Este documento trata sobre valores y vectores propios de matrices. Explica conceptos como valores y vectores propios, espacios propios, polinomio característico y diagonalización de matrices. Incluye ejemplos y métodos para determinar valores y vectores propios de una matriz, así como condiciones para que una matriz sea diagonalizable. Finalmente, presenta ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento describe un experimento para determinar la composición de un hidrato mediante calentamiento y mediciones de masa. El hidrato analizado resultó ser sulfato de cobre pentahidratado (CuSO4·5H2O). El procedimiento involucró calentar la muestra para eliminar el agua de cristalización, pesar la muestra original y luego la anhidra, y calcular la relación molar de agua por mol de compuesto anhidro.
Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial e Integrales de lineaRuddy Sanchez Campos
Este documento presenta 15 ejercicios resueltos relacionados con cálculo vectorial e integrales de línea. Los ejercicios involucran determinar valores de integrales, verificar teoremas como el de Green, demostrar propiedades de campos conservativos, y calcular trabajos realizados por fuerzas a lo largo de trayectorias dadas.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
Este documento presenta los objetivos, fundamentos teóricos y procedimientos experimentales para estudiar fuerzas concurrentes y no concurrentes. Los objetivos incluyen comprobar la condición de equilibrio de una partícula y un cuerpo rígido, determinar componentes de fuerzas y ángulos directores, y aplicar condiciones de equilibrio en problemas prácticos. Se explican fuerzas concurrentes y no concurrentes, y se describen procedimientos para medir sumas de fuerzas, componentes y momentos de fuerzas. Los resultados incluyen tablas de datos y
Aplicación de Álgebra Lineal en la Ing.IndustrialYulia Abud
Este documento presenta diversas aplicaciones de los sistemas lineales y las matrices en el área de la ingeniería industrial. Se explica cómo se pueden utilizar ecuaciones lineales para analizar tiempos de producción, predecir demanda u oferta mediante regresión lineal, realizar análisis de fatiga de materiales, y optimizar asignaciones de recursos usando matrices. También se destaca la importancia de estas herramientas matemáticas para la toma de decisiones en áreas como logística, distribución, y diseño de procesos y sistem
Matemática III - Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Univers...Andy Juan Sarango Veliz
Este documento presenta el índice general y el índice de figuras de un libro de texto sobre Matemática III. El índice general contiene 22 secciones que cubren temas como funciones vectoriales de variable real y funciones reales de variable vectorial, integrales múltiples, funciones vectoriales de un vector, y teoremas relacionados con sistemas de coordenadas curvilíneas y tensores. El índice de figuras lista las ilustraciones que apoyan los conceptos matemáticos discutidos a lo largo del libro.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo ordenAƞdrea DitƬerǐch
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones importantes en física, como el movimiento armónico simple. Al aplicar la ley de Hooke y la segunda ley de Newton, se puede derivar una ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte. Esta ecuación puede resolverse para encontrar la función de movimiento x(t). El documento presenta ejemplos ilustrativos de cómo modelar problemas físicos usando ecuaciones diferenciales de segundo orden.
El documento trata sobre conceptos básicos de cinemática como velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media y aceleración instantánea. Explica cómo calcular estas cantidades aplicando derivadas e integrales y define conceptos como MRU, MRUV. También incluye ejemplos numéricos y gráficos.
Este documento describe un experimento para determinar la composición de un hidrato mediante calentamiento y mediciones de masa. El hidrato analizado resultó ser sulfato de cobre pentahidratado (CuSO4·5H2O). El procedimiento involucró calentar la muestra para eliminar el agua de cristalización, pesar la muestra original y luego la anhidra, y calcular la relación molar de agua por mol de compuesto anhidro.
Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial e Integrales de lineaRuddy Sanchez Campos
Este documento presenta 15 ejercicios resueltos relacionados con cálculo vectorial e integrales de línea. Los ejercicios involucran determinar valores de integrales, verificar teoremas como el de Green, demostrar propiedades de campos conservativos, y calcular trabajos realizados por fuerzas a lo largo de trayectorias dadas.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
Este documento presenta los objetivos, fundamentos teóricos y procedimientos experimentales para estudiar fuerzas concurrentes y no concurrentes. Los objetivos incluyen comprobar la condición de equilibrio de una partícula y un cuerpo rígido, determinar componentes de fuerzas y ángulos directores, y aplicar condiciones de equilibrio en problemas prácticos. Se explican fuerzas concurrentes y no concurrentes, y se describen procedimientos para medir sumas de fuerzas, componentes y momentos de fuerzas. Los resultados incluyen tablas de datos y
Aplicación de Álgebra Lineal en la Ing.IndustrialYulia Abud
Este documento presenta diversas aplicaciones de los sistemas lineales y las matrices en el área de la ingeniería industrial. Se explica cómo se pueden utilizar ecuaciones lineales para analizar tiempos de producción, predecir demanda u oferta mediante regresión lineal, realizar análisis de fatiga de materiales, y optimizar asignaciones de recursos usando matrices. También se destaca la importancia de estas herramientas matemáticas para la toma de decisiones en áreas como logística, distribución, y diseño de procesos y sistem
Matemática III - Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Univers...Andy Juan Sarango Veliz
Este documento presenta el índice general y el índice de figuras de un libro de texto sobre Matemática III. El índice general contiene 22 secciones que cubren temas como funciones vectoriales de variable real y funciones reales de variable vectorial, integrales múltiples, funciones vectoriales de un vector, y teoremas relacionados con sistemas de coordenadas curvilíneas y tensores. El índice de figuras lista las ilustraciones que apoyan los conceptos matemáticos discutidos a lo largo del libro.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo ordenAƞdrea DitƬerǐch
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones importantes en física, como el movimiento armónico simple. Al aplicar la ley de Hooke y la segunda ley de Newton, se puede derivar una ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte. Esta ecuación puede resolverse para encontrar la función de movimiento x(t). El documento presenta ejemplos ilustrativos de cómo modelar problemas físicos usando ecuaciones diferenciales de segundo orden.
El documento trata sobre conceptos básicos de cinemática como velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media y aceleración instantánea. Explica cómo calcular estas cantidades aplicando derivadas e integrales y define conceptos como MRU, MRUV. También incluye ejemplos numéricos y gráficos.
Este documento contiene 15 ejercicios sobre movimiento circular uniforme y movimiento rotacional. Los ejercicios cubren temas como periodo y frecuencia de rotación, velocidad angular y lineal, aceleración centrípeta, aceleración angular, desplazamiento angular y más. Se piden cálculos numéricos utilizando fórmulas como la aceleración centrípeta (a_c = v^2/r), velocidad angular (ω = 2π/T) y lineal (v = ωr) entre otras.
El documento presenta un capítulo sobre fricción de un libro de ingeniería mecánica. El capítulo cubre temas como las leyes de fricción seca, ángulos de fricción, problemas que involucran fricción seca, cuñas, tornillos de rosca cuadrada, chumaceras, fricción en ejes, cojinetes de empuje, fricción en ruedas y bandas. También incluye la solución de varios problemas de dinámica que involucran fuerzas de fricción.
Superficies
Definición de superficie.
Campo vectorial
Campo escalar
Representación cartesiana de una superficie.
Clasificación de algunos tipos de superficies.
