Este documento compara la teoría de la absorción y la teoría cognitiva del aprendizaje. La teoría de la absorción sostiene que el conocimiento se imprime desde afuera a través de la memorización. La teoría cognitiva argumenta que el conocimiento se construye activamente desde adentro al establecer relaciones y resolver problemas. El documento explica cómo estas teorías influyen en la enseñanza y evaluación de las matemáticas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS
FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS
CARRERA: PROFESORADO DE ENSEÑANZA DIFERENCIADA EN PROBLEMAS
DE APRENDIZAJE
CATEDRA: DIDACTICA DIFERENCIAL I
DOCUMENTO ELABORADO POR: PROF. CLAUDIA CAVALLERO
"LAS DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA"
1- EL APRENDIZAJE: TEORIA DE LA ABSORCION-TEORIA
CONSTRUCTIVISTA
Para tomar decisiones eficaces, al momento de enfrentar las dificultades de
aprendizaje, los educadores deben comprender cómo aprenden matemáticas los niños. La
comprensión del proceso de aprendizaje puede ayudarles a decidir cómo presentar un tema y
hacer que los niños lleguen a dominarlo. El conocimiento del niño puede ayudar a los
educadores a prever cuándo y porqué encontrará dificultades y cómo evitarlas o subsanarlas.
Es realmente imprescindible que la planificación educativa tenga en cuenta la psicología del
niño. Siempre que se tomen decisiones sobre aspectos generales o específicos del currículum,
es esencial saber cómo aprenden y piensan los niños (factores cognoscitivos) y qué necesitan,
sienten y valoran (factores afectivos). Si no prestamos la atención adecuada a la forma de
pensar y aprender de los niños, corremos el riesgo de hacer que la enseñanza inicial de la
matemática sea excesivamente difícil y desalentadora para los niños.
Cuando la matemática escolar se enseña sin que se tengan en cuenta los factores
cognoscitivos, muchos chicos la aprenden y la usan de una manera mecánica y sin pensar, y
otros desarrollarán dificultades de aprendizaje.
Debido a que existen distintas teorías sobre el aprendizaje con implicaciones educativas muy
diferentes, es esencial que los educadores basen sus decisiones en la teoría más sólida que
tengan a su alcance.
De forma consciente o inconsciente, las creencias acerca del aprendizaje de las
matemáticas guian la toma de decisiones y en última instancia influyen en nuestra eficacia
como enseñantes de las matemáticas. Por tanto es esencial que todo educador examine
atentamente su punto de vista sobre el aprendizaje.
Básicamente existen dos teorías generales sobre el aprendizaje: la teoría de la
absorción y la teoría cognitiva. Cada una refleja una creencia distinta acerca de la naturaleza
del conocimiento, cómo se adquiere éste y qué significa saber.
La teoría de la absorción afirma que el conocimiento se imprime en la mente desde el
exterior, básicamente el conocimiento se contempla como una colección de datos. Los datos
se aprenden por medio de la memorización. El aprendizaje es un proceso consistente en
interiorizar o copiar información.
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2. La teoría cognitiva aduce que el conocimiento significativo no puede ser impuesto
desde el exterior, sino que debe elaborarse desde dentro. El conocimiento genuino comporta
intuición o comprensión. El aprendizaje significativo es un proceso distinto a aprender de
memoria. Aprender por intuición o comprensión es en realidad un proceso de resolución de
problemas: observar los indicios y combinarlos, reordenar las evidencias disponibles y
finalmente, observar el problema, desde una nueva perspectiva. Una persona que sabe es,
alguien que tiene comprensión y posee medios para solucionar problemas nuevos.
El siguiente cuadro nos ayuda a comprender lo expuesto anteriormente.
TEORIA DE LA ABSORCION TEORIA COGNITIVA
1- APRENDIZAJE POR ASOCIACION:
El conocimiento matemático, es
esencialmente, un conjunto de datos y
técnicas. Ej: cuando el chico ve u oye el
estímulo 7 + 3 busca la suma asociada en la
memoria a largo plazo y responde 10.
Esto resulta de asociar una respuesta
determinada a un estímulo
concreto.
1- LAS RELACIONES, CLAVES
BASICAS DEL APRENDIZAJE: El
conocimiento no es una simple acu
mulación de datos. La esencia del
conocimiento es la estructura. La esencia de
la adquisición del conocimiento estriba en
aprender relaciones generales y no
memorizar contenidos.0
2- APRENDIZAJE PASIVO Y
RECEPTIVO: Aprender comporta copiar
datos y técnicas: un proceso
esencialmente pasivo. Las
asociaciones quedan impresionadas en la
mente principalmente por repetición.
Ejemplo: los chicos consolidan el enlace
entre 7 3 y 10 mediante ejercicios de
repetición. La persona que aprende solo
necesita ser receptiva y estar dispuesta a
practicar, aprender es fundamentalmente
un proceso de memorización.
2- CONSTRUCCION ACTIVA DEL
CONOCIMIENTO: Comprender requiere
pensar. La comprensión se construye
activamente desde el interior mediante: 1) el
establecimiento de relaciones entre
informaciones nuevas y lo que ya conoce
(ASIMILACION), 2) entre piezas de
información conocidas pero aisladas
previamente (INTEGRACION). Ej. el niño
que sabe que tiene 5 dedos en cada mano y
que en total suman 10, pero insiste en
resolver cada vez que se le dan problemas
simbólicos como 5+5
El conocimiento práctico que tiene de sus
dedos no está conectado con su
conocimientoformal de la adición. El
crecimiento del conoci- miento implica una
construcción activa.
3- APRENDIZAJE ACUMULATIVO:
El crecimiento del conocimiento consiste
en edificar un almacén de datos y
técnicas
3- CAMBIOS EN LAS PAUTAS DE
PENSAMIENTO: El a-
aprendizaje genuino implica modificar las
pautas de pensamiento. Establecer una
conexión puede modificar la manera que el
niño tiene de pensar sobre algo. Ej. dada la
serie de problemas 2-1= 4- 2=
6-3= el niñocalcula laboriosamente cada
2

