CI19. Presentación 6.Fading and diversity (simplificada)

Comunicaciones Inalámbricas
Capítulo 2: Canales Inalámbricos,
Fading and Diversity
Francisco Sandoval1
1Departamento de Ciencias de la Computación y Electrónica
Universidad Técnica Particular de Loja
Loja, Ecuador
fasandoval@utpl.edu.ec
2019.1

Agenda
1 Canal con desvanecimiento Rayleigh
2 Desempeño de sistemas cableados e inalámbricos
3 Diversidad para combatir el desvanecimiento
4 Desempeño BER con diversidad
5 Diversidad Espacial

Modelo Analítico
Sistemas Inalámbricos
yb(t) = hsb(t)
donde h es el coeﬁciente complejo de desvanecimiento.
h =
L−1
i=0
aie−j2πfcτi
= x + jy = aejθ
Sistemas cableados o alámbricos (no hay multi-trayectos)
yb(t) = sb(t)
fasandoval@utpl.edu.ec CI CI-Fading and Diversity 3 / 41

Canal con desvanecimiento Rayleigh
Rayleigh fading density:
fA (a) = 2ae−a2
fΦ (φ) =
1
2π
donde a = x2 + y2 para 0 ≤ a ≤ ∞ corresponde a la
envolvente del canal con desvanecimiento.
Figure: One second of Rayleigh fading with a maximum Doppler shift of 10 Hz (Wikipedia)

Desempeño de sistemas de comunicaciones
inalámbricos y cableados
Bit Error Rate (BER)
Tx
Rx
1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ...
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
Bit error
BER = probabilidad de error de bit en el ﬂujo de información.
De 10000 bits, 100 fueron recibidos errados.
Solución:
BER =
100
10000
= 10−2
= 0.01

BER en un sistema de comunicaciones cableado
Dado que en el sistema cableado no existe multi-trayectos
(h = 1)
y = 1 · x + n
y = x + n,
donde n representa el ruido blanco Gaussiano → n ∼ N(0, σ2
n)
AWGN = Additive White Gaussian Noise

BER en un sistema de comunicaciones cableado
Si se considera el sistema
y = x + n,
sea P la potencia de la señal transmitida (x) y σ2
n la
potencia de ruido (n).
La tasa de error de bits (BER) de un sistema de
comunicaciones cableado es
BER = Q
P
σ2
n
= Q(
√
SNR)

Ejemplo: BER en un sistema de comunicaciones
cableado
Dado un SNR = 10 dB, ¿cuál es el BER del sistema de comunicaciones cableado?

cableado
Dado un SNR = 10 dB, ¿cuál es el BER del sistema de comunicaciones cableado?
Solución:
SNRdB = 10 log10 SNR
10 log10 SNR = 10dB
log10 SNR = 1
SNR = 10
BER = Q(
√
10) = 7.82 × 10−4
10
BER
SNR
Nota: Considerando un SNR = 10 dB, el número de bit con
error en 10000 bits es 7.82 × 10−4 × 10000 = 7.82.

cableado
Calcular el SNRdB requerido para tener una probabilidad de error de bit (BER) de
10−6.

cableado
Calcular el SNRdB requerido para tener una probabilidad de error de bit (BER) de
10−6.
Solución:
10−6
= Q(
√
SNR)
√
SNR = Q−1
(10−6
)
SNR = Q−1
(10−6
)
2
SNR = (4.7534)2
= 22.595
SNRdB = 10 log10(22.595)
= 13.6dB
Nota: para un BER=10−6, se requiere una SNRdB = 13.6 dB en
un canal de comunicaciones cableado.

BER en un sistema de comunicaciones inalámbrico
Para un sistema inalámbrico:
y = hx + n,
donde h = aejφ y a posee distribución de Rayleigh.
Dado que la potencia de la señal transmitida es P y la
potencia de ruido es σ2
n,
Potencia recibida = P · |h|2
SNR recibido =
Pa2
σ2
n
=
a2P
σ2
n
Cableado Inalámbrico
SNR = P
σ2
n
SNR = a2P
σ2
n
BER = Q P
σ2
n
BER = Q a2P
σ2
n
donde a es una cantidad aleatoria.

