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                            TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO

DOCENTE: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez                                            “SI QUIERES
ÁREA: Matemáticas                                                                    MEJORAR LA
TEMA: Teorema del seno y teorema del coseno.                                        CONVIVENCIA,
                                                                                   EMPIEZA POR TI”
Logro: Resuelve problemas de aplicación con ayuda de los teoremas del
seno y el coseno.
                              TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO

El estudio de estos teoremas es indispensable para poder resolver los denominados triángulos
oblicuángulos, los cuales presentan un poco más de dificultad que los triángulos rectángulos que
hemos manejado.
Recordemos que un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulo recto. Para resolver estos
triángulos necesitamos conocer tres elementos de los seis, uno de los cuales debe ser un lado.

                                     TEOREMA DEL SENO.
En todo triángulo ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos a dichos lados.
                                    a  b  c
                                  SenA SenB SenC
El teorema de los senos nos permite resolver triángulos donde se conocen dos lados y un ángulo
opuesto a alguno de ellos o dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos..

                                   TEOREMA O LEY DEL COSENO
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo comprendido
entre dichos lados.                     a² = b² + c² - 2bcCosA
                                       b² = a² + c² - 2acCosB
                                       c² = a² + b² - 2abCosC
Por ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos lados a
y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite calcularlo.
Ejemplos:
Una antena de radio está sujeta con cables de acero en la forma indicada (Ver gráfico). Hallemos
la longitud de los cables:
                                                  Solución: Aplicamos    Ahora como:
                                                   la ley del Seno          b      c
                                                                                       y
                                                     a        c           SenB SenC
                                                                  y
                                                   SenA SenC                  cSenB 80MxSen 46
                                                                          b        
                                                  a
                                                        cSenA                 SenC       Sen72
                                                        SenC              b  60,5M
                                                        80MxSen 62
                                                  a
                                                           Sen72
                                                  a = 74.3M

Ejemplo 2:
Resolver un triángulo si se sabe que dos lados consecutivos miden
40cm y 30cm y el ángulo comprendido entre ellos mide 30°.
Solución: Supongamos que sea el triángulo        ABC, entonces:
A= 30°; B=?; C=?; . Los lados a=30cm; c=40cm; b=?

                            DE TU ESFUERZO DEPENDE TU TRIUNFO
Solución:
Aplicamos el teorema del Coseno
b² = a² + c² - 2ac Cos B
b² = 30² + 40² - 2(30)(40) Cos 30°
b² = 900 + 1600 – 2400 (0,8660)
b² = 2500 – 2078.4
b² = 421,6 Sacamos raíz a ambos lados
b = 20,5
Con estos datos y aplicando el teorema del seno, encontramos los otros valores.
Ejercicios
1. Dos barcos salen de un mismo puerto, y al mismo tiempo, en rutas rectilíneas que forman entre
sí un ángulo de 52°. El primero navega con velocidad constante de 80Km/h y el segundo a
60Km/h. Encontremos la distancia que separa los barcos dos horas y media después de haber
partido.
                                   SOLUCIÓN:
                            El barco A recorrió (80x2,5) Km = 200 Km
                            El barco B recorrió (60x2,5) Km = 150 Km
                            Para hallar la distancia d entre los barcos aplicamos el teorema del
                            coseno al triángulo de la figura 1.53
                            d² = 200² + 150² - 2(200)(150)Cos 52°
                            d² = 40000 + 22500 – 60000 x 0.6157
                               d ² = 25558
                            d  159.9
                            Nota: Si el ángulo comprendido entre los lados del triángulo es obtuso
                            debemos tener muy presente que su coseno es negativo
                            (Está en el cuadrante II).


2. Emplear los teoremas del Seno y del Coseno para resolver los siguientes triángulos ABC.
a = 10 cm, b = 12 cm, C= 35°
c = 10cm B = 40°,        A = 72°
a = 10cm, b = 15 cm , B = 42°
a = 150cm, c = 30 cm , B = 150°
b = 20cm, c = 30 cm , A = 60°

3. Hallar el área del triángulo ABC si a = 36m, A= 49° y C= 63°
Ayuda: Area =
                    p( p  a)( p  b)( p  c) , Donde p es perímetro; a, b, c corresponden a los lados del
               triángulo ABC.
4. Hallar la longitud del puente (Ver figura)




5. Dos trenes parten simultáneamente de una estación, en direcciones tales que forman un ángulo
de 30°. Uno va a 15Km/h y el otro a 25Km/h. Determinar a qué distancia se encuentran separados
después de 2 horas de viaje.

6. Dos casas P y Q que se encuentran en la misma orilla de un río, están distanciadas 1200 Mts
una de otra, una tercera casa R queda en la otra orilla del río. Sí el ángulo <RPQ mide 62º y el
ángulo <RQP mide 36º, halla la distancia de la casa R de cada una de las otras dos casas.
7. El lado mayor de un terreno de forma triangular mide 1760 Mts. Los otros dos lados forman
ángulos de 46º y 61º, respectivamente, con ese lado. Calcular el área del terreno.

