Este documento presenta los resultados de 4 modelos del juego frijolero con diferentes condiciones iniciales de número de individuos (N1=100, N2=200, N3=300, N4=400). En cada modelo se muestra la evolución de la población (Nt) a lo largo del tiempo, así como los parámetros K, r, a y b. Las gráficas muestran oscilaciones de Nt cercanas a K, indicando que la población se estabiliza cerca de su capacidad de carga. Los valores de K y r varían entre modelos,

1. RESULTADOS
MODELO 1
N= 100
t Nt M S A Nt+1
1 100 73 27 13 40
2 40 21 19 7 26
3 26 7 19 15 34
4 34 9 25 11 36
5 36 17 19 9 28
6 28 7 21 9 30
7 30 12 18 11 29
8 29 5 24 16 40
9 40 12 28 14 42
10 42 24 18 8 26
11 26 5 21 13 34
12 34 10 24 14 38
13 38 12 26 14 40
14 40 10 30 16 46
15 46 14 32 22 54
16 54 19 35 21 56
17 56 34 22 14 36
18 36 15 21 11 32
19 32 7 25 11 36
20 36 8 28 10 38
K= 38,809589

2. t ln (k-Nt/Nt) t² (ln (k-Nt/Nt))² (ln (k-Nt/Nt))*t
x y x² y² xy
3 -0,7079025 9 0,501125943 -2,123707487
4 -1,95574886 16 3,824953608 -7,822995444
5 -2,55048068 25 6,504951687 -12,75240339
6 -0,95177089 36 0,90586782 -5,710625317
7 -1,22535658 49 1,501498743 -8,577496045
8 -1,08393544 64 1,174916035 -8,671483509
11 -0,7079025 121 0,501125943 -7,786927452
12 -1,95574886 144 3,824953608 -23,46898633
13 -3,84881455 169 14,81337343 -50,03458913
18 -2,55048068 324 6,504951687 -45,9086522
19 -1,54740412 361 2,394459497 -29,4006782
20 -2,55048068 400 6,504951687 -51,00961355
Σ 126 -21,6360263 1718 48,95712969 -253,2681581
b= -0,06605033 r= 0,066050334
a= -20,5957336
t
Nt
esperado
nt
3 27,6398753 26
4 35,0072893 34
5 36,7482453 36
6 30,8076103 28
7 32,7522902 30
8 32,3569419 29
11 31,3424181 26
12 36,4740381 34
13 38,4623663 38
18 37,908553 36
19 36,5898066 32
20 38,0177788 36

3. 45
40
35
30
25
20
15
10
5
MODELO 2
N= 200
t Nt M S A Nt+1
0 200 185 15 5 20
1 20 3 17 9 26
2 26 3 23 9 32
3 32 12 20 17 37
4 37 18 19 10 29
5 29 7 22 12 34
6 34 15 19 12 31
7 31 15 16 17 33
8 33 15 18 13 31
9 31 3 28 12 40
10 40 17 23 9 32
11 32 12 20 10 30
12 30 11 19 15 34
13 34 11 23 19 42
14 42 13 29 11 40
15 40 14 26 12 38
0
3 4 5 6 7 8 11 12 13 18 19 20
Nt esperado nt

4. 16 38 14 24 14 38
K= 34,850903
t ln (k-Nt/Nt) t² (ln (k-Nt/Nt))²
(ln (k-
Nt/Nt))*t
x y x² y² xy
1 -0,29767161 1 0,088608385 -0,297671605
2 -1,07757706 4 1,161172311 -2,155154111
3 -2,41810013 9 5,847208253 -7,254300399
5 -1,60069983 25 2,562239945 -8,003499148
6 -3,68781772 36 13,59999954 -22,12690632
7 -2,08567955 49 4,350059187 -14,59975685
8 -2,88083396 64 8,299204297 -23,04667167
9 -2,08567955 81 4,350059187 -18,77111595
11 -2,41810013 121 5,847208253 -26,59910146
12 -1,82203252 144 3,319802497 -21,86439022
13 -3,68781772 169 13,59999954 -47,94163036
Σ 77 -24,0620098 703 63,02556139 -192,6601981
b= -0,1477203 r= 0,147720303
a= -22,1662659
t
Nt
esperado
nt
1 21,2431261 20
2 27,8063946 26
3 32,9653949 32
5 31,7868142 29
6 34,4950803 34
7 33,3766733 31
8 34,2614588 33
9 33,7417746 31
11 34,2500089 32

