal
yb(t) =
L−1
i=0
aisb(t − τi)e−j2πfiτi
,
e−j2πfiτi → factor de fase complejo

Suposición de Banda estrecha
Sea fm la máxima componente en frecuencia de sb(t)
Ej: GSM → fm = 100 kHz.
fm < 1/τi para todo i → Condición de banda estrecha.
τi = 1µs
1/τi = 1/µs = 1 MHz
GSM es una señal de banda estrecha.

Señal Banda estrecha
Para una señal banda estrecha:
sb(t − τi) ≈ sb(t) (el retardo es insigniﬁcante)
Si sb(t) es la señal transmitida en banda base, y e−j2πfcτi el
factor complejo (coeﬁciente complejo)
yb(t) = sb(t)
L−1
i=0
aie−j2πfcτi

L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1
2fc

L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1
2fc
Solución:
Coeﬁciente complejo:
h =
L−1
i=0
aie−j2πfcτi
=
1
i=0
aie−j2πfcτi
= 1 + 1(e−jπ
)
= 1 + (−1)
= 0
Señal recibida, para el ejemplo:
sb(t) × 0 = 0

L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1
fc

L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1
fc
Solución:
h = 1 + 1 = 2
yb(t) = sb(t) × 2 = 2 · sb(t)
High
very low
Power
Time
Fading

Modelo Analítico
Sistemas Inalámbricos
yb(t) = hsb(t)
donde h es el coeﬁciente complejo de desvanecimiento.
Sistemas cableados o alámbricos (no hay multi-trayectos)
yb(t) = sb(t)

Estadística del coeﬁciente de desvanecimiento
h =
L−1
i=0
aie−j2πfcτi
= x + jy = aejθ
=
L−1
i=0
ai cos(2πfcτi) − jai sin(2πfcτi)
x =
L−1
i=0
ai cos(2πfcτi)
y =
L−1
i=0
ai sin(2πfcτi)

Variable Aleatoria Gaussiana
x ∼ N(µ, σ2
)
fX (x) =
1
√
2πσ2
e−
(x−u)2
2σ2
Referencia: Wikipedia
Distribución Normal Estándar
N(0, 1)
fX (x) =
1
√
2π
e− x2
2

Teorema del Límite Central
Enunciado Formal
Sea X1, X2, · · · , Xn un conjunto de variables aleatorias,
independientes e idénticamente distribuidas de una
distribución con media µ y varianza σ2 = 0. Entonces, si n es
suﬁcientemente grande, la variable aleatoria
¯x =
1
n
n
i=1
xi
tiene aproximadamente una distribución normal con µ¯x = µ y
σ¯x2 = σ2
n [Wikipedia, 2016b].
“El TLC indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma
de n v.a’s independientes y de varianza no nula pero inﬁnita, entonces
la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una
distribución normal o Gaussiana.” [Wikipedia, 2016b]

Coeﬁciente de desvanecimiento complejo
h = x + jy
h es la suma de un largo número de componentes
aleatorias → Teorema del límite central.
Considere:
x ∼ N(0, 1/2),
y ∼ N(0, 1/2).
x, y son variables aleatorias independientes.
fX (x) =
1
2π · 1/2
e
− x2
2·1/2
=
1
√
π
e−x2
= fY (y) =
1
√
π
e−y2
fX,Y (x, y) =
1
π
e−(x2+y2)

h = x + jy = aejφ
,
a y φ representan la magnitud y fase, respectivamente. Por lo
tanto, x = a cos φ, y = a sin φ, y
x2
+ y2
= a2
cos2
φ + a2
sin2
φ
= a2
(cos2
φ + sin2
φ)
= a2
Por tanto,
fX,Y (x, y) =
1
π
e−(x2+y2)
fA,Φ (a, φ) =
1
π
e−a2
det(JX,Y )

fA,Φ (a, φ) =
1
π
e−a2
det(JX,Y ),
donde
JX,Y =


δX
δa
δY
δa
δX
δφ
δY
δφ

 =
cos φ sin φ
−a sin φ a cos φ
,
luego
det(JX,Y ) = a cos2
φ + a sin2
φ = a
y ﬁnalmente la distribución del coeﬁciente de desvanecimiento
es
fA,Φ (a, φ) =
1
π
e−a2
· a =
a
π
e−a2
.