Superficies cuadráticas.
Superficies cilíndricas.
Superficies cónicas.
Superficies regladas.
Superficies de revolución.
Método de las generatrices para la determinación de la ecuación de una superficie.
Simplificación del método para algunos tipos de superficie.
Discusión de la ecuación de una superficie.
Cilindros.
Definición de cilindro.
Cilindro parabólico.
Cilindro elíptico.
Cilindro hiperbólico.
Ecuaciones vectoriales y paramétricas de superficie
Este documento contiene 24 problemas de física relacionados con capacitancia y capacitores. Los problemas cubren temas como calcular capacitancia para diferentes configuraciones de capacitores, determinar carga, energía almacenada y campo eléctrico. Los problemas involucran capacitores esféricos, cilíndricos, de placas paralelas y otros arreglos complejos de capacitores.
El documento presenta una guía sobre el método de integración por partes. Explica que este método se deriva de la regla para derivar el producto de dos funciones y permite transformar una integral en otra más simple. Además, detalla los pasos a seguir para aplicar este método y resolver una integral mediante integración por partes.
Aplicaciones de la derivada en la carrera de ingeniería mecánicaPeterParreo
The document appears to be a report submitted by three students - Peter Parreño, Juan Velasco, and Luis Zúñiga - for their Partial Differential and Integral Calculus II class. It contains three problems applying derivative concepts to engineering situations. The first problem involves using calculus to minimize the material needed for a square gas tank holding 64 cubic meters. The second problem involves using calculus to determine the optimal radius, height, and surface area of a makeshift cylindrical hydraulic pump. The third problem involves using calculus to find the maximum and minimum performance of a tire machining machine with the function f(x) = x^3 - 3x + 2.
Este documento presenta un resumen de los primeros tres capítulos de un libro sobre electricidad y magnetismo. Introduce conceptos como la carga eléctrica, la ley de Coulomb, densidad de carga, campo eléctrico y potencial eléctrico. Incluye 11 problemas resueltos al final del primer capítulo y varios más en los capítulos siguientes. El índice anticipa que los capítulos restantes cubrirán temas como condensadores, circuitos eléctricos y el campo magnético.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variable apropiado. Luego, detalla los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea y presenta un ejemplo resuelto. Finalmente, introduce cómo reducir ecuaciones diferenciales no homogéneas a formas homogéneas mediante traslaciones u otros cambios de variable.
Este capítulo introduce el concepto de centroide de un área y centro de gravedad de un cuerpo bidimensional. Explica que el centroide es el punto donde debe aplicarse una fuerza equivalente que represente el efecto de fuerzas distribuidas sobre una superficie. También define los primeros momentos de un área con respecto a los ejes de coordenadas y cómo estos se relacionan con la ubicación del centroide.
En este ejercicio veremos de manera detallada la resolución de una viga hiperestática con sus correspondientes fuerzas de reacción y diagramas de esfuerzo
Este documento trata sobre los conceptos de centro de masa, centro de gravedad y centroide. Explica que el centro de masa y centro de gravedad son puntos donde se puede concentrar la masa o peso total de un sistema. También describe cómo calcular las coordenadas de estos puntos a través de sumatorias de momentos. Finalmente, detalla el procedimiento para calcular las coordenadas del centroide de una figura triangular.
Este documento explica conceptos básicos de estática, incluyendo equilibrio mecánico, fuerza, peso, diagrama de cuerpo libre y más. La estática estudia las condiciones de equilibrio de fuerzas aplicadas a objetos. El equilibrio puede ser estático o cinético. Una fuerza es una interacción que puede medirse en newtons. Un diagrama de cuerpo libre representa todas las fuerzas externas que actúan sobre un objeto.
Este documento resume conceptos clave de la estática de partículas en ingeniería civil. Explica cómo se pueden descomponer fuerzas en componentes, calcular resultantes de fuerzas, y determinar el equilibrio de una partícula mediante el uso de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. También cubre conceptos como vectores, componentes rectangulares de fuerzas, y equilibrio de partículas en el plano y en el espacio.
Este documento trata sobre centros de gravedad, centroides y fuerzas distribuidas. Explica que el centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se puede considerar que actúa toda su masa, y cómo calcular el centroide de áreas bidimensionales y líneas. También cubre primeros momentos de áreas y líneas, y cómo determinar centroides de figuras compuestas y mediante integración. Finalmente, presenta los teoremas de Pappus-Guldinus y cómo analizar cargas distribuidas en vigas.
El resumen determina los diagramas de esfuerzos en una estructura compuesta por 3 vigas unidas. La viga BE recibe una fuerza de 600 N inclinada 45° y la viga BC recibe un momento de 800 Nm. Los diagramas muestran que en la viga AB hay un momento constante de 100 Nm, en la viga BC el momento varía linealmente desde 1100 a -33,3 Nm, y en la viga CD hay un momento constante de 800 Nm.
Bibliografia Beer and Jhonston ,Resistencia de Materiales ,este material servira de apoyo para la adquisición,y fijacion de los conocimientos del comportamiento de los elementos sometidos a efuerzos de flexo compresion
Campo electrico distribuciones continuas de carga clase 4 TETensor
El documento describe el cálculo del campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga a través de la integración de la ley de Coulomb. Explica cómo calcular el campo eléctrico para cargas puntuales, líneas de carga, superficies y volúmenes. Luego, presenta varios problemas de aplicación que involucran el cálculo del campo eléctrico para barras cargadas, cilindros y objetos compuestos de cubos.
1) El campo eléctrico es el espacio que rodea a una carga eléctrica donde toda otra carga experimentará una fuerza. 2) El campo eléctrico puede representarse mediante líneas de campo que indican su dirección e intensidad. 3) La intensidad del campo eléctrico en un punto se define como la fuerza experimentada por una pequeña carga dividida entre el valor de esa carga y depende de la carga fuente y su distancia al punto.
El transporte se define como el traslado de personas o bienes de un lugar a otro. Incluye medios como el transporte terrestre (por carretera, ferrocarril), marítimo, y aéreo. Cada modo de transporte ha evolucionado históricamente para servir las necesidades de traslado de las civilizaciones y el comercio, siendo un elemento central para el progreso.
Este documento presenta un cuaderno de prácticas de Microsoft Word con 18 prácticas divididas en 7 temas. Los temas cubren conceptos básicos, tablas y tabulaciones, herramientas de Word, opciones de párrafo, trabajo con hojas de cálculo y gráficos, hipervínculos u otros objetos. Cada práctica incluye objetivos, teoría e instrucciones paso a paso para completar ejercicios relacionados con el tema. Al final, se incluyen 3 exámenes de prueba para evalu
Este documento contiene 15 ejercicios sobre movimiento circular uniforme y movimiento rotacional. Los ejercicios cubren temas como periodo y frecuencia de rotación, velocidad angular y lineal, aceleración centrípeta, aceleración angular, desplazamiento angular y más. Se piden cálculos numéricos utilizando fórmulas como la aceleración centrípeta (a_c = v^2/r), velocidad angular (ω = 2π/T) y lineal (v = ωr) entre otras.
