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Propagación de Ondas
Capítulo 4: Fading and Diversity
Francisco Sandoval1
1Departamento de Ciencias de la Computación y Electrónica
Universidad Técnica Particular de Loja
Loja, Ecuador
fasandoval@utpl.edu.ec
2017.1
Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad
Wireless Mobile Communications
Tabla: Family of 2G/2.5G/2.75G Standards
2G GSM 10 Kbps Global System for Mobile Communications
2G CDMA 10 Kbps Code Division Multiple Access
2.5G GPRS ∼ 50 Kbps General Packet Radio Service
2.5G EDGE ∼ 200 Kbps Enhanced Data for GSM Evolution
Tabla: Family of 3G/3.5G Wireless Standards
3G WCDMA/UMTS 384 Kbps
WCDMA → Wideband CDMA,
UMTS → Universal Mobile Telecommunication Standard
3G CDMA 2000 384 Kbps Code Division Multiple Access - 2000
3.5G HSPA/HSUPA 5-30 Mbps
HSDPA → High speed downlink packet access
HSUPA → High speed uplink packet access
3.5G
IxEVDO
Rev. A,B,C
5-30 Kbps IxEDO → Evolution Data Optimized
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Wireless Mobile Communications
Tabla: Family of 4G Wireless Standards
4G LTE 100-200 Mbps LTE → Long Term Evolution
4G WiMAX 100-200 Mbps WiMAX → Worldwide Interoperability for Microwave Access
Tabla: Sumirize
2G, 2,5G 10 - 100 Kbps voice + data
3G, 3,5G 300 Kbps - 30 Mbps voice + data + video calling
4G 100 Mbps - 200 Mbps online gaming, HDTV
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Comunicaciones Inalámbricas
Reflection
Scattering
Diffraction
Direct LOS Path
Dispersiones
Ej.: árboles, autos,
edificios.
Ambiente de propagación
multi-trayecto.
LOS → Line of sight
NLOS → Non-line of sight
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Comunicaciones Inalámbricas
Interferencia constructiva y destructiva.
señal
transmitida
señal
recibida
canal
inalámbrico
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 6 / 88
Atenuación
MS
BS
a0δ(t − τ0)
a1δ(t − τ1)
a2δ(t − τ2)
...
aL−1δ(t − τL−1)
a0 → factor de atenuación, τ0 → retardo
a1δ(t − τ1) → Primer trayecto, NLOS.
h(t) = a0δ(t − τ0) + a1δ(t − τ1) + · · · + aL−1δ(t − τL−1)
=
L−1
i=0
aiδ(t − ti)
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Señal Inalámbrica
Baseband - Passband
representation
Complex Baseband
equivalent of
the passband signal
fc es la frecuencia portadora.
GSM: 900 MHz, 1800 MHz.
3G/4G: 2.3 GHz a 2.4 GHz.
y(t) = s(t) ∗ h(t),
donde ∗ representa la convolución.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 8 / 88
Señal Inalámbrica
y0(t) = {a0sb(t − τ0)ej2πfc(t−τ0)
}
y1(t) = {a1sb(t − τ1)ej2πfc(t−τ1)
}
...
yL−1(t) = {aL−1sb(t − τL−1)ej2πfc(t−τL−1)
}
Por tanto, la señal en el receptor es
y(t) =
L−1
i=0
aisb(t − τi)ej2πfc(t−τi)
=
L−1
i=0
aisb(t − τi)e−j2πfcτi
ej2πfct
,
donde L−1
i=0 aisb(t − τi)e−j2πfcτi → señal compleja
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 9 / 88
Señal Inalámbrica
Complex Baseband Rx signal
yb(t) =
L−1
i=0
aisb(t − τi)e−j2πfiτi
,
e−j2πfiτi → factor de fase complejo
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 10 / 88
Suposición de Banda estrecha
Sea fm la máxima componente en frecuencia de sb(t)
Ej: GSM → fm = 100 kHz.
fm < 1/τi para todo i → Condición de banda estrecha.
τi = 1µs
1/τi = 1/µs = 1 MHz
GSM es una señal de banda estrecha.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 11 / 88
Señal Banda estrecha
Para una señal banda estrecha:
sb(t − τi) ≈ sb(t) (el retardo es insignificante)
Si sb(t) es la señal transmitida en banda base, y e−j2πfcτi el
factor complejo (coeficiente complejo)
yb(t) = sb(t)
L−1
i=0
aie−j2πfcτi
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 12 / 88
Señal Banda estrecha
L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1
2fc
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 13 / 88
Señal Banda estrecha
L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1
2fc
Solución:
Coeficiente complejo:
h =
L−1
i=0
aie−j2πfcτi
=
1
i=0
aie−j2πfcτi
= 1 + 1(e−jπ
)
= 1 + (−1)
= 0
Señal recibida, para el ejemplo:
sb(t) × 0 = 0
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 13 / 88
Señal Banda estrecha
L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1
fc
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 14 / 88
Señal Banda estrecha
L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1
fc
Solución:
h = 1 + 1 = 2
yb(t) = sb(t) × 2 = 2 · sb(t)
High
very low
Power
Time
Fading
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 14 / 88
Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad
Modelo Analítico
Sistemas Inalámbricos
yb(t) = hsb(t)
donde h es el coeficiente complejo de desvanecimiento.
Sistemas cableados o alámbricos (no hay multi-trayectos)
yb(t) = sb(t)
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 16 / 88
Estadística del coeficiente de desvanecimiento
h =
L−1
i=0
aie−j2πfcτi
= x + jy = aejθ
=
L−1
i=0
ai cos(2πfcτi) − jai sin(2πfcτi)
x =
L−1
i=0
ai cos(2πfcτi)
y =
L−1
i=0
ai sin(2πfcτi)
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 17 / 88
Variable Aleatoria Gaussiana
x ∼ N(µ, σ2
)
fX (x) =
1
√
2πσ2
e−
(x−u)2
2σ2
Referencia: Wikipedia
Distribución Normal Estándar
N(0, 1)
fX (x) =
1
√
2π
e− x2
2
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 18 / 88
Teorema del Límite Central
Enunciado Formal
Sea X1, X2, · · · , Xn un conjunto de variables aleatorias,
independientes e idénticamente distribuidas de una
distribución con media µ y varianza σ2 = 0. Entonces, si n es
suficientemente grande, la variable aleatoria
¯x =
1
n
n
i=1
xi
tiene aproximadamente una distribución normal con µ¯x = µ y
σ¯x2 = σ2
n [Wikipedia, 2016b].
“El TLC indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma
de n v.a’s independientes y de varianza no nula pero infinita, entonces
la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una
distribución normal o Gaussiana.” [Wikipedia, 2016b]
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 19 / 88
Coeficiente de desvanecimiento complejo
h = x + jy
h es la suma de un largo número de componentes
aleatorias → Teorema del límite central.
Considere:
x ∼ N(0, 1/2),
y ∼ N(0, 1/2).
x, y son variables aleatorias independientes.
fX (x) =
1
2π · 1/2
e
− x2
2·1/2
=
1
√
π
e−x2
= fY (y) =
1
√
π
e−y2
fX,Y (x, y) =
1
π
e−(x2+y2)
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 20 / 88
Coeficiente de desvanecimiento complejo
h = x + jy = aejφ
,
a y φ representan la magnitud y fase, respectivamente. Por lo
tanto, x = a cos φ, y = a sin φ, y
x2
+ y2
= a2
cos2
φ + a2
sin2
φ
= a2
(cos2
φ + sin2
φ)
= a2
Por tanto,
fX,Y (x, y) =
1
π
e−(x2+y2)
fA,Φ (a, φ) =
1
π
e−a2
det(JX,Y )
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 21 / 88
Coeficiente de desvanecimiento complejo
fA,Φ (a, φ) =
1
π
e−a2
det(JX,Y ),
donde
JX,Y =