Canal cableado Canal inalámbrico
y = x + n y = hx + n
BER=Q
√
SNR BER = 1
2 1 − SNR
2+SNR
Para un valor alto de SNR
BER ≈
1
2 · SNR

inalámbrico
Calcular la tasa de error de bit para un sistema de comunicaciones inalámbrico, si
SNR = 20 dB.

inalámbrico
Calcular la tasa de error de bit para un sistema de comunicaciones inalámbrico, si
SNR = 20 dB.
Solución:
20dB = 10 log10 SNR
log10 SNR = 2
SNR = 102
= 100
Entonces:
BER =
1
2 · SNR
=
1
2 · 100
= 0.5 × 10−3
Conclusión: El sistema de comunicaciones inalámbrico tiene
un BER muy alto.
Comparando con el sistema cableado, para un SNR=10dB, el
BER = 7.8 × 10−4.

inalámbrico
Calcule la SNRdB para un sistema de comunicaciones inálámbrico considerando un
BER = 10−6.

inalámbrico
Calcule la SNRdB para un sistema de comunicaciones inálámbrico considerando un
BER = 10−6.
Solución:
10−6
=
1
2 · SNR
SNR =
1
2 · 10−6
=
10+6
2
SNRdB= 57dB
La diferencia entre un sistema de comunicación inalámbrico y
un cableado es
= 57 − 13.6dB ≈ 43dB!
Un sistema de comunicaciones inalámbrico tiene alto BER y
pobre desempeño, lo que se debe al desvanecimiento.

10 log10 SNRwireless − 10 log10 SNRwired = 43dB
10 log10
SNRwireless
SNRwired
= 43dB
log10
SNRwireless
SNRwired
= 4.3dB
SNRwireless
SNRwired
= 104.3
≈ 104
= 10000
SNRwireless = 10000 × SNRwired
considerando un BER de 10−6
Pwireless = 10000 × Pwired

Expresiones del BER para un sistema cableado e
inalámbrico
Sistema inalámbrico:
BER =
1
2
1 −
SNR
2 + SNR
≈
1
2 · SNR
Sistema cableado:
BER = Q
√
SNR ≈ e−SNR/2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
γ
b
(dB)
P
b
M = 4
M = 16
M = 64
Rayleigh fading
AWGN
> 30dB

Diversidad
¿Cómo mejorar el desempeño de los sistemas inalámbricos?
DIVERSIDAD
La diversidad puede ser empleada para mejorar el desempeño de los
sistemas inalámbricos a través de controlar o combatir el desvanecimiento.
Tx Rx
el enlace tiene
desvanecimiento
el desempeño
es malo!
un enlace
(no-cableado)
Tx Rx
Diversidad

Diversidad en Tiempo
Dispersión de las señales de información a través de múltiples
intervalos de tiempo.
Repetition coding: Transmitir la misma señal repetidas veces a través de
múltiples tiempos coherentes (separación en tiempo > tiempo
coherente) → ancho de banda ineﬁciente!!!
Error Control Coding: Esquema mucho más soﬁsticado.
Coding and interleaving
Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communications 73
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Interleaving
x2
Codeword
x3
Codeword
x0
Codeword
x1
Codeword
|hl|
L = 4
l
No Interleaving
Figure 3.5: The codewords are transmitted over consecutive symbols (top) and inter-
Referencia: [Tse and Viswanath, 2005]

Diversidad en Frecuencia
Diversidad en Frecuencia
Transmitir la misma
información a través de
diferentes sub-portadoras.
Separación en frecuencia >
ancho de banda coherente.
Diversidad espacial
Transmitir/Recibir por
múltiples antenas.
Suﬁciente separación entre
antenas para lograr
uncorrelated channel gains
e.g., alrededor de media
longitud de onda, λ/2, para
desvanecimiento Rayleigh.
ECSE610  DIVERSITY - 13
Diversity: Frequency, Space
Frequency diversity:
 Transmit same info over different
subcarriers
 frequency separation > coherence
bandwidth
Space diversity:
 Transmit/receive from multiple
antennas
 Sufficient antenna separation to
achieve uncorrelated channel gains,
e.g., about half wavelength, λ/2, for a
Rayleigh fading

Técnicas de Diversidad en el Receptor
 Transmitter sends same signal over L independent fading paths
obtained by diversity in time, space, frequency (repetition codin
LinearCombiner
 Most combiners are linear (weigh
sum of branches)
y = hx + n
y = [y1, · · · , yL]T
h = [h1, · · · , hL]T
= [r1ejθ1,··· ,rLejθL
]T
n = [n1, · · · , nL]T
∼ CN(0, N0IL)
Most combiners are linear
(weighted sum of
branches)
yΣ = (wT
h) · x + (wT
n)
w = [w1, · · · , wL]T