El documento presenta un capítulo sobre fricción de un libro de ingeniería mecánica. El capítulo cubre temas como las leyes de fricción seca, ángulos de fricción, problemas que involucran fricción seca, cuñas, tornillos de rosca cuadrada, chumaceras, fricción en ejes, cojinetes de empuje, fricción en ruedas y bandas. También incluye la solución de varios problemas de dinámica que involucran fuerzas de fricción.
Superficies
Definición de superficie.
Campo vectorial
Campo escalar
Representación cartesiana de una superficie.
Clasificación de algunos tipos de superficies.
Superficies cuadráticas.
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Superficies cónicas.
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Superficies de revolución.
Método de las generatrices para la determinación de la ecuación de una superficie.
Simplificación del método para algunos tipos de superficie.
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Cilindros.
Definición de cilindro.
Cilindro parabólico.
Cilindro elíptico.
Cilindro hiperbólico.
Ecuaciones vectoriales y paramétricas de superficie
Este documento contiene 24 problemas de física relacionados con capacitancia y capacitores. Los problemas cubren temas como calcular capacitancia para diferentes configuraciones de capacitores, determinar carga, energía almacenada y campo eléctrico. Los problemas involucran capacitores esféricos, cilíndricos, de placas paralelas y otros arreglos complejos de capacitores.
El documento presenta una guía sobre el método de integración por partes. Explica que este método se deriva de la regla para derivar el producto de dos funciones y permite transformar una integral en otra más simple. Además, detalla los pasos a seguir para aplicar este método y resolver una integral mediante integración por partes.
Aplicaciones de la derivada en la carrera de ingeniería mecánicaPeterParreo
The document appears to be a report submitted by three students - Peter Parreño, Juan Velasco, and Luis Zúñiga - for their Partial Differential and Integral Calculus II class. It contains three problems applying derivative concepts to engineering situations. The first problem involves using calculus to minimize the material needed for a square gas tank holding 64 cubic meters. The second problem involves using calculus to determine the optimal radius, height, and surface area of a makeshift cylindrical hydraulic pump. The third problem involves using calculus to find the maximum and minimum performance of a tire machining machine with the function f(x) = x^3 - 3x + 2.
Este documento presenta un resumen de los primeros tres capítulos de un libro sobre electricidad y magnetismo. Introduce conceptos como la carga eléctrica, la ley de Coulomb, densidad de carga, campo eléctrico y potencial eléctrico. Incluye 11 problemas resueltos al final del primer capítulo y varios más en los capítulos siguientes. El índice anticipa que los capítulos restantes cubrirán temas como condensadores, circuitos eléctricos y el campo magnético.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variable apropiado. Luego, detalla los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea y presenta un ejemplo resuelto. Finalmente, introduce cómo reducir ecuaciones diferenciales no homogéneas a formas homogéneas mediante traslaciones u otros cambios de variable.
Este capítulo introduce el concepto de centroide de un área y centro de gravedad de un cuerpo bidimensional. Explica que el centroide es el punto donde debe aplicarse una fuerza equivalente que represente el efecto de fuerzas distribuidas sobre una superficie. También define los primeros momentos de un área con respecto a los ejes de coordenadas y cómo estos se relacionan con la ubicación del centroide.
En este ejercicio veremos de manera detallada la resolución de una viga hiperestática con sus correspondientes fuerzas de reacción y diagramas de esfuerzo
Este documento trata sobre los conceptos de centro de masa, centro de gravedad y centroide. Explica que el centro de masa y centro de gravedad son puntos donde se puede concentrar la masa o peso total de un sistema. También describe cómo calcular las coordenadas de estos puntos a través de sumatorias de momentos. Finalmente, detalla el procedimiento para calcular las coordenadas del centroide de una figura triangular.
Este documento explica conceptos básicos de estática, incluyendo equilibrio mecánico, fuerza, peso, diagrama de cuerpo libre y más. La estática estudia las condiciones de equilibrio de fuerzas aplicadas a objetos. El equilibrio puede ser estático o cinético. Una fuerza es una interacción que puede medirse en newtons. Un diagrama de cuerpo libre representa todas las fuerzas externas que actúan sobre un objeto.
Este documento resume conceptos clave de la estática de partículas en ingeniería civil. Explica cómo se pueden descomponer fuerzas en componentes, calcular resultantes de fuerzas, y determinar el equilibrio de una partícula mediante el uso de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. También cubre conceptos como vectores, componentes rectangulares de fuerzas, y equilibrio de partículas en el plano y en el espacio.
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El resumen determina los diagramas de esfuerzos en una estructura compuesta por 3 vigas unidas. La viga BE recibe una fuerza de 600 N inclinada 45° y la viga BC recibe un momento de 800 Nm. Los diagramas muestran que en la viga AB hay un momento constante de 100 Nm, en la viga BC el momento varía linealmente desde 1100 a -33,3 Nm, y en la viga CD hay un momento constante de 800 Nm.
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El documento describe el cálculo del campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga a través de la integración de la ley de Coulomb. Explica cómo calcular el campo eléctrico para cargas puntuales, líneas de carga, superficies y volúmenes. Luego, presenta varios problemas de aplicación que involucran el cálculo del campo eléctrico para barras cargadas, cilindros y objetos compuestos de cubos.
1) El campo eléctrico es el espacio que rodea a una carga eléctrica donde toda otra carga experimentará una fuerza. 2) El campo eléctrico puede representarse mediante líneas de campo que indican su dirección e intensidad. 3) La intensidad del campo eléctrico en un punto se define como la fuerza experimentada por una pequeña carga dividida entre el valor de esa carga y depende de la carga fuente y su distancia al punto.
El transporte se define como el traslado de personas o bienes de un lugar a otro. Incluye medios como el transporte terrestre (por carretera, ferrocarril), marítimo, y aéreo. Cada modo de transporte ha evolucionado históricamente para servir las necesidades de traslado de las civilizaciones y el comercio, siendo un elemento central para el progreso.
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Herramientas Colaborativas "Del.icio.us" por Melisa VargasPromo Sexi
Del.icio.us es un sitio web que permite a los usuarios almacenar, organizar y compartir sus enlaces favoritos a través de etiquetas. Los usuarios pueden acceder a sus favoritos desde cualquier computadora con conexión a Internet. Del.icio.us ofrece seguridad ya que los favoritos están protegidos de fallas en la computadora del usuario. Los favoritos son públicos, por lo que los usuarios pueden ver los enlaces compartidos por otros y construir una red social en torno a enlaces con etiquetas comunes.
Este documento trata sobre los conceptos de lengua natural, lengua materna y cultura. Define la lengua natural como cualquier sistema de comunicación con estructura sintáctica explicada por principios de economía y sintaxis generativa. Explica que la lengua materna es la primera lengua que una persona aprende y que es la base del pensamiento, mientras que las segundas lenguas se adquieren posteriormente. Finalmente, define la cultura como el conjunto de formas y patrones a través de los cuales una sociedad se manifiesta, incluyendo el lenguaje,
Este documento explica qué es Feevy y cómo crear una cuenta. Feevy permite crear un blogroll para agregar enlaces a blogs favoritos en una columna lateral de la página web. Para crear una cuenta en Feevy, se debe visitar su página web, agregar la dirección del sitio o blog, y luego copiar el código de script proporcionado en el blog. Esto permite agrupar enlaces a blogs actualizados de manera fácil.
