Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método transforma la matriz aumentada formada por los coeficientes y términos independientes en una matriz escalonada triangular para encontrar directamente los valores de las incógnitas. También clasifica los posibles tipos de soluciones de un sistema de ecuaciones dependiendo del número de ecuaciones e incógnitas.

1. ESCUELA POLITECNICA
NACIONAL
ALGEBRA LINEAL

2. SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES
Se llama sistema de
ecuaciones lineales en
las variables al
siguiente sistema de m
ecuaciones con
incógnitas

3. 

4. TAMBIÉN SE ESCRIBE DE LA FORMA
MATRICIAL


5. ES DECIR EL SISTEMA SE LO PUEDE
REPRESENTAR POR:
(A)(X)=B
Donde: A es la matriz por los
coeficientes del sistema.
X es una matriz columna
formada por las incógnitas.
B es una matriz columna,
formada por los términos
independientes del sistema.

6. EJEMPLO:


7. El método de Gauss, conocido también como de
triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas
de ecuaciones lineales con cualquier número de
ecuaciones y de incógnitas.
Es un proceso que parte estructurando la matriz aumentada
constituida por la matriz de coeficientes (A), con la de los
términos independientes (K); seguida la matriz (A) se transforma
en escalonada, con lo cual se encuentra la solución del sistema.
( A : K ) Matriz aumentada

8. •Escribir las ecuaciones del sistema en su forma normal
•Identificar los coeficientes de la incógnita y de los términos
independientes.
•Construir la matriz aumentada con los coeficientes de las
incógnitas y la matriz de los términos independientes
•Utilizando las operaciones de fila, la matriz transformarla a
escalonada.
•En base a la matriz escalonada para el caso de un sistema de
tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un
sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas,
la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema
triangular o en cascada de la forma:
Ax + By + Cz = D
Ey + Fz = G
Hz = I

9. Utilizando el método de gauss encontrar la solución del
siguiente sistema
solución

10. 3x +2y +z = 1
5x +3y +4z = 2
x +y -z = 1

11. Es un proceso que teniendo la matriz aumentada, este la transforma en
una matriz triangular reducida por filas, obteniendo directamente los
valores de las incógnitas.
•Estructurar la matriz aumentada
•Utilizar el algoritmo anterior para partiendo de la matriz aumentada llegar a la
escalonada
•Transformar la matriz escalonada en una matriz de identidad , para lo cual
utilizamos operaciones convenientes de filas y columnas
•Identificar los valores de las incógnitas y escribir el conjunto solución.

12. X=5
Y = -3
Z = -2

13. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES


14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
:
Una vez aplicado Gauss o Gauss Jordan el sistema.
1.-Tiene única solución si el numero de ecuaciones es igual
al numero de incógnitas.
2.-Tiene infinitas soluciones si el numero de ecuaciones
validas es menor al numero de incógnitas.
3.-No tiene solución si el numero de filas no nulas de la
matriz de coeficientes es distinta al numero de filas no
nulas de la matriz ampliada.