AEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatorias

Francisco Sandoval
fasandoval@utpl.edu.ec
https://sites.google.com/view/fasandovaln
2019
Análisis estadístico y
probabilístico
1

Agenda
CAP. 4: Funciones de variables aleatorias
• Función de variable aleatoria real
– Funciones constantes
– Funciones biunívocas o diferenciables
– Funciones genéricas
• Funciones de variables aleatorias reales
– Funciones constantes
– Funciones biunívocas y diferenciables
– Funciones genéricas
3

Objetivos
• Caracterización probabilística de las funciones
de variables aleatorias.
• Análisis de la FDP y fdp para las funciones de
v.a.
• Estudio de los casos: funciones constantes y
funciones biunívocas y diferenciables.
4

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
ALEATORIA REAL
5

Introducción
• “En los métodos estadísticos estándar, el resultado de la prueba de
hipótesis estadísticas, la estimación, o incluso las gráficas
estadísticas, no involucra a una sola variable aleatoria sino a
funciones de una o mas variables aleatorias.
• Como resultado, la inferencia estadística requiere la distribución de
tales funciones. Por ejemplo, es común que se utilicen promedios
de variables aleatorias. Además, las sumatorias y las
combinaciones lineales mas generales son importantes.
• Con frecuencia nos interesa la distribución de las sumas de
cuadrados de variables aleatorias, en particular la manera en que se
utilizan las técnicas del análisis de varianza…”
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., &Ye, K. (1993). Probability and
statistics for engineers and scientists (Vol. 5). NewYork: Macmillan.
6

Función de variable aleatoria real
• Recordando, una v.a. real se define:
𝑥: Ω ⟼ ℝ
𝜔 ⟼ 𝑥 𝜔
• Considere una función real 𝑔, definida sobre los reales,
o sea:
𝑔: ℝ ⟼ ℝ
𝑥 𝜔 ⟼ 𝑔 𝑥 𝜔
• se analiza la función compuesta 𝑦 = 𝑔 o 𝑥, real con
dominio en Ω asociada al mapa:
𝑦: Ω ⟼ ℝ
𝜔 ⟼ 𝑔 𝑥 𝜔
7

• Significa que para todo 𝜔 ∈ Ω, se tiene un
valor real 𝑦 𝜔 = 𝑔(𝑥(𝜔)).
8

Función compuesta
• Es una función formada por la
composición o aplicación sucesiva de
otras dos funciones.
• Sean las funciones:
𝑓(𝑥) = 𝑥2
,
𝑔 𝑥 = sin 𝑥 ,
La función compuesta de 𝑔 y de 𝑓 que
expresamos:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = sin 𝑥 2
= 𝑠𝑖𝑛2
𝑥,
g ∘ f, es la aplicación resultante de la
aplicación sucesiva de f y de g. En el
ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.
La interpretación de (𝑓 ∘ 𝑔) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que
aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso
𝑧 = 𝑔(𝑥) = sin 𝑥 ,
y después aplicamos 𝑓 a 𝑧 para obtener
𝑦 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
= 𝑠𝑖𝑛2
𝑥,
9

• Se concluye: si la función del conjunto 𝑦
obedece las condiciones de la Definición de
v.a.r., ella también será una v.a.
• Interesa determinar la fdp 𝑝 𝑦(𝑌), asociada a la
v.a. 𝑦, en términos de 𝑔 y 𝑝 𝑥(𝑋).
10

Ejemplo: Función biunívoca y diferenciable
Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un
diodo es presentada en la Figura, donde 𝑥 representa la tensión en
los terminales del diodo y 𝑦 la corriente. Dado que analíticamente
la característica de tensión-corriente se escribe:
𝑦 = 𝑔 𝑥 = ቊ
𝑒 𝑥
− 1 ; 𝑥 < 0
𝑥 ; 𝑥 ≥ 0
determinar 𝑝 𝑦(𝑌).
11

Determinación de fdp 𝑝 𝑦(𝑌)
• Se considera inicialmente que
𝑝 𝑦 𝑌 = න
−∞
∞
𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 = න
−∞
∞
𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
• Observe, que dado el valor de la v.a. 𝑥, por ejemplo 𝑥 = 𝑋,
la v.a. 𝑦 = 𝑔(𝑥) es una v.a. discreta que asume un único
valor igual a 𝑔(𝑋). Esto permite expresar la fpd
condicional del integrado como una función impulso, o sea
𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝛿(𝑔 𝑋 − 𝑌)
es válida para todo 𝑋 ∈ ℝ y para toda 𝑌 ∈ ℝ.
12