Este documento describe la evolución de varios sistemas operativos importantes como Windows, Linux y Macintosh. Comienza con las primeras versiones de Windows 1.0 y 2.0 en los años 80 y continúa describiendo versiones posteriores como Windows 3.1, 95, 98, 2000, ME, NT, XP, Vista y 7. Luego resume distribuciones populares de Linux como Ubuntu, Debian, Gentoo y Fedora. Finalmente, cubre versiones tempranas del sistema operativo Macintosh como 10.1 Puma, 10.2 Jaguar, 10.3 Panther y 10.4 Tiger.
El documento habla sobre la importancia de ordenar y exhibir los productos de forma atractiva en el exhibidor para atraer la atención de los consumidores y facilitar que elijan una compra. Una buena distribución y acomodo de las marcas y productos agiliza las ventas, satisface a los clientes, proyecta una buena imagen de la empresa, y ayuda a que el exhibidor en sí promocione las ventas.
William Shakespeare fue un dramaturgo, poeta y actor inglés considerado uno de los mayores dramaturgos de la literatura inglesa y mundial. Escribió aproximadamente 38 obras de teatro, 154 sonetos, dos poemas narrativos largos y algunos otros poemas. Sus obras más famosas incluyen Romeo y Julieta, Hamlet, Macbeth, El rey Lear y Como gustéis.
Trabajo de recuperacion_grupal_juarezy alfaroPromo Sexi
Picasa es un programa gratuito de Google que permite organizar, editar y compartir fotos de forma sencilla. Ofrece opciones para modificar imágenes con unos pocos clics y compartirlas por correo electrónico, impresión o en Internet. Imagechef es una página web que permite crear imágenes y videos personalizados de forma gratuita e intuitiva utilizando plantillas y recursos básicos.
Kevin Mitnick, conocido hacker estadounidense, habló en el Campus Party de Quito sobre su historial de ataques informáticos y su actual trabajo brindando servicios de seguridad cibernética. La infraestructura del Campus Party permitió visualizar miles de ataques informáticos diarios provenientes de diversos países.
La delegación de Santa Rosa de Osos ganó los Juegos Deportivos, Recreativos y Culturales del Magisterio Antioqueño 2013 – Regional del Norte celebrados en Carolina del Príncipe con 324 unidades. El segundo lugar fue para la delegación de Briceño con 271 unidades y el tercer lugar para la delegación de Entrerríos con 218 unidades. Los maestros clasificados participarán en la final departamental que se llevará a cabo en octubre en la ciudad de Medellín.
Este documento describe tres nervios craneales: el nervio troclear (par craneal 4), el nervio trigemino (par craneal 5) y el nervio abducens (par craneal 6). Para cada uno, se especifica su función principal (motor o sensitivo), ubicación de origen, núcleos asociados y función motora de los músculos que inervan.
Último capítulo pautado, a partir de aquí vais por libre. Os recomiendo escribir un par de capítulos más (enemigo y final) pero tenéis en vuestras manos el lápiz del poder.
El documento habla sobre los conflictos y cómo no son inherentemente buenos o malos, sino que dependen de los resultados y consecuencias. También explica que no siempre se debe negociar en un conflicto, dando el ejemplo de cómo sobornar a un policía para evitar problemas es incorrecto y puede tener consecuencias negativas a largo plazo tanto para la persona como para el policía. Finalmente, presenta una tabla sobre diferentes estrategias para manejar conflictos como imponerse, renunciar, evitar, colaborar o negociar, dependiendo de la situación particular.
Este documento trata sobre seguridad informática. Explica que la seguridad informática se enfoca en proteger la infraestructura computacional y la información contenida. Algunos objetivos clave de la seguridad informática son proteger la confidencialidad, mantener la integridad y asegurar la disponibilidad de los sistemas. También describe varios productos y servicios de seguridad como antivirus, firewalls y respaldos.
La historia del PC comenzó con máquinas mecánicas para realizar cálculos en el siglo XIX. En 1944 se construyó la primera computadora electrónica, la MARK I. A partir de la mitad del siglo XX, el desarrollo de las computadoras se aceleró y dividió en generaciones, caracterizadas principalmente por el tipo de componentes y programación utilizados.
Este documento compara las bases de datos centralizadas y distribuidas. Las bases de datos distribuidas almacenan datos lógicos en múltiples ordenadores conectados en red, lo que ofrece tolerancia a fallos pero también mayor complejidad. Las bases de datos centralizadas almacenan todos los datos en un solo equipo, lo que es más simple pero representa un único punto de fallo. En general, las pequeñas empresas pueden beneficiarse de las bases de datos centralizadas mientras que las grandes empresas requieren de las bases de datos distribuidas para garantizar la disponibilidad de
Comunicado 2 CNSCGM Solidaridad con los trabajadores del cerrejón en conflict...Over Dorado Cardona
El documento describe la huelga de los trabajadores de la mina de carbón Cerrejón en La Guajira, Colombia. Resalta la importancia de la huelga y su impacto no solo en la región sino en todo el país y el mundo. A pesar de las grandes ganancias de la empresa para la economía local y nacional, la mayoría de la población de La Guajira vive en pobreza. El documento apoya la huelga y hace un llamado a la unidad, organización y lucha para lograr la victoria de los trabajadores.
1) El capítulo analiza las propiedades intrínsecas de una matriz llamadas valores y vectores propios.
2) Los valores propios son escalares asociados a una matriz donde existen vectores no triviales que al ser multiplicados por la matriz solo se dilatan o encogen.
3) Los vectores propios son vectores que al ser multiplicados por la matriz solo se dilatan o encogen y no cambian su dirección.
La diagonalización de endomorfismos pasa por buscar de todas las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, aquella que tiene una matriz asociada en forma diagonal.
Este documento trata sobre autovalores y autovectores de matrices. Primero define autovalores y autovectores y explica que los autovalores son las soluciones de la ecuación característica determinada por el polinomio característico de la matriz. Luego presenta ejemplos geométricos de transformaciones lineales y sus correspondientes autovalores y autovectores.
El documento habla sobre las transformaciones lineales. Explica que una transformación lineal es una función cuyo dominio e imagen son espacios vectoriales y cumplen ciertas condiciones. Además, describe que las transformaciones lineales se usan con frecuencia en álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas, y tienen aplicaciones importantes en física e ingeniería. Finalmente, menciona que el objetivo es diseñar una secuencia didáctica para la enseñanza de transformaciones lineales usando un enfoque diferente al formalista tradicional
Un espacio vectorial es el objeto básico de estudio en álgebra lineal. Se define como un conjunto no vacío sobre el cual se definen dos operaciones: la suma y el producto por escalares, que cumplen ciertas propiedades. Algunos ejemplos de espacios vectoriales son Rn y los polinomios Pn. Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que también cumple las propiedades de un espacio vectorial. La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquiera de sus bases.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de álgebra lineal y análisis multivariante. Introduce vectores, matrices, operaciones matriciales, autovalores, autovectores, descomposición espectral, formas cuadráticas y vectores aleatorios. Luego explica el análisis de componentes principales, análisis factorial, correlaciones canónicas, análisis discriminante y análisis de conglomerados como técnicas estadísticas multivariantes. Finalmente incluye ejemplos para ilustrar los conceptos te
Este documento presenta un resumen de los principales temas de álgebra lineal y análisis multivariante. Introduce conceptos como vectores, matrices, distribuciones normales multivariadas, análisis de componentes principales, análisis factorial, clasificación y más. Explica estos temas a través de definiciones, propiedades, ejemplos y aplicaciones en el análisis de datos multivariados.