Encontrando la distribución marginal
fA (a) =
π
−π
fA,Φ (a, φ)dφ
=
π
−π
a
π
e−a2
dφ
=
a
π
e−a2
π
−π
dφ
= 2π ·
a
π
e−a2
fA (a)= 2ae−a2

Canal con desvanecimiento Rayleigh
Rayleigh fading density:
fA (a) = 2ae−a2
donde a = x2 + y2 para 0 ≤ a ≤ ∞ corresponde a la
envolvente del canal con desvanecimiento.
desvanecimiento
profundo

Canal con desvanecimiento Rayleigh
fΦ (φ) =
∞
0
a
π
e−a2
da
=
∞
0
1
2π
(2aea2
)da
=
1
2π
−e−a2 ∞
0
fΦ (φ)=
1
2π
.
Que corresponde a una distribución uniforme entre [−π, π].
fA,Φ (a, φ) =
a
π
e−a2
=
1
2π
2ae−a2
= fΦ (φ) · fA (a),
dado que A y φ son variables aleatorias independientes.

Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh
¿Cuál es la probabilidad de qué la atenuación sea peor a 20 dB?

¿Cuál es la probabilidad de qué la atenuación sea peor a 20 dB?
Solución: Sea g la ganancia de el canal,
10 log10 g ≤ −20
log10 g ≤ −2
g ≤ 10−2
= 0.01
g = a2
a ≤ 0.1
P(a ≤ 0.1) =
0.1
0
2ae−a2
da
= −e−a2 0.1
0
= 1 − e−0.01
= 0.01
Por lo tanto, la probabilidad de que la atenuación sea peor que -20 dB es 0.01 o 1%.
Nota: Si se conoce la estadística de comportamiento del coeﬁciente complejo de
desvanecimiento, se puede predecir la probabilidad con la cual, la señal recibida,
es atenuada.

¿Cuál es la probabilidad de que la fase φ ∈ [−π/3, π/3]?

¿Cuál es la probabilidad de que la fase φ ∈ [−π/3, π/3]?
Solución:
P(−π/3 ≤ φ ≤ π/3) =
π/3
−π/3
1
2π
dφ
=
1
2π
π
3
− −
π
3
=
1
2π
·
2π
3
=
1
3

Desempeño de sistemas de comunicaciones
inalámbricos y cableados
Bit Error Rate (BER)
Tx
Rx
1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ...
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
Bit error
BER = probabilidad de error de bit en el ﬂujo de información.
De 10000 bits, 100 fueron recibidos errados.
Solución:
BER =
100
10000
= 10−2
= 0.01

BER en un sistema de comunicaciones cableado
Dado que en el sistema cableado no existe multi-trayectos
(h = 1)
y = 1 · x + n
y = x + n,
donde n representa el ruido blanco Gaussiano → n ∼ N(0, σ2
n)
AWGN = Additive White Gaussian Noise

Considere un sistema BPSK - Binary Phase Shift Keyed System. El
símbolo de información 1 y 0 se deﬁnen a través de dos niveles (1 y −1)
multiplicados por la potencia de la estación base:
1 : +1 ×
√
P
0 : −1 ×
√
P
Entonces, los bits 1 y 0 se tx a potencias:
1 →
√
P
0 → −
√
P
que corresponde a un sistema de comunicaciones digitales.
Considere el caso cuando el bit cero es transmitido:
y = −
√
P + n
El error de bit ocurre si y > 0,
n −
√
P > 0
n>
√
P,

donde n ∼ N(0, σ2
n), por tanto
P n >
√
P =
∞
√
P
1
2πσ2
n
e−x2
/2σ2
n dx,
Sea x
σn
= t; dx = σndt, entonces la probabilidad de un bit errado es
P(n >
√
P) =
∞
P
σ2
n
1
2πσ2
n
e−t2
/2
σndt
=
∞
P
σ2
n
1
√
2π
e−t2
/2
dt
como la función Q(v) se deﬁne por:
Q(v) =
∞
v
1
√
2π
e−t2
/2
dt
ﬁnalmente,
P(n >
√
P) = Q
P
σ2
n

Si se considera el sistema
y = x + n,
sea P la potencia de la señal transmitida (x) y σ2
n la
potencia de ruido (n).
La tasa de error de bits (BER) de un sistema de
comunicaciones cableado es
BER = Q
P
σ2
n
= Q(
√
SNR)

Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
cableado
Dado un SNR = 10 dB, ¿cuál es el BER del sistema de comunicaciones cableado?

cableado
Dado un SNR = 10 dB, ¿cuál es el BER del sistema de comunicaciones cableado?
Solución:
SNRdB = 10 log10 SNR
10 log10 SNR = 10dB
log10 SNR = 1
SNR = 10
BER = Q(
√
10) = 7.82 × 10−4
10
BER
SNR
Nota: Considerando un SNR = 10 dB, el número de bit con
error en 10000 bits es 7.82 × 10−4 × 10000 = 7.82.

cableado
Calcular el SNRdB requerido para tener una probabilidad de error de bit (BER) de
10−6.

cableado
Calcular el SNRdB requerido para tener una probabilidad de error de bit (BER) de
10−6.
Solución:
10−6
= Q(
√
SNR)
√
SNR = Q−1
(10−6
)
SNR = Q−1
(10−6
)
2
SNR = (4.7534)2
= 22.595
SNRdB = 10 log10(22.595)
= 13.6dB
Nota: para un BER=10−6, se requiere una SNRdB = 13.6 dB en
un canal de comunicaciones cableado.

BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico
Para un sistema inalámbrico:
y = hx + n,
donde h = aejφ y a posee distribución de Rayleigh.
Dado que la potencia de la señal transmitida es P y la
potencia de ruido es σ2
n,
Potencia recibida = P · |h|2
SNR recibido =
Pa2
σ2
n
=
a2P
σ2
n
Cableado Inalámbrico
SNR = P
σ2
n
SNR = a2P
σ2
n
BER = Q P
σ2
n
BER = Q a2P
σ2
n
donde a es una cantidad aleatoria.

BER =
∞
a2P
σ2
n
1
√
2π
e−x2/2
dx
En general, la media de una v.a. es dada por
media de g(a) =
∞
0
g(a)fA(a)da
Por tanto el BER de un sistema inalámbrico puede calcularse por
BER =
∞
0
Q
a2P
σ2
n
2ae−a2
da
=
∞
0
∞
√
a2µ
1
2π
e−x2
/2
dx · 2ae−a2
da,
donde lo marcado en rojo corresponde a la distribución normal estándar.

Sustituyendo
x
z
√
µ
= u; dx = a
√
µdu
se tiene
BER =
∞
0
∞
1
2ae−a2
a
√
µe−µa2
u2
/2
duda
=
∞
1
∞
0
2a2
√
2π
e− a2
2
(2+µu2
)
dadu
Luego de resolver la integral (comprobar), puede verse que el BER para
un sistema inalámbrico es
BER =
1
2
1 −
µ
2 + µ
=
1
2
1 −
SNR
2 + SNR

Canal cableado Canal inalámbrico
y = x + n y = hx + n
BER=Q
√
SNR BER = 1
2 1 − SNR
2+SNR
Para un valor alto de SNR
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
=
1
2

1 −
1
1 + 2
SNR


≈
1
2
1 − 1 −
1
2
·
2
SNR
=
1
2
·
1
SNR
BER para una canal inalámbrico con SNR alto:
BER ≈
1
2 · SNR

inalámbrico
Calcular la tasa de error de bit para un sistema de comunicaciones inalámbrico, si
SNR = 20 dB.

inalámbrico
Calcular la tasa de error de bit para un sistema de comunicaciones inalámbrico, si
SNR = 20 dB.
Solución:
20dB = 10 log10 SNR
log10 SNR = 2
SNR = 102
= 100
Entonces:
BER =
1
2 · SNR
=
1
2 · 100
= 0.5 × 10−3
Conclusión: El sistema de comunicaciones inalámbrico tiene
un BER muy alto.
Comparando con el sistema cableado, para un SNR=10dB, el
BER = 7.8 × 10−4.

inalámbrico
Calcule la SNRdB para un sistema de comunicaciones inálámbrico considerando un
BER = 10−6.

inalámbrico
Calcule la SNRdB para un sistema de comunicaciones inálámbrico considerando un
BER = 10−6.
Solución:
10−6
=
1
2 · SNR
SNR =
1
2 · 10−6
=
10+6
2
SNRdB= 57dB
La diferencia entre un sistema de comunicación inalámbrico y
un cableado es
= 57 − 13.6dB ≈ 43dB!
Un sistema de comunicaciones inalámbrico tiene alto BER y
pobre desempeño, lo que se debe al desvanecimiento.

