La transformada de Fourier permite descomponer funciones periódicas en sumas de funciones trigonométricas. Fue desarrollada por Joseph Fourier y tiene aplicaciones importantes en ingeniería de sonido, telecomunicaciones y procesamiento digital de imágenes. El teorema de inversión de Fourier establece que aplicar la transformada de Fourier e invertirla devuelve la función original.

1. Convulación y suTransformada de
Fourier
Vivas prato, Jornely soired C.I.27.239.169
Republica Bolivariana deVenezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Instituto politécnico Santiago Mariño
San Cristóbal, Edo "Táchira”
San Cristóbal
Septiembre del 2018

2. Joseph Fourier
Jugó un papel fundamental al
inventar la serie de Fourier
Fundamenta que una Función periódica se puede
descomponer en la suma de Funciones
Trigonométricas
El primero que aplicó las propiedades de la transformada de
Fourier a los experimentos de difracción de rayos X en los
cristales fue W.H. Bragg en un artículo de 1915 (Phil.
Trans., A, 215, 253-274

3. Transformada de
Fourier
Permite descomponer en sumas de
funciones trigonométricas .
Corresponde a una función F con valores
complejos y definida en la recta, y otra
función.
Nótese que la única diferencia entre la
transformada de Fourier y la
transformada de Fourier inversa es el
signo negativo en el exponente del
integrando. El teorema de inversión de
Fourier formulado abajo justifica el
nombre de transformada de Fourier
inversa dado a esta transformada.

4. Conceptos claros.com

5. Propiedades Básicas
Aplicación lineal
𝐹 𝑎 ∗ 𝑓 + 𝑏 ∗ 𝑔 = 𝑎𝐹 𝑓 + 𝑏𝐹[𝑔]
𝐹 𝑡 → 𝑓 𝑎𝑡 𝜔 =
1
(𝑎)
𝐹[𝑓
𝜔
𝑎
]
Cambio de escala
Traslación
𝐹 𝑡 → 𝑡 − 𝑎 𝑤 = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝐹[𝐹](𝜔)
Transformada de la derivada
𝐹 𝑓′
𝜔 = 𝑖𝜔𝑓(𝜔)
Derivada de la transformada
𝐹 𝑓 ′ 𝜔 = 𝐹[𝑡 → −𝑖𝑡 𝑓 𝑡 ](𝜔)

6. Aplicaciones
Ingeniero de Sonidos: Se
puede ver las señales en el
dominio de la frecuencia, es
posible que si tenga un
ruido, puede tener solo
algunos componentes de
frecuencia, se vea
claramente separado.
Telecomunicaciones:
Se pueden transmitir señales en el
aire a través de ondas
electromagnéticas separándolas en
distintas frecuencias.
tratamiento digital de
imágenes: para mejorar o
definir más ciertas zonas de
una imagen fotográfica o
tomada con una computadora,
véase ondícula (wavelet).

7. Teorema de inversión
El espacio de funciones complejas f definidas en
la recta tales que f y la transformada de Fourier
de f sean integrables, es invariante tanto por la
transformada de Fourier que por la
transformada de Fourier inversa. Además para
una función f en este espacio, vale el teorema de
inversión
Teorema de convolucion
Una convolución es el producto
punto a punto de las
transformadas. En otras palabras,
la convolución en un dominio (por
ejemplo el dominio temporal) es
equivalente al producto punto a
punto en el otro dominio (es
decir dominio espectral).
Sean F y G dos funciones cuya convolucion se expresa F*g
. Sea F el operador de la transformada de Fourier con lo
que 𝐹 𝑓 y 𝐹 𝑔 son las transformadas de Fourier de FY g
respectivamente. Entonces: 𝐹 𝑓 ∗ 𝑔 = 2𝜋(𝐹 𝑓 ∗ (𝐹[𝑔]
Donde indica Producto punto.También puede afirmarse que:
𝐹 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑓 𝑓 ∗ 𝑓 𝑔 / 2𝜋
Aplicando la transformada inversa de Fourier
𝑓 ∗ 𝑔 = √2𝜋𝐹^(−1)[𝐹[𝑓] ∗ 𝐹[𝑔]