El documento explica la diferencia entre dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores. La dependencia lineal ocurre cuando un vector puede expresarse como una combinación lineal de los otros, mientras que la independencia lineal ocurre cuando ningún vector puede expresarse de esta manera. Proporciona ejemplos para ilustrar ambos conceptos resolviendo sistemas de ecuaciones lineales.

1. Dependencia e independencia lineal

2. Dependencia lineal Un conjunto es linealmente dependiente (LD) si algún vector de dicho conjunto es combinación lineal de los otros.

3. Ejemplo: Dado S = {(1,2,3),(2,-1,0),(3,1,3)}. Determinar que S es linealmente dependiente. Primero realizamos la combinación lineal con el cero vector: (0,0,0) = α(1,2,3) +β(2,-1,0) +γ(3,1,3) (0,0,0) = (α,2α,3α) + (2β,-β,0) + (3γ,γ,3γ) (0,0,0) = (α+2β+3γ , 2α-β+γ , 3α+3γ) Realizamos un sistema de ecuaciones: α+2β+3γ = 0 2α-β+γ = 0 3α+3γ = 0

4. Colocamos las ecuaciones en una matriz: |A| = Como es una matriz cuadrada encontramos el determinante, utilizando el método de la estrella: |A| = -3 +0 +6 +9 -12 +0 |A| = 0 Э ∞ Soluciones => S es LD 1 2 3 0 2 -1 1 0 3 0 3 0

5. Independencia lineal Un conjunto es linealmente independiente si ninguno de sus vectores es combinación lineal de los otros.

6. Ejemplo: Dado S = {(1,1,0),(0,1,1)}. Determinar que S es linealmente independiente. (0,0,0) = α(1,1,0) + β(0,1,1) (0,0,0) = (α,α,0) + (0,β,β) (0,0,0) = (α , α+β , β) α = 0 α+β = 0 Э ! solución β = 0 => S es LI 1 0 0 1 1 0 0 1 0