3. respuesta. Cuandocomprende que las
combinaciones son una imágen de las
sumas dobles, que hay una relación entre
ambas operaciones, a partir de aquí ve a la
sustracción desde otro punto de vista. Ahora
ante el problema 5-3, el niño piensa ¿ 3 y qué
más hacen 5? i
4- APRENDIZAJE EFICAZ Y
UNIFORME: Se parte del supuesto de
que los chicos simplemente están
desinformados y se les puede dar
información con facilidad, puesto que el
aprendizaje por asociación es un proceso
de copia, deberían producirse con rapidez
y fiabilidad.
4- LIMITES DEL APRENDIZAJE: Dado
que los chicos no se limitan simplemente a
absorver información, su capacidad para
aprender tiene límites. A causa del proceso
de asimilación e integración hace falta mucho
tiempo para aprender la mayoría de las cosas
que vale la pena saber. Puesto que la
asimilación y la integración implican el
establecimiento de conoxiones con los
conocimientos ya existentes, el aprendizaje
significativo depende necesariamente de lo
que ya sabe un individuo determinado.Ej. un
niño puede comprender enseguida la
siguiente regla: sumar 0 a un número no
altera al número en cuestión. Como esto
encaja en su pauta de pensamiento, el niño lo
recuerda y lo emplea para resolver problemas
del tipo 5+0. La misma regla puede no tener
sentindo para un niño menos adelantado o
con menos experiencia. Puesto que la norma
no encaja con su pauta de pensamiento el
niño pasa por alto la información y no puede
resolver problemas escritos en los que
intervenga el 0.
5- CONTROL EXTERNO: El
aprendizaje debe controlarse desde el
exterior para producir una asociación
correcta o una copia verdadera. El maestro
debe moldear la respuesta del alumno
mediante el empleo de premios y castigos.
La motivación para el el aprendizaje y el
control del mismo son externos al chico.
5- REGULACION INTERNA: El
aprendizaje puede ser una recompensa en sí
mismo. A medida que su conocimiento se va
ampliando, el chico busca espontáneamente
retos cada vez más difíciles. Se suele dar
mucha importancia a la breve duración
de la atención de los niños pequeños. La
verdad es que la mayoría de ellos abandonan
enseguida las tareas que no encuentran
interesantes
6- EL CURRICULUM ELEMENTAL:
Trata la matemática como un producto
terminado que el chico debe absorber
mediante la ayuda de la enseñanza.
6- EL CURRICULUM ELEMENTAL:
Las matemáticas escolares son un proceso
orientado a estimular una mayor satisfacción
en la comprensión y el razonamiento
matemático, así como la resolución de
problemas
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4. 7- INSTRUCCION: Los métodos de
instrucción son claros, se utilizan las
explicaciones verbales o libros de texto.
Ej: el docente enseña que 7 + 3 = 10,
luego refuerza con demostraciones
escritas en el pizarrón y con ejemplos
impresos en libros. El ejercicio para
implantar el dato en la memoria.
7- INSTRUCCION: El objetivo de la misma
es ayudar al niño a construir una
representaciónmás exacta de la matemática, a
través de la participación activa utilizando
los juegos y las situaciones de la vida diaria.
8- EL PAPEL DEL MAESTRO: Tiene
un papel definido:
transmitir información.
8- EL PAPEL DEL MAESTRO: El
maestro actúa como
intermediario. Ser un maestro eficaz
requiere:
* CONOCER LA
MATERIA
* LAS TECNICAS
DE ENSEÑANZA
* Y EL NIÑO
9- QUE SE DEBE EVALUAR: Como el
punto focal de la mate mática escolar es el
dominio de datos y técnicas, el objetivo
de la evaluación es comprobar si este
dominio se ha logrado o no. La
evaluación se centra en la cantidad de
cosas que aprendió el niño.
9- QUE SE DEBE EVALUAR: La escuela
debería centrarse en el aprendizaje
significativo y en la capacidad de
comprensión además de centrarse en el
dominio de los datos básicos, por tanto la
evaluación debe orientarse a responder
preguntas tales como: ¿qué conceptos o qué
comprensión posee el niño?, ¿aborda el niño
los problemas de una manera racional o no?.
Para responder a estas preguntas con fines de
diagnóstico es importante determinar
¿cómo? y ¿por qué?, es decir el proceso
mediante el cual llega un chico a una
respuesta, ¿qué conceptos correctos o
erróneos aporta el chico para resolver la
tarea?, ¿qué estrategias utiliza?
10- SIGNIFICADO DE LOS
ERRORES: Estos indican simplemente
una deficiencia que se atribuye a factores
internos
como falta de interés, de atención,
incapacidad o aptitud escasa para las
matemáticas por parte del chico
10- SIGNIFICADO DE LOS ERRORES:
Estos pueden revelar qué conocimientos ha
aportado el alumno a un problema y cómo ha
tratado de abordarlo. Cuando los chicos se
encuentran con tareas para las que no estan
preparados recurren frecuentemente a
procedimien- tos inventados, inadecuados o
parcialmente incorrectos que producen
errores sistemáticos, estos pueden ser una
señal muy valiosa de que la enseñanza no
está en sincronía con la psicología del niño
11- ENSEÑANZA DE APOYO: El
material debe ser repasado con el
niño y este debe practicar más con él.
Si la evaluación demuestra que el niño
11- ENSEÑANZA DE APOYO: Cuando
un niño tiene dificultades de aprendizaje el
maestro debe pensar cómo puede adaptar la
enseñanza para que armonice con el niño. La
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5. está más
atrasado que sus compañeros debe repetir
o asistir al grado especial.
naturaleza de este ajuste depende del exámen
que se haga de los procesos de pensamiento
que subyacen a la conducta del chico. Insistir
en presentar a los niños problemas parecidos
a otros que no han podido resolver es poco
probable que lo ayude a subsanar sus
dificultades de aprendizaje
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6. ALGUNAS CONSIDERACIONES CON RESPECTO AL DIAGNOSTICO EN EL
AREA DE MATEMATICA
La teoría cognitiva indica que, para medir la comprensión y el pensamiento, la
evaluación no debe limitarse a puntuar lo que producen los alumnos y debe examinar los
procesos subyacentes. A su vez, el diagnóstico debe detectar las dificultades subyacentes para
que la enseñanza, en vez de volverse a repetir, se pueda adaptar a ellas. La teoría cognitiva
afirma que los errores de los chicos ofrecen indicios importantes para determinar los procesos
subyacentes y la manera de adaptar la enseñanza de apoyo.
En su mayor parte, las pruebas normalizadas comercializadas o aplicadas en las aulas
no ofrecen el tipo de información diagnóstica necesaria para planificar la educación de apoyo.
Para que una prueba sea eficaz debe ir más allá de una categorización como aptos y no aptos
o de rendimiento elevado o bajo, y ofrecer información útil para planificar la enseñanza. Para
que así ocurra debe indicar qué ha aprendido o no un alumno y por qué no se ha dado el
aprendizaje.
Para desarrollar un plan de apoyo eficaz, el docente debe formular y verificar una
teoría sobre el estado mental del chico. Para esto es necesario algo más que una simple
verificación de lo que produce. Diagnosticar significa formular hipótesis sobre una dificultad
de aprendizaje mediante un análisis del trabajo del chico o un sondeo de sus respuestas. Una
vez se ha puesto en práctica un plan de apoyo, las evaluaciones posteriores sirven para
comprobar la validez de las hipótesis. En el fondo, el diagnóstico es un proceso continuo de
resolución de problemas.
La tarea diagnóstica debe orientarse a la recopilación de datos sobre su conocimiento
informal, sus puntos fuertes y débiles concretos, la precisión y eficacia de sus técnicas,
conceptos, estrategias, y sus errores.
1- El diagnóstico eficaz debe examinar tanto el conocimiento informal como el formal. Los
chicos llegan a la escuela con unas diferencias individuales importantes en cuanto a
conocimiento matemático informal y, en consecuencia, en cuanto a preparación para aprender
la matemática formal.
Para los niños que tienen dificultades para el aprendizaje de las matemáticas escolares, es
especialmente importante evaluar el conocimiento informal que poseen. Por otra parte,
muchos chicos de bajo rendimiento académico pueden tener conocimientos matemáticos
informales que se pueden explotar para que aprendan la matemática formal. Si el maestro
observa el conocimiento informal que ya tienen los chicos, puede ayudarles a reforzar la
confianza en su capacidad para aprender matemáticas.
2- El diagnóstico eficaz detalla la pauta individual de los puntos fuertes y débiles de un niño.
El conocimiento de los puntos fuertes y débiles es crucial para una planificación educativa
eficaz, sobre todo en el caso de los chicos que tienen dificultades de aprendizaje. Por
ejemplo, una evaluación debería especificar si un chico puede leer números de una y dos
cifras pero no de tres, ofreciendo así una directriz más clara para la enseñanza o la corrección.
El conocimiento de los puntos débiles específicos de un chico permite al educador adaptar la
enseñanza, diseñar un programa de enseñanza individualizada eficaz o seleccionar
actividades complementarias útiles. El conocimiento de los puntos fuertes específicos permite
al educador concentrar de una manera más eficaz los esfuerzos educativos en los aspectos que
requieren atención. Además, los puntos fuertes de un chico pueden explotarse para ayudar a
corregir los débiles.
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7. 3- La evaluación diagnóstica debe examinar las estrategias seguidas para llegar a una
solución. La importancia de observar la conducta manifiesta de los chicos y analizar su
respuesta para calibrar métodos de solución se debe a varias razones. En primer lugar, y dado
que los chicos no suelen hacer matemáticas de manera prescrita, pude ser útil saber cómo
abordan informalmente una tarea matemática. Esto puede ayudarnos a ver cómo comprenden
los problemas y qué técnicas y conceptos formales es necesario enseñarles. En segundo lugar,
el examen de la estrategia empleada por un chico puede indicar si en realidad entiende o no
un procedimiento empleado correctamente, o incluso si usa un procedimiento correcto para
obtener respuestas correctas.
4- El análisis de los errores puede ser una importante fuente de información sobre las
insuficiencias de los conocimientos subyacentes. El análisis de los errores sistemáticos es un
medio valiosísimo para determinar qué paso de un algoritmo produce una dificultad y qué es
necesario volver a enseñar específicamente. Esto es especialmente importante cuando se
introduce un nuevo material. Un diagnóstico rápido de las deficiencias en los procedimientos
puede minimizar o evitar la práctica incorrecta de un procedimiento y el posible
establecimiento de un hábito erróneo. Además, los errores sistemáticos pueden indicar un
concepto subyacente falso o mal comprendido que es necesario corregir. Por tanto, el examen
de los errores sistemáticos es crítico para elaborar una teoría sobre el estado interior de un
niño y planificar la enseñanza de apoyo adecuada.
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8. 2-IMPORTANCIA DE LOS CONOCIMIENTOS PREVIOS
MATEMATICA INFORMAL: El paso intermedio esencial
A) El conocimiento matemático de los pre-escolares
La teoría cognitiva sostiene que los niños no llegan a la escuela como pizarras en
blanco. Las recientes investigaciones demuestran que, antes de empezar la escolarización
formal, la mayoría de los niños adquiere unos conocimientos considerables sobre contar, el
número y la aritmética. Además, este conocimiento adquirido de manera informal actúa como
fundamento para la comprensión y el dominio de las matemáticas impartidas en la escuela.
Las raíces de las aptitudes matemáticas llegan hasta la época pre-escolar y el éxito de la
enseñanza escolar se funda en este conocimiento aprendido de manera informal.
B) Desarrollo matemático de los niños
En muchos aspectos, el desarrollo matemático de los niños corre paralelo al desarrollo
histórico de la matemática: el conocimiento impreciso y concreto de los niños se va haciendo
cada vez más preciso y abstracto.
Parece ser que al igual que los seres humanos primitivos, los niños poseen algún sentido del
número. Con el tiempo, elaboran una amplia gama de técnicas a partir de su matemática
intuitiva. La matemática extra escolar o informal de los niños se desarrolla a partir de
necesidades prácticas y experiencias concretas. El conocimiento informal prepara el terreno
para la matemática formal que se imparte en la escuela. Los niños no aceptan y aprenden de
inmediato la matemática formal ya que, en general, choca con sus pautas actuales de
pensamiento.
Conocimiento intuitivo
Nociones intuitivas de magnitud y equivalencia
Durante mucho tiempo se creyó que los niños pequeños carecen esencialmente de
pensamiento matemático. Investigaciones actuales han demostrado lo contrario. Si bien el
alcance y la precisión del sentido numérico de un niño pequeño son limitados, este constituye
la base del desarrollo matemático. Cuando empiezan a andar, los niños no sólo distinguen
entre conjuntos de tamaños diferentes sino que pueden hacer comparaciones gruesas entre
magnitudes. A los dos años de edad aproximadamente, los niños aprenden palabras para
expresar relaciones matemáticas que pueden asociarse a sus experiencias concretas, pueden
comprender "igual" "diferente" y "más". Casi todos los niños que se incorporan a la escuela
deberán ser capaces de distinguir y nombrar como "más" el mayor de dos conjuntos
manifiestamente distintos (usar "menos" es más difícil y puede ser que no se aprenda antes de
la escuela). El niño que no pueda usar "más" de esta manera intuitiva puede presentar
considerables problemas educativos.
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9. Sin embargo, como los niños basan sus juicios en las apariencias, las comparaciones que
hacen entre magnitudes pueden ser incorrectas. Aunque es frecuente que el aspecto refleje
fielmente la cantidad los indicios perceptivos como el área y la longitud no siempre son
indicadores precisos de cantidad. Ejemplo: 2 bandejas con caramelos pueden ocupar la
misma superficie pero contener cantidades diferentes. La tarea de conservación de Piaget
demuestra de forma concluyente las limitaciones del conocimiento intuitivo de los niños.
Nociones intuitivas de la adición y la sustracción
El sentido del número también permite a los niños reconocer si una colección ha sido
alterada. Los niños reconocen muy pronto que añadir un objeto a una colección hace que sea
"más" y que quitar un objeto hace que sea "menos", es decir que los preescolares poseen una
base intuitiva para comprender la adición y la sustracción. Sin embargo, la aritmética
intuitiva se limita a modificaciones evidentes. Ejemplo: si al principio se colocan en un
recipiente A, 5 objetos y en otro B, 9 objetos, los niños identifican como "más" en B pero si
luego se agregan 2 en B y 4 en A, los niños piensan que en A hay "más".
Para los niños pequeños 5+4 "es más" que 9+2, porque vieron que se añaden más objetos al
primer recipiente. Evidentemente, la matemática intuitiva es imprecisa.
Conocimiento informal
Los niños encuentran que el conocimiento intuitivo no es suficiente para abordar
tareas cuantitativas. Por tanto se apoya cada vez más en instrumentos más precisos y fiables:
numerar y contar. Poco después de empezar a hablar los niños empiezan a aprender los
nombres de los números. Hacia los dos años emplean la palabra "dos" para designar todas las
pluralidades, dos o más objetos. Hacia los dos años y medio comienzan a usar la palabra
"tres" para designar "muchos" (más de dos objetos). Al etiquetar colecciones con números los
niños poseen un medio preciso para determinar "igual" "diferente" o "más". Los preescolares
incluso llegan a descubrir que contar puede servir para determinar exactamente los efectos de
añadir o sustraer cantidades, al menos si son pequeñas, de una colección.
Contar ofrece a los niños el vínculo entre la percepción directa concreta, si bien
limitada y las ideas matemáticas abstractas, pero generales. Contar coloca al número
abstracto al alcance los niño pequeño.
Pero el contar y la aritmética informal se hacen cada vez menos útiles a medida que
los números se hacen mayores.
Conocimiento formal
Es esencial que los niños aprendan los conceptos de los órdenes de unidades
de base 10. Para tratar con cantidades mayores es importante pensar en términos de unidades,
decenas, centenas, etc.
La comprensión de la notación posicional en los niños es el resultado de una lenta
evolución. Así los chicos pueden tardar bastante tiempo en ver, por ejemplo que 14 es una
decena y 4 unidades.
Los conocimientos informales como base.
La teoría cognitiva indica que los niños que acaban de incorporarse a la escuela no
son simples recipientes vacíos que deben llenarse de conocimientos.
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10. La mayoría de los chicos y aún los procedentes de familias de escasos recursos
económicos llegan a la escuela con una gran cantidad de conocimientos matemáticos
informales que reciben de la familia, la televisión, los compañeros, los juegos, etc.
La matemática informal es el paso intermedio crucial entre su conocimiento intuitivo
limitado e impreciso y basado en su percepción directa y la matemática poderosa y precisa
basada en símbolos abstractos que se imparte en la escuela. Puesto que el aprendizaje implica
una construcción a partir de conocimientos anteriores, el conocimiento informal desempeña
un papel crucial en el aprendizaje significativo de la matemática formal. La investigación
cognitiva indica que, independientemente de cómo se introduzcan las técnicas, símbolos y
conceptos matemáticos los niños tienden a interpretar y a abordar la matemática formal en
función de su matemática informal. Por lo tanto:
1- La enseñanza formal debe basarse en el conocimiento matemático informal de los niños.
2- Cuando la enseñanza formal se introduce con demasiada rapidez y no se basa en el
conocimiento informal, el resultado es un aprendizaje memorístico y/o la aparición de
dificultades de aprendizaje.
Lagunas entre la matemática formal y la informal
Muchos niños tienen dificultades para comprender y aprender la matemática formal
porque no pueden establecer una conexión entre el simbolismo formal y su matemática
práctica y cotidiana. Puede ocurrir que ni las demostraciones con objetos concretos, no los
ejemplos con dibujos o con símbolos formales estimulen su asimilación si los niños no
pueden ver su relación con su conocimiento matemático informal.
Implicaciones educativas
La enseñanza significativa de la matemática tiene en cuenta la matemática informal de
los chicos y se basa en ella. Esto implica ayudar a los chicos a ver cómo los símbolos y
procedimientos formales se conectan con su conocimiento matemático práctico y lo
potencian. Por lo tanto es necesario:
1- Desarrollar una base sólida (comprensión informal) antes de introducir símbolos escritos.
Antes de abordar tareas escritas, los niños necesitan un período prolongado de tiempo con
objetos y problemas concretos para poder desarrollar una comprensión del número, las
operaciones aritméticas, los principios matemáticos y los órdenes de unidad. Muchos chicos
tienen una cierta incomprensión concreta del número, la adición y la sustracción cuando
empiezan a ir a la escuela. Se les debería estimular a proseguir con su matemática informal
para descubrir relaciones matemáticas importante aunque, al mismo tiempo se introduzcan
tareas escritas. Para los chicos con poca o ninguna comprensión informal del número y de la
aritmética -sobre todo los que tienen carencias ambientales y los de educación especial-
puede hacer falta mucho cuidado y mucho tiempo para rezorfar estos conceptos
fundamentales.
2- Ayudar a los niños a ver que el simbolismo formal es una expresión explícita de su
conocimiento informal. Para ayudar a los chicos a ver la conexión entre la matemática formal
y su conocimiento informal, indicarles cómo los símbolos matemáticos abarcan y resumen lo
que ya saben.
3- Organizar la enseñanza formal para aprovechar el conocimiento informal de los chicos. La
organización del currículum debería tener en cuenta la matemática informal de los niños
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11. 3- LA CONSTRUCCION DEL CONCEPTO DE "NUMERO"
Desde una postura constructivista se parte de la idea de que "los conocimientos
matemáticos cobran significado, toman sentido en los problemas que permiten resolver
eficazmente", es en principio, hacer aparecer las nociones matemáticas como
herramientas para resolver problemas lo que permitirá a los alumnos construir el
sentido. Recién después estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas.
En este sentido los números no se "presentan" uno tras otro. Se plantean problemas a
los niños que ellos enfrentarán con los recursos de los que disponen. Cuando los alumnos
tienen cierto dominio sobre las situaciones, pueden producir soluciones utilizando distintos
procedimientos, recién entonces están en condiciones para enfrentar el aprendizaje de las
reglas de escritura. Se considera que para progresar en los aprendizajes numéricos los
alumnos tienen que enfrentar problemas que comprometan cantidades sin necesidad de iniciar
el proceso con actividades prenuméricas. La función de las llamadas actividades
prenuméricas en la génesis del número está lejos de ser evidente en la medida en que la
actividad en niños preescolares y de primero y segundo grado queda muy acoplada al
contexto en que se ejerce y que las capacidades de transferencia son muy reducidas. Dichas
actividades pueden ser interesantes para el desarrollo del pensamiento lógico del niño, como
situaciones de tratamiento de la información, etc. pero no deben ser pensadas como pre-
requisito o sustitutas del problema numérico.
La hipótesis central de este enfoque es que resulta vano definir, componer, simbolizar
los números fuera de un contexto de utilización de los mismos. Al contrario, es a través del
uso que se haga, del dominio que se construya que el alumno elaborará sus propias
concepciones del número, no definitivas, siempre en evolución, completadas o cuestionadas
con la extensión del campo numérico que conoce, con el descubrimiento de nuevas
posibilidades de utilización, con el avance en las capacidades de calcular y mucho más tarde
con el descubrimiento de la existencia de otra clase de números.
Desde esta perspectiva el rol del maestro consiste en proponer a los niños situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que los designan se
impregnen de sentido. Estos números que los niños han así comenzado a utilizar pueden ser
"aprovisionados" buscando comprender sus escrituras cifradas, sus denominaciones orales,
ciertas relaciones entre ellos, etc.
Si estamos planteando que los niños deben poder captar el sentido de los números
funcionando como respuesta a problemas, nos tenemos que preguntar, desde una perspectiva
didáctica:
* ¿PARA QUE SIRVEN LOS NUMEROS?
* ¿CUALES SON LAS FUNCIONES DE LOS NUMEROS QUE LOS
ALUMNOS DE PREESCOLAR Y DE LOS PRIMEROS
GRADOS PUEDEN RECONOCER Y UTILIZAR PARA COMPRENDER
EL SIGNIFICADO?
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12. Consideremos la siguiente situación: En una esquina del aula hay muñecas, por
ejemplo una docena y se las quiere vestir. El ropero está en la otra esquina de la clase. Cada
alumno debe ir a buscar en un solo viaje, justo lo que sea necesario que no sobre ni falte, para
vestir a todas las muñecas. El problema es entonces guardar la memoria (o el registro) de la
cantidad de muñecas que se deben vestir. Varias solucioenes son posibles, por ejemplo:
construir (realizar, dibujar...) una cantidad equivalente por correspondencia término a término
o utilizar el conteo de las muñecas y recordar solamente el último número pronunciado.
Esta es sin duda, la primer función del número que puede apropiar el niño: el número
es primero "LA MEMORIA DE LA CANTIDAD", la posibilidad de evocar una cantidad
sin que esté presente.
El número es también un buen recurso para guardad "LA MEMORIA DE LA
POSICION" que permite recordar el lugar ocupado por un objeto en una lista ordenada, sin
tener que memorizar toda la lista.
Se reconocen así los dos aspectos del número: CARDINAL Y ORDINAL.
Veamos otra situación: En una caja puse hace rato 7 cubos y uno de tus compañeros
acaba de poner otros 4 cubos. Quiero saber ¿cuántos cubos hay en la caja sin abrirla?. Esta
situación pone en evidencia una segunda función del número: RECURSO PARA
ANTICIPAR que se refiere a la posibilidad que dan los números de anticipar los resultados a
propósito de situaciones no presentes, aquí no visibles, o aún no realizadas, pero sobre las
cuales se posee ciertas informaciones. Varias soluciones son posibles: Ejemplo: en el caso de
la situación evocada contar con los dedos, dibujar y contar, sobrecontar (contar a partir de ...)
7 ...8, 9, 10, 11, en la "cabeza" o con los dedos, utilizar un resultado memorizado 7+4=11 o
reconstruirlo a partir de un resultado conocido 7+3=10, 10+1=11.
Hemos redefinido la idea de número con la que vamos a plantear nuestra propuesta
pedagógica. Hemos descrito situaciones que los niños pueden enfrentar con los recursos de
los que disponen y este modelo impone como necesidad y exigencia conocer los recursos de
los niños para poder partir de ellos y para ser capaces de hacerlos evolucionar. Esto nos lleva
a plantearnos la siguiente pregunta:
¿QUE SABEN LOS NIÑOS?
Los niños tienen a menudo desde el jardín, conocimientos numéricos que pueden ir
desde la simple capacidad de recitar algunos números hasta la posibilidad de resolver algunos
problemas utilizándolos. No se puede negar la existencia de tales conocimientos a pesar de
que son muy diferentes de un niño a otro, son frágiles e inestables y a menudo están poco
disponibles.
Es necesario evitar toda ruptura entre la experiencia cotidiana y extraescolar que
tienen los niños sobre los números y las actividades orientadas a la comprensión del sistema
de numeración posicional.
En la actualidad se busca conocer y recuperar los procedimientos y las nociones que
les permiten a los niños tener éxitos locales, provisorios y lábiles pero que son a la vez, el
camino que conduce a las certezas y a las nociones firmemente establecidas.
En este sentido, el rol del conocimiento de la serie numérica y el conteo, que había
sido devaluado, recupera su importancia en tanto es una herramienta fundamental para
abordar los primeros problemas y en tanto es posible mostrar (y observar) que los niños
tienen un conocimiento de la serie numérica pero necesitan avanzar (y la escuela tiene un rol
a cumplir) tanto en la extensión de la herramienta como en la conciencia de los recaudos que
hay que tomar para su utilización eficaz.
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13. Los sistemas numéricos: las ideas de los chicos
En muchos casos los chicos cometen errores que solamente son explicables a partir de lo que
ellos están pensando sobre los sistemas numéricos. Es preciso tener en cuenta también que no
se aprende alo de una sola vez, porque el que aprende tiene que realizar ajustes sucesivos
entre aquello que creía, entre las primeras ideas que tenía sobre un conocimiento o las que va
creando y la situación planteada.
La posibilidad que las ideas de los chicos evolucionan está influida por el trabajo del docente,
quien debe aportar a los alumnos diversas y variadas situaciones para que ellos puedan
utilizar y aplicar esos conocimientos y poner a prueba sus ideas. No alcanza una sola cuenta,
un solo problema para aprender un conocimiento.
Comprender las reglas de nuestro sistema de numeración significa conocer cómo funciona,
qué elementos lo componen, qué reglas lo regulan. Esto no implica que los chicos puedan
enunciar estas reglas del mismo modo que lo hacen los adultos y menos aún que las
“estudien” para decirnos “que nuestro sistema esta construido en base 10”.
Lo que podrán hacer es operar con esas reglas, progresivamente y poco a poco, aun sin saber
lo que están haciendo.
Cuando un chico escribe el veinticinco así: 205, es porque cree que se escribe igual que como
se dice, es decir, veinte (20) cinco (5). Esto no significa que la enseñanza o el aprendizaje
estén siendo un fracaso, sino que este chico debe atravesar por muchas situaciones más de
encuentro con los números, de correcciones, de comparaciones con la forma de escribir de
sus compañeros, etc. Para seguir aprendiendo. Es un error que nos dice algo acerca de cómo
está pensando el sistema de numeración. Es un error que le sirve al chico para seguir
aprendiendo.
Las reglas de nuestro sistema de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglar para combinarlos.
Revisaremos las reglas de nuestro sistema de numeración para saber qué es lo que los chicos
debieran incorporar para poder operar con él. Se verá que en los distintos momentos de la
evolución, los niños van comprendiendo y aplicando algunas de estas reglas, pero otras no,
hasta lograr el dominio completo.
Los símbolos
1. El sistema está compuesto de diez signos que, combinados de determinadas maneras,
pueden representar cualquier número.
2. Hay estabilidad entre signos y números, es decir, a cada número le corresponde uno y
sólo un signo (combinación de signos) y cada signo (o combinación) representa uno y
sólo un número.
Las reglas
3. Es un sistema en base 10, es decir, cada unidad de un orden equivale a 10 del orden
anterior
4. Es posicional, es decir, según el lugar que ocupe la cifra en el número, representa un
valor distinto.
5. Se escribe en orden decreciente de izquierda a derecha: las cantidades mayores a la
izquierda y las menores a la derecha.
Algunas características derivadas de lo mencionado antes son:
6. Incluye al cero
7. Entre dos números de distinta cantidad de cifras, es mayor el que tiene más.
8. Entre dos números de la misma cantidad de cifras, es mayor el que tiene a la izquierda
el número más alto.
13