δX
δa
δY
δa
δX
δφ
δY
δφ

 =
cos φ sin φ
−a sin φ a cos φ
,
luego
det(JX,Y ) = a cos2
φ + a sin2
φ = a
y finalmente la distribución del coeficiente de desvanecimiento
es
fA,Φ (a, φ) =
1
π
e−a2
· a =
a
π
e−a2
.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 22 / 88
Coeficiente de desvanecimiento complejo
Encontrando la distribución marginal
fA (a) =
π
−π
fA,Φ (a, φ)dφ
=
π
−π
a
π
e−a2
dφ
=
a
π
e−a2
π
−π
dφ
= 2π ·
a
π
e−a2
fA (a)= 2ae−a2
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 23 / 88
Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad
Canal con desvanecimiento Rayleigh
Rayleigh fading density:
fA (a) = 2ae−a2
donde a = x2 + y2 para 0 ≤ a ≤ ∞ corresponde a la
envolvente del canal con desvanecimiento.
desvanecimiento
profundo
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 25 / 88
Canal con desvanecimiento Rayleigh
fΦ (φ) =
∞
0
a
π
e−a2
da
=
∞
0
1
2π
(2aea2
)da
=
1
2π
−e−a2 ∞
0
fΦ (φ)=
1
2π
.
Que corresponde a una distribución uniforme entre [−π, π].
fA,Φ (a, φ) =
a
π
e−a2
=
1
2π
2ae−a2
= fΦ (φ) · fA (a),
dado que A y φ son variables aleatorias independientes.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 26 / 88
Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh
¿Cuál es la probabilidad de qué la atenuación sea peor a 20 dB?
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 27 / 88
Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh
¿Cuál es la probabilidad de qué la atenuación sea peor a 20 dB?
Solución: Sea g la ganancia de el canal,
10 log10 g ≤ −20
log10 g ≤ −2
g ≤ 10−2
= 0.01
g = a2
a ≤ 0.1
P(a ≤ 0.1) =
0.1
0
2ae−a2
da
= −e−a2 0.1
0
= 1 − e−0.01
= 0.01
Por lo tanto, la probabilidad de que la atenuación sea peor que -20 dB es 0.01 o 1%.
Nota: Si se conoce la estadística de comportamiento del coeficiente complejo de
desvanecimiento, se puede predecir la probabilidad con la cual, la señal recibida,
es atenuada.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 27 / 88
Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh
¿Cuál es la probabilidad de que la fase φ ∈ [−π/3, π/3]?
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 28 / 88
Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh
¿Cuál es la probabilidad de que la fase φ ∈ [−π/3, π/3]?
Solución:
P(−π/3 ≤ φ ≤ π/3) =
π/3
−π/3
1
2π
dφ
=
1
2π
π
3
− −
π
3
=
1
2π
·
2π
3
=
1
3
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 28 / 88
Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad
Desempeño de sistemas de comunicaciones
inalámbricos y cableados
Bit Error Rate (BER)
Tx
Rx
1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ...
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
Bit error
BER = probabilidad de error de bit en el flujo de información.
De 10000 bits, 100 fueron recibidos errados.
Solución:
BER =
100
10000
= 10−2
= 0.01
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 30 / 88
BER en un sistema de comunicaciones cableado
Dado que en el sistema cableado no existe multi-trayectos
(h = 1)
y = 1 · x + n
y = x + n,
donde n representa el ruido blanco Gaussiano → n ∼ N(0, σ2
n)
AWGN = Additive White Gaussian Noise
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 31 / 88
BER en un sistema de comunicaciones cableado
Considere un sistema BPSK - Binary Phase Shift Keyed System. El
símbolo de información 1 y 0 se definen a través de dos niveles (1 y −1)
multiplicados por la potencia de la estación base:
1 : +1 ×
√
P
0 : −1 ×
√
P
Entonces, los bits 1 y 0 se tx a potencias:
1 →
√
P
0 → −
√
P
que corresponde a un sistema de comunicaciones digitales.
Considere el caso cuando el bit cero es transmitido:
y = −
√
P + n
El error de bit ocurre si y > 0,
n −
√
P > 0
n>
√
P,
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 32 / 88
BER en un sistema de comunicaciones cableado
donde n ∼ N(0, σ2
n), por tanto
P n >
√
P =
∞
√
P
1
2πσ2
n
e−x2
/2σ2
n dx,
Sea x
σn
= t; dx = σndt, entonces la probabilidad de un bit errado es
P(n >
√
P) =
∞
P
σ2
n
1
2πσ2
n
e−t2
/2
σndt
=
∞
P
σ2
n
1
√
2π
e−t2
/2
dt
como la función Q(v) se define por:
Q(v) =
∞
v
1
√
2π
e−t2
/2
dt
finalmente,
P(n >
√
P) = Q
P
σ2
n
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 33 / 88
BER en un sistema de comunicaciones cableado
Si se considera el sistema
y = x + n,
sea P la potencia de la señal transmitida (x) y σ2
n la
potencia de ruido (n).
La tasa de error de bits (BER) de un sistema de
comunicaciones cableado es
BER = Q
P
σ2
n
= Q(
√
SNR)
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 34 / 88
Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
cableado
Dado un SNR = 10 dB, ¿cuál es el BER del sistema de comunicaciones cableado?
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 35 / 88
Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
cableado
Dado un SNR = 10 dB, ¿cuál es el BER del sistema de comunicaciones cableado?
Solución:
SNRdB = 10 log10 SNR
10 log10 SNR = 10dB
log10 SNR = 1
SNR = 10
BER = Q(
√
10) = 7.82 × 10−4
10
BER
SNR
Nota: Considerando un SNR = 10 dB, el número de bit con
error en 10000 bits es 7.82 × 10−4 × 10000 = 7.82.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 35 / 88
Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
cableado
Calcular el SNRdB requerido para tener una probabilidad de error de bit (BER) de
10−6.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 36 / 88
Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
cableado
Calcular el SNRdB requerido para tener una probabilidad de error de bit (BER) de
10−6.
Solución:
10−6
= Q(
√
SNR)
√
SNR = Q−1
(10−6
)
SNR = Q−1
(10−6
)
2
SNR = (4.7534)2
= 22.595
SNRdB = 10 log10(22.595)
= 13.6dB
Nota: para un BER=10−6, se requiere una SNRdB = 13.6 dB en
un canal de comunicaciones cableado.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 36 / 88
BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico
Para un sistema inalámbrico:
y = hx + n,
donde h = aejφ y a posee distribución de Rayleigh.
Dado que la potencia de la señal transmitida es P y la
potencia de ruido es σ2
n,
Potencia recibida = P · |h|2
SNR recibido =
Pa2
σ2
n
=
a2P
σ2
n
Cableado Inalámbrico
SNR = P
σ2
n
SNR = a2P
σ2
n
BER = Q P
σ2
n
BER = Q a2P
σ2
n
donde a es una cantidad aleatoria.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 37 / 88
BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico
BER =
∞
a2P
σ2
n
1
√
2π
e−x2/2
dx
En general, la media de una v.a. es dada por
media de g(a) =
∞
0
g(a)fA(a)da
Por tanto el BER de un sistema inalámbrico puede calcularse por
BER =
∞
0
Q
a2P
σ2
n
2ae−a2
da
=
∞
0
∞
√
a2µ
1
2π
e−x2
/2
dx · 2ae−a2
da,
donde lo marcado en rojo corresponde a la distribución normal estándar.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 38 / 88
BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico
Sustituyendo
x
z
√
µ
= u; dx = a
√
µdu
se tiene
BER =
∞
0
∞
1
2ae−a2
a
√
µe−µa2
u2
/2
duda
=
∞
1
∞
0
2a2
√
2π
e− a2
2
(2+µu2
)
dadu
Luego de resolver la integral (comprobar), puede verse que el BER para
un sistema inalámbrico es
BER =
1
2
1 −
µ
2 + µ
=
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 39 / 88
BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico
Canal cableado Canal inalámbrico
y = x + n y = hx + n
BER=Q
√
SNR BER = 1
2 1 − SNR
2+SNR
Para un valor alto de SNR
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
=
1
2

1 −
1
1 + 2
SNR


≈
1
2
1 − 1 −
1
2
·
2
SNR
=
1
2
·
1
SNR
BER para una canal inalámbrico con SNR alto:
BER ≈
1
2 · SNR
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 40 / 88
Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
inalámbrico
Calcular la tasa de error de bit para un sistema de comunicaciones inalámbrico, si
SNR = 20 dB.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 41 / 88
Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
inalámbrico
Calcular la tasa de error de bit para un sistema de comunicaciones inalámbrico, si
SNR = 20 dB.
Solución:
20dB = 10 log10 SNR
log10 SNR = 2
SNR = 102
= 100
Entonces:
BER =
1
2 · SNR
=
1
2 · 100
= 0.5 × 10−3
Conclusión: El sistema de comunicaciones inalámbrico tiene
un BER muy alto.
Comparando con el sistema cableado, para un SNR=10dB, el
BER = 7.8 × 10−4.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 41 / 88
Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
inalámbrico
Calcule la SNRdB para un sistema de comunicaciones inálámbrico considerando un
BER = 10−6.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 42 / 88
Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
inalámbrico
Calcule la SNRdB para un sistema de comunicaciones inálámbrico considerando un
BER = 10−6.
Solución:
10−6
=
1
2 · SNR
SNR =
1
2 · 10−6
=
10+6
2
SNRdB= 57dB
La diferencia entre un sistema de comunicación inalámbrico y
un cableado es
= 57 − 13.6dB ≈ 43dB!
Un sistema de comunicaciones inalámbrico tiene alto BER y
pobre desempeño, lo que se debe al desvanecimiento.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 42 / 88
BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico
10 log10 SNRwireless − 10 log10 SNRwired = 43dB
10 log10
SNRwireless
SNRwired
= 43dB
log10
SNRwireless
SNRwired
= 4.3dB
SNRwireless
SNRwired
= 104.3
≈ 104
= 10000
SNRwireless = 10000 × SNRwired
considerando un BER de 10−6
Pwireless = 10000 × Pwired
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 43 / 88
Expresiones del BER para un sistema cableado e
inalámbrico
Sistema inalámbrico:
BER =
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
≈
1
2 · SNR
Sistema cableado:
BER = Q
√
SNR ≈ e−SNR/2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
γ
b
(dB)
P
b
M = 4
M = 16
M = 64
Rayleigh fading
AWGN
> 30dB
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 44 / 88
Sistema de Comunicación inalámbrico
y = hx + n
El desempeño del sistema inalámbrico es MALO cuando la
potencia recibida es menor que la potencia de ruido.
Considere el coeficiente de desvanecimiento (|h|2
P),
correspondiente a hx
|h|2
= a2
P
El desempeño es MALO, cuando a2P < σ2
n,
a2
<
σ2
n
P
=
1
SNR
a <
1
√
SNR
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Probabilidad de desvanecimiento profundo
La probabilidad de que exista un desvanecimiento profundo es
P a < 1/
√
SNR =
1/
√
SNR
0
fA (a)da
=
1/
√
SNR
0
2e−a2
da
≈
1/
√
SNR
0
2ada
= 2
a2
2
1/SNR
0
=
1
SNR
BER =
1
2 · SNR
probabilidad de desvanecimiento profundo =
1
SNR
BER ≈ Probabilidad de desvanecimiento profundo
El desempeño pobre de los sistemas inalámbricos se debe al desvanecimiento
profundo (deep fade) → Interferencia destructiva.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 46 / 88
Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad
Diversidad
¿Cómo mejorar el desempeño de los sistemas inalámbricos?
DIVERSIDAD
La diversidad puede ser empleada para mejorar el desempeño de los
sistemas inalámbricos a través de controlar o combatir el desvanecimiento.
Tx Rx
el enlace tiene
desvanecimiento
el desempeño
es malo!
un enlace
(no-cableado)
Tx Rx
Diversidad
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 48 / 88
Diversidad en Tiempo
Dispersión de las señales de información a través de múltiples
intervalos de tiempo.
Repetition coding: Transmitir la misma señal repetidas veces a través de
múltiples tiempos coherentes (separación en tiempo > tiempo
coherente) → ancho de banda ineficiente!!!
Error Control Coding: Esquema mucho más sofisticado.
Coding and interleaving
Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communications 73
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00
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11
Interleaving
x2
Codeword
x3
Codeword
x0
Codeword
x1
Codeword
|hl|
L = 4
l
No Interleaving
Figure 3.5: The codewords are transmitted over consecutive symbols (top) and inter-
Referencia: [Tse and Viswanath, 2005]
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 49 / 88
Diversidad en Frecuencia
Diversidad en Frecuencia
Transmitir la misma
información a través de
diferentes sub-portadoras.
Separación en frecuencia >
ancho de banda coherente.
Diversidad espacial
Transmitir/Recibir por
múltiples antenas.
Suficiente separación entre
antenas para lograr
uncorrelated channel gains
e.g., alrededor de media
longitud de onda, λ/2, para
desvanecimiento Rayleigh.
ECSE610  DIVERSITY - 13
Diversity: Frequency, Space
Frequency diversity:
 Transmit same info over different
subcarriers
 frequency separation > coherence
bandwidth
Space diversity:
 Transmit/receive from multiple
antennas
 Sufficient antenna separation to
achieve uncorrelated channel gains,
e.g., about half wavelength, λ/2, for a
Rayleigh fading
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 50 / 88
Técnicas de Diversidad en el Receptor
 Transmitter sends same signal over L independent fading paths
obtained by diversity in time, space, frequency (repetition codin
LinearCombiner
 Most combiners are linear (weigh
sum of branches)
y = hx + n
y = [y1, · · · , yL]T
h = [h1, · · · , hL]T
= [r1ejθ1,··· ,rLejθL
]T
n = [n1, · · · , nL]T
∼ CN(0, N0IL)
Most combiners are linear
(weighted sum of
branches)
yΣ = (wT
h) · x + (wT
n)
w = [w1, · · · , wL]T
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 51 / 88
Técnicas de Diversidad en el Receptor
ECSE610  DIVERSITY - 33
EGC and Performance
 The received signals from the L
diversity branches are coherently
combined with equal weights
 The receiver does not need the
information of ||h||
 Performance is worse than that of MRC
(about 1 dB), but much better than SC
for large L
L
RelativeSNRimprovementindB
D. G. Brennan, “Linear Diversity
Combining Techniques”, Proceedings of
the IRE, Vol. 47, June 1959, pp. 1075–1102.
Classic Paper Reprint, Proceedings of the
IEEE, Vol. 91, No. 2, February 2003, Pp.
331-356
ECSE610  DIVERSITY - 35
Performance/complexity tradeoff
SC EGC MRC
Complexity
Simplest
(co-phasing
not required)
Only need to
estimate phase
Highest
(need to track phase
and SNR)
Performance Worst
Much better than SC
and worse than MRC
(close, 1dB penalty)
Best
(much better than SC)
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 52 / 88
Sistema de Múltiples antenas
Tx Rx
Si L1 y L4 se encuentran en desvanecimiento profundo, aún se
puede recibir información a través de los enlaces L2, L3
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 53 / 88
Modelo de un Sistema de Múltiples antenas
Tx Rx
1 antena transmisora
L antenas receptoras
Orden de diversidad L
x → señal transmitida
sistema inalámbrico: y = hx + n
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 54 / 88
Modelo de un Sistema de Múltiples antenas
L enlaces
y1 = h1x + n1 → modelo entre la ant. Tx y la ant Rx 1
y2 = h2x + n2
...
yL = hLx + nL
El hi corresponde al coeficiente de desvanecimiento del enlace i-ésimo.





