Este documento trata sobre el tema de las derivadas en matemáticas. Explica que la derivada de una función representa la tasa de cambio instantánea de dicha función y permite resolver problemas en diversas áreas como geometría, física y economía. También describe las reglas para calcular derivadas de funciones como sumas, diferencias, productos y cocientes, así como la regla de la cadena y reglas para funciones exponenciales y logaritmos. El documento concluye que el cálculo de derivadas se realiza mediante la aplicación sistemática de

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Cátedra: Matemáticas.
Actividad: 3
DERIVADAS
Nombre: Ariana Masiel.
Apellido: Parra Mora.
C.I: V- 30.792.207
Fecha de entrega: 23/07/2021
Junio 2021

2. INTRODUCCIÓN
La derivación es una de las operaciones que el análisis matemático efectúa
con las funciones, esta permite resolver numerosos problemas de geometría,
economía, física y otras disciplinas.
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando
tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de
variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la
variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor
de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor
concreto de la variable.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la
pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la
rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta
tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las
proximidades del punto.
Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es
conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier
función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la
función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a
aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a
saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos
especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así
como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.
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3. ÍNDICE
• Introducción………………………………………………………………….2
• Índice………………………………………………………………………….3
• La derivada…………………………………………………………………...4
• Uso de las derivadas……………………………………………………….4-6
• Importancia de las derivadas ………………………………………….…...6
o Derivada de una fracción en un punto ……………………………....6
o Derivadas laterales ……………………………………………………..7
• Derivabilidad y continuidad………………………………………………..7
o Derivabilidad………………………………………………………………..7-8
o Funciones continuas y derivables…………………………………….....8-9
o La función derivada ………………………………………………………..9
o Propiedades de las derivadas de funciones algebraicas………………9
• Reglas de derivación……………………………………………………….10
o Regla de las cuatro pasos……………………………………………...10
o Suma y diferencia de funciones………………………………………11
o Producto de una función por una constante………………………...11
o Producto de funciones………………………………………………….11
o Cociente de funciones………………………………………………..11-12
• Regla de la cadena……………………………………………….……….12-14
o Regla del exponente…………………………………………………….14
o Regla de la exponencial……………………………………...…………14
o Regla del logaritmo……………………………………………………....15
• Conclusiones………………………………………………………………....16
• Bibliografía…………………………………………………………………….17
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4. LA DERIVADA
Del latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como
sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de la
matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una
función y el aumento de la variable independiente.
La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida
que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de
valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el
valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.
USO DE LAS DERIVADAS
La derivada te permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con
respecto a otra. Eso resulta muy útil en ciencias (velocidades, aceleraciones,
distribuciones que dependen del tiempo o de la cantidad de materia, son ejemplos
sencillos), en ingeniería y en economía.
También las derivadas expresan la variación de una magnitud en “infinitas
cantidades infinitesimales”. Matemáticamente, la derivada de una función en un
punto es la pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto. Físicamente,
miden la rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra.
Por ejemplo: la derivada de la posición de un coche con respecto al tiempo es su
velocidad.
Si hay un coche en una autopista, su posición cambiará con el tiempo porque
se desplaza con una determinada velocidad. Digamos que la posición tiene esta
ecuación:
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5. x=3t x=3t
Dónde xx es la posición que varía con un tiempo tt. En el origen (t=0t=0) , su
posición será x=0x=0. Un segundo después, habrá recorrido tres metros. Dos
segundos, 6 metros. Tres segundos, 9 metros….
La derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad, entonces el
coche va a:
v=dxdtv=dxdt
v=ddt(3t)=3m/sv=ddt(3t)=3m/s
Ejemplos importantes en física son:
Cinemática
 La derivada de la posición con el tiempo es la velocidad
 La derivada de la velocidad con el tiempo es la aceleración
Dinámica
 La derivada del momento lineal con el tiempo es la fuerza
 La derivada de la fuerza con respecto a la posición es la energía (potencial,
cinética, trabajo, entre otros).
