Este documento resume tres temas clave de Métodos Numéricos: 1) la propagación de errores de redondeo, incluyendo errores absolutos y relativos; 2) el condicionamiento y estabilidad, definiendo problemas bien y mal condicionados y algoritmos estables e inestables; y 3) otros métodos de análisis de errores como números de condición.

1. ASIGNATURA:
Métodos Numéricos
TEMA:
1.8. Propagación de errores de redondeo. Errores absolutos y relativos.
Fórmulas. Gráficos de proceso.
1.9. Condicionamiento y estabilidad. Definiciones y análisis de problemas bien y
mal condicionados y algoritmos estables e inestables. Números de condición.
1.10. Otras formas de análisis de errores.
NIVEL:
 5to “A”
AUTORES:
 Figueroa Jefferson
 Sandoval Jenny
DOCENTE:
 Mg. Francisco Espinoza Pacheco
FECHA DE ENTREGA:
 11/05/2015
SANTO DOMINGO- ECUADOR
2015-01

2. INTRODUCCIÓN
Como no es posible llegar a un valor resultado exacto, con numero
fraccionarios se dieron varios tipos de errores para cada caso y varias formas
de aproximar o acercarse a un valor más preciso, se puede calcular este error,
claro que no exactamente pero sus aproximaciones serán mejores.

3. ANTECEDENTES
Métodos directos
Son procedimientos para obtener resultados realizando una secuencia finita de
operaciones aritméticas. La cantidad de cálculos aritméticos depende del tamaño del
problema. El resultado obtenido será exacto siempre que se puedan conservar en forma
exacta los valores calculados en las operaciones aritméticas, caso contrario se
introducirán los errores de redondeo
Errores de redondeo
Los métodos numéricos operan con datos que pueden ser inexactos y con dispositivos
para representar a los números reales. El error de redondeo se atribuye a la
imposibilidad de almacenar todas las cifras de los números y a la imprecisión de los
instrumentos de medición con los cuales se obtienen los datos.
OBJETIVOS
Objetivo general
 Comprender las distintas formas de análisis de errores
Objetivos específicos
 Establecer definiciones de cada tipo de error
 Conocer las influencias de pequeñas cifras en un resultado

4. 1.8. PROPAGACIÓN DE ERRORES DE REDONDEO. ERRORES
ABSOLUTOS Y RELATIVOS. FÓRMULAS. GRÁFICOS DE PROCESO.
Las operaciones con números inciertos permiten obtener resultados inciertos
esta circunstancia aconseja controlar estrictamente el error cuando las medidas
van a ser utilizadas en la determinación de otras magnitudes a través de
procesos de simulación. La influencia de los erros en la incertidumbre de un
resultado se denomina propagación del error e ignorarlo puede conducir a dar
por validos resultados que no lo son en absoluto.
(Felicísimo, 2015)
Medidas indirectas:
Magnitudes que se calculan a partir de los valores encontrados en las medidas
de otras magnitudes.
• Conocemos 𝑥 ± 𝛿𝑥 , 𝑦 ± 𝛿𝑦 ,. ..
• Calculamos 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, .. .)
• ¿Cuál es el error de z?
Propagación de errores:
Conjunto de reglas que permiten asignar un error a z, conocidas las
incertidumbres de x e y,...
• Permiten asignar un error al resultado final.
• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas.
• Planificación del experimento.
Hipótesis de partida
• Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la situación más
desfavorable. Conjunto de reglas prácticas.
• Medidas independientes.- Errores cuadráticos medios. Fórmula general de
propagación de errores.
(Papaqui, 2015)

5. 1.8.1. Propagación de errores de redondeo (absolutos yrelativos) y fórmulas
a) Propagación de error de redondeo en la suma y diferencia
Datos iniciales: 𝑥 ± 𝛿𝑥 𝑦 ± 𝛿𝑦
Sea su suma 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 y su diferencia 𝑞 = 𝑥 − 𝑦
¿Cuál es la incertidumbre, 𝛿 𝑞 ?
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o más magnitudes
es la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes:
𝐸 𝑥±y = 𝐸 𝑥 + 𝐸 𝑦
|𝐸 𝑥±y| ≤ |𝐸 𝑥| + |𝐸 𝑦|
El error relativo de la suma de dos o más magnitudes es la suma de los
errores relativos de dichas magnitudes:

6. b) Propagación de error de redondeo en productos
Datos iniciales: 𝑥 ± δx = x (1 ±
δx
| 𝑥|
) 𝑦 ± δy = y (1 ±
δy
| 𝑦|
)
Sea su producto 𝑞 = 𝑥𝑦
¿Cuál es la incertidumbre, 𝛿 𝑞 ?
El error absoluto del producto es igual a la suma de los errores absolutos:
El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos:

7. c) Propagación de error de redondeo en cocientes
Datos iniciales: 𝑥 ± δx = x (1 ±
δx
| 𝑥|
) 𝑦 ± δy = y (1 ±
δy
| 𝑦|
)
Sea su producto 𝑞 =
𝑥
𝑦
¿Cuál es la incertidumbre, 𝛿 𝑞 ?
El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:

8. 1.8.2. Gráficos de proceso
(Chapra & Canale, 2011)
Una gráfica de un proceso es la representación de un algoritmo, con una
convención para identificar las flechas que aparecen en la gráfica, de forma
que seafácil determinar el error relativo total (propagación del inherente más
propagación del de redondeo) en el resultado final
Ejemplo de diagrama para las operaciones elementales

9. Ejemplo
Queremos efectuar la suma de tres números:
𝑌 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, usando el siguiente algoritmo
𝑁 = 𝑏 + 𝑐
𝑌 = 𝑎 + 𝑛
Llamaremos a los errores relativos inherentes: , ,a b ci i i y a los errores
relativos de redondeo en cada suma 1 2y  .
Sabemos que 1 2y    
La grafica correspondiente es:
El error relativo total en n será:
1
b c
n
i b i c
er
b c


 

Y el error relativo final será:
2 1 2
n a a b c
y y
er n i a ai bi ci b c
er er
a n a b c a b c
  
   
     
     Si
suponemos que r es una cota para los errores relativos inherentes,
obtenemos una cota para el error relativo total:
1y
a b c b c
er r
a b c a b c

   
        
El término que multiplica a r se lo denomina condición del problema ( pC ) y
es el factor de amplificación de los errores relativos inherentes. La condición
del problema depende exclusivamente del problema numérico.
El término que multiplica a  se denomina termino de estabilidad ( eT ) y
depende del problema numérico y del algoritmo.

10. 1.9. CONDICIONAMIENTO Y ESTABILIDAD. DEFINICIONES Y ANÁLISIS
DE PROBLEMAS BIEN Y MAL CONDICIONADOS Y ALGORITMOS
ESTABLES E INESTABLES. NÚMEROS DE CONDICIÓN.
1.9.1. Condicionamiento y estabilidad
Condicionamiento: Mide la influencia que tendrían los errores en los datos
en el caso en que se puede trabajar con aritmética exacta (→no depende
del algoritmo, sino del problema en sí)
Estabilidad: Está relacionada con la influencia que tienen en los resultados
finales la acumulación de errores que se producen al realizar las diferentes
operaciones elementales que constituyen el algoritmo.
1.9.2. Definición y análisis de problemas bien y mal condicionados y
algoritmos estables e inestables
Un proceso está bien condicionado si pequeñas variaciones en sus datos
de entrada provocan pequeñas variaciones en la solución, y mal
condicionado si las mismas condiciones provocan grandes variaciones en la
solución.
Un proceso de cálculo es estable si los errores de representación y
redondeo introducidos tanto a la entrada como durante las operaciones
intermedias no provocan perturbación importante en los resultados; e
inestable en caso contrario.
Sólo sise tiene un problema bien condicionado y se resuelve con un proceso
estable se puede tener garantía de precisión en el resultado.
Por ejemplo, es fácil demostrar por inducción que la sucesión de valores
{
1
2 𝑛
} 𝑛 ≥ 0 puede generarse indistintamente a partir de los siguientes
algoritmos:
Sin embargo, con el segundo (operando con 6 cifras de precisión) el
decimosexto término es 𝑠15 = −113, frente al valor
1
215
≅ 0,00031.
Analógicamente la sucesión {
1
3 𝑛
} 𝑛 ≥ 0 puede generarse a partir del
siguiente algoritmo:
𝑛 ≥ 2, que también es inestable.