y1
y2
...
yL





=





h1
h2
...
hL





x +





n1
n2
...
nL





Notación vectorial
yL×1 = hL×1 x + nL×1
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 55 / 88
Detección de la señal
y = hx + n
E|ni(k)|2
= σ2
n
La señales recibidas en las L antenas receptoras, son
y1, y2, · · · , yL.
Combinando las señales recibidas (w → beamformer):
w∗
1y1 + w∗
2y2 + · · · + w∗
LyL
w∗
1 w∗
2 · · · w∗
L





y1
y2
...
yL





= wH
y → Beamforming (forma de haz)
Por tanto
y = hx + n
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 56 / 88
Detección de la señal
y = hx + n
wH
y = wH
(hx + n)
= wH
hx + wH
n → componente señal + componente ruido
SNR =
potencia de la señal
potencia del ruido
señal = wH
hx
potencia de la señal = wH
h
2
· P
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 57 / 88
Detección de la señal
Potencia de ruido:
Potencia de ruido = E (wH
n)(wH
n)∗
= E wH
nnH
w
= wH
E nnH
w
Sea n = [n1, n2, · · · , nL]T
, entonces
nnH
= [n1, n2, · · · , nL]T
[n1, n2, · · · , nL]
=






|n1|2
n1n∗
2 · · · · · ·
n2n∗
1 |n2|2
· · · · · ·
...
...
...
...
· · · · · · · · · |nL|2






y por tanto,
E[nn]H
=





σ2
n 0 0 0
0 σ2
n 0 0
...
...
...
...
· · · · · · · · · σ2
n





= σ2
nI
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 58 / 88
Detección de la señal
Remplazando en la potencia de ruido:
Potencia de ruido = wH
E nnH
w
= σ2
nwH
w
= σ2
n w 2
→ ruido a la salida en el beamformer
Luego el SNR a la salida del beamformer
SNR =
wHh
2
P
σ2
n w 2
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 59 / 88
Detección de la señal
Escoger w tal que w maximize el SNR:
max SNR = max
wHh
2
w 2
P
σ2
n
El SNR es k invariante en relación a w (si se multiplica w
por un factor k el SNR no se afecta).
SNR =
kwH
h
2
kw
2
P
σ2
n
=
k2
wH
h
2
k2 w
2
P
σ2
n
=
wH
h
2
w
2
P
σ2
n
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 60 / 88
Detección de la señal
Escogiendo w tal que w 2
= 1 → wH
w = 1.
Problema: maximizar:
SNR = wH
h
2 P
σ2
n
tal que w = 1.
max wH
h
2 P
σ2
n
, (1)
Como aH
b = |a| |b| cos θ. El máximo valor para esta expresión se
da cuando los vectores a y b se encuentran en el misma dirección,
i.e. θ = 0, cos θ = 1. Similarmente, el SNR en (1) se maximiza
cuando:
w = ch,
donde c es una constante. Recordando la condición w = 1:
c2
h 2
= 1
c =
1
h
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 61 / 88
Detección de la señal
Por tanto, el vector óptimo beamformer w que maximiza el
SNR recibido es [maximal ratio combining (MRC)]
wopt =
h
h
Por tanto:
SNR = wH
h
2 P
σ2
n
=
hH
h
h
2
P
σ2
n
= h 2 P
σ2
n
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 62 / 88
Ejemplo: Detección de la señal
Sistema con múltiples antenas en recepción L = 2.
Tx Rx
y1
y2
=
h1
h2
x +
n1
n2
Sea:
h1 =
1
√
2
+
1
√
2
j ; h2 =
1
√
2
−
1
√
2
j ; |h1| = 1/2 + 1/2 = 1; |h2| = 1
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 63 / 88
Ejemplo: Detección de la señal
Solución:
h =
1√
2
+ 1√
2
j
1√
2
− 1√
2
j
h 2
= |h1|2
+ |h2|2
= 1 + 1 = 2
h =
√
2
wMRC =
h
h
=
1
√
2
1√
2
+ 1√
2
j
1√
2
− 1√
2
j
=
1
2
+ 1
2
j
1
2
− 1
2
j
La salida del receptor beamformer
= wH
y
= 1
2
− 1
2
j 1
2
+ 1
2
j
y1
y2
=
1
2
−
1
2
j y1 +
1
2
+
1
2
j y2
La SNR en el receptor después del MRC:
=
h 2
P
σ2
n
=
2P
σ2
n
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 64 / 88
Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad
Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas
Rx SNR = h 2 P
σ2
n
= |h1|2
+ |h2|2
+ · · · |hL|2 P
σ2
n
= g
P
σ2
n
donde
g = |h1|2
+ |h2|2
+ · · · |hL|2
g = h 2
es una variable aleatoria CHI-SQUARED con 2L grados de
libertad, con distribución de probabilidad:
fG(g) =
1
(L − 1)!
gL−1
e−g
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 66 / 88
Chi-Squared
Chi-Squared - Definición
“La distribución de Pearson,
llamada también ji cuadrada(o)
o chi cuadrado(a) (X2), es una
distribución de probabilidad
continua con un parámetro k
que representa los grados de
libertad de la variable aleatoria
X = Z2
1 + · · · + Z2
k
Donde Zi son variables
aleatorias normales
independientes de media cero
y varianza uno
[Wikipedia, 2016a]”.
Función distribución de probabilidad
Referencia: [Wikipedia, 2016a]
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 67 / 88
Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas
Rx SNR = g
P
σ2
n
Bit-Error rate instantáneo
= Q g · SNR
Average BER
=
∞
0
Q g · SNR fG(g)dg
BER con L antenas receptoras y combinador MRC
=
1 − λ
2
2 L−1
l=0
L+l−1
C
l
1 + λ
2
l
donde
n
C
k
=
n!
k!(n − k)!
; λ =
SNR
2 + SNR
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 68 / 88
Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas
Para L = 1
=
1 − λ
2
1
l=0
l
C
l
1 + λ
2
l
=
1 − λ
2
0
C
0
1 + λ
2
0
=1
finalmente
BER =
1
2
(1 − λ) =
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
BER con una antena receptora
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 69 / 88
Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas
Para alto SNR
1
2
(1 − λ) =
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
=
1
2



1 −
1
1 + 2
SNR
1
2




=
1
2
1 − 1 −
1
2
2
SNR
=
1
2 · SNR
1
2
(1 + λ) ≈
1
2
1 + 1 −
1
SNR
=
1
2
2 −
1
SNR
≈
1
2
· 2
= 1
Para alto SNR
f(x) =