5. 12 33,919158 30
13 34,7235463 34
40
35
30
25
20
15
10
5
MODELO 3
N= 300
t Nt M S A Nt+1
0 300 273 27 15 42
1 42 9 33 15 48
2 48 22 26 12 38
3 38 6 32 16 48
4 48 20 28 18 46
5 46 7 39 11 50
6 50 23 27 15 42
7 42 15 27 15 42
8 42 19 23 17 40
9 40 7 33 13 46
10 46 16 30 20 50
11 50 19 31 17 48
12 48 26 22 10 32
0
1 2 3 5 6 7 8 9 11 12 13
Nt esperado nt

6. 13 32 10 22 16 38
14 38 8 30 14 44
K= 43,034712
t ln (k-Nt/Nt) t² (ln (k-Nt/Nt))² (ln (k-Nt/Nt))*t
x y x² y² xy
1 -3,70354604 1 13,71625324 -3,703546036
3 -2,02122974 9 4,085369667 -6,063689224
7 -3,70354604 49 13,71625324 -25,92482225
8 -3,70354604 64 13,71625324 -29,62836829
9 -2,57876277 81 6,650017433 -23,20886495
13 -1,06468992 169 1,133564625 -13,84096895
14 -2,02122974 196 4,085369667 -28,29721638
Σ 55 -18,7965503 569 57,10308111 -130,6674761
b= 0,1243611 r= 0,124361099
a= -19,6515328
t
Nt
esperado
nt
1 42,1184221 42
3 39,4366927 38
7 42,5953057 42
8 42,6462257 42
9 41,9943975 40
13 40,2770133 32
14 42,0576874 38

7. 45
40
35
30
25
20
15
10
5
MODELO 4
N= 400
t Nt M S A Nt+1
0 400 387 13 5 18
1 18 3 15 4 19
2 19 0 19 10 29
3 29 10 19 9 28
4 28 6 22 14 36
5 36 6 30 14 44
6 44 20 24 12 36
7 36 16 20 8 28
8 28 12 16 12 28
9 28 3 25 13 38
10 38 13 25 16 41
11 41 19 22 9 31
12 31 11 20 8 28
13 28 10 18 13 31
14 31 12 19 9 28
15 28 9 19 11 30
16 30 11 19 12 31
0
1 3 7 8 9 13 14
Nt esperado nt

8. K= 32,837328
t ln (k-Nt/Nt) t² (ln (k-Nt/Nt))² (ln (k-Nt/Nt))*t
x y x² y² xy
1 -0,19322557 1 0,037336122 -0,193225573
2 -0,31706909 4 0,10053281 -0,634138186
3 -2,02251947 9 4,090585017 -6,067558417
4 -1,75584196 16 3,082980972 -7,023367821
8 -1,75584196 64 3,082980972 -14,04673564
9 -1,75584196 81 3,082980972 -15,8025776
12 -2,82567472 144 7,984437643 -33,90809668
13 -1,75584196 169 3,082980972 -22,82594542
14 -2,82567472 196 7,984437643 -39,55944613
15 -1,75584196 225 3,082980972 -26,33762933
16 -2,35833453 256 5,561741744 -37,73335244
Σ 97 -19,3217079 1165 41,17397584 -204,1320732
b= -0,10899799 r= 0,108997986
a= -17,5595738
t
Nt
esperado
nt
1 18,8810038 18
2 20,7093103 19
3 29,9770507 29
4 29,5376296 28
8 30,6251127 28
9 30,8396655 28
12 32,3194328 31
13 31,5172142 28
14 32,4195832 31
15 31,7673614 28
16 32,3032088 30