11. Condicionamiento de un problema
Diremos que un problema está malcondicionado cuando pequeños cambios
en los datos dan lugar a grandes cambios en las respuestas.
Para estudiar el condicionamiento de un problema se introduce el llamado
número de condición de dicho problema, específico del problema, que es
mejor cuanto más cerca de 1 (el problema está bien condicionado) y peor
cuanto más grande sea (peor condicionado).
Objetivo: Definir el número de condición de un problema.
La gravedad de un problema mal condicionado reside en que su resolución
puede producir soluciones muy dispares en cuanto los datos cambien un
poco (algo muy frecuente en las aplicaciones).
Ejemplo: Tenemos el siguiente sistema lineal
Como se ve, pequeños cambios en los datos (del orden de 2 centésimas)
en algunos elementos, producen grandes cambios en las soluciones: 136
unidades del sistema 1 al sistema 2. Lo mismo ocurre al perturbar el
segundo miembro del sistema: cambios de aproximadamente 1 decima
producen cambios en la solución de aproximadamente 13 unidades.

12. Lo anterior se debe a que el sistema está mal condicionado.
La gravedad de un problema mal condicionado reside en que su resolución
puede producir soluciones muy dispares en cuanto los datos cambien un
poco, cosa muy frecuente en las aplicaciones.
Estabilidad
Todo algoritmo que resuelve un problema numéricamente produce en cada
paso un error numérico.
Un algoritmo se dice inestable cuando los errores que se cometen en cada
etapa del mismo van aumentado de forma progresiva, de manera que el
resultado final pierde gran parte de su exactitud.
Un algoritmo es estable cuando no es inestable (controlado).
Un algoritmo es numéricamente
estable si y solo si:
𝐶𝑝 + 𝑇𝑒
𝐶𝑝
/≫ 1
𝐶 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎
𝑇𝑒 = 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

13. 1.9.3. Números de condición
Podría ocurrir que los resultados de un problema tengan poca precisión esto
puede deberse a dos cosas: el algoritmo puede no ser el más conveniente
en ese caso se dice que el algoritmo está mal condicionado o el
algoritmo es numéricamente inestable; o también puede ser
consecuenciadel problema numérico mismo,es decir los resultados pueden
ser muy sensibles a las perturbaciones de los datos de entrada,
independientemente del algoritmo elegido, en ese caso diremos que el
algoritmo es numéricamente inestable o que el problema numérico es
inestable.
Número de condición del problemaSupongamos que tenemos un problema
numérico representado por:
 
 
 
1
:
1, ,
n m
n
i
k
k ki
p
i
Y P X P R R
Definimos
P
X x
x
C i m
P X

 


 

Y el número de condición del problema:
  1
max , 1, , ,
ti m
p p p pC C i m C C     
Definimos el vector de errores relativos inherentes:
 
1
1
1
, , sup
, mod cot
, ,
n
i k
i
m
t
x x x x
n
i
y x
k k
i
y p x
t
y y y
y p x p
er er er y ongamos que er r
P
e X e
x
dividiendo tomando ulo y a ando resulta
er C er
Sea er er er resulta
er C er C r

   





   
 