10 log10 SNRwireless − 10 log10 SNRwired = 43dB
10 log10
SNRwireless
SNRwired
= 43dB
log10
SNRwireless
SNRwired
= 4.3dB
SNRwireless
SNRwired
= 104.3
≈ 104
= 10000
SNRwireless = 10000 × SNRwired
considerando un BER de 10−6
Pwireless = 10000 × Pwired

Expresiones del BER para un sistema cableado e
inalámbrico
Sistema inalámbrico:
BER =
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
≈
1
2 · SNR
Sistema cableado:
BER = Q
√
SNR ≈ e−SNR/2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
γ
b
(dB)
P
b
M = 4
M = 16
M = 64
Rayleigh fading
AWGN
> 30dB

Sistema de Comunicación inalámbrico
y = hx + n
El desempeño del sistema inalámbrico es MALO cuando la
potencia recibida es menor que la potencia de ruido.
Considere el coeﬁciente de desvanecimiento (|h|2
P),
correspondiente a hx
|h|2
= a2
P
El desempeño es MALO, cuando a2P < σ2
n,
a2
<
σ2
n
P
=
1
SNR
a <
1
√
SNR

Probabilidad de desvanecimiento profundo
La probabilidad de que exista un desvanecimiento profundo es
P a < 1/
√
SNR =
1/
√
SNR
0
fA (a)da
=
1/
√
SNR
0
2e−a2
da
≈
1/
√
SNR
0
2ada
= 2
a2
2
1/SNR
0
=
1
SNR
BER =
1
2 · SNR
probabilidad de desvanecimiento profundo =
1
SNR
BER ≈ Probabilidad de desvanecimiento profundo
El desempeño pobre de los sistemas inalámbricos se debe al desvanecimiento
profundo (deep fade) → Interferencia destructiva.

Diversidad
¿Cómo mejorar el desempeño de los sistemas inalámbricos?
DIVERSIDAD
La diversidad puede ser empleada para mejorar el desempeño de los
sistemas inalámbricos a través de controlar o combatir el desvanecimiento.
Tx Rx
el enlace tiene
desvanecimiento
el desempeño
es malo!
un enlace
(no-cableado)
Tx Rx
Diversidad

Diversidad en Tiempo
Dispersión de las señales de información a través de múltiples
intervalos de tiempo.
Repetition coding: Transmitir la misma señal repetidas veces a través de
múltiples tiempos coherentes (separación en tiempo > tiempo
coherente) → ancho de banda ineﬁciente!!!
Error Control Coding: Esquema mucho más soﬁsticado.
Coding and interleaving
Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communications 73
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1111
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Interleaving
x2
Codeword
x3
Codeword
x0
Codeword
x1
Codeword
|hl|
L = 4
l
No Interleaving
Figure 3.5: The codewords are transmitted over consecutive symbols (top) and inter-
Referencia: [Tse and Viswanath, 2005]

Diversidad en Frecuencia
Diversidad en Frecuencia
Transmitir la misma
información a través de
diferentes sub-portadoras.
Separación en frecuencia >
ancho de banda coherente.
Diversidad espacial
Transmitir/Recibir por
múltiples antenas.
Suﬁciente separación entre
antenas para lograr
uncorrelated channel gains
e.g., alrededor de media
longitud de onda, λ/2, para
desvanecimiento Rayleigh.
ECSE610  DIVERSITY - 13
Diversity: Frequency, Space
Frequency diversity:
 Transmit same info over different
subcarriers
 frequency separation > coherence
bandwidth
Space diversity:
 Transmit/receive from multiple
antennas
 Sufficient antenna separation to
achieve uncorrelated channel gains,
e.g., about half wavelength, λ/2, for a
Rayleigh fading

Técnicas de Diversidad en el Receptor
 Transmitter sends same signal over L independent fading paths
obtained by diversity in time, space, frequency (repetition codin
LinearCombiner
 Most combiners are linear (weigh
sum of branches)
y = hx + n
y = [y1, · · · , yL]T
h = [h1, · · · , hL]T
= [r1ejθ1,··· ,rLejθL
]T
n = [n1, · · · , nL]T
∼ CN(0, N0IL)
Most combiners are linear
(weighted sum of
branches)
yΣ = (wT
h) · x + (wT
n)
w = [w1, · · · , wL]T

