El documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. Introduce conceptos como línea recta, sistema de coordenadas cartesianas, pendiente de una recta, ecuación de una recta y métodos gráfico y de reducción para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y ejercicios prácticos.

1. GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 2 “Resolvamos sistema de dos ecuaciones lineales”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido LINEA RECTA
APRENDO
LINEA RECTA
La recta o línea recta es el lugar geométrico de infinitos puntos en una misma dirección,
geométricamente, la recta es el ente que solo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está
compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos)
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
El plano Cartesiano se debe a René Descartes (Francia, 1569-Suecia, 1650), filósofo y matemático
francés. René Descartes se educó en el colegio Jesuita de la Fléche (1604-1612), donde gozó de un cierto
trato de favor en atención a su delicada salud. Hizo grandes aportes a la filosofía y a la matemática, en
honor a él es que tanto el método filosófico y el plano se les llama “cartesianos” de Descartes.
COORDENADAS DE UN PUNTO P(ABSCISA, ORDENADA)
En muchas ocasiones habrás escuchado expresiones como: “primero los ancianos y luego lo niños”;
“primero las niñas y luego los niños” pues esos son pares ordenados, en general, son dos elementos,
números, letras donde importa el orden en que aparecen y se representan en paréntesis, por ejemplo
(anciano, niño), (niña, niño), (5,4) etc. generalmente se representan como (x, y) donde “x” representa la
primera componente, o abscisa, mientras que “y” es la segunda componente, u ordenada, en general (x,
y) no es igual que (y, x).
Cada par ordenado (x, y) representa un punto en el plano cartesiano, si trabajas con los números reales,
y todos los puntos de los pares ordenados están en una misma dirección su grafica será una línea recta.
Para graficar cada par ordenado, simplemente colocamos la primera componente en el eje horizontal o
eje de las “x”, luego la segunda componente se ubica en el eje vertical o eje de las “y” en la intersección
queda el punto.

2. Ejemplo 1: ubicar en el plano cartesiano los puntos
correspondientes a los pares ordenados siguientes:
A. (2, )
B. ( ,2)
C. ( ,5)
D. (5, )
E. ( ,2.5)
F. (4, 2)
G. ( 2,-3)
Ejercicios. Colca en el plano cartesiano los siguientes puntos:
A. (5,2) B. (2,5) C. (-2,3)
D. (3,-2) E. (5,-6) F. (-6,5)
G. (-2,-3) H. (-3,-2) I. (0.4)
GRAFICA DE UNA LÍNEA RECTA
Cuando tenemos una ecuación lineal en la que aparecen las dos incógnitas, x e y entonces la incógnita y,
que es función de x, la representamos por medio de f(x) que se lee “y es función de x” o “f en función de
x”, o sea que y = f(x).
Ejemplo 2: grafica la siguiente ecuación = 2
Solución: para poder graficar una ecuación, construiremos un cuadro, donde la asignaremos un valor a
la variable x, obteniendo así un valor para y, y así tendremos una pareja de valores, que se
representaran en el plano cartesiano.
( ) = 2 ( , )
0 ( ) = 2( ) = ( , )
1 ( ) = 2( ) = ( , )
2 (2) = 2(2) = 5 (2,5)
Estos puntos los
representaremos en el plano
cartesiano, los valores que le
asignamos a x, son arbitrarios,
podemos asignarle el valor que
queramos.

3. Ejemplo 2: Grafica la recta que corresponde a la función
=
Solución:
( ) = ( , )
0 ( ) = = ( , )
1 ( ) = = 2 ( , 2)
2 (2) = 2 = (2, )
Ejemplo 3: Grafica la recta que corresponde a la función =
2
Solución:
( ) = 2 ( , )
0 ( ) = ( ) 2 = 2 ( ,2)
1 ( ) = ( ) 2 = ( , )
2 (2) = (2) 2 = 4 (2, 4)
Nota: la gráfica de una ecuación
lineal con dos variables es
siempre una línea recta y basta
con conocer dos puntos para
graficar

4. PRACTICO
Ejercicios: grafica cada una de las rectas que
corresponden a cada ecuación.
a) =
b) = 2
c) = 2
d) =
e) = 4 2
f) = 6
g) = 2
h) = 5
i) = 2 4
j) =
k) 0523  yx
l) 0164  yx

5. GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad “Utilicemos ecuaciones con radicales”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido PENDIENTE DE UNA RECTA
APRENDO
PENDIENTE DE UNA RECTA
Cuando graficamos una línea recta en el plano cartesiano nos damos cuenta que tiene dos elementos
importantes:
a) El valor b, que corta el eje y, que recibe el nombre de
intersecto
b) La pendiente, que mide la inclinación de la recta con
respeto al eje x
La pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación θ se
mide en sentido contrario a las agujas del reloj a partir de la parte
positiva del eje “x”.
Pendiente positiva
Si el ángulo de inclinación de la recta es menos de 90°, entonces la pendiente es
positiva, es decir, si 9
Pendiente negativa
Si el ángulo de inclinación de la recta es mayo de 90°, entonces la pendiente es
negativa, es decir 9 8
Pendiente cero
Si el ángulo de inclinación de la recta es cero, entonces la
pendiente es cero, y la recta es paralela al eje x.