1
2
(1 − λ) ≈ 1
2·SNR
1
2
(1 + λ) ≈ 1
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 70 / 88
Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas
Average BER
=
1 − λ
2
L L−1
l=0
L−l−1
C
l
1 + λ
2
l
=
1
2 · SNR
L L−1
l=0
L+l−1
C
l
=
2L−1
C
l
1
2L
1
SNR
L
BER con L antenas de recepción después de un Maximal Ratio
Combining para alto SNR
=
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 71 / 88
Ejemplo: Análisis del BER de un Sistema con
Múltiples Antenas
Considere L = 2 antenas recibidas, ¿cuál es el SNR requerido para obtener un BER de
10−6?
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 72 / 88
Ejemplo: Análisis del BER de un Sistema con
Múltiples Antenas
Considere L = 2 antenas recibidas, ¿cuál es el SNR requerido para obtener un BER de
10−6?
Solución:
BER =
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
=
3
C
2
1
22
1
SNR
2
=
3
4
1
SNR
2
Para un BER de 10−6
1
SNR
2
=
4
3
× 10−6
SNR2
=
3
4
× 106
SNR =
√
3
2
× 103
SNRdB = 10 log10
√
3
2
× 103
= 29, 37dB
Nota: El SNR requerido con una sola antena fue 57 dB!. Con dos antenas en
recepción existe una reducción de 57-29 dB ≈ 28 dB
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 72 / 88
Ejemplo: Análisis del BER de un Sistema con
Múltiples Antenas
Sea P1
w = potencia requerida con 1 antena receptora.
Sea P2
w = potencia requerida con 2 antenas receptoras.
10 log10
P1
w
P2
w
= 28 ≈ 30dB
P1
w
P2
w
= 103
P2
w =
P1
w
103
Nota:
Agregar una antena en el receptor inalámbrico tiene una
mejora significante en el desempeño del BER.
La diversidad en el receptor es muy importante en 3G/4G.
Los sistemas: WCDMA, HSDPA, LTE, WiMAX emplean
diversidad.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 73 / 88
¿Por qué el BER decrese con el número de las antenas
en recepción?
Para L antenas,
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
L = 1 →
1
2 · SNR
∝
1
SNR
L = 2 →
2
4
1
SNR
2
∝
1
SNR2
L = 3 → BER ∝
1
SNR3 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
Pout
10log
10
(γ/γ
0
)
M = 1
M = 2
M = 3
M = 4
M = 10
M = 20
Figure 7.5: Pout for MRC with i.i.d. Rayleigh fading.
Rayleigh fading, where pγΣ (γ) is given by (7.16), it can be shown that [4, Chapter 6.3]
Pb =
∞
0
Q( 2γ)pγΣ (γ)dγ =
1 − Γ
2
M M−1
m=0
M − 1 + m
m
1 + Γ
2
m
, (7
where Γ = γ/(1 + γ). This equation is plotted in Figure 7.6. Comparing the outage probab
for MRC in Figure 7.5 with that of SC in Figure 7.2 or the average probability of error for MR
Figure 7.6 with that of SC in Figure 7.3 indicates that MRC has significantly better performance t
SC. In Section 7.7 we will use a different analysis based on MGFs to compute average error probab
under MRC, which can be applied to any modulation type, any number of diversity branches, and
Referencia: [Goldsmith, 2005]
Cuando incrementa el número de antenas en el receptor, el BER
decrese a una tasa mucho más rápida.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 74 / 88
Sistema con múltiples antenas
¿Cuál es la probabilidad de desvanecimiento profundo?
y = hx + n
La potencia de la señal después del MRC es
h 2 P
σ2
n
= g
P
σ2
n
SNR =
h 2
P
σ2
n
h2
P < σ2
n
g · P < σ2
n
g<
1
SNR
→ deep fade
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 75 / 88
Sistema con múltiples antenas
fG(g) =
gL−1
(L − 1)!
e−g
P g <
1
SNR
=
1/SNR
0
gL−1
(L − 1)!
e−g
dg
≈
SNR
0
gL−1
(L − 1)!
dg
=
gL
L!
1/SNR
0
La probabilidad de desvanecimiento profundo es
=
1
L!
1
SNR
L
∝
1
SNR
L
Con más antenas receptoras la probabilidad de desvanecimiento profundo decrese
significativamente.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 76 / 88
Sistema con múltiples antenas
Intuición (para bajo BER)
Tx Rx
deep fade
1
SNR
= probabilidad de desvanecimeinto profundo
= BER
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 77 / 88
Sistema con múltiples antenas
Tx Rx
El sistema presenta
desvanecimiento profundo
únicamente cuando todos los L
enlaces presentan
desvanecimiento profundo.
Considere L enlaces y que Ei representa el evento “el
enlace i se encuentra en desvanecimiento profundo”:
P(E1 ∩ E2 ∩ · · · EL) = P(E1)P(E2) · · · P(EL)
=
1
SNR
·
1
SNR
· · ·
1
SNR
L tiempos
=
1
SNR
L
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 78 / 88
Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad
Diversidad Espacial
Diversidad por múltiples antenas es conocido como
DIVERSIDAD ESPACIAL.
Una suposición crítica:
E1, E2, · · · , EL los cuales representan eventos de
desvanecimiento profundo, son independientes.
Para contar con antenas independientes, tienen que ser
ubicadas suficientemente distantes unas de otras.
¿Qué tan distantes deben ser ubicadas las antenas?
Para obtener canales independientes a lo largo de las
antenas receptoras, se requiere un espaciamiento igual a λ/2
donde, λ representa la longitud de onda de la portadora, i.e.,
λ = c/fc. Siendo, fc la frecuencia portadora y c la velocidad
de la luz.
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Ejemplo: Separación de las antenas
Considere un sistema GSM con frecuencia portadora fc = 900 MHz. ¿Cuál es el
espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?
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Ejemplo: Separación de las antenas
Considere un sistema GSM con frecuencia portadora fc = 900 MHz. ¿Cuál es el
espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?
Solución:
λ =
c
fc
=
3 × 108[m/s]
900 × 106[1/s]
= 33.33 cm
Por lo tanto, el espaciamiento entre antenas es:
λ
2
=
33.33
2
= 16.66 cm
Nota: No es posible ubicar múltiples antenas en un celular.
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Ejemplo: Separación de las antenas
Ahora considere un sistema 3G/4G con frecuencia portadora fc = 2.3 GHz. ¿Cuál es
el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?
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Ejemplo: Separación de las antenas
Ahora considere un sistema 3G/4G con frecuencia portadora fc = 2.3 GHz. ¿Cuál es
el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?
Solución:
λ =
c
fc
=
3 × 108[m/s]
2.3 × 109[1/s]
= 13.04 cm
Por lo tanto, el espaciamiento entre antenas es:
λ
2
=
13.04
2
= 6.5 cm
Nota: Es posible ubicar múltiples antenas en un teléfono
3G/4G.
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Agenda
1 Introducción
2 Desvanecimiento
3 Canal con desvanecimiento Rayleigh
4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
5 Diversidad para combatir el desvanecimiento
6 Desempeño BER con diversidad
7 Diversidad Espacial
8 Orden de diversidad
Orden de Diversidad
Sea el BER de un sistema inalámbrico dado por Pe(SNR),
el orden de diversidad d es
d = lim
SNR→∞
log Pe(SNR)
log(SNR)
Aproximadamente relacionado al número de canales
independientes.
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Orden de Diversidad, Sistema Inalámbrico (L = 1)
Una antena receptora (L = 1)
Pe(SNR) =
1
2 · SNR
Por tanto,
d = − lim
SNR→∞
log 1
2·SNR
log SNR
= − lim
SNR→∞
− log SNR − log 2
log SNR
= lim
SNR→∞
1 +
log 2
log SNR
Para un SNR alto, el segundo término log 2
log SNR
tiende a 0, ya que el
SNR → ∞.
d = lim
SNR→∞
1
= 1
El orden de diversidad con una antena receptora es d = 1.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 85 / 88
Orden de Diversidad, Sistema Inalámbrico con L antenas de recepción
Pe(SNR) =
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
d = − lim
SNR→∞
log
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
log SNR
= lim
SNR→∞
L log SNR − log
2L−1
C
L
1
2L
log SNR
= lim
SNR→∞
L −
log
2L−1
C
L
1
2L
log SNR
El término en azul tiene a cero ya que SNR → ∞. Por lo tanto,
el orden de diversidad es d = L
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Orden de diversidad de un sistema de
comunicaciones cableado
Pe(SNR) = Q(
√
SNR) ≈ e−SNR/2
d = − lim
SNR→∞
log e−SNR/2
log SNR
= − lim
SNR→∞
−SNR/2
log SNR
=
1
2
lim
SNR→∞
SNR
log SNR
=
1
2
lim
SNR→∞
1
1/SNR
=
1
2
lim
SNR→∞
SNR
= ∞
Orden de diversidad d = ∞
Nota: Un canal cableado tiene orden de diversidad ∞. Es decir, puede ser
considerado como un canal que comprende un número infinito de enlaces
independientes.
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Referencias I
Referencia Principal: [Jagannathan, 2013]
[Goldsmith, 2005] Goldsmith, A. (2005).
Wireless communications.
Cambridge university press.
[Jagannathan, 2013] Jagannathan (2013).
Advanced 3g and 4g wireless mobile communications.
[Tse and Viswanath, 2005] Tse, D. and Viswanath, P. (2005).
Fundamentals of wireless communication.
Cambridge university press.
[Wikipedia, 2016a] Wikipedia (2016a).
distribucion-x2.
https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_%CF%87%C2%B2.
[Online; accessed 27-Junio-2016].
[Wikipedia, 2016b] Wikipedia (2016b).
Teorema del limite central.
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_l%C3%ADmite_central.
[Online; accessed 17-Junio-2016].
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Tema 4: Fading and diversity

