calculo en varias variables

1. https://es.symbolab.com/solver/double-integrals-
calculator/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B4-
x%5E2%7D%20%5Cleft(4-x%5E%7B2%7D-y%5Cright)dydx?or=input
https://www.geogebra.org/m/UkRskTVh para dibujar sólidos
Coordenadas esféricas
Llamadas coordenadas esféricas
√ √
√

2. |
|
|
|
| |
∭
∫ ∫ ∫
Ejemplos: Evaluar
1. ∭ , E es la esfera unitaria
Sol. Primero en coordenadas cartesianas

3. √ √ √
√
∭ ∫ ∫ ∫
√
√
√
√
Pasamos a coordenadas esféricas
∭ ∫ ∫ ∫
∭ ∫ ∫ ∫
2. ∭ , E es la región semiesférica que está arriba del plano
XY y debajo de la esfera
Sol. Primero en coordenadas cartesianas
√ √ √
Y
X
Z
Y

4. ∭ ∫ ∫ ∫
√
√
√
Pasamos a coordenadas esféricas
∭ ∫ ∫ ∫
∭ ∫ ∫ ∫
3. ∭ √ , E está limitado superiormente por la esfera
e inferiormente por el cono
Sol. Primero expresamos en coordenadas cartesianas
√
√
Z
Y
Y
X

5. ∭ √ ∫ ∫ ∫ √
√
√
√
√
Pasamos a coordenadas esféricas
Z
Y
Y
X

6. ∭ √ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ | ∫ ∫
∫ | | √
Ejercicios: Utilice coordenadas esféricas para calcular las integrales triples
1. ∭ , E está entre las esferas , en
el primer octante. (
2. ∭ , E está entre las esferas
3. ∭ , E está entre las esferas ,
en el primer octante ( ) .
4. ∭ , E está entre las esferas ,
(4
5. ∭ , E es la esfera unitaria con centro en el origen
6. ∭ √ , E está arriba de la esfera y abajo por el
cono
7. ∫ ∫ ∫
√
√
8. ∭
Los planos coordenados en el primer octante
9. ∭ √ , E está entre las esferas
, .
10.∭ √

7. Cálculo de volúmenes en coordenadas esféricas
Encuentre el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones
indicadas
1. √ ; ( √ )
2. ( √ )
3.
4.
5. De la esfera
6.
7. (
√
)
8. √
9. Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono y debajo de
la esfera
10.Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono y debajo de
la esfera
11.Dentro de la esfera