Determinación de fdp 𝑝 𝑦(𝑌)
• Para valores de 𝑌 tales que 𝑌 ≠ 𝑔(𝑋) se tiene
que esta fdp condicional es nula.
Substituyendo las ec. anteriores:
−∞
∞
𝛿 𝑔 𝑋 − 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
13

Funciones constantes
Se considera que la función 𝑔(𝑥) asume un único
valor 𝐺 para cualquier valor de 𝑥 en su
contradominio, o sea,
𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝐺
Por cuanto, la fdp condicional es
𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝛿(𝐺 − 𝑌)
Y se reduce a:
𝑝 𝑦 𝑌 = 𝛿 𝐺 − 𝑌 න
−∞
∞
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝛿(𝑌 − 𝐺)
15

FUNCIONES BIUNÍVOCAS Y
DIFERENCIABLES
16

Función biunívoca
Cada elemento del
conjunto origen se
corresponde con solo
un elemento del
conjunto imagen, y cada
elemento del conjunto
imagen se corresponde
con solo un elemento
del conjunto origen.
Nota: puede haber elementos sin
imagen como el 1, y elementos sin
origen como la c, pero esto no influye
en la definición de biunicidad.
17

Funciones Biunívocas y diferenciables
Se considera el caso particular en que 𝑔(𝑥) es biunívoca y
diferenciable. Para determinar 𝑝 𝑦 𝑌 se realiza cambio de
variables
𝑍 = 𝑔(𝑋)
Como 𝑔 es biunívoca y diferenciable, se tiene
𝑋 = 𝑔−1
𝑍 = ℎ(𝑍)
con 𝑔−1
() representando la función inversa de 𝑔(), y
𝑑𝑋 = ℎ′(𝑍) 𝑑𝑍
donde
ℎ′
𝑍 =
𝑑
𝑑𝑍
ℎ(𝑍)
18

entonces, con el cambio de variables, 𝑝 𝑦(𝑌) se escribe
−∞
∞
𝐶 𝑔
𝛿 𝑍 − 𝑌 𝑝 𝑥 ℎ 𝑍 ℎ′
𝑍 𝑑𝑍
donde 𝐶𝑔 representa el contradominio de la función 𝑔.
Si se considera la propiedad de la función impulso, según la cual
න
𝑎
𝑏
𝛿 𝑍 − 𝑌 𝑓 𝑍 𝑑𝑍 = ቊ
𝑓 𝑌 ; 𝑌 ∈ 𝑎, 𝑏
0 ; 𝑌 ∉ 𝑎, 𝑏
19

Se obtiene:
𝑝 𝑦 𝑌 = ൝
𝑝 𝑥 ℎ 𝑌 |ℎ′ 𝑌 | ; 𝑌 ∈ 𝐶𝑔
0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝑔
observando que
ℎ′
𝑌 =
1
𝑔′ ℎ 𝑌
se obtiene, finalmente
𝑝 𝑦 𝑌 =
ቤ
𝑝 𝑥 𝑋
𝑔′ 𝑋 𝑋=ℎ 𝑌 =𝑔−1(𝑌)
; 𝑌 ∈ 𝐶𝑔
0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝑔
20

Considerando la definición 1:
𝑝 𝑦 𝑌 = ቤ
𝑝 𝑥 𝑋
𝑔′ 𝑋 𝑋=𝑔−1 𝑌
𝕝 𝐶 𝑔
(𝑌)
Definición 1: Función indicadora de un conjunto A
Sea 𝐴 ⊂ Γ un subconjunto de elementos 𝛼, 𝛼 ∈ Γ. La función
Indicadora 𝕝 𝐴(𝛼) del conjunto 𝐴 es
𝕝 𝐴 𝛼 = ቊ
1 ; 𝛼 ∈ 𝐴
0 ; 𝛼 ∉ 𝐴
21

Ejemplo 1: Función Biunívoca y Diferenciable
Como la función es biunívoca y diferenciable, la fdp de 𝑦 puede ser
directamente determinada a partir la ec. dada. El contradominio de 𝑔 es
el conjunto de los números reales.
𝑝 𝑦 𝑌 = ቤ
1
2𝜋
exp −
𝑋2
2
2 𝑋=
𝑌
2
=
1
2 2𝜋
exp −
𝑌2
8
; 𝑌 ∈ ℝ
Considérese una v.a. gaussiana con parámetros 𝑚 = 0 y 𝜎 = 1.
Sea 𝑦 una v.a. definida a través de la función
𝑦 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
22