  • 1. Propagación de Ondas Capítulo 4: Fading and Diversity Francisco Sandoval1 1Departamento de Ciencias de la Computación y Electrónica Universidad Técnica Particular de Loja Loja, Ecuador fasandoval@utpl.edu.ec 2017.1
  • 2. Agenda 1 Introducción 2 Desvanecimiento 3 Canal con desvanecimiento Rayleigh 4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos 5 Diversidad para combatir el desvanecimiento 6 Desempeño BER con diversidad 7 Diversidad Espacial 8 Orden de diversidad
  • 3. Wireless Mobile Communications Tabla: Family of 2G/2.5G/2.75G Standards 2G GSM 10 Kbps Global System for Mobile Communications 2G CDMA 10 Kbps Code Division Multiple Access 2.5G GPRS ∼ 50 Kbps General Packet Radio Service 2.5G EDGE ∼ 200 Kbps Enhanced Data for GSM Evolution Tabla: Family of 3G/3.5G Wireless Standards 3G WCDMA/UMTS 384 Kbps WCDMA → Wideband CDMA, UMTS → Universal Mobile Telecommunication Standard 3G CDMA 2000 384 Kbps Code Division Multiple Access - 2000 3.5G HSPA/HSUPA 5-30 Mbps HSDPA → High speed downlink packet access HSUPA → High speed uplink packet access 3.5G IxEVDO Rev. A,B,C 5-30 Kbps IxEDO → Evolution Data Optimized fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 3 / 88
  • 4. Wireless Mobile Communications Tabla: Family of 4G Wireless Standards 4G LTE 100-200 Mbps LTE → Long Term Evolution 4G WiMAX 100-200 Mbps WiMAX → Worldwide Interoperability for Microwave Access Tabla: Sumirize 2G, 2,5G 10 - 100 Kbps voice + data 3G, 3,5G 300 Kbps - 30 Mbps voice + data + video calling 4G 100 Mbps - 200 Mbps online gaming, HDTV fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 4 / 88
  • 5. Comunicaciones Inalámbricas Reflection Scattering Diffraction Direct LOS Path Dispersiones Ej.: árboles, autos, edificios. Ambiente de propagación multi-trayecto. LOS → Line of sight NLOS → Non-line of sight fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 5 / 88
  • 6. Comunicaciones Inalámbricas Interferencia constructiva y destructiva. señal transmitida señal recibida canal inalámbrico fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 6 / 88
  • 7. Atenuación MS BS a0δ(t − τ0) a1δ(t − τ1) a2δ(t − τ2) ... aL−1δ(t − τL−1) a0 → factor de atenuación, τ0 → retardo a1δ(t − τ1) → Primer trayecto, NLOS. h(t) = a0δ(t − τ0) + a1δ(t − τ1) + · · · + aL−1δ(t − τL−1) = L−1 i=0 aiδ(t − ti) fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 7 / 88
  • 8. Señal Inalámbrica Baseband - Passband representation Complex Baseband equivalent of the passband signal fc es la frecuencia portadora. GSM: 900 MHz, 1800 MHz. 3G/4G: 2.3 GHz a 2.4 GHz. y(t) = s(t) ∗ h(t), donde ∗ representa la convolución. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 8 / 88
  • 9. Señal Inalámbrica y0(t) = {a0sb(t − τ0)ej2πfc(t−τ0) } y1(t) = {a1sb(t − τ1)ej2πfc(t−τ1) } ... yL−1(t) = {aL−1sb(t − τL−1)ej2πfc(t−τL−1) } Por tanto, la señal en el receptor es y(t) = L−1 i=0 aisb(t − τi)ej2πfc(t−τi) = L−1 i=0 aisb(t − τi)e−j2πfcτi ej2πfct , donde L−1 i=0 aisb(t − τi)e−j2πfcτi → señal compleja fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 9 / 88
  • 10. Señal Inalámbrica Complex Baseband Rx signal yb(t) = L−1 i=0 aisb(t − τi)e−j2πfiτi , e−j2πfiτi → factor de fase complejo fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 10 / 88
  • 11. Suposición de Banda estrecha Sea fm la máxima componente en frecuencia de sb(t) Ej: GSM → fm = 100 kHz. fm < 1/τi para todo i → Condición de banda estrecha. τi = 1µs 1/τi = 1/µs = 1 MHz GSM es una señal de banda estrecha. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 11 / 88
  • 12. Señal Banda estrecha Para una señal banda estrecha: sb(t − τi) ≈ sb(t) (el retardo es insignificante) Si sb(t) es la señal transmitida en banda base, y e−j2πfcτi el factor complejo (coeficiente complejo) yb(t) = sb(t) L−1 i=0 aie−j2πfcτi fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 12 / 88
  • 13. Señal Banda estrecha L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1 2fc fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 13 / 88
  • 14. Señal Banda estrecha L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1 2fc Solución: Coeficiente complejo: h = L−1 i=0 aie−j2πfcτi = 1 i=0 aie−j2πfcτi = 1 + 1(e−jπ ) = 1 + (−1) = 0 Señal recibida, para el ejemplo: sb(t) × 0 = 0 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 13 / 88
  • 15. Señal Banda estrecha L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1 fc fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 14 / 88
  • 16. Señal Banda estrecha L = 2; a0 = 1; τ0 = 0; a1 = 1; τ1 = 1 fc Solución: h = 1 + 1 = 2 yb(t) = sb(t) × 2 = 2 · sb(t) High very low Power Time Fading fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 14 / 88
  • 17. Agenda 1 Introducción 2 Desvanecimiento 3 Canal con desvanecimiento Rayleigh 4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos 5 Diversidad para combatir el desvanecimiento 6 Desempeño BER con diversidad 7 Diversidad Espacial 8 Orden de diversidad
  • 18. Modelo Analítico Sistemas Inalámbricos yb(t) = hsb(t) donde h es el coeficiente complejo de desvanecimiento. Sistemas cableados o alámbricos (no hay multi-trayectos) yb(t) = sb(t) fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 16 / 88
  • 19. Estadística del coeficiente de desvanecimiento h = L−1 i=0 aie−j2πfcτi = x + jy = aejθ = L−1 i=0 ai cos(2πfcτi) − jai sin(2πfcτi) x = L−1 i=0 ai cos(2πfcτi) y = L−1 i=0 ai sin(2πfcτi) fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 17 / 88
  • 20. Variable Aleatoria Gaussiana x ∼ N(µ, σ2 ) fX (x) = 1 √ 2πσ2 e− (x−u)2 2σ2 Referencia: Wikipedia Distribución Normal Estándar N(0, 1) fX (x) = 1 √ 2π e− x2 2 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 18 / 88
  • 21. Teorema del Límite Central Enunciado Formal Sea X1, X2, · · · , Xn un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media µ y varianza σ2 = 0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria ¯x = 1 n n i=1 xi tiene aproximadamente una distribución normal con µ¯x = µ y σ¯x2 = σ2 n [Wikipedia, 2016b]. “El TLC indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n v.a’s independientes y de varianza no nula pero infinita, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal o Gaussiana.” [Wikipedia, 2016b] fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 19 / 88
  • 22. Coeficiente de desvanecimiento complejo h = x + jy h es la suma de un largo número de componentes aleatorias → Teorema del límite central. Considere: x ∼ N(0, 1/2), y ∼ N(0, 1/2). x, y son variables aleatorias independientes. fX (x) = 1 2π · 1/2 e − x2 2·1/2 = 1 √ π e−x2 = fY (y) = 1 √ π e−y2 fX,Y (x, y) = 1 π e−(x2+y2) fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 20 / 88
  • 23. Coeficiente de desvanecimiento complejo h = x + jy = aejφ , a y φ representan la magnitud y fase, respectivamente. Por lo tanto, x = a cos φ, y = a sin φ, y x2 + y2 = a2 cos2 φ + a2 sin2 φ = a2 (cos2 φ + sin2 φ) = a2 Por tanto, fX,Y (x, y) = 1 π e−(x2+y2) fA,Φ (a, φ) = 1 π e−a2 det(JX,Y ) fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 21 / 88
  • 24. Coeficiente de desvanecimiento complejo fA,Φ (a, φ) = 1 π e−a2 det(JX,Y ), donde JX,Y =   δX δa δY δa δX δφ δY δφ   = cos φ sin φ −a sin φ a cos φ , luego det(JX,Y ) = a cos2 φ + a sin2 φ = a y finalmente la distribución del coeficiente de desvanecimiento es fA,Φ (a, φ) = 1 π e−a2 · a = a π e−a2 . fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 22 / 88
  • 25. Coeficiente de desvanecimiento complejo Encontrando la distribución marginal fA (a) = π −π fA,Φ (a, φ)dφ = π −π a π e−a2 dφ = a π e−a2 π −π dφ = 2π · a π e−a2 fA (a)= 2ae−a2 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 23 / 88
  • 26. Agenda 1 Introducción 2 Desvanecimiento 3 Canal con desvanecimiento Rayleigh 4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos 5 Diversidad para combatir el desvanecimiento 6 Desempeño BER con diversidad 7 Diversidad Espacial 8 Orden de diversidad
  • 27. Canal con desvanecimiento Rayleigh Rayleigh fading density: fA (a) = 2ae−a2 donde a = x2 + y2 para 0 ≤ a ≤ ∞ corresponde a la envolvente del canal con desvanecimiento. desvanecimiento profundo fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 25 / 88
  • 28. Canal con desvanecimiento Rayleigh fΦ (φ) = ∞ 0 a π e−a2 da = ∞ 0 1 2π (2aea2 )da = 1 2π −e−a2 ∞ 0 fΦ (φ)= 1 2π . Que corresponde a una distribución uniforme entre [−π, π]. fA,Φ (a, φ) = a π e−a2 = 1 2π 2ae−a2 = fΦ (φ) · fA (a), dado que A y φ son variables aleatorias independientes. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 26 / 88
  • 29. Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh ¿Cuál es la probabilidad de qué la atenuación sea peor a 20 dB? fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 27 / 88
  • 30. Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh ¿Cuál es la probabilidad de qué la atenuación sea peor a 20 dB? Solución: Sea g la ganancia de el canal, 10 log10 g ≤ −20 log10 g ≤ −2 g ≤ 10−2 = 0.01 g = a2 a ≤ 0.1 P(a ≤ 0.1) = 0.1 0 2ae−a2 da = −e−a2 0.1 0 = 1 − e−0.01 = 0.01 Por lo tanto, la probabilidad de que la atenuación sea peor que -20 dB es 0.01 o 1%. Nota: Si se conoce la estadística de comportamiento del coeficiente complejo de desvanecimiento, se puede predecir la probabilidad con la cual, la señal recibida, es atenuada. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 27 / 88