Este documento trata sobre álgebra lineal y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como la matriz asociada a una transformación lineal, el núcleo e imagen de una transformación lineal, y los valores y vectores propios de una matriz. También cubre la diagonalización de matrices cuadradas. El objetivo es que los estudiantes identifiquen estas nociones y las apliquen a problemas del mundo real.
Este documento trata sobre transformaciones lineales y sus propiedades. Explica que una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma y multiplicación por escalares. También describe la diagonalización de matrices, que implica expresar una matriz como el producto de una matriz diagonal y su inversa. Finalmente, introduce conceptos como combinación lineal e independencia lineal de vectores.
Los vectores propios de una transformación lineal son vectores que no cambian su dirección cuando son transformados, sino que son multiplicados por un escalar llamado valor propio. Un espacio propio está formado por todos los vectores propios de un mismo valor propio. La ecuación del valor propio expresa matemáticamente que un vector es propio si al aplicarle una transformación lineal el resultado es ese mismo vector multiplicado por su valor propio.
El documento introduce los conceptos de valores y vectores propios asociados a un operador lineal. Explica que los vectores propios son aquellos cuyas imágenes bajo el operador son múltiplos del propio vector, y los valores propios son los factores de escala. Presenta dos ejemplos para ilustrar estos conceptos en sistemas físicos modelados por ecuaciones diferenciales y la ecuación de Schrödinger.
Este documento presenta el capítulo 9 sobre álgebra matricial. Introduce las operaciones básicas de álgebra matricial como la transpuesta, el producto punto y la multiplicación matricial. Explica cómo se pueden usar estas operaciones matriciales para resolver problemas de ingeniería como encontrar el centro de gravedad de un vehículo espacial o calcular el ángulo entre vectores fuerza.
1) El documento presenta conceptos básicos de vectores como origen, módulo, dirección y sentido.
2) Explica sumas, restas y multiplicaciones de matrices.
3) Define sistemas de coordenadas, vectores unitarios y campos vectoriales.
1) El documento presenta conceptos básicos de vectores como origen, módulo, dirección y sentido.
2) Explica sumas, restas y multiplicaciones de matrices, así como productos entre puntos y cruces de vectores.
3) Introduce nociones de sistemas de coordenadas, vectores unitarios y campos vectoriales.
Este documento presenta un proyecto final de Algebra Lineal realizado por la alumna Victoria Eugenia Silva Zazueta para la materia de Ingeniería Civil en el Instituto Tecnológico de Tijuana. El proyecto introduce conceptos fundamentales de transformaciones lineales como su definición, propiedades, clasificación, matriz asociada y ejemplos como rotación, reflexión y proyección.
Este documento presenta conceptos clave de cálculo vectorial y su aplicación al análisis de fluidos. Explica operadores diferenciales vectoriales como rotacional, gradiente y divergencia. Define campos vectoriales irrotacionales y conservativos, y cómo la divergencia mide flujo entrante y saliente. El objetivo es establecer un marco teórico de cálculo vectorial para el estudio de fluidos incompresibles no viscosos.
El documento define las determinantes como una función matemática que asigna un número único a una matriz. Explica que se usan para resolver ecuaciones lineales y que tienen aplicaciones en campos como física, economía e ingeniería. Finalmente, resume que las determinantes se usan en gráficos por computadora, teoría de la información y criptografía.
Este documento describe las relaciones de equivalencia y su representación para propósitos de programación. Una relación de equivalencia divide un conjunto en clases de equivalencia según si sus elementos comparten una propiedad. El documento discute varias formas de representar eficientemente las relaciones de equivalencia y clases de equivalencia, incluyendo el uso de arrays, listas y árboles de punteros al padre.
Este documento presenta los conceptos matemáticos de cálculo vectorial necesarios para comprender la teoría de fluidos, incluyendo el rotacional, gradiente, divergencia y laplaciano. Explica que el rotacional mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación, mientras que la divergencia mide la diferencia entre el flujo entrante y saliente de un campo. Finalmente, señala que los campos con rotacional nulo son irrotacionales y pueden expresarse como el gradiente de una función escalar.
Este documento resume los conceptos de eigenvectores, eigenvalores y polinomio característico de una matriz. Explica que los eigenvectores son vectores cuya dirección no cambia cuando se multiplican por la matriz, mientras que los eigenvalores indican cómo cambia su longitud. También define el polinomio característico y cómo está relacionado con los eigenvalores y la traza de la matriz.
Similar a Valores propios-y-vectores-propios-eigenvalores-y-eigenvectores (20)
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Valores Propios y Vectores Propios (Eigenvalores y Eigenvectores)
1. Introducción
2. Valores propios y vectores propios (eigenvalores y eygenvectores) de matrices reales y
complejas
3. Diagonalización de matrices
4. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal
5. Potencias de matrices. Ecuaciones en diferencias
6. Matrices unitarias, normales y matrices hermitianas
7. Aplicaciones: crecimiento de una población
8. Formas cuadráticas
9. Conclusiones
10. Recomendaciones
11. Bibliografía
Introducción
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los
vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar
de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor
propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda
completamente determinada por sus vectores propios y valores propios.
Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor
propio común.
La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este
contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado
parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se
aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una
determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se
utilizan habitualmente
OBJETIVOS:
Formular la definición de Valor Propio y de Vector Propio (real o complejo).
Enunciar e interpretar el significado del teorema sobre la condición de subespacio vectorial, de un
subconjunto de vectores propios.
Enunciar e interpretal el significado del teorema relativoa vectores propios pertenecientes a
subespacios propios diferentes.
Aplicarlos resultados de las definiciones y teoremas estudiados, a la determinación de los valores
propios y de los subespacios propios.
Formular la definición de base propia.
Enunciar e interpretar el significado del teorema sobre la diagonalización, en el caso de que los
valores propios sean reales y desiguales y también complejos.
Formular la definición de matrices simétricas y diagonalización ortogonal.
Aplicar los conocimientos del capítulo al crecimiento de una población y a las Formas Cuadráticas.
Aplicar los resultados del teorema anterior a la resolución de ejercicios.
Valores propios y vectores propios (eigenvalores y eygenvectores) de matrices
reales y complejas
A continuación se va a desarrollar un tema muy importante dentro del algebra lineal, llamado valor propio y
se plantea de la siguiente manera:
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Los términos valor propio y vector propio correspondientes a los términos eigenvalor y eigenvector
derivados del término alemán Eigenwert cuyo significado es “valor propio”
Interpretación geométrica en el plano R2
VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
Definición:
A esta ecuación se la denomina ecuación característica de A.
• Ejemplo:
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Observaciones:
Si A es una matriz de orden nxn entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Solución:
La ecuación característica de A es:
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3.1.- PROCESOS PARA DETERMINACIÓN DE VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS.
Sea A una matriz nxn:
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Observación:
Todo endomorfismo en V donde V es un espacio vectorial de dimensión finita y mayor o igual a 1 sobre el
cuerpo de los complejos admite vectores propios.
