El documento describe las funciones de variable compleja, incluyendo su definición, representaciones gráficas y ejemplos de mapeos o transformaciones como traslación, rotación, inversión y reflexión. Una función de variable compleja asigna a cada número complejo z un número complejo w relacionado por la función f(z). Algunos mapeos comunes incluyen traslación f(z)=z+z0, rotación f(z)=re^{i(θ+θ0)} y rotación-escala f(z)=rz0.

1. Funciones de variable compleja
Definiciónde funciónde variable compleja
En el estudio de números reales, una función f asigna a un elemento de su
dominio un elemento de su rango acorde a una expresión de la forma
x → y = f(x)
Por ejemplo, la función y = f(x) = 2x + 3 realiza las siguientes asociaciones
x → y:
0 → 3
2 → 7
-1 → 1
mientras que su inversa x = f -1 (y) = (y - 3)/2 realiza las asociaciones y → x.
Para el caso de los números complejos, podemos construir una herramienta
similar de asociación entre dos números complejos z y w.
Definición : Sea S un conjunto de números complejos. Una función f de
variable compleja definida en S es una regla que asigna a cada número
complejo z = x + iy de S, algún número complejo w = u + iv.
El número complejo “w” se llama valor de f en “z” y se denota por f(z),
es decir w = f(z) ,
y el conjunto “S” donde está definida la función f(z) se llama dominio de Ϝ.
Para representar gráficamente esta asignación o mapeo, se requieren 2
planos complejos: el plano “z” y el plano “w”, tal como se muestra
en la figura anexa:
. Dado que z y w son

2. númeroscomplejos,relacionadosporlafunciónf,esposible escribir:
w = f(z)
u + iv = f(x+ iy)
donde hemosconsideradoque
w = u + iv
y z = x + iy.
Lo anteriorpermite expresarala funciónde variable compleja f(z) comolasuma
f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)
cuandousamosla representaciónrectangular;mientrasque enlarepresentaciónexponencial
podemosescribir :
f(z) = f(r, ) = u(r, ) + iv(r,)
de donde se ha considerado:
Z= 𝒓𝒆𝒊
Ejemplo.Encuentre laspartesreal e imaginariade lafunción f(z) =2𝒛 𝟐- 8z y expréselasen
formarectangular[u(x,y) y v(x,y)] y formaexponencial [u(r,) yv(r,)].
Ejercicios.Encuentre laspartesreal e imaginariade lasfuncionesindicadasyexpréselasen
representaciónrectangular(u(x,y) yv(x,y)) y representaciónexponencial (u(r,)yv(r, )).
1. F(z)= 𝒁𝒁∗
2. F(z)=
𝟏
𝒛
3. f(z) =
2𝑧−8
𝑧2+1
Si al realizarestaseparación,encualquierade susrepresentaciones,resultaque lafunciónves
siempre cero,entoncesdecimosque lafunción f(z) esunafunciónreal de variable compleja.
Un ejemplode talesfuncioneseslaprimerade laslistadasen el ejercicioprevio,f(z)=zz*.

3. b).- Mapeos o transformaciones
Comovimosanteriormente,unafuncióncomplejade variablecompleja f(z) asignaacada
puntoz = (x,y) un punto w = (u,v); este tipode asignaciónunívocarecibe el nombre de
mapeoo transformación.Enloque sigue veremosalgunoscasosparticularesde mapeosque,
al aplicarse sobre unconjuntode puntos 𝒛 𝒌 enel planocomplejo(yaseanlíneasoáreas),nos
permite hablarde traslación,rotación,inversiónyreflexión.
Traslación:
La funciónw= f(z) = z + 𝑧0
corresponde auna transformaciónomapeoque representaunatraslaciónpuradel eje de
coordenadas,esdecir,que trasladaal conjuntode puntosz como si el origense ubicase en 𝒛 𝟎
como se muestraenla figura.
Por ejemplo, f(z) =z + 3 +2i trasladaal segmentode rectaque une losPUNTOS 𝑍1 = 1 – i y
𝑍2 = 4 + 2i tal como se muestra.

4. Mientrasque g(z) = z + 2 -2i trasladaal segmentode rectaque une lospuntos 𝑍1 = -1 +4i
y 𝑍1 = 4 + 2i
ROTACION
Para analizarla rotaciónesconvenienteretomarlarepresentaciónexponencial del número
complejoz,a saber
z = r𝑒 𝐼ѳ
Tal como se puede inferirde lafigura,rotaral númerozun ángulo 0 es equivalenteasumar
0 al argumentode z. Conlo anterior,podemosafirmarque lafunción
w = f(z) = r𝑒 𝐼ѳ
corresponde auna transformacióno mapeoque representaunarotaciónpuradel eje de
coordenadas,esdecir,que rotalosejesreal e imaginariounangulo 𝜃0.
Si a continuaciónconsideramosel producto w = 𝑍𝑍0
podemosusarla siguienterepresentaciónpolarde dichosnúmeros
w = 𝑝𝑒 𝑖∅ , z = 𝑟𝑒 𝑖∅ y 𝑍0 =𝑟𝑒 𝑖∅ para tener = 𝑝𝑒 𝑖∅ =(𝑟𝑒 𝑖∅) (𝑟𝑒 𝑖∅0)

5. de donde vemosque:  = 𝑟𝑟0
∅=  + 𝜃0
Aquí vemosque hanocurridodoscosas: por una parte,el módulode ¨z¨ se ha modificadopor
un factor 𝑟0; y por otra parte,el ángulose ha incrementadounaconstante 𝜃0,tal como se
muestraenla figura.
Con loanterior,podemosafirmarque lafunción
w = f(z) = 𝑍𝑍0
corresponde auna transformación omapeoque representa,al mismotiempo,unarotación
por un ángulo 0 y una modificacióndel móduloporunfactor r0; eneste caso,la
transformaciónesuncaso particularenel que 𝑟0 = 1.
Por ejemplo, f(z) =iz = 𝒆𝒊𝝅/𝟐 rota /2al segmentode rectaque une lospuntos 𝑍1 = 2 – i
y 𝑍2 = 3 + i,tal comose muestra

6. Otro caso interesante es f(z) = -z = (-1)z = 𝒆𝒊𝝅 𝒛.
En este caso,se tiene unarotaciónde  alrededordel origen,tal comose muestrapara el
segmentoque vade 𝑍1 = 2 a 𝑍 2 = i.