6. Pendiente indefinida
Si el ángulo de inclinación de la recta es igual a 90°, entonces la
pendiente no está definida, y la recta es paralela al eje y.
Para calcular la pendiente de una recta, dados dos puntos de esta, se usa la siguiente formula:
=
Ejemplo 1: calcular la pendiente, de cada una de las rectas que pasan por cada pareja de puntos que se
dan a continuación.
a) ( , 2) (5, )
Solución: =
( )
=
b) ( ,2) ( ,4)
Solución: = =
c) ( , ) (2, )
Solución: = = 2
d) ( , ) (4, )
Solución: =
( )
( )
=
e) ( 2, ) ( 2, )
Solución: =
( )
=
PRACTICO
Ejercicios: Calcula la pendiente para cada caso y por los puntos que se indican y además
grafique.
1)    3,23,3  ByA 2)    4,24,0 ByA 3)    2,26,6 ByA
4)    6,24,3  ByA 5)    2,59,3  ByA 6)    6,88,4 ByA
7) (2, 2) (4, ) 8) ( , 2) ( ,2) 9) (5, 2) (5, )

7. GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 2 “Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido ECUACION DE UNA RECTA
APRENDO
ECUACION DE UNA RECTA
Una recta: es el lugar geométrico de los puntos que tomados dos puntos diferentes cuales
quiera ( , ) ( , ) del lugar, el valor de la pendiente “m” es siempre constante.
Por lo que se puede deducir la ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una
pendiente determinada. Así
= = ( ).
La ecuación obtenida, es llamada
ecuación de la recta en su forma
punto pendiente, simplemente porque
se conoce el punto ( , ) y la
pendiente “m”. si ese punto ( , )
es un punto especial, donde la reta
corta el eje “y”, o eje de las ordenadas
entonces = , o sea, ( , .
Aplicando la ecuación de la recta en
su forma punto pendiente tenemos.
= ( ) = ( ) =
Esta es la llamada ecuación de la recta en su forma pendiente intersecto o pendiente ordenada
en el origen.
Ejemplos: Aplicando las ecuaciones de la recta en su forma punto pendiente =
( ), o en su forma pendiente intersecto = , encontrar la ecuación de cada una
de las rectas.
a) Tiene = 2 y pasa por ( , 2)
Solución:
= ( )
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

8. ( 2) = 2( )
2 = 2 6
=
Para su gráfica, basta con dos puntos: si = 2 = 2(2) 4 = los
puntos son: ( , 2) y 2(2, ), claramente se observa que el intersecto
es 4
b) Tiene = 2 y pasa por ( ,2)
Solución:
= ( )
2 = 2( ( ))
2 = 2 2
=
Para su gráfica, basta con dos puntos: si = = 2( ) 4 = 4
los puntos son: ( ,2) y ( ,4), claramente se observa que el
intersecto es 4.
c) Tiene = y pasa por ( ,2) = 2
Solución:
=
=
Para su gráfica, basta con dos puntos: si
= 4 = (4) 2 = 4 los puntos son:
( ,2) y (4,4), claramente se observa que el
intersecto es 2.

9. PRACTICO
Ejercicios: aplicando las ecuaciones de la recta en su forma punto pendiente o en su forma pendiente
intersecto, encontrar la ecuación de cada una de las rectas.
a) = 2 ( ,2)
b) = 2 (4, 2)
c) = 2 ( 2,4)
d) = ( , 2)
e) = ( , 2)
f) = ( ,2)
g) = (2, )
h) = 4 ( , )
i) = ( ,4)
j) = ( , 2)
k) ( , ) (2, )

10. GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 2 “Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido Método Gráfico para solución de dos ecuaciones lineales
APRENDO
METODO GRAFICO
Un sistema formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas podemos resolverlo por
medio de gráficos.
La solución es de la manera siguiente:
1. Graficamos las dos rectas en el mismo plano cartesiano
2. Observamos el punto en que las rectas se cortan
3. El punto de corte es la solución.
Ejemplo 1: Resolvamos el sistema =
= 5
Solución: despejamos la variable y
= = 5
Para cada recta debemos obtener dos puntos dando los
mismos valores a la variable x.
( ) = ( , )
1 ( ) = = 2 ( ,2)
2 (2) = 2 = (2, )
La solución al sistema es = 2 =
Verifiquemos la solución sustituyendo los valores encontrados.
( ) = 5 ( , )
1 ( ) = 5 = 4 ( ,4)
2 (2) = 5 2 = (2, )