Pero si el cuerpo no es complejo, entonces no existen vectores propios.
• Ejemplo:
El sistema admite solución no trivial si:
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Teorema:
Demostración:
La matriz de f respecto de la base [ V ] se obtiene determinando las imágenes de los vectores de dicha
base, y teniendo en cuenta la definición de vector propio
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VALORES CARACTERISTICOS PARA MATRICES TRIANGULARES
Si A es una matriz triangular nxn entonces sus valores propios son sus elementos en la diagonal principal.
3.2.- MATRICES SEMEJANTES:
Sean las matrices A y B de orden nxn se dice que la matriz A es semejante a la matriz B si existe una matriz
P invertible de orden nxn tal que B = P-1
AP
Observación:
La definición dada también se puede expresar así:
Las matrices A y B de orden nxn son semejantes si y solo si existe una matriz invertible P tal que PB = AP
• Ejemplo:
Teorema:
Si A y B son matrices semejantes de orden nxn, entonces A y B tienen elmismo polinomio característico y
por lo tanto, tienen losmismos valores propios.
Demostración:
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Esto significa que A y B tienen la misma ecuacióncaracterísticay como los valores propios son raíces de la
ecuación característica tienen los mismos valores propios.
3.3.- EJERCICIOS
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2.- Encuentre los autovalores y autovectores correspondientes a las siguientes transformaciones lineales:
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3.- Obtener los eigenvalores y los eigenvectores asociados si existen de la siguiente matriz:
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Por lo tanto los eigenvectores de la matriz A son (1,0) (1,1)
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Posibles valores: a= 1; d = 1
5.-Determine los valores característicos de la siguiente matriz:
Lo cual implica que los valores característicos de A son -1, 6, -2
6.-Vea si las matrices D y A son semejantes dada la matriz P
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Diagonalización de matrices
Se dice que una matriz cuadrada A es diagonizable, si existe una matriz inversible P tal que P-1
AP sea
diagonal; se dice que la matriz P diagonaliza a la matriz A.
S existe una matriz ortogonal P tal que P-1
AP es diagonal, entonces A es diagonizable, y se dice que P
diagonaliza ortogonalmente a A.
• Ejemplo:
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Teorema:
Una matriz A de orden nxn es diagonizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes.
En tal caso la matriz diagonal D semejante a A esta dado por:
Demostración:
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Entonces P es invertible ya que sus columnas son linealmente independientes.
Ahora también.
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Entonces AP = PD y como P es inversible, se puede multiplicar ambos lados por la izquierda por P-1
para
obtener:
D = P-1
AP
Nota:
Si A es una matriz de orden nxn, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
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• A es diagonizable.
• A tiene vectores propios linealmente independientes.
Nota:
Si una matriz A de orden nxn tiene n valores propios diferentes entonces A es diagonizable.
• Ejemplo:
Determinar si la siguiente matriz es diagonizable:
Solución:
Calculando los valores propios de lamatriz A
Poniendo en la forma escalonada en los renglones reducida:
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Para verificar la independencia lineal de los vectores se forma la matriz P, cuyas columnas son los vectores
propios y se convierte enlaforma escalonada reducida.
4.1.- PASOS PARA DIAGONALIZAR UNA MATRIZ CUADRADA:
Sea A una matriz nxn:
1) Determine n vectores propios linealmente independientes v1, v2, v3,…..vn de A, con valores propios
correspondientes λ1, λ2, λ3,…….λn. Si no existen n vectores propios linealmente independientes,
entonces A no es diagonizable.
2) Si A tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces sea P la matriz nxn cuyas
columnas son tales vectores propios. Es decir:
P = [v1, v2, v3,………vn]
3) La matriz diagonal D = P-1
AP tendrá los valores propios λ1, λ2, λ3,…….λn en su diagonal principal
(y ceros en el resto). Observe que el orden de los vectores propios usados para formar P determina
el orden en que aparecen los valores propios sobre la diagonal principal de D.
4.2.- EJERCICIOS
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Concluimos que A sí es diagonizable.
2.- Encontrar la matriz P que diagonalice a la matriz A.
Solución:
Buscamos los vectores propios de A. Como es una matriz de 3x3 entonces debe tener tres vectores propios
para ser diagonizable.
Como A es una matriz triangular superior, sabemos que los valores propios son los elementos de la
diagonal principal.
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Finalmente formamos la matriz P que está constituida por los vectores propios como vectores columna.
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3.- Demuestre que la matriz dada no es diagonizable.
Por tanto A no tiene dos vectores característicos linealmente independientes, entonces se concluye que Ano
es diagonizable.
4.-Demuestre que la matriz dada no es diagonizable.
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Por tanto A no tiene dos vectores característicos linealmente independientes, entonces se concluye que Ano
es diagonizable.
5.- Calcular A6
donde la matriz A es igual a:
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Aquí aplicamos la ecuación del cálculo de las potencias de una matriz.
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Matrices simétricas y diagonalización ortogonal
5.1.- MATRIZ SIMETRICA:
Definición:
Una matriz cuadrada es simétrica si:
Observación:
Una matriz no simétrica puede no ser diagonizable.
Una matriz no simétrica puede tener valores propios que no sean reales.
Para una matriz no simétrica, el numero de vectores propios linealmente independientes
correspondientes a un valor propio puede ser menor que la multiplicidad del valor propio.
Ninguno de los casos anteriores es posible con una matriz simétrica.
Teorema:
Si A es una matriz simétrica nxn, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:
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Demostración:
La demostración no es posible ya que se requiere conocimientos más avanzados.
• Ejemplo:
5.2.- MATRIZ ORTOGONAL
Definición:
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Teorema:
Una matriz P nxn es ortogonal si y solo si sus vectores columna forman un conjunto ortonormal.
Demostración:
Suponga que los vectores columna de P forman un conjunto ortonormal.
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Por lo tanto, la matriz compuesta de productos punto es de la forma
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Teorema:
Si A es una matriz simétrica nxn. Si λ1 y λ2 son valores propios distintos de A entonces sus vectores propios
correspondientes x1 y x2 son ortogonales.
Demostración:
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Por consiguiente
X1.x2 = (s, -s). (t, t) = st – st = 0
Y se concluye que x1 y x2 son ortogonales.
5.3.- DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL:
Una matriz es diagonizable ortogonalmente si existe una matriz P tal que
P-1
AP = D
Teorema:
Si A es una matriz nxn. Entonces A es diagonizable ortogonalmente y tiene valores propios reales si y solo
si A es simétrica.
Demostración:
Por consiguiente, A es simétrica.
Observación:
El conjunto de matrices diagonizable ortogonalmente es precisamente el conjunto de matrices simétricas.
• Ejemplo:
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5.4.- PROCESO DE DIAGONALIZACION ORTOGONAL DE UNA MATRIZ SIMETRICA:
Sea A una matriz simétrica nxn
a) Determine todos los valores propios de A y la multiplicación de cada uno.
b) Para cada valor propio de multiplicidad 1, elija un vector propio unitario (Elija cualquier vector propio
y después normalícelo).
c) Para cada valor propio de multiplicidad k 2 encuentre un conjunto de k vectores propios
linealmente independientes. Si este conjunto no es ortonormal, aplique el método de
ortonormalizacion de Gran-Schmidt.
d) La composición de los pasos b) y c) da un conjunto ortonormal de n vectores propios. Use estos
vectores propios para formar las columnas de P. La matriz P-1
AP = PT
AP = D será diagonal.