9. 35
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 8 9 12 13 14 15 16
Nt esperado nt
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Gráfica de los Nts
0 5 10 15 20 25
nt nt nt nt
*La gráfica roja representa N1=300, La grafica azul N2=100, La grafica café N3=200 y La gráfica
Negra N4=400.
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
En el juego frijolero utilizamos cuatro condiciones iniciales de (300, 100, 200 y 400), respecto al
número de individuos. Las gráficas expresadas en cada ejercicio, presentan una serie de oscilaciones
cercanas a K, donde presentan dos momentos cuando r <0, que es cuando la población decrecía y
cuando r >0, que es cuando la población crece; estas oscilaciones se dan cercanas a la capacidad de

10. carga, porque es un modelo continuo es decir hay sobrelapamiento y el recurso es limitado, debido
a estas presiones, la población puede en cualquier momento estabilizarse a K y a sí mismo en
algunos momentos acercarse o alejarse de K (azar) . En general las tres graficas presentan el mismo
comportamiento, pero no son las mismas porque para el N1=100, su capacidad de carga fue de
38,809589; para N2=200 fue de 34,850903; para N3=300 fue de 43,034712 y para N4=400 fue de
32,837328. Con pendientes de r1=0,066050334, r2=0,147720303, r3=0,124361099 y
r4=0,108997986, según la literatura, entre mayor sea el valor de r, mayor será la velocidad con que
se produzca el acercamiento a la capacidad de saturación. Se ha demostrado en diversos estudios
(Ulloa Ibarra, 2010), en este caso se cumple esta afirmación pero presenta algunas variaciones en
los datos, lo que indica que en la pendiente r2= 0,147720303 (mayor), presenta una capacidad de
carga relativamente menor y la pendiente r1=0,066050334 (menor), presenta una capacidad de
carga relativamente mayor. En cuanto a los Nts, que fueron graficados de manera individual, en los
cuatro ejercicios, se aproximan muy poco a los Nts esperados, coinciden en algunos puntos, las
graficas se encuentran próximas, pero estrictamente no son las mismas. La tasa de crecimiento se
debe reflejar, el hecho de que si la población aumenta considerablemente ese mismo tamaño va a
inhibir el crecimiento o se reducirá los nuevos miembros de la población, es decir esta nueva tasa
de crecimiento, donde el factor a indica una tasa de crecimiento "en condiciones normales" y el
factor b N (t), con b > 0, indicará el retardo en la tasa a cuando la población N (t) sea muy grande.
(Dinamica poblacional: ecuación logistica , s.f.), con esta afirmación se puede decir que el ejercicio
4, de N4=400, presenta un valor de a4= -17,5595738 mayor con respecto a los demás ejercicios,
este valor a representa la tasa de crecimiento, que en este caso es mayor, indicando que
rápidamente puede llegar a su capacidad de carga, esto se puede ver en las gráficas de los Nts. El
valor b presentará la resistencia para que no llegue inmediatamente a la capacidad de carga, cuando
la población aumenta aceleradamente.
CUESTIONARIO
1. Si deseáramos explotar una especie de importancia comercial ¿Qué importancia tendría K y r, y
en qué punto explotaría dicha población?
Respuesta: Los modelos matemáticos en general han servido para predecir el comportamiento del
crecimiento en poblaciones, y con base en los resultados, tomar decisiones concretas para el manejo
y control de las poblaciones, con la finalidad de mantenerlas en equilibrio en el momento de su
propagación; además es importante tener control de las variable independiente y dependiente que
nos permiten conocer los parámetros utilizados para el mantenimiento de la especie y a su vez
entender algunos aspectos de la realidad caótica. Si vamos a trabajar con cierta especie de
importancia comercial es de hincapié conocer la evolución de la especie a través del tiempo, con
este conocimiento se puede saber cuál es el rango de tiempo en el cual la población tiene mejor
rendimiento (r>0), su punto de inflexión (r=0) y así mismo saber después de que tiempo la
población comienza a decrecer debido a la deceleración del índice intrínseco (r<0), hasta llegar a su
capacidad de carga (K) donde ocurre la saturación de la especie, es decir cuando la tasa de natalidad
es igual a la tasa de mortalidad; este es el punto en el cual se debe evi tar porque la idea es que el
crecimiento sea favorable y totalmente equil ibrado para que se pueda dar la producción de la
especie.