14. Proceso de construcción de ideas acerca de las reglas de nuestro sistema de numeración
Las ideas que siguen son ejemplos concretos de cómo estas ideas que los chicos “no saben
que saben”, se muestran en la forma en que escriben los números y en cómo ellos justifican lo
que escriben y leen.
A. Número mayor es aquel que contiene más cifras
En cierto momento, aproximadamente a los 6 años, los niños sostienen acertadamente, que de
dos números con distinta cantidad de cifras, es mayor aquél que más tiene.
Entrevistador Jonathan
“(…)
¿Y éste (10005), entonces? Es otro número
¿Y es más o menos que 1005? Es más
¿Cómo te das cuenta? Porque tiene más números,
tiene un cero más
¿Los que tienen más números
son más grandes? Sí
Este criterio funciona aun cuando los chicos no sepan de qué número se trata y tampoco
puedan nombrarlo.
Por eso si les damos números de distinta cantidad de cifras, pueden ordenarlos de mayor a
menor sin dificultad. Ejemplo: 2534-673-87-9
Algunos no pueden aplicar esta idea a todos los casos. Sostienen, por ejemplo que 89 es más
que 112 porque 8 y 9 son más que 1,1 y 2.
Otros dicen que 89 es mayor que 112 porque los suman de este modo:8 + 9=17 y 1+1+2=4,
entonces 17 es más que 4
UNA IDEA QUE CONSTRUYEN LOS CHICOS AL PRINCIIO: ENTRE DOS O MÁS
NUMEROS, ES MAYOR EL QUE CONTIENE MÁS CIFRAS
B. El que manda es el primero
¿Qué pasa cuando los números contienen la misma cantidad de cifras?
Las respuestas a esta pregunta dependen del momento en que se encuentre el chico. Las
respuestas más elementales toman en cuenta el valor sumado de las cifras:
Por ejemplo:
29 es mayor que 33 porque 2+9=11 y 3+3=6
Otros escogen indistintamente una cifra u otra, o la mayor
29 es mayor que 33 porque tiene un 9
Pero en un nivel más avanzado los niños comparan la cifra de la izquierda de ambos números
y aseguran, correctamente cuál es el mayor.
“Lucila (5 años) después de afirmar que 21 es mayor que 12, lo justifica así: “porque el uno
(en 12) es primero y el dos es después; porque (en 21) el dos es primero y el uno es después”.
Estos chicos ya saben que existe un valor diferencial de las cifras según la posición que
ocupen en el número. Sin embargo esto de ninguna manera significa que comprende que el
primer número en 21 ó en 21 representa a las decenas. Son capaces de ordenar números de
distinta o igual cantidad de cifras. Si no pueden, es porque todavía no han logrado construir
14

