Este documento introduce las transformaciones lineales y ofrece ejemplos de su aplicación en software de matemáticas. Las transformaciones lineales conservan la forma y medidas de figuras geométricas mientras modifican sus dimensiones o formas, como en proyecciones o escalamientos. Se muestran ejemplos de proyección de un triángulo sobre un plano y aplicación de una simetría a una cara dibujada para ilustrar transformaciones lineales.

2. INTRODUCCIoN A LAS
TRANSFORMACIONES LINEALES

3. Están
presentes
en la vida
diaria
Conservan
la forma y
las
medidas
de las
figuras
U objetos
como por
ejemplo
las
simetrías
Modifican
sus
dimensiones como
escalamiento
O sus
formas
como
proyecciones.

4. Ejemplos en Software de Matematicas
% PROYECCION DE UN TRIANGULO SOBRE EL PLANO XY
% Se ingresa en una matriz las componentes de los vertices de un triangulo en cada
% columna,repitiendo al final el primer vertice de manera que se cierre el triangulo
p=[3 0 2 3;1 -2 1 1;0 1 3 0];
% La primera fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje X
% La segunda fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje Y
% La tercera fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje Z
% Se guardan estas filas en las variables x, y, z para poder realizar la grafica del triangulo
x=p(1,:);y=p(2,:);z=p(3,:);
plot3(x,y,z,'b') % realiza la grafica del triangulo original
title('PROYECCION DE UN TRIANGULO SOBRE EL PLANO XY')
a=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]; % introduce la matriz asociada a la transformacion lineal
pt=a*p; % Calcula la matriz pt cuyas columnas son las imagenes de los vertices del triangulo original
hold on % congela la ventana grafica
xt=pt(1,:);yt=pt(2,:);zt=pt(3,:); % xt,yt y zt son vectores fila que contienen las primeras,segundas y
terceras componentes respectivamente de los vertices transformados
fill3(xt,yt,zt,'r') % dibuja el triangulo transformado y lo pinta de rojo
grid % añade cuadricula a la grafica
hold off % desactiva el hold

5. Ejemplos en Software de Matematicas
% dibujo una carita
% la cara
t=-3:.01:3;x=2*cos(t)+2;y=2*sin(t)+2;
fill(x,y,'y')
axis([-8 8 0 8])
axis equal
hold on
% los ojos
plot(1,2.5,'ko');plot(3,2.5,'kh')
% la boca
x1=1:.1:3;y1=-cos(x1-2)+2;
fill(x1,y1,'r')
title('le aplico una simetria respecto del eje Y')
pause
a=[-1 0;0 1];
IC=a*[x;y]; % obtengo la imagen de la cara
IB=a*[x1;y1]; % obtengo la imagen de la boca
Iojos=a*[1 3;2.5 2.5]; % obtengo la imagen de los ojos
xim=IC(1,:);yim=IC(2,:);
x1im=IB(1,:);y1im=IB(2,:);
x1ojos=Iojos(1,1);y1ojos=Iojos(2,1);x2ojos=Iojos(1,2);y2ojos=Iojos(2:2);
fill(xim,yim,'y')
fill(x1im,y1im,'r')
plot(x1ojos,y1ojos,'ko');plot(x2ojos,y2ojos,'kh')
title('SIMETRIA RESPECTO DEL EJE Y')
hold off

6. DEFINICION DE TRANSFORMACION

7. DEFINICION DE TRANSFORMACION

8. ejemplo : determinar si la
transformación t: r2 r2 es lineal
T
x
y
=
2x
x+y

9. • f(x) = 0
• podria entenderse como los puntos donde la grafica de la funcion f(x)
corta el eje de las x’s:
• 1
• −1
• −2
• −1 1 2
• esta forma de ver a una ecuacion permite entonces resolver
ecuaciones de la forma:
• f(x) = a
• en este caso lo que se busca son los valores de x de aquellos puntos
donde la gr´afica de la funcion f(x) corta
• la lınea horizontal y = a

10. • Esta idea de corte de la gr´afica de f(x) con la recta y = a da pie a
métodos graficos de solución de ecuaciones
• y también permite obtener conclusiones cualitativas a ciertas
ecuaciones. Por ejemplo, se deduce fácilmente
• que 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene infinitas soluciones, mientras que 3
sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene solución:

11. • Nosotros usaremos el concepto de la funcion para darle un
tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La
• restriccion que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo
estaremos interesados en funciones que preserven
• las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán
llamadas funciones lineales. Primeramente
• las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después
veremos como se aplican estos resultados a
• sistemas de ecuaciones