Pasos para hallar 𝑝 𝑦(𝑌) dado que se conoce 𝑝 𝑥(𝑋) y 𝑔(𝑥)
Determinar si 𝑔(𝑥) es:
a. función constante.
i. 𝑝 𝑦 𝑌 = 𝛿(𝑌 − 𝐺)
b. función biunívoca diferenciable.
i. Derivar 𝑔(𝑥).
ii. Invertir: 𝑋 = 𝑔−1 𝑌 .
iii. Determinar 𝐶𝑔.
iv. 𝑝 𝑦 𝑌 = ቚ
𝑝 𝑥 𝑋
𝕝 𝐶 𝑔
(𝑌)
c. otro tipo de función.
i. Emplear definición general.
23

Considere que la característica idealizada de tensión-corriente de
un diodo es presentada en la Figura, donde 𝑥 representa la tensión
en los terminales del diodo y 𝑦 la corriente. Dado que
analíticamente la característica de tensión-corriente se escribe:
𝑦 = 𝑔 𝑥 = ቊ
𝑒 𝑥
− 1 ; 𝑥 < 0
𝑥 ; 𝑥 ≥ 0
Asuma que la tensión en los terminales del diodo es caracterizada
por una v.a. gaussiana con parámetros 𝑚 = 0 y 𝜎 = 1. Determinar
𝑝 𝑦(𝑌).
24

25

Funciones genéricas
• Funciones genéricas, seccionalmente continuas y
diferenciables.
• El dominio 𝑔 es particionado en intervalos
𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼 𝑁, tales que, en cada intervalo, 𝑔( ) sea
constante o biunívoca y diferenciable.
• La función g(𝑥) es descompuesta en 𝑁 funciones
𝑔1 𝑥 , 𝑔2 𝑥 , … , 𝑔 𝑁(𝑥), definidas,
respectivamente, en los intervalos 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼 𝑁 y
con contradominio representados
respectivamente por 𝐶𝑔1
, 𝐶𝑔2
, … , 𝐶𝑔 𝑁
.
27

28

• La función densidad de probabilidad de la v.a.
𝑦 = 𝑔(𝑥), considerando las particiones
𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼 𝑁 del dominio de 𝑔(𝑥), es dada por
𝑹
= ෍
𝑖=0
𝑁
න
𝐼 𝑖
𝛿 𝑔𝑖 𝑋 − 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
𝐴 𝑖(𝑌)
29

• La parte de 𝑝 𝑦(𝑌) que corresponde a las
funciones 𝑔𝑖(𝑥) constantes (e iguales a 𝐺𝑖) son
dadas por
𝐴𝑖 𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 න
𝐼 𝑖
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑃(𝑥 ∈ 𝐼𝑖)
• La parte de 𝑝 𝑦(𝑌) que corresponde a las funciones 𝑔𝑖(𝑥)
biunívocas y diferenciables, son dadas por
𝐴𝑖 𝑌 = ቮ
𝑝 𝑥 𝑋
𝑔𝑖
′ 𝑋
𝑋=𝑔𝑖
−1 𝑌
𝕝 𝐶 𝑔 𝑖
𝑌
30

• Finalmente
𝑝 𝑦 𝑌
= ෍
𝑖∈𝒞
𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑃 𝑥 ∈ 𝐼𝑖 + ෍
𝑖∈ℬ
อ
𝑝 𝑥 𝑋
𝑔𝑖
′
𝑋
𝑋=𝑔𝑖
−1
𝑌
𝕝 𝐶 𝑔 𝑖
𝑌
donde
𝒞
= conjunto de índices 𝑖 tales que 𝑔𝑖 𝑥 es constante en 𝐼𝑖
ℬ
= {conjunto de los índices 𝑖 tales que 𝑔𝑖 𝑥 es biunívoca y
diferenciable en 𝐼𝑖}
31