Técnicas de Diversidad en el Receptor
EGC and Performance
 The received signals from the L
diversity branches are coherently
combined with equal weights
 The receiver does not need the
information of ||h||
 Performance is worse than that of MRC
(about 1 dB), but much better than SC
for large L
L
RelativeSNRimprovementindB
D. G. Brennan, “Linear Diversity
Combining Techniques”, Proceedings of
the IRE, Vol. 47, June 1959, pp. 1075–1102.
Classic Paper Reprint, Proceedings of the
IEEE, Vol. 91, No. 2, February 2003, Pp.
331-356
Performance/complexity tradeoff
SC EGC MRC
Complexity
Simplest
(co-phasing
not required)
Only need to
estimate phase
Highest
(need to track phase
and SNR)
Performance Worst
Much better than SC
and worse than MRC
(close, 1dB penalty)
Best
(much better than SC)

Sistema de Múltiples antenas
Tx Rx
Si L1 y L4 se encuentran en desvanecimiento profundo, aún se
puede recibir información a través de los enlaces L2, L3

Modelo de un Sistema de Múltiples antenas
Tx Rx
1 antena transmisora
L antenas receptoras
Orden de diversidad L
x → señal transmitida
sistema inalámbrico: y = hx + n

Modelo de un Sistema de Múltiples antenas
L enlaces
y1 = h1x + n1 → modelo entre la ant. Tx y la ant Rx 1
y2 = h2x + n2
...
yL = hLx + nL
El hi corresponde al coeﬁciente de desvanecimiento del enlace i-ésimo.





y1
y2
...
yL





=





h1
h2
...
hL





x +





n1
n2
...
nL





Notación vectorial
yL×1 = hL×1 x + nL×1

Detección de la señal
y = hx + n
E|ni(k)|2
= σ2
n
La señales recibidas en las L antenas receptoras, son
y1, y2, · · · , yL.
Combinando las señales recibidas (w → beamformer):
w∗
1y1 + w∗
2y2 + · · · + w∗
LyL
w∗
1 w∗
2 · · · w∗
L





y1
y2
...
yL





= wH
y → Beamforming (forma de haz)

y = hx + n
wH
y = wH
(hx + n)
= wH
hx + wH
n → componente señal + componente ruido
SNR =
potencia de la señal
potencia del ruido
señal = wH
hx
potencia de la señal = wH
h
2
· P

Remplazando en la potencia de ruido:
Potencia de ruido = wH
E nnH
w
= σ2
nwH
w
= σ2
n w 2
→ ruido a la salida en el beamformer
Luego el SNR a la salida del beamformer
SNR =
wHh
2
P
σ2
n w 2

Escoger w tal que w maximize el SNR:
max SNR = max
wHh
2
w 2
P
σ2
n
El vector óptimo beamformer w que maximiza el SNR
recibido es [maximal ratio combining (MRC)]
wopt =
h
h
Por tanto:
SNR = wH
h
2 P
σ2
n
=
hH
h
h
2
P
σ2
n
= h 2 P
σ2
n

Análisis del BER de un Sistema con Múltiples Antenas
BER con L antenas de recepción después de un Maximal Ratio
Combining para alto SNR:
BER =
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
donde
n
C
k
=
n!
k!(n − k)!
;

Ejemplo: Análisis del BER de un Sistema con
Múltiples Antenas
Considere L = 2 antenas recibidas, ¿cuál es el SNR requerido para obtener un BER de
10−6?

Múltiples Antenas
Considere L = 2 antenas recibidas, ¿cuál es el SNR requerido para obtener un BER de
10−6?
Solución:
BER =
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
=
3
C
2
1
22
1
SNR
2
=
3
4
1
SNR
2
Para un BER de 10−6
1
SNR
2
=
4
3
× 10−6
SNR2
=
3
4
× 106
SNR =
√
3
2
× 103
SNRdB = 10 log10
√
3
2
× 103
= 29, 37dB
Nota: El SNR requerido con una sola antena fue 57 dB!. Con dos antenas en
recepción existe una reducción de 57-29 dB ≈ 28 dB

Múltiples Antenas
Sea P1
w = potencia requerida con 1 antena receptora.
Sea P2
w = potencia requerida con 2 antenas receptoras.
10 log10
P1
w
P2
w
= 28 ≈ 30dB
P1
w
P2
w
= 103
P2
w =
P1
w
103
Nota:
Agregar una antena en el receptor inalámbrico tiene una
mejora signiﬁcante en el desempeño del BER.
La diversidad en el receptor es muy importante en 3G/4G.
Los sistemas: WCDMA, HSDPA, LTE, WiMAX emplean
diversidad.