  • 31. Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh ¿Cuál es la probabilidad de que la fase φ ∈ [−π/3, π/3]? fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 28 / 88
  • 32. Ejemplo: Canal con desvanecimiento Rayleigh ¿Cuál es la probabilidad de que la fase φ ∈ [−π/3, π/3]? Solución: P(−π/3 ≤ φ ≤ π/3) = π/3 −π/3 1 2π dφ = 1 2π π 3 − − π 3 = 1 2π · 2π 3 = 1 3 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 28 / 88
  • 33. Agenda 1 Introducción 2 Desvanecimiento 3 Canal con desvanecimiento Rayleigh 4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos 5 Diversidad para combatir el desvanecimiento 6 Desempeño BER con diversidad 7 Diversidad Espacial 8 Orden de diversidad
  • 34. Desempeño de sistemas de comunicaciones inalámbricos y cableados Bit Error Rate (BER) Tx Rx 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ... 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ... Bit error BER = probabilidad de error de bit en el flujo de información. De 10000 bits, 100 fueron recibidos errados. Solución: BER = 100 10000 = 10−2 = 0.01 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 30 / 88
  • 35. BER en un sistema de comunicaciones cableado Dado que en el sistema cableado no existe multi-trayectos (h = 1) y = 1 · x + n y = x + n, donde n representa el ruido blanco Gaussiano → n ∼ N(0, σ2 n) AWGN = Additive White Gaussian Noise fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 31 / 88
  • 36. BER en un sistema de comunicaciones cableado Considere un sistema BPSK - Binary Phase Shift Keyed System. El símbolo de información 1 y 0 se definen a través de dos niveles (1 y −1) multiplicados por la potencia de la estación base: 1 : +1 × √ P 0 : −1 × √ P Entonces, los bits 1 y 0 se tx a potencias: 1 → √ P 0 → − √ P que corresponde a un sistema de comunicaciones digitales. Considere el caso cuando el bit cero es transmitido: y = − √ P + n El error de bit ocurre si y > 0, n − √ P > 0 n> √ P, fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 32 / 88
  • 37. BER en un sistema de comunicaciones cableado donde n ∼ N(0, σ2 n), por tanto P n > √ P = ∞ √ P 1 2πσ2 n e−x2 /2σ2 n dx, Sea x σn = t; dx = σndt, entonces la probabilidad de un bit errado es P(n > √ P) = ∞ P σ2 n 1 2πσ2 n e−t2 /2 σndt = ∞ P σ2 n 1 √ 2π e−t2 /2 dt como la función Q(v) se define por: Q(v) = ∞ v 1 √ 2π e−t2 /2 dt finalmente, P(n > √ P) = Q P σ2 n fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 33 / 88
  • 38. BER en un sistema de comunicaciones cableado Si se considera el sistema y = x + n, sea P la potencia de la señal transmitida (x) y σ2 n la potencia de ruido (n). La tasa de error de bits (BER) de un sistema de comunicaciones cableado es BER = Q P σ2 n = Q( √ SNR) fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 34 / 88
  • 39. Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones cableado Dado un SNR = 10 dB, ¿cuál es el BER del sistema de comunicaciones cableado? fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 35 / 88
  • 40. Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones cableado Dado un SNR = 10 dB, ¿cuál es el BER del sistema de comunicaciones cableado? Solución: SNRdB = 10 log10 SNR 10 log10 SNR = 10dB log10 SNR = 1 SNR = 10 BER = Q( √ 10) = 7.82 × 10−4 10 BER SNR Nota: Considerando un SNR = 10 dB, el número de bit con error en 10000 bits es 7.82 × 10−4 × 10000 = 7.82. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 35 / 88
  • 41. Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones cableado Calcular el SNRdB requerido para tener una probabilidad de error de bit (BER) de 10−6. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 36 / 88
  • 42. Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones cableado Calcular el SNRdB requerido para tener una probabilidad de error de bit (BER) de 10−6. Solución: 10−6 = Q( √ SNR) √ SNR = Q−1 (10−6 ) SNR = Q−1 (10−6 ) 2 SNR = (4.7534)2 = 22.595 SNRdB = 10 log10(22.595) = 13.6dB Nota: para un BER=10−6, se requiere una SNRdB = 13.6 dB en un canal de comunicaciones cableado. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 36 / 88
  • 43. BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico Para un sistema inalámbrico: y = hx + n, donde h = aejφ y a posee distribución de Rayleigh. Dado que la potencia de la señal transmitida es P y la potencia de ruido es σ2 n, Potencia recibida = P · |h|2 SNR recibido = Pa2 σ2 n = a2P σ2 n Cableado Inalámbrico SNR = P σ2 n SNR = a2P σ2 n BER = Q P σ2 n BER = Q a2P σ2 n donde a es una cantidad aleatoria. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 37 / 88
  • 44. BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico BER = ∞ a2P σ2 n 1 √ 2π e−x2/2 dx En general, la media de una v.a. es dada por media de g(a) = ∞ 0 g(a)fA(a)da Por tanto el BER de un sistema inalámbrico puede calcularse por BER = ∞ 0 Q a2P σ2 n 2ae−a2 da = ∞ 0 ∞ √ a2µ 1 2π e−x2 /2 dx · 2ae−a2 da, donde lo marcado en rojo corresponde a la distribución normal estándar. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 38 / 88
  • 45. BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico Sustituyendo x z √ µ = u; dx = a √ µdu se tiene BER = ∞ 0 ∞ 1 2ae−a2 a √ µe−µa2 u2 /2 duda = ∞ 1 ∞ 0 2a2 √ 2π e− a2 2 (2+µu2 ) dadu Luego de resolver la integral (comprobar), puede verse que el BER para un sistema inalámbrico es BER = 1 2 1 − µ 2 + µ = 1 2 1 − SNR 2 + SNR fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 39 / 88
  • 46. BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico Canal cableado Canal inalámbrico y = x + n y = hx + n BER=Q √ SNR BER = 1 2 1 − SNR 2+SNR Para un valor alto de SNR 1 2 1 − SNR 2 + SNR = 1 2  1 − 1 1 + 2 SNR   ≈ 1 2 1 − 1 − 1 2 · 2 SNR = 1 2 · 1 SNR BER para una canal inalámbrico con SNR alto: BER ≈ 1 2 · SNR fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 40 / 88
  • 47. Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico Calcular la tasa de error de bit para un sistema de comunicaciones inalámbrico, si SNR = 20 dB. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 41 / 88
  • 48. Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico Calcular la tasa de error de bit para un sistema de comunicaciones inalámbrico, si SNR = 20 dB. Solución: 20dB = 10 log10 SNR log10 SNR = 2 SNR = 102 = 100 Entonces: BER = 1 2 · SNR = 1 2 · 100 = 0.5 × 10−3 Conclusión: El sistema de comunicaciones inalámbrico tiene un BER muy alto. Comparando con el sistema cableado, para un SNR=10dB, el BER = 7.8 × 10−4. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 41 / 88
  • 49. Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico Calcule la SNRdB para un sistema de comunicaciones inálámbrico considerando un BER = 10−6. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 42 / 88
  • 50. Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico Calcule la SNRdB para un sistema de comunicaciones inálámbrico considerando un BER = 10−6. Solución: 10−6 = 1 2 · SNR SNR = 1 2 · 10−6 = 10+6 2 SNRdB= 57dB La diferencia entre un sistema de comunicación inalámbrico y un cableado es = 57 − 13.6dB ≈ 43dB! Un sistema de comunicaciones inalámbrico tiene alto BER y pobre desempeño, lo que se debe al desvanecimiento. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 42 / 88
  • 51. BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico 10 log10 SNRwireless − 10 log10 SNRwired = 43dB 10 log10 SNRwireless SNRwired = 43dB log10 SNRwireless SNRwired = 4.3dB SNRwireless SNRwired = 104.3 ≈ 104 = 10000 SNRwireless = 10000 × SNRwired considerando un BER de 10−6 Pwireless = 10000 × Pwired fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 43 / 88
  • 52. Expresiones del BER para un sistema cableado e inalámbrico Sistema inalámbrico: BER = 1 2 1 − SNR 2 + SNR ≈ 1 2 · SNR Sistema cableado: BER = Q √ SNR ≈ e−SNR/2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 10 −6 10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 γ b (dB) P b M = 4 M = 16 M = 64 Rayleigh fading AWGN > 30dB fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 44 / 88
  • 53. Sistema de Comunicación inalámbrico y = hx + n El desempeño del sistema inalámbrico es MALO cuando la potencia recibida es menor que la potencia de ruido. Considere el coeficiente de desvanecimiento (|h|2 P), correspondiente a hx |h|2 = a2 P El desempeño es MALO, cuando a2P < σ2 n, a2 < σ2 n P = 1 SNR a < 1 √ SNR fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 45 / 88
  • 54. Probabilidad de desvanecimiento profundo La probabilidad de que exista un desvanecimiento profundo es P a < 1/ √ SNR = 1/ √ SNR 0 fA (a)da = 1/ √ SNR 0 2e−a2 da ≈ 1/ √ SNR 0 2ada = 2 a2 2 1/SNR 0 = 1 SNR BER = 1 2 · SNR probabilidad de desvanecimiento profundo = 1 SNR BER ≈ Probabilidad de desvanecimiento profundo El desempeño pobre de los sistemas inalámbricos se debe al desvanecimiento profundo (deep fade) → Interferencia destructiva. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 46 / 88
  • 55. Agenda 1 Introducción 2 Desvanecimiento 3 Canal con desvanecimiento Rayleigh 4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos 5 Diversidad para combatir el desvanecimiento 6 Desempeño BER con diversidad 7 Diversidad Espacial 8 Orden de diversidad
  • 56. Diversidad ¿Cómo mejorar el desempeño de los sistemas inalámbricos? DIVERSIDAD La diversidad puede ser empleada para mejorar el desempeño de los sistemas inalámbricos a través de controlar o combatir el desvanecimiento. Tx Rx el enlace tiene desvanecimiento el desempeño es malo! un enlace (no-cableado) Tx Rx Diversidad fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 48 / 88