15. estas ideas.
OTRA IDEA: CUANDO DOS NÚMEROS CONTIENEN IGUAL CANTIDAD DE
CIFRAS, ES MÁS GRANDE EL QUE TIENE MAS ALTO EL NUMERO DE LA
IZQUIERDA
C. Los nudos
Los nudos son, en casi todos los casos, las potencias de 10 (100, 1000, etc) y luego la
multiplicación de estos números por 2, 3, 4,…9, es decir: 200, 300, 400, ó 2000, 3000, 4000,
etc.
Los chicos no aprenden a escribir los números siguiendo la serie numérica. Existen nudos que
manejan antes que otros números ubicados entre nudos. Por ejemplo, son capaces de escribir
correctamente 1000 antes que 108.
Expermentador Christian Rubén
“(…)
¿y cómo escribirían Ah, no, yo lo puedo escribir
Uds. el cien? bastantes veces el cien
¿Cómo es? Un uno (lo escribe)
y dos ceros.
(escribe 100) (los escribe)
¿Y el doscientos? Yo no lo sé escribir Acá está el doscientos
(escribe 200)
¿Y el trescientos? Voy a escribir todos los (Escribe 300)
Números desde el cien hasta
Donde se termina el cien
100 100 200
Cien ciento ciento
uno dos
Como podemos ver, Rubén parece haber comprendido el sistema de notación de nuestro
sistema numérico. En cambio, Christian conoce el nudo de los 100 (también sabe escribir
correctamente el 1000), pero escribe el ciento uno y el ciento dos creyendo que la primera
cifra indica las unidades. En realidad, no comprendió aún el sistema posicional, aunque sabe
que la posición de las cifras es relevante en el sistema; sólo va construyendo ideas parciales
que le permiten escribir los distintos números.
Notemos que escribe el cien y el ciento uno con la misma cifra, es decir, 100.
En el extracto que sigue de la entrevista a Christian podemos destacar dos aspectos:
1. en qué medida las respuestas de los alumnos le permiten al docente generar una
discusión crítica entre los chicos con el fin de que en el debate aparezcan diferentes
posturas y se llegue a determinadas conclusiones, según sus posibilidades.
2. qué respuestas da Christian a la intervención.
15