11. 2. En que suposiciones respecto a edad y sexo difíciles de encontrar en la naturaleza y se basa el
modelo logístico?
Respuesta: En el modelo logístico se dice, que para una evolución positiva de la población, depende
también de su estructura en este caso de la proporción del sexo y de la edad. En la Composición por
sexo, Mide la relación existente entre la cantidad de machos y de hembras en una población. Según
este modelo se dice que la proporción entre hembras y machos tiene que ser equitativa (1:1), para
que haya una contribución genética de las generaciones futuras y por lo tanto haya una contribución
en el aumento de la población, pero en el mundo real estas proporciones varían a escala tiempo,
por las distintas presiones evolutivas que sufren en determinada zona geográfica. En cuanto a la
proporción de edades, el modelo indica que los individuos jóvenes contribuyen a un crecimiento
resaltante de la población. Los patrones siguientes muestran las relaciones que nombre
anteriormente de la proporción de sexo y edad.
En la pirámide de edades de base ancha (alta proporción de individuos jóvenes) se encuentra en
franca expansión. No obstante, una estructura similar puede resultar también de la extracción
selectiva de adultos. El predominio de adultos suele asociarse a poblaciones estacionarias o en
decadencia mientras que una asimetría de las clases de edad entre los sexos es a menudo un indicio
de mortalidad diferencial. Sin embargo, los factores responsables de la estructura poblacional son
muchos y complejos, por lo cual se aconseja sumo cuidado al extrapolar el futuro de una población
a partir de su estructura en un momento dado. (Agroecología, 2014)
3. Que situaciones reales tratan de representar las reglas y condiciones del frijolero? Que
modificaciones propondría?
Respuesta: El juego frijolero muestra de manera aleatoria como actúa los factores selectivos en una
población tras cada generación con condiciones iniciales distintas (número de individuos). A su vez
este juego muestra cuales son los individuos que contribuyen en la siguiente generación, porque es
claro que en un determinado tiempo y espacio de una población, no todos los individuos van
aportar reproductivamente debido a que algunos individuos pueden presentar una variabilidad
genética baja. El factor selectivo de los individuos de la población (frijoles), se basa en los recursos
limitados y la presión que genera el ambiente para que los organismos lleguen a su capacidad de
carga. En algunos momentos este juego intenta mostrar una forma de oscilación favorable o
desfavorable para la población, es decir en algunos momentos crecen y en otros decrecen de
manera continua hasta que al final se estabiliza.
Los cuadros que tomamos de referencia para el conteo, deberían tener una superficie más profunda
para que en el momento del lanzamiento y conteo sea más claro saber cuáles fueron los individuos
muertos y los que sobrevivieron.
4. Que tipos de demoras existen en la población humana en el momento en que se alcanza
densidades críticas y en el momento en que se manifiesta efectos en la tasa de crecimiento?
Respuesta:
Malthus argumentó dos tipos de controles que tienen la población. Dentro de los límites de los
recursos: los controles positivos, que elevan la tasa de mortalidad; y los preventivos, los cuales
reducen la tasa de natalidad. Los controles positivos son el hambre, la enfermedad y la guerra; el
control preventivo, aborto, control de la natalidad, la prostitución, la postergación del matrimonio
y el celibato. En las ediciones posteriores de su ensayo, Malthus aclaró su opinión de que si la
sociedad se basaba en la miseria humana para limitar el crecimiento de la población, entonces
fuentes de la miseria (por ejemplo, el hambre, la enfermedad y la guerra) que inevitablemente afligir
a la sociedad, al igual que los ciclos económicos volátiles. Por otro lado, "controles preventivos"