Técnicas de Diversidad en el Receptor
EGC and Performance
 The received signals from the L
diversity branches are coherently
combined with equal weights
 The receiver does not need the
information of ||h||
 Performance is worse than that of MRC
(about 1 dB), but much better than SC
for large L
L
RelativeSNRimprovementindB
D. G. Brennan, “Linear Diversity
Combining Techniques”, Proceedings of
the IRE, Vol. 47, June 1959, pp. 1075–1102.
Classic Paper Reprint, Proceedings of the
IEEE, Vol. 91, No. 2, February 2003, Pp.
331-356
Performance/complexity tradeoff
SC EGC MRC
Complexity
Simplest
(co-phasing
not required)
Only need to
estimate phase
Highest
(need to track phase
and SNR)
Performance Worst
Much better than SC
and worse than MRC
(close, 1dB penalty)
Best
(much better than SC)

Sistema de Múltiples antenas
Tx Rx
Si L1 y L4 se encuentran en desvanecimiento profundo, aún se
puede recibir información a través de los enlaces L2, L3

Modelo de un Sistema de Múltiples antenas
Tx Rx
1 antena transmisora
L antenas receptoras
Orden de diversidad L
x → señal transmitida
sistema inalámbrico: y = hx + n

Modelo de un Sistema de Múltiples antenas
L enlaces
y1 = h1x + n1 → modelo entre la ant. Tx y la ant Rx 1
y2 = h2x + n2
...
yL = hLx + nL
El hi corresponde al coeﬁciente de desvanecimiento del enlace i-ésimo.





y1
y2
...
yL





=





h1
h2
...
hL





x +





n1
n2
...
nL





Notación vectorial
yL×1 = hL×1 x + nL×1

Detección de la señal
y = hx + n
E|ni(k)|2
= σ2
n
La señales recibidas en las L antenas receptoras, son
y1, y2, · · · , yL.
Combinando las señales recibidas (w → beamformer):
w∗
1y1 + w∗
2y2 + · · · + w∗
LyL
w∗
1 w∗
2 · · · w∗
L





y1
y2
...
yL





= wH
y → Beamforming (forma de haz)
Por tanto
y = hx + n

y = hx + n
wH
y = wH
(hx + n)
= wH
hx + wH
n → componente señal + componente ruido
SNR =
potencia de la señal
potencia del ruido
señal = wH
hx
potencia de la señal = wH
h
2
· P

Potencia de ruido:
Potencia de ruido = E (wH
n)(wH
n)∗
= E wH
nnH
w
= wH
E nnH
w
Sea n = [n1, n2, · · · , nL]T
, entonces
nnH
= [n1, n2, · · · , nL]T
[n1, n2, · · · , nL]
=






|n1|2
n1n∗
2 · · · · · ·
n2n∗
1 |n2|2
· · · · · ·
...
...
...
...
· · · · · · · · · |nL|2






y por tanto,
E[nn]H
=





σ2
n 0 0 0
0 σ2
n 0 0
...
...
...
...
· · · · · · · · · σ2
n





= σ2
nI

Remplazando en la potencia de ruido:
Potencia de ruido = wH
E nnH
w
= σ2
nwH
w
= σ2
n w 2
→ ruido a la salida en el beamformer
Luego el SNR a la salida del beamformer
SNR =
wHh
2
P
σ2
n w 2

Escoger w tal que w maximize el SNR:
max SNR = max
wHh
2
w 2
P
σ2
n
El SNR es k invariante en relación a w (si se multiplica w
por un factor k el SNR no se afecta).
SNR =
kwH
h
2
kw
2
P
σ2
n
=
k2
wH
h
2
k2 w
2
P
σ2
n
=
wH
h
2
w
2
P
σ2
n

Escogiendo w tal que w 2
= 1 → wH
w = 1.
Problema: maximizar:
SNR = wH
h
2 P
σ2
n
tal que w = 1.
max wH
h
2 P
σ2
n
, (1)
Como aH
b = |a| |b| cos θ. El máximo valor para esta expresión se
da cuando los vectores a y b se encuentran en el misma dirección,
i.e. θ = 0, cos θ = 1. Similarmente, el SNR en (1) se maximiza
cuando:
w = ch,
donde c es una constante. Recordando la condición w = 1:
c2
h 2
= 1
c =
1
h