16. Entrevistador Christian
(…)
Este (marcando el primer número
Escrito por Christian)
¿Es el cien? Sí
¿Y cuál es el ciento uno? Este (marca su segundo número 100)
¿Y es igual que éste
(Señalando el primero) Sí… no, porque éste (Señalando el primer
100) tiene el cero más chiquito,
y éste (marcando el segundo)
tiene el cero más grande
LOS NUDOS, GENERALMENTE LAS POTENCIAS DE LA BASE, SE APRENDEN
A ESCRIBIR ANTES QUE LOS NUMEROS ENTRE NUDOS
La intervención del entrevistador no desacredita las ideas de Christian; tampoco trata de
imponer ningún conocimiento. Se limita a destacar lo que aparece como una contradicción o
incompatibilidad. A partir de destacar ante el chico la contradicción, logra que Christian
busque nuevas ideas para resolver dicha incompatibilidad.
La respuesta de Christian reconoce la incompatibilidad. Evidentemente sabe que en nuestro
sistema no existe una misma cifra para representar dos números; cada cifra representa uno y
sólo un número. Si no lo supiera, no encontraría incompatible el escribir “100” para cien y
para ciento uno. Por otro lado, Christian busca nuevas ideas para resolver la incompatibilidad.
D. El efecto de decir los números
Muchas veces los niños, desde temprana edad, reproducen por escrito los números tal como
los entienden por haberlos escuchado. Por ejemplo, algunos escriben 107 ó 108 cuando
desean escribir en realidad 17 ó 18 . es que escuchan:
Dieci siete dieci ocho
10 7 10 8
O el setecientos veinticinco lo escriben
70025
Y el mil ochocientos treinta y dos
1000800302
¿Por qué ocurre esto? Porque, a diferencia de la numeración escrita, la numeración hablada
no es posicional. Expliquémoslo.
Si leo 45.893, digo: cuarenta y cinco mil ochocientos noventa y tres, que, traducido en
números sería:
40 y 5 1000, 8 100, 90 y 3 algo así como:
(40 + 5) x 1000 + (8 x 100) + 90 + 3
lo que los alumnos hacen es aplicar lo que reconstruyen de lo escuchado y, a través del
aprendizaje, deberán contrastar esto con el sistema escrito, que se rige por leyes de la
posición.
Si habláramos también “posicionalmente”, aquel número se diría: cuatro, cinco, ocho, nueve,
tres.
16

17. Es muy común que un mismo niño reproduzca de este modo “hablado” ciertos números,
mientras escribe otros de diferentes maneras, en algunos casos correctos, es decir, de acuerdo
con la convención posicional.
Generalmente los alumnos escriben bien los números de dos o tres cifras (a medida que
recuerdan cómo se escriben) y reproducen las formas habladas para los de más cifras; o bien
de una manera para los números que expresan cantidades menores (123, 45, 248) y de otra
para los mayores (80093, 90051 por ochocientos noventa y tres y novecientos cincuenta y
uno, respectivamente)
Es importante trabajar con los chicos sobre estas diferencias entre la manera de “decir” los
números y la de escribirlos. Esta confusión nos permite comprender muchos de los errores
que cometen para poder ayudarlos a que los superen.
EN NUESTRO SISTEMA NUMERICO LOS NUMEROS SE DICEN
ADITIVAMENTE Y SE ESCRIBEN POSICIONALMENTE, DE AHÍ QUE LOS
CHICOS TIENDAN EN UN COMIENZO A ESCRIBIRLOS TAMBIEN
ADITIVAMENTE
Unidades, decenas, centenas... ¿qué entienden los niños?
Si reconocemos que el sistema de numeración es un objeto de conocimiento muy
complejo, deberemos reconocer también que su comprensión no puede lograrse simplemente
a través de explicaciones acerca del valor de las decenas o las centenas.
Para nosotros -los adultos- toda parece muy fácil, porque ya hemos reconstruido los
principios que rigen nuestro sistema de numeración. Sabemos que se trata de un sistema que
ha adoptado la base 10 pero que, sin embargo, no representa explícitamente las sucesivas
agrupaciones en esa base: la escritura de un número cualquiera no "dice" que el número
colocado en el lugar de las decenas debe multiplicarse por 10 para conocer su valor; tampoco
"dice" que el número colocado en el lugar de las centenas debe multiplicarse por 100. En
nuestro sistema, las potencias de la base no aparecen explícitamente representadas, el único
indicador que se nos provee para saber por qué potencia debemos multiplicar cada cifra es la
posición que ella ocupa en relación con las demás.
A la humanidad le llevó muchos siglos inventar un sistema de numeración como éste,
un sistema que es muy económico, porque permite escribir cualquier cifra utilizando sólo
diez símbolos. Pero justamente porque es tan económico, puede resultar bastante misterioso
para aquellos que están buscando pistas que les permitan reconstruir sus principios.
No es fácil crear situaciones de aprendizaje que resulten significativas para los niños.
No es fácil porque no se saben cuáles son las ideas que los niños elaboran acerca del sistema
de numeración, cuáles son los problemas que ellos se plantean al tratar de comprenderlo. Es
posible que las respuestas que ofrecemos cuando enseñamos "unidades, decenas y centenas"
no correspondan a ninguna pregunta que los niños se hayan formulado y que ésa sea la causa
de que el aprendizaje de estas nociones no resulte significativo ni operativo.
El cero y el valor posicional
La historia de los sistemas de numeración inventados por la humanidad puede
ayudarno a comprender el problema que los niños se plantean con respecto al cero. La
invención de éste número fue muy tardía en la historia dado que su existencia se hace
necesaria sólo en el interior de un sistema posicional, donde el valor de cada cifra se define
en función del lugar que ocupa.
17

18. Si pensamos en un sistema de numeración como el romano -que no es posicional, sino
aditivo- comprenderemos que en su interior el cero no resulta imprescindible porque las
potencias de la base 10 están representadas por símbolos particulares (X,C,M) y lo mismo
ocurre con las potencias de la base auxiliar 5 que este sistema utiliza (V,L,D).
Flegg (1984) sostiene: "a la gente le costaba entender cómo un símbolo que no representaba
nada, colocado al lado de una cifra, multiplicaba repentinamente por 10 el valor de dicha
cifra". Parece que no fue fácil comprender esto para los adultos que no habían participado en
la invención de sistemas posicionales y que tampoco lo es para los niños. Los niños están en
permanente contacto con el sistema posicional, pero para comprenderlo acabadamente
necesitan reconstruirlo, necesitan descubrir los principios que lo rigen.
18