  • 57. Diversidad en Tiempo Dispersión de las señales de información a través de múltiples intervalos de tiempo. Repetition coding: Transmitir la misma señal repetidas veces a través de múltiples tiempos coherentes (separación en tiempo > tiempo coherente) → ancho de banda ineficiente!!! Error Control Coding: Esquema mucho más sofisticado. Coding and interleaving Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communications 73 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 000000 111111 000000 111111 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 000000 111111 000000 111111 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 000000 111111 000000 111111 000000 111111 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 000000 111111 000000 0000 111111 1111 000000 0000 111111 1111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111000000 0000 111111 1111 000000 0000 111111 1111 000000 0000 111111 1111 000000 0000 111111 1111 000000 0000 111111 1111 000000 0000 111111 1111 0000 00 1111 11 0000 00 1111 11 0000 00 1111 11 0000 00 1111 11 Interleaving x2 Codeword x3 Codeword x0 Codeword x1 Codeword |hl| L = 4 l No Interleaving Figure 3.5: The codewords are transmitted over consecutive symbols (top) and inter- Referencia: [Tse and Viswanath, 2005] fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 49 / 88
  • 58. Diversidad en Frecuencia Diversidad en Frecuencia Transmitir la misma información a través de diferentes sub-portadoras. Separación en frecuencia > ancho de banda coherente. Diversidad espacial Transmitir/Recibir por múltiples antenas. Suficiente separación entre antenas para lograr uncorrelated channel gains e.g., alrededor de media longitud de onda, λ/2, para desvanecimiento Rayleigh. ECSE610  DIVERSITY - 13 Diversity: Frequency, Space Frequency diversity:  Transmit same info over different subcarriers  frequency separation > coherence bandwidth Space diversity:  Transmit/receive from multiple antennas  Sufficient antenna separation to achieve uncorrelated channel gains, e.g., about half wavelength, λ/2, for a Rayleigh fading fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 50 / 88
  • 59. Técnicas de Diversidad en el Receptor  Transmitter sends same signal over L independent fading paths obtained by diversity in time, space, frequency (repetition codin LinearCombiner  Most combiners are linear (weigh sum of branches) y = hx + n y = [y1, · · · , yL]T h = [h1, · · · , hL]T = [r1ejθ1,··· ,rLejθL ]T n = [n1, · · · , nL]T ∼ CN(0, N0IL) Most combiners are linear (weighted sum of branches) yΣ = (wT h) · x + (wT n) w = [w1, · · · , wL]T fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 51 / 88
  • 60. Técnicas de Diversidad en el Receptor ECSE610  DIVERSITY - 33 EGC and Performance  The received signals from the L diversity branches are coherently combined with equal weights  The receiver does not need the information of ||h||  Performance is worse than that of MRC (about 1 dB), but much better than SC for large L L RelativeSNRimprovementindB D. G. Brennan, “Linear Diversity Combining Techniques”, Proceedings of the IRE, Vol. 47, June 1959, pp. 1075–1102. Classic Paper Reprint, Proceedings of the IEEE, Vol. 91, No. 2, February 2003, Pp. 331-356 ECSE610  DIVERSITY - 35 Performance/complexity tradeoff SC EGC MRC Complexity Simplest (co-phasing not required) Only need to estimate phase Highest (need to track phase and SNR) Performance Worst Much better than SC and worse than MRC (close, 1dB penalty) Best (much better than SC) fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 52 / 88
  • 61. Sistema de Múltiples antenas Tx Rx Si L1 y L4 se encuentran en desvanecimiento profundo, aún se puede recibir información a través de los enlaces L2, L3 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 53 / 88
  • 62. Modelo de un Sistema de Múltiples antenas Tx Rx 1 antena transmisora L antenas receptoras Orden de diversidad L x → señal transmitida sistema inalámbrico: y = hx + n fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 54 / 88
  • 63. Modelo de un Sistema de Múltiples antenas L enlaces y1 = h1x + n1 → modelo entre la ant. Tx y la ant Rx 1 y2 = h2x + n2 ... yL = hLx + nL El hi corresponde al coeficiente de desvanecimiento del enlace i-ésimo.      y1 y2 ... yL      =      h1 h2 ... hL      x +      n1 n2 ... nL      Notación vectorial yL×1 = hL×1 x + nL×1 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 55 / 88
  • 64. Detección de la señal y = hx + n E|ni(k)|2 = σ2 n La señales recibidas en las L antenas receptoras, son y1, y2, · · · , yL. Combinando las señales recibidas (w → beamformer): w∗ 1y1 + w∗ 2y2 + · · · + w∗ LyL w∗ 1 w∗ 2 · · · w∗ L      y1 y2 ... yL      = wH y → Beamforming (forma de haz) Por tanto y = hx + n fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 56 / 88
  • 65. Detección de la señal y = hx + n wH y = wH (hx + n) = wH hx + wH n → componente señal + componente ruido SNR = potencia de la señal potencia del ruido señal = wH hx potencia de la señal = wH h 2 · P fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 57 / 88
  • 66. Detección de la señal Potencia de ruido: Potencia de ruido = E (wH n)(wH n)∗ = E wH nnH w = wH E nnH w Sea n = [n1, n2, · · · , nL]T , entonces nnH = [n1, n2, · · · , nL]T [n1, n2, · · · , nL] =       |n1|2 n1n∗ 2 · · · · · · n2n∗ 1 |n2|2 · · · · · · ... ... ... ... · · · · · · · · · |nL|2       y por tanto, E[nn]H =      σ2 n 0 0 0 0 σ2 n 0 0 ... ... ... ... · · · · · · · · · σ2 n      = σ2 nI fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 58 / 88
  • 67. Detección de la señal Remplazando en la potencia de ruido: Potencia de ruido = wH E nnH w = σ2 nwH w = σ2 n w 2 → ruido a la salida en el beamformer Luego el SNR a la salida del beamformer SNR = wHh 2 P σ2 n w 2 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 59 / 88
  • 68. Detección de la señal Escoger w tal que w maximize el SNR: max SNR = max wHh 2 w 2 P σ2 n El SNR es k invariante en relación a w (si se multiplica w por un factor k el SNR no se afecta). SNR = kwH h 2 kw 2 P σ2 n = k2 wH h 2 k2 w 2 P σ2 n = wH h 2 w 2 P σ2 n fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 60 / 88
  • 69. Detección de la señal Escogiendo w tal que w 2 = 1 → wH w = 1. Problema: maximizar: SNR = wH h 2 P σ2 n tal que w = 1. max wH h 2 P σ2 n , (1) Como aH b = |a| |b| cos θ. El máximo valor para esta expresión se da cuando los vectores a y b se encuentran en el misma dirección, i.e. θ = 0, cos θ = 1. Similarmente, el SNR en (1) se maximiza cuando: w = ch, donde c es una constante. Recordando la condición w = 1: c2 h 2 = 1 c = 1 h fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 61 / 88
  • 70. Detección de la señal Por tanto, el vector óptimo beamformer w que maximiza el SNR recibido es [maximal ratio combining (MRC)] wopt = h h Por tanto: SNR = wH h 2 P σ2 n = hH h h 2 P σ2 n = h 2 P σ2 n fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 62 / 88
  • 71. Ejemplo: Detección de la señal Sistema con múltiples antenas en recepción L = 2. Tx Rx y1 y2 = h1 h2 x + n1 n2 Sea: h1 = 1 √ 2 + 1 √ 2 j ; h2 = 1 √ 2 − 1 √ 2 j ; |h1| = 1/2 + 1/2 = 1; |h2| = 1 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 63 / 88
  • 72. Ejemplo: Detección de la señal Solución: h = 1√ 2 + 1√ 2 j 1√ 2 − 1√ 2 j h 2 = |h1|2 + |h2|2 = 1 + 1 = 2 h = √ 2 wMRC = h h = 1 √ 2 1√ 2 + 1√ 2 j 1√ 2 − 1√ 2 j = 1 2 + 1 2 j 1 2 − 1 2 j La salida del receptor beamformer = wH y = 1 2 − 1 2 j 1 2 + 1 2 j y1 y2 = 1 2 − 1 2 j y1 + 1 2 + 1 2 j y2 La SNR en el receptor después del MRC: = h 2 P σ2 n = 2P σ2 n fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 64 / 88
  • 73. Agenda 1 Introducción 2 Desvanecimiento 3 Canal con desvanecimiento Rayleigh 4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos 5 Diversidad para combatir el desvanecimiento 6 Desempeño BER con diversidad 7 Diversidad Espacial 8 Orden de diversidad
  • 74. Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas Rx SNR = h 2 P σ2 n = |h1|2 + |h2|2 + · · · |hL|2 P σ2 n = g P σ2 n donde g = |h1|2 + |h2|2 + · · · |hL|2 g = h 2 es una variable aleatoria CHI-SQUARED con 2L grados de libertad, con distribución de probabilidad: fG(g) = 1 (L − 1)! gL−1 e−g fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 66 / 88
  • 75. Chi-Squared Chi-Squared - Definición “La distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) (X2), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria X = Z2 1 + · · · + Z2 k Donde Zi son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno [Wikipedia, 2016a]”. Función distribución de probabilidad Referencia: [Wikipedia, 2016a] fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 67 / 88
  • 76. Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas Rx SNR = g P σ2 n Bit-Error rate instantáneo = Q g · SNR Average BER = ∞ 0 Q g · SNR fG(g)dg BER con L antenas receptoras y combinador MRC = 1 − λ 2 2 L−1 l=0 L+l−1 C l 1 + λ 2 l donde n C k = n! k!(n − k)! ; λ = SNR 2 + SNR fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 68 / 88
  • 77. Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas Para L = 1 = 1 − λ 2 1 l=0 l C l 1 + λ 2 l = 1 − λ 2 0 C 0 1 + λ 2 0 =1 finalmente BER = 1 2 (1 − λ) = 1 2 1 − SNR 2 + SNR BER con una antena receptora fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 69 / 88