                            DE TU ESFUERZO DEPENDE TU TRIUNFO

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3. teoremas seno y_cosen_otrigo

  • 1. RUFINO J. CUERVO – CENTRO II PERIODO GA 03 – 02 MATEMÁTICAS TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO DOCENTE: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez “SI QUIERES ÁREA: Matemáticas MEJORAR LA TEMA: Teorema del seno y teorema del coseno. CONVIVENCIA, EMPIEZA POR TI” Logro: Resuelve problemas de aplicación con ayuda de los teoremas del seno y el coseno. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO El estudio de estos teoremas es indispensable para poder resolver los denominados triángulos oblicuángulos, los cuales presentan un poco más de dificultad que los triángulos rectángulos que hemos manejado. Recordemos que un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulo recto. Para resolver estos triángulos necesitamos conocer tres elementos de los seis, uno de los cuales debe ser un lado. TEOREMA DEL SENO. En todo triángulo ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a dichos lados. a  b  c SenA SenB SenC El teorema de los senos nos permite resolver triángulos donde se conocen dos lados y un ángulo opuesto a alguno de ellos o dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos.. TEOREMA O LEY DEL COSENO En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo comprendido entre dichos lados. a² = b² + c² - 2bcCosA b² = a² + c² - 2acCosB c² = a² + b² - 2abCosC Por ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite calcularlo. Ejemplos: Una antena de radio está sujeta con cables de acero en la forma indicada (Ver gráfico). Hallemos la longitud de los cables: Solución: Aplicamos Ahora como: la ley del Seno b c  y a c SenB SenC  y SenA SenC cSenB 80MxSen 46 b  a cSenA SenC Sen72 SenC b  60,5M 80MxSen 62 a Sen72 a = 74.3M Ejemplo 2: Resolver un triángulo si se sabe que dos lados consecutivos miden 40cm y 30cm y el ángulo comprendido entre ellos mide 30°. Solución: Supongamos que sea el triángulo ABC, entonces: A= 30°; B=?; C=?; . Los lados a=30cm; c=40cm; b=? DE TU ESFUERZO DEPENDE TU TRIUNFO
  • 2. Solución: Aplicamos el teorema del Coseno b² = a² + c² - 2ac Cos B b² = 30² + 40² - 2(30)(40) Cos 30° b² = 900 + 1600 – 2400 (0,8660) b² = 2500 – 2078.4 b² = 421,6 Sacamos raíz a ambos lados b = 20,5 Con estos datos y aplicando el teorema del seno, encontramos los otros valores. Ejercicios 1. Dos barcos salen de un mismo puerto, y al mismo tiempo, en rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de 52°. El primero navega con velocidad constante de 80Km/h y el segundo a 60Km/h. Encontremos la distancia que separa los barcos dos horas y media después de haber partido. SOLUCIÓN: El barco A recorrió (80x2,5) Km = 200 Km El barco B recorrió (60x2,5) Km = 150 Km Para hallar la distancia d entre los barcos aplicamos el teorema del coseno al triángulo de la figura 1.53 d² = 200² + 150² - 2(200)(150)Cos 52° d² = 40000 + 22500 – 60000 x 0.6157 d ² = 25558 d  159.9 Nota: Si el ángulo comprendido entre los lados del triángulo es obtuso debemos tener muy presente que su coseno es negativo (Está en el cuadrante II). 2. Emplear los teoremas del Seno y del Coseno para resolver los siguientes triángulos ABC. a = 10 cm, b = 12 cm, C= 35° c = 10cm B = 40°, A = 72° a = 10cm, b = 15 cm , B = 42° a = 150cm, c = 30 cm , B = 150° b = 20cm, c = 30 cm , A = 60° 3. Hallar el área del triángulo ABC si a = 36m, A= 49° y C= 63° Ayuda: Area = p( p  a)( p  b)( p  c) , Donde p es perímetro; a, b, c corresponden a los lados del triángulo ABC. 4. Hallar la longitud del puente (Ver figura) 5. Dos trenes parten simultáneamente de una estación, en direcciones tales que forman un ángulo de 30°. Uno va a 15Km/h y el otro a 25Km/h. Determinar a qué distancia se encuentran separados después de 2 horas de viaje. 6. Dos casas P y Q que se encuentran en la misma orilla de un río, están distanciadas 1200 Mts una de otra, una tercera casa R queda en la otra orilla del río. Sí el ángulo <RPQ mide 62º y el ángulo <RQP mide 36º, halla la distancia de la casa R de cada una de las otras dos casas. 7. El lado mayor de un terreno de forma triangular mide 1760 Mts. Los otros dos lados forman ángulos de 46º y 61º, respectivamente, con ese lado. Calcular el área del terreno. DE TU ESFUERZO DEPENDE TU TRIUNFO