¿Por qué el BER decrese con el número de las antenas
en recepción?
Para L antenas,
2L−1
C
L
1
2L
1
SNR
L
L = 1 →
1
2 · SNR
∝
1
SNR
L = 2 →
2
4
1
SNR
2
∝
1
SNR2
L = 3 → BER ∝
1
SNR3 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
Pout
10log
10
(γ/γ
0
)
M = 1
M = 2
M = 3
M = 4
M = 10
M = 20
Figure 7.5: Pout for MRC with i.i.d. Rayleigh fading.
Rayleigh fading, where pγΣ (γ) is given by (7.16), it can be shown that [4, Chapter 6.3]
Pb =
∞
0
Q( 2γ)pγΣ (γ)dγ =
1 − Γ
2
M M−1
m=0
M − 1 + m
m
1 + Γ
2
m
, (7
where Γ = γ/(1 + γ). This equation is plotted in Figure 7.6. Comparing the outage probab
for MRC in Figure 7.5 with that of SC in Figure 7.2 or the average probability of error for MR
Figure 7.6 with that of SC in Figure 7.3 indicates that MRC has signiﬁcantly better performance t
SC. In Section 7.7 we will use a diﬀerent analysis based on MGFs to compute average error probab
under MRC, which can be applied to any modulation type, any number of diversity branches, and
Referencia: [Goldsmith, 2005]
Cuando incrementa el número de antenas en el receptor, el BER
decrese a una tasa mucho más rápida.

Sistema con múltiples antenas
Probabilidad de desvanecimiento profundo
Intuición (para bajo BER)
Tx Rx
deep fade
1
SNR
= probabilidad de desvanecimeinto profundo
= BER

Sistema con múltiples antenas
Probabilidad de desvanecimiento profundo
Tx Rx
El sistema presenta
desvanecimiento profundo
únicamente cuando todos los L
enlaces presentan
desvanecimiento profundo.
Considere L enlaces y que Ei representa el evento “el
enlace i se encuentra en desvanecimiento profundo”:
P(E1 ∩ E2 ∩ · · · EL) = P(E1)P(E2) · · · P(EL)
=
1
SNR
·
1
SNR
· · ·
1
SNR
L tiempos
=
1
SNR
L

Diversidad Espacial
Diversidad por múltiples antenas es conocido como
DIVERSIDAD ESPACIAL.
Una suposición crítica:
E1, E2, · · · , EL los cuales representan eventos de
desvanecimiento profundo, son independientes.
Para contar con antenas independientes, tienen que ser
ubicadas suﬁcientemente distantes unas de otras.
¿Qué tan distantes deben ser ubicadas las antenas?
Para obtener canales independientes a lo largo de las
antenas receptoras, se requiere un espaciamiento igual a λ/2
donde, λ representa la longitud de onda de la portadora, i.e.,
λ = c/fc. Siendo, fc la frecuencia portadora y c la velocidad
de la luz.

Ejemplo: Separación de las antenas
Considere un sistema GSM con frecuencia portadora fc = 900 MHz. ¿Cuál es el
espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?

Considere un sistema GSM con frecuencia portadora fc = 900 MHz. ¿Cuál es el
espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?
Solución:
λ =
c
fc
=
3 × 108[m/s]
900 × 106[1/s]
= 33.33 cm
Por lo tanto, el espaciamiento entre antenas es:
λ
2
=
33.33
2
= 16.66 cm
Nota: No es posible ubicar múltiples antenas en un celular.

Ahora considere un sistema 3G/4G con frecuencia portadora fc = 2.3 GHz. ¿Cuál es
el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?

Ahora considere un sistema 3G/4G con frecuencia portadora fc = 2.3 GHz. ¿Cuál es
el espaciamiento requerido entre antenas para contar con independencia de canales?
Solución:
λ =
c
fc
=
3 × 108[m/s]
2.3 × 109[1/s]
= 13.04 cm
Por lo tanto, el espaciamiento entre antenas es:
λ
2
=
13.04
2
= 6.5 cm
Nota: Es posible ubicar múltiples antenas en un teléfono
3G/4G.

Referencias I
Referencia Principal: [Jagannathan, 2013]
[Goldsmith, 2005] Goldsmith, A. (2005).
Wireless communications.
Cambridge university press.
[Jagannathan, 2013] Jagannathan (2013).
Advanced 3g and 4g wireless mobile communications.
[Tse and Viswanath, 2005] Tse, D. and Viswanath, P. (2005).
Fundamentals of wireless communication.
Cambridge university press.
[Wikipedia, 2016a] Wikipedia (2016a).
distribucion-x2.
https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_%CF%87%C2%B2.
[Online; accessed 27-Junio-2016].
[Wikipedia, 2016b] Wikipedia (2016b).
Teorema del limite central.
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_l%C3%ADmite_central.
[Online; accessed 17-Junio-2016].

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