5.5.- EJERCICIOS:
1.-Determine si la matriz dada es ortogonal.
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2.- Encuentre una matriz ortogonal P tal que PT
AP diagonalize a A. Compruebe que PT
AP da la forma
diagonal correcta.
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Ahora hacemos la comprobación:
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3.- Encuentre una matriz P que diagonalize ortogonalmente a A.
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Los dos vectores son de multiplicidad 1; por los tanto los normalizamos para obtener una base ortonormal.
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4.- Encuentre los valores propios de la matriz simétrica dada. Para cada valor propio, determine la
dimensión del espacio propio correspondiente.
Solución:
Encontramos los valores propios de A.
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Por lo tanto tenemos que la dimension del espacio propio es 2.
5.-Encuentre una matriz ortogonal P que diagonalice a
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Potencias de matrices. Ecuaciones en diferencias
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6.1.-POTENCIAS DE MATRICES:
Una primera aplicación a la diagonalización de una matriz es que se puede fácilmente encontrar la potencia
n ésima de una matriz.‐
6.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS:
Una ecuación en diferencia es una expresión que relacióna distintas sucesiones, siendo una de ellas una
sucesión desconocida.
Son similares a las ecuaciones diferenciales, sustituyendo las funciones por sucesiones.
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Las combinaciones lineales de soluciones de la forma indicada arriba también son soluciones.
6.3.- EJERCICIOS:
1.- Elevar la matriz dada al cuadrado al cubo y a la cuarta potencia
2.- Elevar la matriz a la n-esima potencia
Dado
Solucion:
Aplicando lo ya antes demostrado obtenemos la potencia hay que tomar en cuenta que si no tenemos la
matriz D tenemos que obtenerla mediante la diagonalización. Además de obtener P y P inversa.
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3.- Encontrar la matriz potencia de:
Solución:
Para este ejercicio se considera que ya previamente se a realice do la diagonalización y las matrices P y
D son:
4.-Utilice la expresión del ejercicio anterior para calcular la potencia cuando
n=5
Solución:
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Calcular la cuarta potencia
Solución:
Realizando la multiplicación tenemos
Matrices unitarias, normales y matrices hermitianas
Los problemas que implican la diagonalización de matrices complejas, así como los problemas asociados de
valores característicos, requieren del concepto de matrices unitarias y Hermitianas. Estas matrices
corresponden grosso modo a las matrices reales ortogonales y simétricas. Para definir las matrices unitarias
y Hermitianas definiremos primero los siguientes conceptos:
Definición de la Transpuesta Conjugada de una MatrizTranspuesta:
La transpuesta conjugada de una matriz transpuesta A, denotada por A*, se define como:
Donde los elementos de Ā son los conjugados complejos de los elementos correspondientes de A.
Observación:
Hay que tener presente que si A es una matriz real, entonces:
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7.1.- MATRICES UNITARIAS:
Una matriz compleja A se denomina unitaria si:
Teorema:
Una matriz compleja A nxn es unitaria si y solo si sus vectores renglón (o columna) forman un conjunto
ortogonal en Cn
7.2.- MATRICES NORMALES:
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica,
anti simétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
7.3.- MATRICES HERMITIANAS:
Se dice que una matriz cuadrada A es hermitiana si:
A = A*
Así como las matrices simétricas, las matrices Hermitianas pueden identificarse fácilmente por inspección.
Para probar esto consideremos una matriz de 2x2.
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Resultados semejantes pueden obtenerse para matrices Hermitianas de orden nxn. En otras palabras, una
matriz cuadrada A es hermitiana si y solo si se cumplen las condiciones siguientes:
1. Los elementos de la diagonal principal son reales.
2. El elemento aij en la i-esima columna es el conjugado complejo del elemento aji en el j-ésimo renglón
y en la i-esima columna.
Teorema: Los valores característicos de una Matriz Hermitiana:
Si A es una matriz Hermitiana, entonces sus valores característicos son números reales.
Demostración:
Teorema: Matrices Diagonalizables Unitariamente
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Si A es una matriz hermitiana nxn, entonces:
1. A es diagonalizable unitariamente
2. A tiene un conjunto de n vectores característicos ortonormales.
Teorema: Vectores característicos de una Matriz Hermitiana
Comparación de las Matrices Hermitianas y las Matrices Simétricas:
A es una matriz simétrica
( Real)
A es una matriz Hermitiana
(Compleja)
1.-Los valores característicos de A son reales 1.- Los valores característicos de A son reales.
2.- Losvectores característicos correspondientes
a valores característicos son ortogonales
2.- Los vectores característicos
correspondientes a valores característicos
distintos son ortogonales.
3.- Existe una matriz ortogonal P tal que P’AP
es diagonal.
3.- Existe una matrizunitaria P tal que P*AP es
diagonal.
7.4.- EJERCICIOS:
1.- Demuestre que la siguiente matriz es unitaria.
2.-Demuestre que la siguiente matriz compleja es unitaria al demostrar que su conjunto de vectores renglón
forma un conjunto ortonormal en C3
Solución:
Sean r1, r2 y r3 definidos como de la siguiente manera:
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De manera semejante r1.r3 = 0 y r2.r3 = 0 y se puede concluir que (r1,r2,r3) es un conjunto ortonormal.
3.- ¿Cuáles de los siguientes matrices son Hermitianas?
Solución:
a) Esta matriz no es hermitiana porque contiene un elemento imaginario en su diagonal principal.
b) Esta matiz es simétrica pero no hermitiana porque el elemento en el primer renglón y segunda
columna no es complejo conjugado del elemento en el segundo renglón y primera columna.
c) Esta matriz es hermitiana.
4.- Encuentre los siguientes valores de la siguiente matriz Hermitiana.
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Lo cual implica que los valores característicos de A son: -1, 6, -2
Para encontrar los vectores característicos de una matriz compleja se usa un procedimiento semejante al
que se emplea en una matriz real.
5.- Demuestre que los siguientes vectores característicos de la matriz hermitiana del ejercicio anterior son
mutuamente ortogonales.
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6.- Encuentre una matriz unitaria P tal que P*AP sea una matriz diagonal, donde
Solución:
Enel ejercicio anterior encontramos los vectores caracteristicos de A. La matriz P se forma al normalizar
estos tres vectores caracteristicos y usar los resultados para crear los renglones de P.
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Aplicaciones: crecimiento de una población
Las matrices pueden aplicarse para elaborar modelos que describan el crecimiento de alguna población en
clases de edad de la misma duración.
Si el tiempo que vive un miembro de la población es L años entonces las clases de edad se representan por
los n siguientes intervalos:
Numero en la clase de primera edad.
Numero en la clase de segunda edad.
Numero en la clase de la n-esima edad.
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Durante un periodo de L/n años, la probabilidad de que un elemento de la clase de la i-esima edad
sobreviva para convertirse en elemento de laclase de la (i + 1) –esima edad está dada por pi,
donde
Al multiplicar esta matriz de transición de edades por el vector de distribución de edades durante un periodo
especifico seobtiene el vector de distribución de edades para el siguiente periodo. Es decir:
Axi = xi+1
• Ejemplo:
Una población de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes características:
a) La mitad de conejos sobrevive el primer año. De estos, la mitad sobrevive el segundo año. La
duración máxima de vida es de tres años.
b) Durante el primer año los conejos no producen descendencia. El número medio de descendencia es
6 durante el segundo año y 8 durante el tercer año.