Por tanto, el vector óptimo beamformer w que maximiza el
SNR recibido es [maximal ratio combining (MRC)]
wopt =
h
h
Por tanto:
SNR = wH
h
2 P
σ2
n
=
hH
h
h
2
P
σ2
n
= h 2 P
σ2
n

Ejemplo: Detección de la señal
Sistema con múltiples antenas en recepción L = 2.
Tx Rx
y1
y2
=
h1
h2
x +
n1
n2
Sea:
h1 =
1
√
2
+
1
√
2
j ; h2 =
1
√
2
−
1
√
2
j ; |h1| = 1/2 + 1/2 = 1; |h2| = 1

Ejemplo: Detección de la señal
Solución:
h =
1√
2
+ 1√
2
j
1√
2
− 1√
2
j
h 2
= |h1|2
+ |h2|2
= 1 + 1 = 2
h =
√
2
wMRC =
h
h
=
1
√
2
1√
2
+ 1√
2
j
1√
2
− 1√
2
j
=
1
2
+ 1
2
j
1
2
− 1
2
j
La salida del receptor beamformer
= wH
y
= 1
2
− 1
2
j 1
2
+ 1
2
j
y1
y2
=
1
2
−
1
2
j y1 +
1
2
+
1
2
j y2
La SNR en el receptor después del MRC:
=
h 2
P
σ2
n
=
2P
σ2
n

Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas
Rx SNR = h 2 P
σ2
n
= |h1|2
+ |h2|2
+ · · · |hL|2 P
σ2
n
= g
P
σ2
n
donde
g = |h1|2
+ |h2|2
+ · · · |hL|2
g = h 2
es una variable aleatoria CHI-SQUARED con 2L grados de
libertad, con distribución de probabilidad:
fG(g) =
1
(L − 1)!
gL−1
e−g

Chi-Squared
Chi-Squared - Deﬁnición
“La distribución de Pearson,
llamada también ji cuadrada(o)
o chi cuadrado(a) (X2), es una
distribución de probabilidad
continua con un parámetro k
que representa los grados de
libertad de la variable aleatoria
X = Z2
1 + · · · + Z2
k
Donde Zi son variables
aleatorias normales
independientes de media cero
y varianza uno
[Wikipedia, 2016a]”.
Función distribución de probabilidad
Referencia: [Wikipedia, 2016a]

Rx SNR = g
P
σ2
n
Bit-Error rate instantáneo
= Q g · SNR
Average BER
=
∞
0
Q g · SNR fG(g)dg
BER con L antenas receptoras y combinador MRC
=
1 − λ
2
2 L−1
l=0
L+l−1
C
l
1 + λ
2
l
donde
n
C
k
=
n!
k!(n − k)!
; λ =
SNR
2 + SNR

Para L = 1
=
1 − λ
2
1
l=0
l
C
l
1 + λ
2
l
=
1 − λ
2
0
C
0
1 + λ
2
0
=1
ﬁnalmente
BER =
1
2
(1 − λ) =
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
BER con una antena receptora

Para alto SNR
1
2
(1 − λ) =
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
=
1
2



1 −
1
1 + 2
SNR
1
2




=
1
2
1 − 1 −
1
2
2
SNR
=
1
2 · SNR
1
2
(1 + λ) ≈
1
2
1 + 1 −
1
SNR
=
1
2
2 −
1
SNR
≈
1
2
· 2
= 1
Para alto SNR
f(x) =



1
2
(1 − λ) ≈ 1
2·SNR
1
2
(1 + λ) ≈ 1

Average BER
=
1 − λ
2
L L−1
l=0
L−l−1
C
l
1 + λ
2
l
=
1
2 · SNR
L L−1
l=0
L+l−1
C
l
=
2L−1
C
l
1
2L
1
SNR
L
BER con L antenas de recepción después de un Maximal Ratio
Combining para alto SNR
=
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L

Ejemplo: Análisis del BER de un Sistema con
Múltiples Antenas
Considere L = 2 antenas recibidas, ¿cuál es el SNR requerido para obtener un BER de
10−6?

