Este documento explica la ley de los senos y la ley de los cosenos, que se usan para resolver triángulos cuando se conocen diferentes combinaciones de ángulos y lados. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos de ambas leyes.

1. FUNDACION ICARO
TRIGONOMETRIA CICLO CINCO
2 PERIODO AÑO ESCOLAR 2016
LEY DE LOS SENOS
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la
relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un
triángulo dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces .
Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto
de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia
de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque
las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.
Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluido (AAL).
Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es
C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluido (ALA).
Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

2. El tercer ángulo del triángulo es:
C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
y
El caso ambiguo
Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir.
(1) No existe tal triángulo.
(2) Dos triángulos diferentes existen.
(3) Exactamente un triángulo existe.
Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A. (La altitud h del vértice B al lado , por la definición de los senos es igual a b sin
A.)
(1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.
(2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.
(3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.
Ejemplo 1: No existe solución
Dado a = 15, b = 25 y A = 80°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
h = b sin A = 25 sin 80° ≈ 24.6

3. Dese cuenta que a < h. Así parece que no hay solución. Verifique esto usando la ley de los senos.
Esto contrae el hecho de que –1 ≤ sin B ≤ 1. Por lo tanto, no existe el triángulo.
Ejemplo 2: Dos soluciones existen
Dado a = 6. b = 7 y A = 30°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5
h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles.
Por la ley de lo senos,
Hay dos ángulos entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69° y 144.31°.
Si B ≈ 35.69° Si B ≈ 144.31°
C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31° C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°
Ejemplo 3: Una solución existe
Dado a = 22, b =12 y A = 40°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
a > b
Por la ley de lo senos,

4. B es agudo.
C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48°
Por la ley de lo senos,
Si se nos dan dos lados y un ángulo incluido de un triángulo o si se nos dan 3 lados de un triángulo, no podemos usar la ley de los
senos porque no podemos establecer ninguna proporción donde información suficiente sea conocida. En estos dos casos debemos
usar la ley de los cosenos.
TALLER
Cuál es valor de los datos que faltan Aplicar ley del seno
1. a = 10.5 m b = 12 m c = A = B = 650 C =
2 a = b = 15 m c =8m A = B = 550 C =
3 a = 13.5 cm b = c = 22 cm A = B = C = 800
4 a = 15 m b = c = 17 m A = B = C = 400
5 a = 18.5 m b = 9 m c = A = 380 B = C =
6 a = b = 12 m c =11m A = B = 550 C =
7 a = b = 12 m c =19.5m A = B = C = 750
8 a = b = 25 dm c = 24.5 dm A = B = 630 C =
9 a = 30.5 m b = 15 m c = A = 480 B = C =
10 a = 17 mm b = 23 mm c = A = B = 690 C =
LEY DEL COSENO
La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así:
el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos
lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman.
A, B, y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo .Las letras minúsculas se encuentras separadas al opuesto
de su letra mayúscula. Esto siempre debe realizarse de esta manera cuando se resuelve un triángulo, de lo contrario el resultado
seguramente será erróneo.
La ley del Coseno solo se usa cuando se tienen los (2) lados y el ángulo que forman los lados, de lo contrario se usa la Ley de Senos.La
ley de los cosenos es un herramienta importante para el cálculo de las medidas de los lados y de los ángulos de un triángulo cualquiera.
Podemos repetir la ley de los cosenos en palabras: En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, menos dos veces el producto de las medidas de esos lados por el coseno del
ángulo formado por ellos. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura obtenemos tres ecuaciones:

5. Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.
Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores
conocidos.
Ejemplo:
En el siguiente triángulo α= 60°, b= 3m y c=4m. ¿Cuánto es a?
Estrategia:
Los datos son: A = 60° b= 3m c = 4m a=?
La ecuación a utilizar es: a2 = b2 +c2 -2bc cos A
Reemplaza los valores en la ecuación como se demuestra a continuación:
a2= b2 + c2– 2bc cos A
a2= (3m)2 + (4m)2– (2) (3m) (4m) cos 60°
a2= 9m2 + 16m2 – (24m2) (0.8660)
a2= 25m2 – (24m2) (0.5) =
a2= 25m2 – 12m2
a2= 13m2
Ahora hay que buscar la raíz cuadrada usando la calculadora:
La respuesta es: la medida del lado a es 3.6m
Ejemplo dos:
El triángulo tiene las siguientes medidas . Encontrar la longitud del tercer lado.
Solución:
Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:
Considerando la misma figura pero ahora los siguiente datos determine el valor del ángulo.
Utilizando la expresión de la ley de cosenos tenemos:
Sustituyendo los valores dados tenemos:
mCmBmA 32.17;10;20 

6. TALLER
1, Halle los valores que faltan, aplique la ley del coseno y del seno si es necesario.
1 a = 10.5 m b = 12 m c = A = B = C = 650
2 a = b = 15 m c =8m A = 550 B = C =
3 a = 13.5 cm b = 10 cm c = 22 cm A = B = C =
4 a = 15 m b = c = 17 m A = B = 450 C =
5 a = 18.5 m b = 9 m c = A = B = C = 350
6 a = b = 12 m c =11m A = B = 630 C =
7 a = 21.5 m b = 12 m c =19.5m A = B = C =
8 a = b = 25 dm c = 24.5 dm A = 480 B = C =
9 a = 30.5 m b = 15 m c = A = B = C = 520
10 a = 17 mm b = 23 mm c = 18.5 mm A = B = C =
RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
2 Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un
ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la
distancia entre los pueblos A y B.
3 Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud
de sus lados.
4 Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo
formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.
5 Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman
entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.
6 En el triángulo de la figura, hallar los ángulos x y y
7 En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el
triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65km y el ángulo en C es de 80km ¿A qué distancia se encuentra el barco de
cada una de las dos estaciones de radio?
8 Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100
metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo
correspondiente al vértice en el que está Sara es de 25m y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140m ¿A qué distancia
se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?
9 Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos
dos lados es de 700. Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos?
10 Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 1100 . Al cabo de 2 horas, el primer
barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra
un barco del otro?