Actualmente la población de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad 24 en la
segunda y 20 en la tercera. ¿Cuántos habrá en cada clase de edad en un año?
Solución:
El vector actual de distribución de edades es
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Si el patrón de crecimiento continúa durante otro año, entonces la población de conejos será:
A partir de los vectores de distribución de edades x1, x2, x3 se observa que el porcentaje de conejos en las
tres clases de edad cambia cada año.
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8.1.- EJERCICIOS:
1.- Use la matriz A de transición de edades y el vector x de distribución de edades para encontrar los
vectores de distribución de edades x2 y x3. Luego encuentre una distribución de edades estable para la
matriz dada.
Ahora encontramos una distribución de edades estables. Para ello encontramos los valores propios.
2.- Use la matriz A de transición de edades y el vector x1, de distribución de edades para encontrar los
vectores de distribución de edades x2, x3.
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3.- Encuentre una distribución de edades estable para la matriz de transición de edades del ejercicio
anterior.
Solo trabajamos con el valor propio positivo, y encontramos el vector propio:
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4.- Una población presenta las siguientes características:
a. Un total del 75% de la poblacion sobrevive el primer año. De este 75%, el 25% sobrevive el
segundo año. La duración máxima de vida es de 3 años.
b. El numero medio de de descendencia de cada miembro de la población es 2 el primer año,
4 el segundo y 2 el tercero.
Actualmente la población consta de 120 elementos en cada una de las tres clases de edad. ¿Cuántos habrá
en cada clase de edad en un año? ¿Y en dos años?
Solución:
Primero formamos la matriz de transición de edades y el vector de distribución de edades a partir de los
datos:
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Habrá 960 individuos en la primera clase de edad, 90 en la segunda y 30 en la tercera.
Si el patrón de crecimiento no se altera, entonces el vector de distribución de edades será:
Habrá 2340 individuos en la primera clase de edad, 720 en la segunda y 22 en la tercera.
5.- Una población de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes características:
a) La mitad de conejos sobrevive el primer año. De estos, la mitad sobrevive el segundo año. La
duración máxima de vida es de tres años.
b) Durante el primer año los conejos no producen descendencia. El número medio de descendencia es
6 durante el segundo año y 8 durante el tercer año.
Actualmente la población de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad 24 en la
segunda y 20 en la tercera. ¿Cuántos habrá en cada clase de edad en un año?
Solución:
Primero tomamos la matriz de transición de edades y el vector de distribución de edades con los datos
del problema.
Al cabo de un año en la primera clase de edad habrá 304 conejos, en la segunda clase de edad habrán 12
conejos, y de igual manera en la tercera clase.
Formas cuadráticas
Los valores propios y los vectores propios pueden usarse para resolver el problema de rotación de ejes.
Recuerde que la clasificación de la ecuación cuadrática.
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Es bastante directa en la medida en que la ecuación no contenga termino xy. Sin embargo, si la ecuación
contiene termino xy, entonces la clasificación se logra más fácil al efectuar primero una rotación de ejes que
elimine el termino xy. La ecuación resultante (respecto a los nuevos ejes x’y’) será entonces de la forma
La matriz A se denomina matriz de la forma cuadrática. Observe que la matriz A es simétrica por definición.
Además, la matriz A será diagonal si y solo si su forma cuadrática correspondiente no tiene termino xy.
• Ejemplo:
Encuentre la matriz de la forma cuadrática asociada con cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
Para ver como se puede usar la matriz de forma cuadrática para efectuar una rotación de ejes, sea:
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Si b = 0 entonces no es necesaria ninguna rotación. Pero si b≠0, entonces como A es simétrica se puede
aplicar el teorema de Diagonalización ortogonal para concluir que existe una matriz ortogonal P tal que:
Lo anterior sirve como demostración.
Observación:
Nótese que el producto matricial [d e]Px’ es de la forma:
• Ejemplo:
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Efectúe una rotación de ejes para eliminar el término xy de la ecuación cuadrática
Proceso que se debe seguir:
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9.1.- EJERCICIOS:
1.- Obtenga la matriz de la forma cuadrática asociada con la matriz dada:
2.- Obtenga la matriz A de la forma cuadrática asociada con la ecuación dada. Luego encuentre los valores
propios de A y una matriz ortogonal P tal que PT
AP sea diagonal.
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Buscar un cambio de variables lineal e invertible (y además ortogonal) de manera que se eliminen
los productos de dos variables distintas.
Solución:
4.- Efectúe una rotación de los ejes que elimine el término xy en la ecuación cuadrática dada. Identifique la
cónica rotada resultante y de su ecuación en el nuevo sistema de coordenadas.
Solución:
Primero formamos la matriz de la forma cuadrática:
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Ahora del producto matricial obtenemos:
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Pertenece a la ecuación de una parábola.
5.- Efectúe una rotación de los ejes que elimine el término xy en la ecuación cuadrática dada. Identifique
lacónica rotada resultante y de su ecuación en el nuevo sistema de coordenadas.
xy + x - 2y + 3 = 0
Solución:
Primero formamos la matriz de la forma cuadrática:
Como a = 0, b = 1 y c = 0, d = 1, e =-2 y f = 3 la matriz de la forma cuadrática será:
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Formamos la matriz P.
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Pertenece a la ecuación de una hipérbola.
Conclusiones
Una vez concluido el trabajo tenemos una idea clara de temas antes desconocidos como son los valores
propios y vectores propios y sus distintas aplicaciones.
Estos conocimientos lo logramos mediante la realización de varios ejercicios donde se explica de manera
clara, además los mismos realizan una síntesis de los temas tratados en el presente trabajo.
De igual manera pudimos entender lo que es la Diagonalización de matrices y sobre todo las matrices
simétricas y la Diagonalización ortogonal.
Varios de los conceptos aprendidos los pudimos llevar a las aplicaciones como son: crecimiento de una
población en la cual con los ejercicios propuestos podemos ver como va a variar el crecimiento de una
población a lo largo de los años y formas cuadráticas en la cual podemos resolver mucho más fácil y
rápidamente las ecuaciones canónicas.
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Recomendaciones
Deberíamos tener presente el cuidado que debemos tener a la hora de resolver los distintos ejercicios ya
que es fácil caer en los errores algebraicos sobre todo si estamos trabajando con números complejos.
Además hay que tener presente la teoría ya que sin esta no podremos trabajar en los distintos ejercicios
prácticos.
Si después de revisado todo el trabajo queda alguna duda recomiendo revisar la bibliografía que esta al
final.
Bibliografía
• Introducción al algebra lineal de Larson- Edwards
• Introducción al algebra lineal de Howard Anton, tercera edición
• Algebra Lineal por Kolman Bernard
• Algebra Lineal por Seymour Lipschutz
• Algebra Lineal por Stanley Grossman
• Algebra Lineal y sus Aplicaciones David C. Lay
Autor:
Mateo Caldas Calle
caldasmateo17@gmail.com
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