12. relacionada con las tasas de natalidad limitada, como los matrimonios posteriores, podría garantizar
un mejor nivel de vida para todos, al tiempo que incrementa la estabilidad económica. En cuanto a
las posibilidades de liberar al hombre de estos límites, Malthus argumentó contra una variedad de
soluciones imaginables, tales como la noción de que las mejoras agrícolas podrían expandirse sin
límite. (T.R., 1798 )
De acuerdo con lo anterior demuestra que la población humana tiene un crecimiento de natalidad
impresionante y es por ello que se debe llegar a un control sensato de nuestra población, sin
embargo dentro de nuestras relaciones intraespecifica estamos aumentando la tasa de mortalidad
como son: los controles positivos y preventivos que se han convertido en un factor importante en
la aparente estabilidad como población, sumado la tasa de mortalidad natural (por edad) que es
relativamente baja.
5. Que significado adaptativo tiene el que las poblaciones manifiesten un K que teóricamente no es
el máximo posible?
Respuesta: La capacidad de carga (K), representa según el modelo logístico la línea o nivel de
saturación que el ambiente genera, siendo este el momento en que la población para de crecer
debido a que la tasa de mortalidad aumenta hasta el punto de sobrepasar la tasa de natalidad. Esto
bajo condiciones controladas, pero en el mundo real hay diversas variables que interactúan con la
población, incluso algunas son imprescindibles lo que indica que las poblaciones van a tender a un
K que fluctúa por encima y por debajo de la K teórica, ya que debido a estas condiciones esta
población no suele nivelarse rápidamente. El papel adaptativo de la población, es significativo
debido a que la población in vivo tiene que contemplar una serie limitaciones de tipo biótico y
abiótico para evitar llegar a ese punto de saturación, valiéndose de distintas estrategias biológicas
para que la tasa de natalidad siempre sea mayor, para la supervivencia como especie.
6. Como explica las fluctuaciones cerca de K en el frijolero?
Respuesta: Las fluctuaciones anteriores a la capacidad de carga muestran un crecimiento y
decrecimiento de la población. En un momento el número de muertos era superior a los
sobrevivientes y en otros momentos el número de sobrevivientes fueron mayores al número de
muertos, hasta llegar a un punto de r=0, es decir tasa intrínseca neta; en ese momento la población
se conllevaba a la extinción. Al ser un modelo continuo va a efectuar sobrelapamiento, escasez del
recurso entre otras variables; debido a esto no se puede saber con certeza en que momento llega a
la capacidad de carga y por consiguiente se va efectuar una serie de oscilaciones cercanas a K, por
las distintas presiones a las cuales se encuentran sometidos.
7. Qué significado tiene r en el modelo exponencial?
Respuesta: En el modelo exponencial r, indica la tasa de crecimiento (b-d), que tiende a tomar
valores iguales de r, en que cada caso, a diferencia del modelo logístico que varía el valor de r hasta
llegar a la capacidad de carga (K). En el modelo exponencial se presenta tres casos, si la tasa de
natalidad es mayor a la mortalidad la población crece (r>0), si se presenta el caso contrario decrece
(r<0) y cuando son iguales la población permanece constante (r=0).

13. Imagen1. Gráficas que representan los tres tipos de comportamiento de la variable r (b-d).
Bibliografía
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dinamica de poblaciones:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/agronomia/2005840/lecciones/cap04/Lec4_2.htm
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http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo/
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T.R., M. (1798 ). Ensayo sobre el principio de la población. Capítulo II . Obtenido de p 18 en Classics
reimpresión de Oxford Mundial. :
http://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Robert_Malthus#An_Essay_on_the_Principle_of_Po
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