Múltiples Antenas
Considere L = 2 antenas recibidas, ¿cuál es el SNR requerido para obtener un BER de
10−6?
Solución:
BER =
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
=
3
C
2
1
22
1
SNR
2
=
3
4
1
SNR
2
Para un BER de 10−6
1
SNR
2
=
4
3
× 10−6
SNR2
=
3
4
× 106
SNR =
√
3
2
× 103
SNRdB = 10 log10
√
3
2
× 103
= 29, 37dB
Nota: El SNR requerido con una sola antena fue 57 dB!. Con dos antenas en
recepción existe una reducción de 57-29 dB ≈ 28 dB

Múltiples Antenas
Sea P1
w = potencia requerida con 1 antena receptora.
Sea P2
w = potencia requerida con 2 antenas receptoras.
10 log10
P1
w
P2
w
= 28 ≈ 30dB
P1
w
P2
w
= 103
P2
w =
P1
w
103
Nota:
Agregar una antena en el receptor inalámbrico tiene una
mejora signiﬁcante en el desempeño del BER.
La diversidad en el receptor es muy importante en 3G/4G.
Los sistemas: WCDMA, HSDPA, LTE, WiMAX emplean
diversidad.

¿Por qué el BER decrese con el número de las antenas
en recepción?
Para L antenas,
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
L = 1 →
1
2 · SNR
∝
1
SNR
L = 2 →
2
4
1
SNR
2
∝
1
SNR2
L = 3 → BER ∝
1
SNR3 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
Pout
10log
10
(γ/γ
0
)
M = 1
M = 2
M = 3
M = 4
M = 10
M = 20
Figure 7.5: Pout for MRC with i.i.d. Rayleigh fading.
Rayleigh fading, where pγΣ (γ) is given by (7.16), it can be shown that [4, Chapter 6.3]
Pb =
∞
0
Q( 2γ)pγΣ (γ)dγ =
1 − Γ
2
M M−1
m=0
M − 1 + m
m
1 + Γ
2
m
, (7
where Γ = γ/(1 + γ). This equation is plotted in Figure 7.6. Comparing the outage probab
for MRC in Figure 7.5 with that of SC in Figure 7.2 or the average probability of error for MR
Figure 7.6 with that of SC in Figure 7.3 indicates that MRC has signiﬁcantly better performance t
SC. In Section 7.7 we will use a diﬀerent analysis based on MGFs to compute average error probab
under MRC, which can be applied to any modulation type, any number of diversity branches, and
Referencia: [Goldsmith, 2005]
Cuando incrementa el número de antenas en el receptor, el BER
decrese a una tasa mucho más rápida.

Sistema con múltiples antenas
¿Cuál es la probabilidad de desvanecimiento profundo?
y = hx + n
La potencia de la señal después del MRC es
h 2 P
σ2
n
= g
P
σ2
n
SNR =
h 2
P
σ2
n
h2
P < σ2
n
g · P < σ2
n
g<
1
SNR
→ deep fade

fG(g) =
gL−1
(L − 1)!
e−g
P g <
1
SNR
=
1/SNR
0
gL−1
(L − 1)!
e−g
dg
≈
SNR
0
gL−1
(L − 1)!
dg
=
gL
L!
1/SNR
0
La probabilidad de desvanecimiento profundo es
=
1
L!
1
SNR
L
∝
1
SNR
L
Con más antenas receptoras la probabilidad de desvanecimiento profundo decrese
signiﬁcativamente.

Intuición (para bajo BER)
Tx Rx
deep fade
1
SNR
= probabilidad de desvanecimeinto profundo
= BER

Tx Rx
El sistema presenta
desvanecimiento profundo
únicamente cuando todos los L
enlaces presentan
desvanecimiento profundo.
Considere L enlaces y que Ei representa el evento “el
enlace i se encuentra en desvanecimiento profundo”:
P(E1 ∩ E2 ∩ · · · EL) = P(E1)P(E2) · · · P(EL)
=
1
SNR
·
1
SNR
· · ·
1
SNR
L tiempos
=
1
SNR
L

Diversidad Espacial
Diversidad por múltiples antenas es conocido como
DIVERSIDAD ESPACIAL.
Una suposición crítica:
E1, E2, · · · , EL los cuales representan eventos de
desvanecimiento profundo, son independientes.
Para contar con antenas independientes, tienen que ser
ubicadas suﬁcientemente distantes unas de otras.
¿Qué tan distantes deben ser ubicadas las antenas?
Para obtener canales independientes a lo largo de las
antenas receptoras, se requiere un espaciamiento igual a λ/2
donde, λ representa la longitud de onda de la portadora, i.e.,
λ = c/fc. Siendo, fc la frecuencia portadora y c la velocidad
de la luz.