Pasos para hallar 𝑝 𝑦(𝑌) dado que se conoce 𝑝 𝑥(𝑋) y 𝑔(𝑥)
Determinar si 𝑔(𝑥) es:
a. función constante.
i. 𝑝 𝑦 𝑌 = 𝛿(𝑌 − 𝐺)
b. función biunívoca diferenciable.
i. Derivar 𝑔(𝑥).
ii. Invertir: 𝑋 = 𝑔−1 𝑌 .
iii. Determinar 𝐶𝑔.
iv. 𝑝 𝑦 𝑌 = ቚ
𝑝 𝑥 𝑋
𝕝 𝐶 𝑔
(𝑌)
c. función constante o biunívoca diferenciable por intervalos.
i. Definir los intervalos y cada uno aplicar literal a. o b., según
corresponda.
ii. Sumar el resultado de cada intervalo para obtener el valor final.
d. otro tipo de función.
i. Emplear definición general.
32

Ejemplo 3: Funciones Genéricas
Considere un limitador de tensión, cuya característica es
presentada en la Figura. El valor 𝑥 representa la tensión de entrada
del limitador y 𝑦 el valor de tensión en su salida. Si la tensión de
entrada del limitador es una v.a. con fdp 𝑝 𝑥(𝑋), determinar la fdp
de la v.a. resultante 𝑦 en la salida del limitador.
33

Ejemplo 4: Funciones Genéricas
Se desea encontrar la fdp 𝑝 𝑦(𝑌) de la v.a. 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 > 0), donde
𝑥 es una v.a. doble exponencial de parámetro 𝑏, o sea
𝑝 𝑥 𝑋 =
𝑏
2
exp(−𝑏|𝑋|)
34

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
ALEATORIAS
35

Función de Varias Variables Aleatorias
• Cuando se dispone de 𝑛 v.a. es usual
representarlas por un vector aleatorio 𝑛-
dimensional.
• 𝑛 v.a. 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 pueden ser representadas por
un vector 𝑛-dimensional 𝒙 definido como una
función del conjunto que atribuye un vector 𝑛-
dimensional 𝒙(𝜔) a cada punto de muestra 𝜔 del
espacio de muestras Ω.
• 𝒙 define el mapa:
𝒙: Ω ⟼ ℝ 𝑛
𝜔 ⟼ 𝒙(𝜔)
36

• Considere una función vectorial 𝑚-dimensional
𝒈, definida sobre el ℝ 𝑛
, o sea
𝒈: ℝ 𝑛
⟼ ℝ 𝑚
𝒙 𝜔 ⟼ 𝒈 𝒙 𝜔
• Interesa analizar la función vectorial 𝑚-
dimensional compuesta 𝒚 = 𝒈 ∘ 𝒙, con dominio
en Ω, asociada al mapa
𝒚: Ω ⟼ ℝ 𝑚
𝜔 ⟼ 𝒈 𝒙 𝜔
37

• La fdp 𝑝 𝒚 𝒀 asociada al vector aleatorio 𝒚, en términos de 𝒈 y
𝑝 𝑥 𝑋 , es dada por
𝑝 𝒚 𝒀 = න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑛 integrales
𝑝 𝒙𝒚 𝑿, 𝒀 𝑑𝑿
= න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑛 integrales
𝑝 𝒚 𝒙 = 𝑿 𝒀 𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿
• dado el vector aleatorio 𝒙, por ejemplo 𝒙 = 𝑿, el vector aleatorio
𝒚 = 𝒈(𝒙) es un vector aleatorio discreto que asume un único valor
igual a 𝒈(𝑿).
𝑝 𝒚|𝒙=𝑿 𝒀 = 𝛿(𝒈 𝑿 − 𝒀)
38

• Sustituyendo
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑛 integrales
𝛿 𝒈 𝑿 − 𝒀 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿
39

Funciones constantes
• Considere que la función 𝒈(𝒙) asume un único
valor 𝑮 para cualquier valor de 𝒙 en su
contradominio, o sea
𝒚 = 𝒈 𝒙 = 𝑮
• Consecuentemente
𝑝 𝒚 𝒀 = 𝛿 𝑮 − 𝒀 න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑛 integrales
𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿
= 𝛿 𝒀 − 𝑮
41

FUNCIONES BIUNÍVOCAS Y
DIFERENCIABLES
42

• Un caso particular que merece atención es el de la
función 𝒈 biunívoca y diferenciable en cada argumento.
• Para determinar la integral, se realiza cambio de
variables
𝒁 = 𝒈(𝑿)
• como 𝒈 es biunívoca y diferenciable en cada
argumento, se tiene que
𝑿 = 𝒈−1
𝒁 = 𝒉 𝒁 =
ℎ1 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑛
ℎ2 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑛
⋮
ℎ 𝑚 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑛
𝒈−1 representa la función inversa de 𝒈( )
43

