Este documento presenta varios ejemplos de problemas de programación lineal resueltos. El primero involucra maximizar las ganancias de una empresa que fabrica pantalones y chaquetas mediante el uso óptimo de materiales. El segundo maximiza la producción de mesas de dos modelos sujeto a restricciones de tiempo. El tercero maximiza las ventas de dos tipos de bebidas energéticas.

1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
Nombre: Lorena Llerena
Semestre: Quito A
SOLUCIÓN ÚNICA
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y
1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de
poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 y el de la chaqueta en 40
¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los
almacenes para que estos consigan un beneficio máximo?
Función objetivo
Z= 50x + 40y
Restricciones
2x+3y ≤ 1500
2x + y ≤ 1000
Solución
2x+3y = 1500
X Y
0 500
750 0
2x + y ≤ 1000
X Y
0 1000
500 0

2. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Grafica
F(x, y) = 50x + 40y
F (0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20 000
F (500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25 000
B
A
F (375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28 750 Máximo
(375,250)
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un
beneficio de 28750 dólares
SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE
La ebanistería "SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes
prefabricadas para la elaboración de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un plan
de producción enfocado a estas por la alta demanda que tiene de sus productos
restantes. Las mesas que pueden elaborarse de las partes prefabricadas son de dos
modelos, modelo A y B, y estas no requieren más que ser ensambladas y pintadas.
Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de pintura para
elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa
modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que cada
mesa modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura respectivamente. Si el
margen de utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y $10000 por cada mesa
modelo B. Determine el modelo adecuado de producción para esta semana.
X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta semana
Y = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta semana
Restricciones
2X + Y ≤ 10 "Horas de ensamble"
X + 2Y ≤ 8 "Horas de pintura"
C
A
D

3. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Función objetivo
Z = 20000X + 10000Y MAXIMIZAR
2X + Y = 10
X Y
0 10
5 0
X + 2Y = 8
X Y
0 4
8 0
La gráfica resultante sería:
A
O
B
Observemos la solución óptima múltiple
Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0
Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000
Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000
Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000
Existen entonces dos soluciones óptimas
C
(4,2)
(5,0)

4. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Solución óptima 1
X = 4 Y = 2
Solución óptima 2
X = 5 Y = 0
SOLUCIÓN ÓPTIMA NO ACOTADA
La compañía comercializadora de bebidas energéticas "CILANTRO SALVAJE" se
encuentra promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se
encuentran en promoción se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de
demanda, sin embargo existen 2 políticas que la empresa debe tener en cuenta. Una
de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor que
las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender por lo menos 1500 bebidas de
cualquier tipo. Dado que se encuentran en promoción el precio de venta de ambas
bebidas equivale a $1800 pesos.
Determine la cantidad de unidades que deben venderse!!
Variables
X = Cantidad de bebidas tipo A a vender
Y = Cantidad de bebidas tipo B a vender
Restricciones
X ≥ Y
X + Y ≥ 1500
Función Objetivo
Max Z = 1800X + 1800Y
X + Y = 1500
X Y
0 1500
1500 0

5. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
La gráfica resultante sería:
Es claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando
indefinidamente la función objetivo, en estos casos se dice que la solución óptima no
es acotada, por lo cual las posibles soluciones son infinitas.
SOLUCION INFACTIBLE
La compañía de galletas "CAROLA" desea planificar la producción de galletas que
tendrá que entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compañía
"CAROLA" se compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera
sea su tipo (presentación D, presentación N o una combinación de ambas
presentaciones), cada caja de galletas presentación D tiene un tiempo de elaboración
de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas, mientras cada caja de presentación
N tiene un tiempo de elaboración de 3 horas y un tiempo de horneado de 1 hora. La
compañía cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboración y con 480 horas
de horneado.
Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentación D
y N es de $8500 y $8100 respectivamente, determine mediante un modelo de
programación lineal el plan de producción que maximice las utilidades.
Variables
X = Cantidad de cajas de galletas presentación D a producir en 2 semanas
Y = Cantidad de cajas de galletas presentación N a producir en 2 semanas
Restricciones
2X + 3Y ≤ 550
3X + Y ≤ 480

6. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
X + Y ≥ 300
Función Objetivo
MAX Z = 8500X + 8100Y
2X + 3Y = 550
X Y
0 184
275 0
3X + Y <= 480
X Y
0 480
160 0
X + Y => 300
X Y
0 300
300 0
GRAFICAMENTE
Evidentemente no existe forma alguna de satisfacer todas las restricciones, por ende
se concluye que no existe solución factible.
SOLUCION LIMITADA
Maximizar: Z = 10X + 5Y

7. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Restricciones:
3X+4Y ≤ 12
X+2Y ≤ 2
X+2Y≤8
3X+4Y = 12
X Y
0 3
-4 0
X+2Y = 2
X Y
0 -1
2 0
X+2Y=8
X Y
0 4
8 0
GRAFICAMENTE
La existencia de una región ilimitada es condición necesaria pero no suficiente para
que tengamos solución ilimitada, ya que la dirección de mejoría de la función
objetivo puede ser en el sentido contrario a aquel en donde está abierta la región
de factibilidad.