19. 4- RESOLUCION DE PROBLEMAS
Es un núcleo central de la actividad matemática. Se busca que los alumnos construyan
conocimientos que les permitan resolver problemas. Al mismo tiempo se constata que
alumnos que supuestamente "saben" algo no son capaces de utilizarlo a la hora de enfrentar
problemas ante los cuales ese conocimiento es útil. De algún modo, esos conocimientos,
carecen de significado. La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces
¿cómo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno?
El alumno debe ser capaz no solo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en
situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos
problemas. Y es en principio, hacer aparecer las nociones matemáticas como herramientas
para resolver problemas lo que permitirá construir el sentido.
Brousseau plantea: si no hay problemas, no hay matemática. Pero si hay problemas,
no está toda la matemática. Los alumnos también tienen que ser capaces de formular
preguntas, de inventar problemas. En general las preguntas las hacen los maestros, los niños
responden. Sin embargo, una parte fundamental de la actividad matemática consiste en
formularse preguntas.
La actitud de los alumnos frente a las situaciones problemáticas
En la resolución de problemas los alumnos deberán:
-buscar, reflexionar, es decir aceptar el hecho de que resolver un problema no es siempre una
tarea fácil, que puede tomar tiempo e incluso no terminarse en una clase.
-producir una solución, que puede ser distinta de las de otros compañeros.
-dejar, si es posible, registro de lo que han hecho y obtenido
-justificar, ensayar, explicar lo que han hecho
-validar su solución.
Se trata, que los alumnos sepan que pueden:
-tomar iniciativas personales
-hacer ensayos, recomenzar
-ir a buscar y utilizar materiales, hacer dibujos, usar la banda numérica. La maestra puede, sin
embargo, para ciertos problemas, plantear restricciones sobre algunos de estos puntos para
favorecer o limitar determinados procedimientos a recursos.
19

20. La actitud del docente frente a las situaciones problemáticas
Cuando los alumnos están trabajando ante un problema, la maestra debe darle el
tiempo necesario. Su rol es el de observar los procedimientos empleados y las dificultades
encontradas, previstas o no, animar a los grupos que están detenidos, relanzar la actividad o
continuar en otro momento si una síntesis en ese momento parece demasiado precoz.
En el momento de la puesta en común, el docente organiza la confrontación de lo que
piensan los alumnos, precisa en que condiciones puede intervenir cada uno para explicar su
solución, para preguntar, para contestar. En este debate relativo a los resultados la maestra
ayuda en las reformulaciones pero, en general, sin poner en evidencia una única solución que
resultaría valorizada. Una conclusión de esta naturaleza tendría que ser producto de un
trabajo en el que también los alumnos están involucrados. Sin embargo llegan momentos de
síntesis del trabajo en que algunos aspectos queden definidos como logros y empiezan a
poder ser requeridos
Los procedimientos de los alumnos
Para un mismo problema y en una misma clase los procedimientos que utilizan los
alumnos serán sin duda muy diversos. Es una dificultad para el docente al mismo tiempo que
una riqueza pedagógica. Los intercambios, las explicaciones, las protestas de los alumnos así
como el recurso a la imitación de lo que hacen sus compañeros son un factor de progreso para
los alumnos. El pensamiento de cada uno se construye en la confrontación con los demás.
La dificultad se acrecienta aún más al constatar que incluso para un mismo alumno los
procedimientos elaborados son a menudo frágiles, inestables, muy dependientes de la
situación propuesta y poco transferible.
Así, en una situación aparentemente cercana de una situación ya encontrada un
alumno dará la impresión de regresión, no reutilizará necesariamente una solución que ya
probó con éxito, sino que la reconstruirá totalmente. El dominio de un procedimiento
particular, el reconocimiento de su eficiencia en tal tipo de situación se construye en un
tiempo largo alternando fases de resolución de problemas y fases de ejercitación más
sistemática, en particular para los procedimientos reconocidos como importantes. Un tiempo
largo, porque está muy presente la idea de "tema dado" eventualmente en 1 ó 2 horas de clase
y si las situaciones que proponemos son asimiladas a esta idea no van a producir los efectos
que declaramos. Los niños necesitan muchas oportunidades de volver sobre un problema, de
reafirmar sus procedimientos, de socializar los que han encontrado.
Para llevar adelante un trabajo así, el maestro necesita tener representación de los
procedimientos de los niños y debe ser capaz de reconocer una jerarquía de los mismos.
20

21. Conocer los procedimientos es fundamental, pero el desafío más fuerte es poder
provocar que los alumnos evolucionen en el nivel de procedimientos que utilizan. Estamos
convencidos de la importancia de proveer a los alumnos de oportunidades de enfrentar los
problemas con sus recursos, de buscar un camino personal hacia la solución para a la vez es
necesario que los alumnos avancen en sus procedimientos y que todos lleguen a dominar los
procedimientos "expertos", aquellos que el maestro (y la comunidad) reconocen como los que
permiten dominar la situación cualquiera sea el campo numérico o la dimensión con que esté
planteada.
Es posible distinguir en las soluciones a problemas dadas por los niños dos grandes
polos:
-el polo de las soluciones que apelan a una representación figurativa de la situación por
las cuales los alumnos simulan lo real mentalmente (el niño no encuentra ninguna operación
vinculada al problema pero se construye una representación del problema en función de la
cual puede elegir el procedimiento, ejemplo: descontar 8 de 45, de 1 en 1, ayudándose con los
dedos, o dibujándolo, o podría ser con objetos (dibuja 45 marcas, tacha o borra 8 y cuenta las
que quedan).
-el polo de las soluciones que apelan a una representación matemática de la situación en
las cuales los alumnos plantean de algún modo el problema en una ecuación para poder
trabajar en el nivel de los números (...+8=45) o bien lo reconoce como problema de resta (45-
8) y lo realiza mentalmente o por escrito.
El pasaje del primero al segundo polo se acompaña frecuentemente de un cambio en
las técnicas utilizadas: en el primer caso, los alumnos utilizan las que provienen del conteo,
en el segundo caso fundamentalmente son utilizadas técnicas de calculo.
El pasaje de un polo a otro es frecuentemente lento, raramente definitivo para un
alumno y nunca simultáneo para todos los alumnos. Esta observación implica muchas
consecuencias:
-Hay que aceptar e incluso favorecer en la clase la pluralidad de procedimientos de resolución
de problemas porque no solo anima a los alumnos a elaborar su propia solución sino que
puede ser fuente de progreso, de aprendizaje a partir de las confrontaciones que se pueden
organizar entre ellos.
-Aceptar también que para situaciones aparentemente análogas, algunos alumnos dan la
impresión de retroceder. El aprendizaje está lleno de dudas, de retrocesos, de aparentes
detenciones hasta que las adquisiciones se estabilizan.
-Una exigencia precoz de formalización de las operaciones (reconocimiento del cálculo a
efectuar y producción de la escritura matemática correspondiente) puede ser una fuente de
obstáculos para muchos alumnos que van a tratar de producir la escritura matemática
directamente a partir del enunciado apoyándose en palabras claves,
y producirán 45+8, sin involucrarse en la fase esencial de tratar de comprender la situación
propuesta.
-El medio del que dispone el docente para favorece el pasaje de un polo a otro es
fundamentalmente ir variando las situaciones que les propone a los alumnos (para los
problemas aditivos y sustractivos el "tamaño" de los números es una variable decisiva) lo
cual va a ir exigiendo nuevos procedimientos y mostrando los límites o la inutilidad de los
anteriores.
Otra herramienta de la que dispone el docente es organizar los intercambios y las discusiones
entre los alumnos, así como asegurar la difusión de los "hallazgos" de los alumnos entre
todos. Llegan momentos en el trabajo en el que ciertos procedimientos y, particularmente,
ciertas formas de escritura matemática se "oficializan".
21

22. 22

23. 5- ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA SUMA
Casi todos los niños que llegan a la escuela han tendio experiencias informales
suficientes para comprender que la adición es un proceso aumentativo y que la sustracción es
un proceso diminutivo. Muchos niños (según lo demuestran las investigaciones), de cuatro
años y la mayoría de los de cinco años pueden resolver problemas del tipo 1 + N (con N hasta
5). Más aún, cuando empiezan la escuela la mayoría de los chicos poseen una soltura
suficiente con las relaciones entre un número dado, el que le precede y el que le sigue, para
determinar mentalmente y con rapidez las sumas N + 1 (con números hasta 5) y las
diferencias N - 1 (con N hasta 5). Por esto es necesario:
1. Hacer que se adquiera soltura con los procedimientos informales de la adición.
2- Emplear un modelo aumentativo para introducir la adición de manera significativa. Para
algunos niños, sobre todo los de bajo rendimiento, puede ser más útil presentar la adición con
un modelo aumentativo, que es psicológicamente más basico, que como la unión de dos
conjuntos.
3- Empezar con problemas de números pequeños; introducir problemas con números mayores
poco a poco y con cuidado. La enseñanza inicial de la adición debería basarse en sumandos
pequeños (del 1 al 5) que se puedan manejar fácilmente con métodos concretos. Es mejor
introducir problemas con números mayores cuando los niños ya pueden usar con soltura
procedimientos concretos con números pequeños.
4- Prever la necesidad de un período largo para el cálculo y el descubrimiento. Si a los niños
se les da la oportunidad de emplear objetos para calcular sumas, suelen inventar
procedimientos mentales a su propio ritmo.
Algunos niños, sobre todo los de bajo rendimiento tienen problemas, pueden seguir
basándose en procedimientos concretos durante mucho tiempo. Es importante dar a estos
niños la oportunidad de construir procedimientos de invención propia tienen más significado
para ellos. Para facilitar el aprendizaje de procedimientos mentales, el maestro debería crear
muchas oportunidades para que los chicos realicen descubrimientos por su cuenta. Una
manera interesante de alcanzar este objetivo es jugar a juegos con dados por ejemplo.
En el apartado relativo a "¿cuáles son las funciones de los números que los alumnos
de los primeros grados pueden reconocer y utilizar para construir el significado?" nos
referimos a la posibilidad que dan los números de anticipar los resultados a propósito de
situaciones no presentes a aún no realizadas, pero sobre las cuales se poseen ciertas
informaciones.
En los niños es necesario que se vaya dando un proceso paralelo en el que construyen
herramientas como respuestas a problemas, van encontrando y utilizando maneras de
comunicar sus procedimientos y resultados y además empiezan a confiar en lo que obtienen
por estos medios. Un ejemplo que podríamos dar, aunque no involucra el cálculo, es que a los
5 ó 6 años, muchos chicos, si quieren mandar un mensaje para comunicar una cantidad, 7 por
ejemplo, escriben 1,2,3,4,5,6,7. Todavía no "confían" en que 7, sea suficiente para comunicar
esa cantidad. Lo mismo sucede con los cálculos tanto a nivel del resultado cono en la
interpretación y producción de escrituras matemáticas.
Diversas investigaciones han mostrado que aun cuando los niños "conozcan" la
representación convencional de lo números y aun cuando estén resolviendo cotidianamente
cuentas en la escuela, ellos llevan a cabo un verdadero proceso de reconstrucción.
23

