Trigonometría estudia la medición de triángulos, especialmente el triángulo recto. Tiene aplicaciones en astronomía, navegación y para medir longitudes de manera indirecta. El documento explica conceptos básicos como ángulos, triángulos rectos, funciones trigonométricas y su cálculo para triángulos rectos.

2. Trigonometría es la rama de la
Geometría que se enfoca a la
medición de los triángulos,
especialmente el triángulo recto.
Tiene importante aplicación en
astronomía, navegación y para
medir todo tipo de longitudes de
manera indirecta, como la altura de
pirámides, edificios, montañas, etc.

4. El ángulo es la abertura que forman dos
lados contiguos de un triángulo. Se puede
medir en unidades llamadas grados ( º ). Un
grado es igual a 1/360 de una rotación
completa de un lado.

6. El triángulo recto tiene un ángulo de 90 grados y ya
que la suma de los tres ángulos de un triángulo
suman 180 grados, para cualquier triángulo se
puede deducir que los otros dos ángulos miden
cada uno menos de 90 grados. A estos ángulos se
les llama agudos y complementarios (su suma es de
90 grados).

7. Tomando como referencia el ángulo a, podemos
nombrar cada elemento del triángulo recto ABC. De
ese modo, podemos formar 6 posibles relaciones o
razones con los lados a, b, c. Estas razones se llaman
razones o funciones trigonométricas.

14. Representación
animada del cálculo de
SENO y COSENO

15. En la animación siguiente, si
consideramos que él ángulo es el
formado por la horizontal y la
puerta, tenemos que el valor del
seno es el correspondiente a la
sombra de la puerta proyectada en
la pared.

17. De tal manera que si la puerta la
inclinamos totalmente hasta la
posición de 0º, tenemos que la puerta
no produce sombra, siendo entonces
que el seno de 0º es igual a 0.

18. Conforme fuéramos levantando la puerta
esta iría produciendo una mayor sombra en
la pared, de tal manera que conforme se va
incrementando el ángulo hasta 90º, el seno
del ángulo se va incrementando hasta un
máximo de 1.

19. Para el coseno existe la misma
relación y explicación, solo tenemos
que poner el sol en la parte superior
y la sombra se proyectará en el piso,
de tal manera que para 0º el coseno
es de 1.0, para 90º el coseno es de 0
y así sucesivamente.

21. TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2
(CATETO) (CATETO)+ = 2
(HIPOTENUSA)
3
45 512
13
20
21 29

22. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS
AGUDOS
q
=q
CatetoOpuestoa
sen
Hipotenusa
θ
θ =
CatetoAdyacentea
cos
Hipotenusa
θ =
θ
Hipotenusa
sec
CatetoAdyacentea
θ =
θ
Hipotenusa
csc
CatetoOpuestoa
θ
θ =
θ
CatetoAdyacentea
cot
CatetoOpuestoa
θ
θ =
θ
CatetoOpuestoa
tan
CatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
θCATETO ADYACENTE A
θ
HIPOTENUSA
θ
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE

23. 12
35
H
2 2 2
H 12 35= +
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369= = 37
senθ =
cosθ =
tanθ =
12
37
35
37
12
35
cot θ =
sec θ =
csc θ =
35
12
37
35
37
12
EJEMPLO :
EJEMPLO :
Sabiendo que θ es un ángulo agudo tal que senθ=2/3.....
23
θ
θ

37.  CRITERIO
 Dos triángulos serán semejantes si tienen sus lados proporcionales.
b
c
a
b’
c’
a’
• Tenemos que se
cumple, de entrada:
• a b c
• ---- = ---- = ----
• a’ b’ c’
• Sobre el lado A’B’ del
triángulo A’B’C’ se
lleva el segmento AB y
se traza una paralela al
segmento C’A’.
• Al estar ambos
triángulos en posición
de Tales, sus ángulos
son iguales y por lo
tanto son semejantes.
C
A B
C’
A’ B’
C
A

53. Observa bien que estos resultados nunca
cambian, independientemente de que el
valor de x cambie. Es decir que si el
triángulo rectángulo es pequeño o grande
no interesa , siempre que el ángulo sea de
45º estos serán los valores de las razones
trigonométricas.

54. Recordemos que un
triángulo equilátero es
el que tiene iguales sus
tres lados y sus tres
ángulos.

63. TRIÁNGULOS NOTABLES
1 2
3
o
30 (
)
O
60
1
1
2
o
45
o
45
(
)
3
4
5
o
37
o
53
(
)
o
sen30 =
1
2
o
tan60 = 3
o
sec 45 = 2
o
cot 37 =
4
3
o
tan30 =
1
3
3
x
3
3
3
=
o
sen45 =
1
2
2
x
2
2
2
=

64. PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE
SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
θ
φ senθ = cos φ
cos θ =
tanθ =
senφ
cotφ
a
b c
cot θ =
secθ =
cscθ =
tanφ
cscφ
sec φ

65. EJEMPLOS
o
A)sen25 =
o
B)tan43 =
o
C)sec60 =
o
cos65
o
cot 47
o
csc30
...............
...............
...............
o o O
25 65 90+ =
o o O
43 47 90+ =
o o O
60 30 90+ =
o
D)sen cos20θ =
o O
20 90θ + = o
70θ =
E)tan5 cotα = α
o
5 90α + α =
o
15α =

66.  Sen 83º
 Cos 47º
 Tan 10º
 Cot 63º
 Sec 51º
 Csc 49º

84. ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano
vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal
y visual
α
θ
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL
VISUAL
VISUAL
)
)

85. ANGULO DE ELEVACION
Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une
el ojo de un observador con el lugar observado.
Llamamos ángulo de elevación al que forman la
horizontal del observador y el lugar observado
cuando éste está situado arriba del observador.

87. Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la
base de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide
es de 60º y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.

88. Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la
situación poniendo los datos que conocemos.
Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide
7 m y una vez que tengamos calculado el
lado b, para calcular la altura de la torre
sólo tendremos que sumarle los 1,5 m. Así
pues, vamos a calcular el lado b.
Para el ángulo 60º, el lado que conozco es
el cateto adyacente y el que quiero
calcular es el cateto opuesto, así pues
planteo la tangente de 60º.
c
b
tg =º60
m
b
7
3 =
mb 37= mmtorrealturadela 5,137 +=

89.  Un edificio proyecta una sombra de 150m.
cuando el sol forma un ángulo de 30 º
sobre el horizonte, calcular la altura del
edificio.
º30

90.  Desde un punto A en la orilla de un río se ve un
árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río
abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un
punto B desde el que se ve el pino formando un
ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la
anchura del río.

91.  Desde un punto A en la orilla de un río, cuya
anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente.
¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la
orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde
el que se vea el pino formando un ángulo de 60º
con nuestra orilla?