11. Ejemplo 2: Resolvamos el sistema
2 = 4
2
=
4
Solución: despejamos las y
= 2 4
=
2 4
Obtenemos algunos valores para cada recta y graficamos
( ) = 2 4 ( , )
1 ( ) = 2( ) 4 = 6 ( ,6)
2 (2) = 2(2) 4 = 8 (2,8)
( ) =
2 4 ( , )
1
( ) =
2
( )
4
=
2
( ,
2
)
2
(2) =
2
(2)
4
=
(2, )
El punto de intersección es ( ,2) La al sistema es que = = 2
PRACTICO
Ejercicios: haciendo uso de gráficos resuelve cada uno de los sistemas.
1. 2 = 6
5 2 = 4
2. 5 =
4
=
3. 4 =
4 = 7
4. 7 4 = 6
5 = 5

12. GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 2 “Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido Método de reducción
APRENDO
METODO DE REDUCCION
REGLA: Para la eliminación por reducción se siguen los siguientes pasos:
1º. Determinamos que variable eliminar, luego el coeficiente de dicha variable en la ecuación
 1
se ha
de multiplicar por la ecuación
 2
, y el coeficiente de la variable a eliminar de la ecuación
 2
se
multiplica por la ecuación
 1
. Procurando dejar que los coeficientes de las variable a eliminar
tengan signos contrarios.
2º. Reducimos los términos y resolvemos la ecuación resultante.
3º. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones originales.
4º. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.
Ejemplo 1: Resolver por reducción el sistema
Solución: Vamos a eliminar la variable “x” y notemos que los signos de los coeficientes de dicha
variable son iguales, por tanto hemos de multiplicar una de las ecuaciones por un coeficiente
negativo.
2°. Reduciendo términos
1°. Multiplicando ambas ecuaciones
6 7 17
5 9 11
x y
x y
 

 
 
 
1
2

13. R/ La solución al sistema es: 4 1x y   
Ejemplo 2: Resolver por reducción el sistema
R/ La solución al sistema es: 5 2x y  
4°. Comprobando valores obtenidos
Ecuación Ecuación
. Sustituyendo “y” en ( )
2°. Reduciendo términos
. Sustituyendo “y” en ( ) 4°. Comprobando valores obtenidos
Ecuación Ecuación
1°. Multiplicando ambas ecuaciones
 
 
1
2
3 5 5
4 3 26
x y
x y
   

 

14. PRACTICO
Ejercicios: Resolver por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:
{
4 =
7 =
{
5 4 =
2 4 = 6
{
5 =
9 7 = 24

15. GENERALIDADES
Profesor Osmaro Adonay Muñoz Rauda N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 2 “Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido Método de sustitución
APRENDO
METODO DE SUSTITUCIÓN
REGLA: Para la eliminación por sustitución, se siguen los siguientes pasos:
1º. Se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones del sistema.
2º. Se sustituye este valor obtenido en la otra ecuación.
3º. Se resuelva la ecuación de primer grado con una incógnita que así se obtiene.
4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales.
5º. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.
Ejemplo 1: Resolver por sustitución el sistema:





)2(1325
)1(63
nm
nm
Solución:
2 . Sustituyendo “m” en la (2)
1°. Despejando “m” de la

16. R/ La solución del sistema es: 3 1m n  
Ejemplo 2: Resolver por sustitución el sistema:







)2(
6
25
34
)1(4
43
yx
yx
Solución:
Es este caso conviene transformar las ecuaciones en ecuaciones equivalentes enteras. Para ello
encontramos el M.C.M. de los denominadores y multiplicamos cada ecuación por éste.
De la ecuación
 1
se tiene: De la ecuación
 2
se tiene: Ahora el sistema
equivalente
3°. Resolviendo la ecuación obtenida
5°. Comprobando los valores
Ecuación Ecuación
4°. Sustituyendo “n” en

17.  
 
1
2
4 3 48
3 4 50
x y
x y
 

 
 
4
3 4
12 12 12 4
3 4
4 3 48
x y
x y
x y
 
   
    
   
 
25
4 3 6
25
12 12 12
4 3 6
3 4 50
x y
x y
x y
 
     
      
     
 
R/ La solución al sistema es 6 8x y  
2°. Sustituyendo “x” en la (2)
1°. Despejando “x” de la
3°. Resolviendo la ecuación obtenida
5°. Comprobando los valores
Ecuación Ecuación
4°. Sustituyendo “y” en

18. 5 8
7 8 25 0
x y
x y
 

  
3 5 19
2 4
x y
x y
 

 
13
3
4 4
2 4 6
y
x
x y

 

  
2 10
5
3
3 36
2
x
y
y
x

 

  

PRACTICO
Ejercicios: Resolver por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:
{
=
2 =
{
5 = 7
4 =
{
5 4 = 22
4 =

19.  
 