• resolviendo el sistema de ecuaciones 𝒚 = 𝒈(𝒙) para 𝒙
𝑑𝑿 = 𝐽 𝒉(𝒁) 𝑑𝒁
donde 𝐽 𝒉(𝒁) denota el jacobiano de la transformación
𝒉(𝒁).
• Considerando el cambio de variables,
ඵ … න
𝐶 𝑔
𝑛 integrales
𝛿 𝒁 − 𝒀 𝑝 𝒙 𝒉 𝒁 𝐽 𝒉 𝒁 𝑑𝒁
donde 𝐶𝑔 representa el cotradominio de la función 𝒈.
44

• Considerando la propiedad de la función
impulso, según la cual, para 𝒁 𝑛 −dimensional
ඵ … න
𝒟
𝑛 integrales
𝛿 𝒁 − 𝒀 𝑓 𝒁 𝑑𝒁
= ቊ
𝑓 𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝒟
0 ; 𝒀 ∉ 𝒟
45

• se obtiene
𝑝 𝒚 𝒀 = ൝
𝑝 𝒙 𝒉 𝒀 𝐽 𝒉 𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝐶 𝒈
0 ; 𝒀 ∉ 𝐶 𝒈
• observando también
𝐽 𝒉 𝒀 =
1
𝐽 𝒈(𝒉(𝒀))
• se obtiene
𝑝 𝑦 (𝒀) =
อ
𝑝 𝒙 𝑿
𝐽 𝒈 𝑿
𝑿=𝒉 𝒀 =𝒈−1 𝒀
; 𝒀 ∈ 𝐶 𝒈
0 ; 𝑌 ∉ 𝐶 𝒈
46

𝑝 𝑦 𝒀 = อ
𝑝 𝒙 𝑿
𝐽 𝒈 𝑿
𝑿=𝒈−1 𝒀
𝕝 𝐶 𝑔
(𝒀)
donde 𝕝 𝐶 𝑔
(𝒀) representa una función indicadora
de 𝐶𝑔. 𝐽 𝑔(𝑿) denota el Jacobiano de la
transformación 𝒈(𝑿).
47

Funciones Genéricas
• La función 𝒈(𝑥) es descompuesta en 𝑁
funciones 𝒈1 𝑥 , 𝒈2 𝑥 , … , 𝒈 𝑁(𝑥), definidas,
respectivamente, en las regiones 𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅 𝑁
y con contradominios representados
respectivamente por 𝐶 𝒈1
, 𝐶 𝒈2
, … , 𝐶 𝒈 𝑁
.
• La fdp de la v.a. 𝒚 = 𝒈(𝒙) es dada por
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑛 integrales
𝛿 𝒈 𝑿 − 𝒀 𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿
49

𝑝 𝒚 𝒀
= ෍
𝑖=1
𝑁
ඵ … න
𝑅 𝑖
𝑛 integrales
𝛿 𝒈𝑖 𝑿 − 𝒀 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿
𝐴 𝑖(𝒀)
Las porciones que corresponden a las funciones
𝒈𝑖(𝒙) constantes (y iguales a 𝑮𝑖) son dadas por
50

𝐴𝑖 𝒀 = 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 ඵ … න
𝑅 𝑖
𝑛 integrales
𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿
= 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 𝑃(𝒙 ∈ 𝑅𝑖)
• Las porciones que corresponden las funciones
𝒈𝑖(𝒙) biunívocas y diferenciables serán dadas por
𝐴𝑖 𝒀 = อ
𝑝 𝑥 𝑿
𝐽 𝒈 𝑖
𝑿
𝑿=𝒈 𝑖
−1
𝒀
𝕝 𝐶 𝒈 𝑖
(𝒀)
51

• Finalmente
𝑝 𝒚 𝒀
= ෍
𝑖∈𝒞
𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 𝑃(𝒙 ∈ 𝑅𝑖) + ෍
𝑖∈ℬ
อ
𝑝 𝒙 𝑿
𝐽 𝒈 𝑖
𝑿
𝑿=𝒈 𝑖
−1
𝒀
𝕝 𝐶 𝒈 𝑖
(𝒀)
𝒞
= conjunto de índices 𝑖 tales que 𝒈𝑖 𝒙 es constante en 𝑅𝑖
ℬ
= {conjunto de los índices 𝑖 tales que 𝒈𝑖 𝒙 es biunívoca y
diferenciable en 𝑅𝑖}
52

Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
54

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