14. Por lo tanto podemos decir que pC depende de los datos de entrada y es
una cota del cambio relativo que el resultado exacto del problema puede
tener si se producen perturbaciones relativas en los datos de entrada
acotadas por r.
Número de condición del algoritmo.
Antes de hablar del número de condición del algoritmo, supongamos que la
maquina opera con una unidad aritmético-lógica con 2t dígitos y luego
almacena en la memoria el resultado redondeado a t dígitos. De acuerdo a
lo visto anteriormente en el apartado “Error relativo máximo de
representación” podemos escribir:
    1fl x op y x op y     
Donde op representa una operación elemental y  es el error relativo de
redondeo o representación de la operación  x op y
Simbolizamos por  : n m
y A X R R  al algoritmo para resolver el
problema:
 : n m
Y P X R R  . Si no existieran errores de redondeo ocurriría:
   A X P X .
Pero nos interesa cuantificar la influencia de los errores de redondeo, por lo
tanto utilizaremos la notación  Y A X para simbolizar el resultado
considerando solo los errores de redondeo.
Ver grafico

15. A(x) es el valor exacto calculado con el algoritmo A.
 A X Es el valor calculado con una máquina.
Sea  i iy A X . Si el cálculo de  iA X implica L operaciones, efectuando
un análisis retrospectivo de errores tenemos:
 ,
1
1
L
i i i k k k
k
y y F X con  

 
   
 

Llamamos a los ,i kF factores de amplificación.
Definimos
 ,
1
L
i i k
k
i i
a i
p
E F X
E
C
C




Con estos valores definimos el número de condición del algoritmo como:
  1
max , 1, , ,
ti m
a a p pC C i m C C     
Ejemplos
1) Sea el problema de resolver:
2
y x utilizando el algoritmo:
  .y A x x x 
    . . 1y fl x x x x   
Como la única operación que hay que hacer es el producto resulta que:
E=1
Ahora debemos calcular
i
pC = pC
J
. .
2
.
p
x x x x
C
x x

 
Luego

16. 1
2
aC 
1.10. OTRAS FORMAS DE ANÁLISIS DE ERRORES.
Error numérico total: El error numérico total es la suma de los errores
de truncamiento y de redondeo, en general, la única forma para
minimizar los errores de redondeo consiste en incrementar el número
de cifras significativas en la computadora. Los errores de
truncamiento disminuyen conforme los errores de redondeo se
incrementan.
 Control de errores numéricos: En la mayoría de los casos
prácticos, no se conoce el error exacto asociado con el método
numérico. Con excepción, claro está, de cuando obtenemos la
solución exacta que vuelve innecesaria la aproximación numérica.
Por lo tanto, en la mayoría de las aplicaciones en ingeniería debe
tenerse algún estimado del error en los cálculos.
Aunque el análisis de error es hasta cierto punto un arte, se
sugieren varios lineamientos prácticos de cálculo: lo primero, y
principal, implica tratar de evitar la resta de dos números casi
iguales. Cuando esto ocurre, casi siempre se pierden cifras
significativas.

17. Equivocaciones, errores de formulación e incertidumbre en los datos:
estos tipos de error son más de capa 8.
 Errores por equivocación: La mayor parte de las equivocaciones
se atribuyen a fallas humanas. Las equivocaciones llegan a
ocurrir a cualquier nivel del proceso de modelación matemática y
pueden contribuir con todas las otras componentes del error.
 Errores de formulación: O de modelo pueden atribuirse al sesgo
que implica un modelo matemático incompleto.
 Incertidumbre en los datos: Algunas veces se introducen errores
en un análisis debido a la incertidumbre en los datos físicos
obtenidos, sobre los que se basa el modelo.

18. CONCLUSIONES
 Establecer definiciones de cada tipo de error
 Conocer las influencias de pequeñas cifras en un resultado
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
Bibliografía
Chapra,S. C., & Canale,R.P. (2011). Métodosnuméricospara ingenieros. México:McGRAW-
HILL.
Felicísimo,A.M.(2015). Medida,controly propagación delerror.Obtenidode uniovi.es:
http://www6.uniovi.es/~feli/CursoMDT/Tema_3.pdf
Papaqui,J.P.(2015). Propagación deErrores.Obtenidode uv.es:
http://www.uv.es/zuniga/3.2_Propagacion_de_errores.pdf