24. Hace ya muchos años, G. Sastre y M. Moreno (1972) pusieron en evidencia que los
niños se centran inicialmente en la representación del resultado de las operaciones realizadas,
que sólo más tarde comienzan a representar los "términos" de la suma y la resta, y que los
signos "más" y "menos" son los últimos en aparecer en la representación infantil. Los
estudios de estas autoras mostraron igualmente que, antes de reconstruir el valor inclusivo del
número en el plano de la representación gráfica -es decir, antes de poder representar el
número 5 sólo con el numeral 5- los niños establecen una correspondencia término a término
entre los numerales y los objetos representados, produciendo escrituras como: 1-2-3-4-5. Para
estos niños, un conjunto de 5 elementos no puede representarse con un solo numeral, es
necesario escribir tantos numerales como objetos hay
en el conjunto.
Posteriormente los trabajos de A. Sinclair (1988) mostraron que algunos niños
repetían el mismo numeral tantas veces como objetos querían representar. Por ejemplo, para
representar un conjunto de 5 objetos, escribían 5 5 5 5 5. Esta conducta es probablemente
intermedia entre la necesidad de reproducir la serie numérica hasta el último objeto contando
(1-2-3-4-5) y la representación del conjunto con un único numeral (5): estos niños ya saben
que, si hay 5 objetos, el único número que debe escribirse es 5, pero necesitan todavía
establecer la correspondencia término a término con los objetos que constituyen el conjunto
representado.
Con mucha frecuencia, en primer grado, se enseña a los alumnos tempranamente las
operaciones y las notaciones (2+3=5), a veces en paralelo con la presentación de los números,
con la idea de que después los utilizarán para resolver pequeños problemas. La aparición de
los problemas a veces se retrasa tanto que es posible ver cuadernos de primer grado en los
que hasta octubre o noviembre no hay ninguno. Las operaciones y las notaciones así
enseñadas no se justifican más que a posteriori ..., los alumnos, de este modo, muy
difícilmente podrán darle sentido al inicio.
Aquí, lo que estamos proponiendo es que se les planteen a los alumnos problemas de
adición o de sustracción desde el inicio, antes de la introducción "formal" de dichas
operaciones, dando a los niños la oportunidad de resolverlos con los medios que dispongan o
elaboren.
La idea es que la escritura matemática, aparezca como herramienta para expresar algo
que los niños ya saben hacer. Es necesario que los alumnos ya tengan una representación de
la situación y del significado de lo que obtienen para que puedan otorgarle significado a la
escritura y enfrentar las dificultades específicas del aprendizaje de la representación escrita.
Ahora bien, preguntémonos:
¿qué involucra saber sumar?
¿qué conocimientos?
¿qué aprendizajes?
¿los niños aprenden la operación de adición, resolviendo gran variedad de sumas escritas?
Vamos a partir de un ejemplo que consiste en una prueba diagnóstica hecha a niños
que están terminando primer grado y han trabajado desde principio de año con cálculos
escritos.
Se le entrega a cada niño un papel con la siguiente suma: 2+3= y se le pide que la
resuelva. Luego se le dan 10 chapitas o fichas, pidiéndole que muestre con las fichas lo que
hizo con los números.
Algunas preguntas posibles son:
¿dónde está lo que hiciste con los números?
24

25. ¿dónde está lo que dice la cuenta?
La mayoría de los chicos señala 2 chapitas, luego 3 y muestra luego las 5 restantes,
señalando que son esas las que corresponde a las 5 que escribió como resultado.
Una menor cantidad de chicos incluyó las cantidades parciales en el total.
Los chicos de 6-7 años, en general, interpretan esta cálculo escrito como si las tres
cantidades fueran del mismo nivel. Pero no las ven relacionadas jerárquicamente entre sí.
Porque implica varios niveles de comprensión:
1) El niño debe formar mentalmente la cantidad (dos) y luego otra (tres); en otras
palabras: construir los números mediante su propia acción mental sobre los objetos.
2) Debe construir mentalmente la operación que hay que hacer con las dos cantidades
(establecer una relación de adición entre ambos números).
3) Debe formar una totalidad que incluya a las anteriores (totalidad 5 como resultado
de la operación) y que en cierto sentido haga transformar a las cantidades previas, aunque
éstas sigan existiendo.
Así, como en el mundo concreto, si me dan dos manzanas y después tres, tengo cinco
manzanas (que son las mismas cinco que me fueron dando); también el niño debe
comprender que las cinco chapitas del resultado son las mismas 2 y 3 rodeadas y no las que
están sueltas.
Por eso confunden y no son convenientes gráficos como éste, que mezclan
representaciones de objetos reales y signos y son tan comunes en las clases de primer grado.
______________________________________________________________________
__
En los objetos concretos hay 2 y 3 manzanas, que en total son 5. En
el gráfico ¿cuántas manzanas hay?
_____________________________________________________________________
_____
Lo importante es que el niño se construya una representación mental correcta de la
situación antes de pasar a la escritura de la misma (cálculo escrito).
Es indispensable que realice operaciones mentales con números, que trabaje en
situaciones en las que necesite usar los números, y el cálculo antes de enseñarle la forma
habitual de anotarlos. No se aprende a sumar escribiendo sumas, es necesario aprender antes
de empezar a escribir la forma habitual de la suma.
El niño tiene que construir desde adentro distintos procedimientos de resolución y
llegar a obtener mentalmente los resultados; ninguna explicación del maestro podrá
enseñárselos desde afuera.
25

26. Comúnmente el maestro enseña los procedimientos para dar una respuesta a una
ecuación (por ejemplo 2+3=) y muchos niños llegan al resultado correcto. Pero no hay que
creer que enseñando una técnica estamos enseñando a operar con números, a construir
mentalmente relaciones entre los números. Eso no puede enseñarse, el niño tiene que
construirlo por sí solo.
A veces se suelen, además, dar ecuaciones de este tipo:
2+---=6 ó ----+4=6
Todos sabemos que preguntas de esta tipo son difíciles para los niños de primer
grado, puesto que estos suman los números de 2+---=6 porque la adición es natural para ellos,
y no pueden establecer la relación de jerarquía necesaria para interpretarla en la ecuación.
Sumas así 2+4= son mucho más fáciles para los chicos pequeños, porque puede interpretarse
pensando de forma unidireccional, que es natural en los chicos de 6 a 7 años. Para interpretar
una relación de jerarquía el pensamiento del chico tiene que ir simultáneamente en dos
direcciones opuestas, y esto es lo que la mayoría de los chicos de 6-7 años no pueden hacer.
Pueden pensar en las partes (2 y 4 o "perros" y "gatos") y en los todos (6 ó animales)
sucesivamente pero no de manera simultánea porque su pensamiento no es lo suficientemente
móvil como para ser reversible.
Por supuesto que no vamos a caer en la idea de esperar que el pensamiento se haga
reversible para que el chico trabaje con operaciones.
Pero enseñar las técnicas o dar ecuaciones escritas sin haber operado suficientemente
con números en forma oral, no sirve porque priva al chico de que descubra por sí mismo las
relaciones entre los números (pasando por distintos procedimientos propios) y no sólo las
descubra sino que las utilice en distintas situaciones hasta que pueda recordarlas.
Cálculo escrito con números de varias cifras
El cálculo escrito exacto con números de varias cifras depende de seguir con fidelidad
una serie de pasos (reglas de procedimiento). Los problemas dispuestos verticalmente
requieren una regla de alineación: alinear los números por la derecha para que las cifras de las
unidades formen una columna, las cifras de las decenas otra, etc.
Tanto para problemas horizontales como verticales, el procedimiento usual consiste
en empezar realizando la operación indicada por las unidades. Si el problema no comporta
acarreo, la operación simplemente se repite con las cifras del siguiente lugar por la izquierda
(las decenas). Esta "regla de repetición" se sigue aplicando (a las centenas, las unidades de
mil, etc.) hasta que ya no queden más cifras. Cuando los términos no tienen el mismo número
de cifras, el chico debe darse cuenta que un número más (menos) nada es lo mismo que un
número más (menos) cero. En el problema siguiente, la regla de repetición se aplica a las
centenas y las unidades de millar y, en centenas, 3 + nada es lo mismo que 3 + 0, o sea 3:
1342
+ 56
_______
1398
26