  • 78. Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas Para alto SNR 1 2 (1 − λ) = 1 2 1 − SNR 2 + SNR = 1 2    1 − 1 1 + 2 SNR 1 2     = 1 2 1 − 1 − 1 2 2 SNR = 1 2 · SNR 1 2 (1 + λ) ≈ 1 2 1 + 1 − 1 SNR = 1 2 2 − 1 SNR ≈ 1 2 · 2 = 1 Para alto SNR f(x) =    1 2 (1 − λ) ≈ 1 2·SNR 1 2 (1 + λ) ≈ 1 fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 70 / 88
  • 79. Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas Average BER = 1 − λ 2 L L−1 l=0 L−l−1 C l 1 + λ 2 l = 1 2 · SNR L L−1 l=0 L+l−1 C l = 2L−1 C l 1 2L 1 SNR L BER con L antenas de recepción después de un Maximal Ratio Combining para alto SNR = 2L−1 C L 1 2L 1 SNR L fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 71 / 88
  • 80. Ejemplo: Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas Considere L = 2 antenas recibidas, ¿cuál es el SNR requerido para obtener un BER de 10−6? fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 72 / 88
  • 81. Ejemplo: Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas Considere L = 2 antenas recibidas, ¿cuál es el SNR requerido para obtener un BER de 10−6? Solución: BER = 2L−1 C L 1 2L 1 SNR L = 3 C 2 1 22 1 SNR 2 = 3 4 1 SNR 2 Para un BER de 10−6 1 SNR 2 = 4 3 × 10−6 SNR2 = 3 4 × 106 SNR = √ 3 2 × 103 SNRdB = 10 log10 √ 3 2 × 103 = 29, 37dB Nota: El SNR requerido con una sola antena fue 57 dB!. Con dos antenas en recepción existe una reducción de 57-29 dB ≈ 28 dB fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 72 / 88
  • 82. Ejemplo: Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas Sea P1 w = potencia requerida con 1 antena receptora. Sea P2 w = potencia requerida con 2 antenas receptoras. 10 log10 P1 w P2 w = 28 ≈ 30dB P1 w P2 w = 103 P2 w = P1 w 103 Nota: Agregar una antena en el receptor inalámbrico tiene una mejora significante en el desempeño del BER. La diversidad en el receptor es muy importante en 3G/4G. Los sistemas: WCDMA, HSDPA, LTE, WiMAX emplean diversidad. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 73 / 88
  • 83. ¿Por qué el BER decrese con el número de las antenas en recepción? Para L antenas, 2L−1 C L 1 2L 1 SNR L L = 1 → 1 2 · SNR ∝ 1 SNR L = 2 → 2 4 1 SNR 2 ∝ 1 SNR2 L = 3 → BER ∝ 1 SNR3 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 Pout 10log 10 (γ/γ 0 ) M = 1 M = 2 M = 3 M = 4 M = 10 M = 20 Figure 7.5: Pout for MRC with i.i.d. Rayleigh fading. Rayleigh fading, where pγΣ (γ) is given by (7.16), it can be shown that [4, Chapter 6.3] Pb = ∞ 0 Q( 2γ)pγΣ (γ)dγ = 1 − Γ 2 M M−1 m=0 M − 1 + m m 1 + Γ 2 m , (7 where Γ = γ/(1 + γ). This equation is plotted in Figure 7.6. Comparing the outage probab for MRC in Figure 7.5 with that of SC in Figure 7.2 or the average probability of error for MR Figure 7.6 with that of SC in Figure 7.3 indicates that MRC has significantly better performance t SC. In Section 7.7 we will use a different analysis based on MGFs to compute average error probab under MRC, which can be applied to any modulation type, any number of diversity branches, and Referencia: [Goldsmith, 2005] Cuando incrementa el número de antenas en el receptor, el BER decrese a una tasa mucho más rápida. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 74 / 88
  • 84. Sistema con múltiples antenas ¿Cuál es la probabilidad de desvanecimiento profundo? y = hx + n La potencia de la señal después del MRC es h 2 P σ2 n = g P σ2 n SNR = h 2 P σ2 n h2 P < σ2 n g · P < σ2 n g< 1 SNR → deep fade fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 75 / 88
  • 85. Sistema con múltiples antenas fG(g) = gL−1 (L − 1)! e−g P g < 1 SNR = 1/SNR 0 gL−1 (L − 1)! e−g dg ≈ SNR 0 gL−1 (L − 1)! dg = gL L! 1/SNR 0 La probabilidad de desvanecimiento profundo es = 1 L! 1 SNR L ∝ 1 SNR L Con más antenas receptoras la probabilidad de desvanecimiento profundo decrese significativamente. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 76 / 88
  • 86. Sistema con múltiples antenas Intuición (para bajo BER) Tx Rx deep fade 1 SNR = probabilidad de desvanecimeinto profundo = BER fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 77 / 88
  • 87. Sistema con múltiples antenas Tx Rx El sistema presenta desvanecimiento profundo únicamente cuando todos los L enlaces presentan desvanecimiento profundo. Considere L enlaces y que Ei representa el evento “el enlace i se encuentra en desvanecimiento profundo”: P(E1 ∩ E2 ∩ · · · EL) = P(E1)P(E2) · · · P(EL) = 1 SNR · 1 SNR · · · 1 SNR L tiempos = 1 SNR L fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 78 / 88
  • 88. Agenda 1 Introducción 2 Desvanecimiento 3 Canal con desvanecimiento Rayleigh 4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos 5 Diversidad para combatir el desvanecimiento 6 Desempeño BER con diversidad 7 Diversidad Espacial 8 Orden de diversidad
  • 89. Diversidad Espacial Diversidad por múltiples antenas es conocido como DIVERSIDAD ESPACIAL. Una suposición crítica: E1, E2, · · · , EL los cuales representan eventos de desvanecimiento profundo, son independientes. Para contar con antenas independientes, tienen que ser ubicadas suficientemente distantes unas de otras. ¿Qué tan distantes deben ser ubicadas las antenas? Para obtener canales independientes a lo largo de las antenas receptoras, se requiere un espaciamiento igual a λ/2 donde, λ representa la longitud de onda de la portadora, i.e., λ = c/fc. Siendo, fc la frecuencia portadora y c la velocidad de la luz. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 80 / 88
  • 90. Ejemplo: Separación de las antenas Considere un sistema GSM con frecuencia portadora fc = 900 MHz. ¿Cuál es el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales? fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 81 / 88
  • 91. Ejemplo: Separación de las antenas Considere un sistema GSM con frecuencia portadora fc = 900 MHz. ¿Cuál es el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales? Solución: λ = c fc = 3 × 108[m/s] 900 × 106[1/s] = 33.33 cm Por lo tanto, el espaciamiento entre antenas es: λ 2 = 33.33 2 = 16.66 cm Nota: No es posible ubicar múltiples antenas en un celular. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 81 / 88
  • 92. Ejemplo: Separación de las antenas Ahora considere un sistema 3G/4G con frecuencia portadora fc = 2.3 GHz. ¿Cuál es el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales? fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 82 / 88
  • 93. Ejemplo: Separación de las antenas Ahora considere un sistema 3G/4G con frecuencia portadora fc = 2.3 GHz. ¿Cuál es el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales? Solución: λ = c fc = 3 × 108[m/s] 2.3 × 109[1/s] = 13.04 cm Por lo tanto, el espaciamiento entre antenas es: λ 2 = 13.04 2 = 6.5 cm Nota: Es posible ubicar múltiples antenas en un teléfono 3G/4G. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 82 / 88
  • 94. Agenda 1 Introducción 2 Desvanecimiento 3 Canal con desvanecimiento Rayleigh 4 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos 5 Diversidad para combatir el desvanecimiento 6 Desempeño BER con diversidad 7 Diversidad Espacial 8 Orden de diversidad
  • 95. Orden de Diversidad Sea el BER de un sistema inalámbrico dado por Pe(SNR), el orden de diversidad d es d = lim SNR→∞ log Pe(SNR) log(SNR) Aproximadamente relacionado al número de canales independientes. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 84 / 88
  • 96. Orden de Diversidad, Sistema Inalámbrico (L = 1) Una antena receptora (L = 1) Pe(SNR) = 1 2 · SNR Por tanto, d = − lim SNR→∞ log 1 2·SNR log SNR = − lim SNR→∞ − log SNR − log 2 log SNR = lim SNR→∞ 1 + log 2 log SNR Para un SNR alto, el segundo término log 2 log SNR tiende a 0, ya que el SNR → ∞. d = lim SNR→∞ 1 = 1 El orden de diversidad con una antena receptora es d = 1. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 85 / 88
  • 97. Orden de Diversidad, Sistema Inalámbrico con L antenas de recepción Pe(SNR) = 2L−1 C L 1 2L 1 SNR L d = − lim SNR→∞ log 2L−1 C L 1 2L 1 SNR L log SNR = lim SNR→∞ L log SNR − log 2L−1 C L 1 2L log SNR = lim SNR→∞ L − log 2L−1 C L 1 2L log SNR El término en azul tiene a cero ya que SNR → ∞. Por lo tanto, el orden de diversidad es d = L fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 86 / 88
  • 98. Orden de diversidad de un sistema de comunicaciones cableado Pe(SNR) = Q( √ SNR) ≈ e−SNR/2 d = − lim SNR→∞ log e−SNR/2 log SNR = − lim SNR→∞ −SNR/2 log SNR = 1 2 lim SNR→∞ SNR log SNR = 1 2 lim SNR→∞ 1 1/SNR = 1 2 lim SNR→∞ SNR = ∞ Orden de diversidad d = ∞ Nota: Un canal cableado tiene orden de diversidad ∞. Es decir, puede ser considerado como un canal que comprende un número infinito de enlaces independientes. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 87 / 88
  • 99. Referencias I Referencia Principal: [Jagannathan, 2013] [Goldsmith, 2005] Goldsmith, A. (2005). Wireless communications. Cambridge university press. [Jagannathan, 2013] Jagannathan (2013). Advanced 3g and 4g wireless mobile communications. [Tse and Viswanath, 2005] Tse, D. and Viswanath, P. (2005). Fundamentals of wireless communication. Cambridge university press. [Wikipedia, 2016a] Wikipedia (2016a). distribucion-x2. https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_%CF%87%C2%B2. [Online; accessed 27-Junio-2016]. [Wikipedia, 2016b] Wikipedia (2016b). Teorema del limite central. https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_l%C3%ADmite_central. [Online; accessed 17-Junio-2016]. fasandoval@utpl.edu.ec PO Fading and Diversity 88 / 88