Ejemplo: Separación de las antenas
Considere un sistema GSM con frecuencia portadora fc = 900 MHz. ¿Cuál es el
espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?

Considere un sistema GSM con frecuencia portadora fc = 900 MHz. ¿Cuál es el
espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?
Solución:
λ =
c
fc
=
3 × 108[m/s]
900 × 106[1/s]
= 33.33 cm
Por lo tanto, el espaciamiento entre antenas es:
λ
2
=
33.33
2
= 16.66 cm
Nota: No es posible ubicar múltiples antenas en un celular.

Ahora considere un sistema 3G/4G con frecuencia portadora fc = 2.3 GHz. ¿Cuál es
el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?

Ahora considere un sistema 3G/4G con frecuencia portadora fc = 2.3 GHz. ¿Cuál es
el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?
Solución:
λ =
c
fc
=
3 × 108[m/s]
2.3 × 109[1/s]
= 13.04 cm
Por lo tanto, el espaciamiento entre antenas es:
λ
2
=
13.04
2
= 6.5 cm
Nota: Es posible ubicar múltiples antenas en un teléfono
3G/4G.

Orden de Diversidad
Sea el BER de un sistema inalámbrico dado por Pe(SNR),
el orden de diversidad d es
d = lim
SNR→∞
log Pe(SNR)
log(SNR)
Aproximadamente relacionado al número de canales
independientes.

Orden de Diversidad, Sistema Inalámbrico (L = 1)
Una antena receptora (L = 1)
Pe(SNR) =
1
2 · SNR
Por tanto,
d = − lim
SNR→∞
log 1
2·SNR
log SNR
= − lim
SNR→∞
− log SNR − log 2
log SNR
= lim
SNR→∞
1 +
log 2
log SNR
Para un SNR alto, el segundo término log 2
log SNR
tiende a 0, ya que el
SNR → ∞.
d = lim
SNR→∞
1
= 1
El orden de diversidad con una antena receptora es d = 1.

Orden de Diversidad, Sistema Inalámbrico con L antenas de recepción
Pe(SNR) =
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
d = − lim
SNR→∞
log
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
log SNR
= lim
SNR→∞
L log SNR − log
2L−1
C
L
1
2L
log SNR
= lim
SNR→∞
L −
log
2L−1
C
L
1
2L
log SNR
El término en azul tiene a cero ya que SNR → ∞. Por lo tanto,
el orden de diversidad es d = L

Orden de diversidad de un sistema de
comunicaciones cableado
Pe(SNR) = Q(
√
SNR) ≈ e−SNR/2
d = − lim
SNR→∞
log e−SNR/2
log SNR
= − lim
SNR→∞
−SNR/2
log SNR
=
1
2
lim
SNR→∞
SNR
log SNR
=
1
2
lim
SNR→∞
1
1/SNR
=
1
2
lim
SNR→∞
SNR
= ∞
Orden de diversidad d = ∞
Nota: Un canal cableado tiene orden de diversidad ∞. Es decir, puede ser
considerado como un canal que comprende un número inﬁnito de enlaces
independientes.

Referencias I
Referencia Principal: [Jagannathan, 2013]
[Goldsmith, 2005] Goldsmith, A. (2005).
Wireless communications.
Cambridge university press.
[Jagannathan, 2013] Jagannathan (2013).
Advanced 3g and 4g wireless mobile communications.
[Tse and Viswanath, 2005] Tse, D. and Viswanath, P. (2005).
Fundamentals of wireless communication.
Cambridge university press.
[Wikipedia, 2016a] Wikipedia (2016a).
distribucion-x2.
https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_%CF%87%C2%B2.
[Online; accessed 27-Junio-2016].
[Wikipedia, 2016b] Wikipedia (2016b).
Teorema del limite central.
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_l%C3%ADmite_central.
[Online; accessed 17-Junio-2016].

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