1
2
GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 2 “Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido Método de igualación
APRENDO
METODO DE IGUALACIÓN
REGLA: Para la eliminación por igualación se siguen los siguientes pasos:
1º. Se despeja una de las incógnitas en cada una de las ecuaciones, ésta debe ser la misma en
ambas
2º. Se igualan los dos valores de las incógnitas así obtenidas.
3º. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita así obtenida.
4º. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones originales.
5º. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.
Ejemplo 1: Resolver por igualación el sistema





35
723
yx
yx
2°. Igualando ambos despejes1°. Despejando “x” en ambas ecuaciones
Ecuación Ecuación

20. R/ La solución al sistema es: 1 2x y   
Ejemplo 2: Resolver por igualación el sistema
 
 






211
2
4
13
3
y
y
x
Solución:
4°. Sustituyendo “y” en
3°. Resolviendo la ecuación obtenida
5°. Comprobando los valores obtenidos
Ecuación Ecuación

21. PRACTICO
2°. Igualando ambos despejes1°. Despejando “x” en ambas ecuaciones
Ecuación Ecuación
4°. Sustituyendo “y” en
3°. Resolviendo la ecuación obtenida
5°. Comprobando los valores obtenidos
Ecuación Ecuación

22. 5 2x y   1
2
1m n   3 4a b   3 2p q   
Ejercicios: Resuelve por el método de igualación de variables los sistemas siguientes:
Ejercicios: Resuelve por el método de igualación de variables los sistemas siguientes:
a) {
= 5
2 =
b) {
4 = 6
5 7 =
c) {
9 8 =
6 2 = 5
d) {
= 7
5 5 = 25
e) {
6 = 5
9 = 2
f) {
2 =
=
2 9
3 13
x y
x y
 

 
7 4 5
9 8 13
m n
m n
 

 
6 27
7 3 9
a b
a b
 

 
3 5 19
2 4
p q
p q
 

 

23. GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 2 “Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido Método de determinantes
APRENDO
METODO DE DETERMINANTES
REGLA:
1º. El valor de cada incógnita del sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas,
es una fracción que tiene por denominador el determinante formado por los coeficientes de las
incógnitas “x” e “y”, llamado Determinante del Sistema, y por numerador el determinante que
se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita
buscada los términos independientes de las ecuaciones dadas.
22
11
22
11
ba
ba
bc
bc
x 
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y 
2º. Comprobamos los valores obtenidos.
Ejemplo 1: Resolver por determinantes el sistema:
4 9 3
3 7 2
x y
x y
 

 
Comprobando:
     
     
4 3
4 2 3 33 2 8 9 1
1
4 9 4 7 3 9 28 27 1
3 7
y
  
     
 
     
     
3 9
3 7 2 92 7 21 18 3
3
4 9 4 7 3 9 28 21 1
3 7
x
 
    
 

24. Ecuación
 1
Ecuación
 2
R/ La solución al sistema es: 3 1x y   
Ejemplo 2: Resolver por determinantes el sistema:
5 4 3 3 9
5 3 4 4
x y x
y x
   

   
Solución:
Primeramente es necesario ordenar las ecuaciones a la forma normal. Así obtenemos el sistema:
2 3 13
4 5 7
x y
x y
 

  
Comprobando
Ecuación
 1
Ecuación (2)
R/ La solución al sistema es: 2 3x y   
PRACTICO
   
3 7 2
3 3 7 1 2
9 7 2
2 2
x y 
  
 

   
4 9 3
4 3 9 1 3
12 9 3
3 3
x y 
  
 

     
     
2 13
2 7 4 134 7 14 52 66
3
2 3 2 5 4 3 10 12 22
4 5
y
    
     
   
     
     
13 3
13 5 7 37 5 65 21 44
2
2 3 2 5 4 3 10 12 22
4 5
x

   
    
   
   
4 5 7
4 2 5 3 7
8 15 7
7 7
x y  
   
  
  
   
2 3 13
2 2 3 3 13
4 9 13
13 13
x y 
  
 


25. Ejercicios: Resuelve por el método de determinantes los sistemas siguientes:
a) {
2 = 8
2 7 = 6
b) {
5 4 = 2
7 9 = .
c) {
5 7 = 5.8
2 =
d) {
4 =
5 2 = 45
e) {
9 2 = 8
2 7 = 6