27. Mientras los problemas no impliquen acarreo, estas pocas reglas pueden usarse hasta
para sumar o restar números de tamaño descomunal, como:
5237814596
+ 2143402
_____________
Las reglas adicionales que rigen el acarreo -especialmente acarreo en el que interviene
el 0- pueden no ser sencillas para muchos chicos, pero, una vez dominadas, amplían
enormemente el alcance de su cálculo. Cuando un chico domina las reglas que rigen el
acarreo con números de dos cifras, en principio puede sumar cualesquiera números de varias
cifras. Las reglas que gobiernan el acarreo en la sustracción son más intrincadas que en la
adición. Los ceros intermedios presentan casos especiales que requieren pasos adicionales.
Ejemplo: antes de "tomar" del lugar de las decenas, el chico debe "tomar" de las centenas.
Después de realizar la anotación correspondiente, puede tomar las decenas.
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Cuando los chicos ya han llegado a dominar las reglas que gobiernan la resta de
números de dos y tres cifras con acarreo, sólo tienen que aprender el procedimiento para
manejar ceros seguidos en el minuendo (por ejemplo 2.003 - 36) para abordar problemas
mayores.
Ahora bien, los niños pueden aprender, y es frecuente que lo hagan, las reglas para
realizar cálculos y acarreos con números de varias cifras sin haber comprendido los
razonamientos subyacentes relacionados con los órdenes de unidades de base diez. Esta
laguna entre los procedimientos y la comprensión suele desembocar en los siguientes tipos de
dificultades:
1- Las dificultades de alineación consisten en una colocación incorrecta o inconstante de las
cifras. Si los chicos no comprenden que los problemas verticales deben alinearse por la
derecha, es probable que tengan dificultades en situaciones en las que deben formar ellos
mismos esta distribución.
2- Los errores sistemáticos suelen darse a consecuencia de procedimientos incorrectos,
parcialmente correctos o inventados. Normalmente los errores sistemáticos no son el
resultado de dificultades del pensamiento o la memoria, sino que parten de la incomprensión
del razonamiento subyacente a un algoritmo.
3- La inconstancias incluyen el empleo de un procedimiento correcto en unas ocasiones pero
no en otras. Cuando los procedimientos carecen de significado para los chicos, éstos pueden
no estar seguros de cuándo deben emplearlos.
4- Empleo mecánico de procedimientos aprendidos de memoria. En ocasiones, las reglas mal
comprendidas pueden emplearse en exceso, demasiado poco, o de una manera fortuita. A
veces, los chicos aplican mal, o de una manera exagerada, las reglas que han aprendido sin
comprenderlas del todo. El empleo exagerado de una regla conduce a errores sistemáticos.
Ejemplo: a veces se dice a los alumnos que al hacer problemas N - 0= como
27

28. 7 - 0= "cero es nada", así que el número (la cantidad) de partida sigue igual que antes" Más
adelante, algunos chicos aplican mal esta regla a la sustracción de 0 - N= como en el sig.
problema
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- 74
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Por otra parte, los chicos suelen usar procedimientos memorizados de una manera
claramente limitada. Es decir, las reglas aprendidas de memoria no se pueden transferir. Los
que tienen dificultades de aprendizaje sólo pueden usar procedimientos correctamente cuando
los problemas se presentan de una manera familiar para ellos. Si la forma del problema se
modifica, aunque sea muy poco, algunos chicos no ven ninguna conexión con el
procedimiento conocido. Esto puede explicar por qué algunos chicos tienen éxito en
problemas practicados, pero no en tareas nuevas.
5- Incapacidad de aprender procedimientos carentes de significado. Los chicos pueden
despreocuparse de aprender o recordar información carente de significado para ellos, estos
chicos suelen recurrir, ante la duda, a un procedimiento familiar pero ineficaz. Esto puede
ayudar a explicar algunos errores sistemáticos como el empleo de una operación incorrecta
(ejemplo, emplear procedimientos familiares para la adición cuando se debe restar) o el error
de restar siempre el término menor al mayor (ejemplo: 53 - 27= 34)
Los chicos que no pueden recordar el procedimiento correcto pueden recurrir a la
invención de uno propio.
6- Memorización incompleta o incorrecta. En ocasiones, las reglas que no se comprenden
sólo se recuerdan en parte o de manera incorrecta, cosa que explica muchas dificultades.
Cuando los chicos no comprenden el razonamiento subyacente a un procedimiento
relacionado con los órdenes de unidades, pueden ser inconstantes en la alineación de las
cifras o alinearlas mal de manera sistemática. Un chico puede recordar que las cifras deben
alinearse pero, sin la guía del conocimiento de los órdenes de unidades, pude no recordar si
las cifras deben alinearse por la derecha o por la izquierda. La confusión resultante puede
hacer que alinee los términos de manera incoherente. Como la lectura se hace de izquierda a
derecha, algunos chicos pueden recordar mal la regla de alineación y alinear las cifras
siempre por la izquierda.
IMPLICACIONES EDUCATIVAS: ESTRATEGIAS PARA FAVORECER EL
APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
1- Presentar los procedimientos de sumar y restar con acarreo de una manera informal y con
modelos concretos. Para los chicos el razonamiento de los procedimientos de sumar y restar
con acarreo en el sistema numérico decimal es una noción abstracta y desconocida. Las reglas
para estos procedimientos no son fáciles de memorizar si no se las comprende.
Afortunadamente, y como ocurre con otros conocimientos formales, estas reglas pueden
enseñarse aprovechando los conocimientos informales de los chicos.
2- Practicar algoritmos de una manera interesante y significativa. A veces, los chicos adoptan
procedimientos erróneos o no acaban de realizar sus tareas porque se cansan de hacer trabajos
aburridos o inútiles.
3- Estimular la comprobación de los cálculos escritos contrastando los resultados obtenidos
con ellos con los obtenidos mediante procedimientos informales. Como los chicos están
familiarizados con los procedimientos de aritmética informal, se sienten cómodos
utilizándolos y confían en ellos.
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29. 4- La enseñanza de apoyo debe centrarse en estimular la comprensión del procedimiento
correcto, además de su aprendizaje. En vez de intentar una corrección rápida del
conocimiento que el chico tiene de un procedimiento, la enseñanza de apoyo debe repetir la
enseñanza de la técnica de una manera significativa. Esto puede exigir más tiempo y esfuerzo
pero, a la larga, será menos frustrante tanto para el chico como para el maestro.
6- LOS SIGNOS CONVENCIONALES
Veamos ahora algo sobre el aprendizaje de los signos convencionales, analizando otra
prueba realizada con chicos de primer grado que ya han recibido enseñanza sistemática de los
signos aritméticos.
De un montoncito de chapitas, el maestro esconde 2 bajo la mano y se lo dice al
chico, luego, esconde 3, explicándole lo que hace. Luego le pide al chico, dándole lápiz y
papel, que escriba lo que acaba de hacer.
Si el chico escribe el número 5, se le pide que lo escriba de una manera diferente para
mostrar que se pusieron primero 2 y se agragaron luego 3 más.
Las respuestas más comunes consisten en escribir las dos cifras 3 y 2, 2 y 3 ó 2+3.
También los chicos escriben en menor medida: 3+2=5, 2+3=5, 2 3 5, 2+3 5, 2 - 5,
3=2, etc.
La variedad de respuestas es sorprendente, pero lo que más llama la atención es que
solo un diez por ciento utiliza los signos convencionales.
Es obvio que los chicos utilizan poco los signos (o los utilizan de distintas formas)
porque no pueden expresar en el papel lo que no tienen representado en el pensamiento.
De la misma forma, el chico no aprende los signos convencionales explicándole que
"+" es poner junto e "=" es igual que. Así como el signo del número 5 no se aprende por la
asociación con 5 objetos, tampoco el signo + se comprende por la asociación con la acción
observable de unir dos conjuntos, ni con la explicación verbal respectiva.
El aprendizaje de los signos tiene que estar fundamentado en la representación mental
de las operaciones que esos signos representen.
Si el maestro aprovecha los distintos momentos del día para que los alumnos operen
con números en el contexto de juegos, actividades cotidianas o bien en situaciones o
problemas especialmente construídas que se dan en las clases, pero que para los chicos sean
significativas, ellos podrán resolver operaciones, recordarán los resultados y serán capaces
más adelante de leer y escribir también los signos matemáticos convencionales, lo que
constituye sin duda uno de los objetivos perseguidos en primer grado.
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30. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
KAMII: "EL NIÑO REINVENTA LA ARITMETICA" - ED. APRENDIZAJE VISOR
BAROODY ARTHUR: "EL PENSAMIENTO MATEMATICO DE LOS NIÑOS" -
ED. APRENDIZAJE VISOR - MADRIR - 1988
LERNER, DELIA: "LA MATEMATICA EN LA ESCUELA. AQUI Y AHORA" - ED.
AIQUE - BS.AS. 1994
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