Geometría
 La derivada del volumen es la superficie o área
 La derivada de la superficie es la distancia
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6. Electrostática
 La derivada de la carga eléctrica en el tiempo es la intensidad de corriente
Física de Materiales
 La derivada de la masa con respecto a la longitud/superficie/volumen es
la densidad
IMPORTANCIA DE LAS DERIVADAS
Las derivadas aportan información concreta, directa y científica a los expertos
y, con esos resultados, interpretan y son capaces de ofrecer información acerca de
nuestra propia existencia y también utilizarlas para aplicarlas en cosas tan habituales
como el vuelo de un avión, el movimiento de un coche, la construcción de un edificio,
de un contenedor o de muchos otros elementos que para nosotros son normales y
que, sin embargo, sin su utilización no serían posibles.
DERIVADA DE UNA FRACCIÓN EN UN PUNTO
Cada una función f(x) y considerado un punto a de su dominio, se llama
derivada de la función en ese punto, denotada como f‟(a), al siguiente límite:
Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:
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7. DERIVADAS LATERALES
Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas
laterales de una función en un punto.
Dada la función f(x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se
define su derivada por la derecha, y se denota como f‟(a)* al límite siguiente:
Por su parte, la derivada por la izquierda de f(x) en el punto a, denotada por
f‟(a)-, se define como el siguiente límite:
Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la
izquierda, y sus valores coinciden.
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
Las nociones de derivabilidad y continuidad en un punto o un intervalo
guardan una estrecha relación. En términos generales, el concepto de derivabilidad
es más selectivo, por cuanto toda función derivable es obligatoriamente continua,
aunque no siempre pueda afirmarse lo contrario.
DERIVABILIDAD
La noción de derivada se asocia a la de límite. Por tanto, una derivada puede
no existir por las mismas causas que un límite. Cuando para una función en un punto
existen derivadas por la derecha y por la izquierda y ambas coinciden, la función se
denomina derivable en ese punto. De ello se deduce que existen dos clases de
funciones claramente no derivadles:
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8.  Cuando no existe el límite que define la derivada: por ejemplo, por la presencia de
un salto o una discontinuidad.
 Cuando existen las dos derivadas laterales, pero no coinciden (puntos
angulosos): en este caso, es evidente que las pendientes de las rectas tangentes
por la derecha y por la izquierda, serán distintas.
Ejemplo de función no derivable en m por la existencia de una discontinuidad,
ni en n porque no coinciden las derivadas laterales.
FUNCIONES CONTINUAS Y DERIVABLES
Las nociones de derivabilidad y continuidad de una función están
estrechamente relacionadas. Los principios que relacionen ambos conceptos son los
siguientes.
Una función f (x) derivable en un punto x = a, o en un intervalo (a, b), es
necesariamente continua en dicho punto o intervalo.
Una función f (x) continua en un punto x = a, o un intervalo (a, b) puede ser o
no derivable en dicho punto o intervalo. Por ejemplo, una función con un punto
anguloso es continua en él, pero no puede derivarse en el mismo (existen derivadas
por la derecha y por la izquierda, pero son diferentes).
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9. Ejemplo de función no derivable en x = 1 por la presencia de un punto anguloso.
Así pues, la noción de derivabilidad es más restringida que la de continuidad,
ya que todas las funciones derivables son continuas, pero no a la inversa.
LA FUNCION DERIVADA
Dada una función f (x) continúa y derivable en un dominio de definición dado,
es posible definir una nueva función, llamada derivada y denotada por f „(x), tal que a
cada valor de x perteneciente al dominio de la función le asocia la derivada de f(x).
Esta definición puede aplicarse a derivadas sucesivas. La derivada de una
función es una nueva función derivada para un dominio dado, de manera que si es
continua y derivable en dicho dominio, es posible determinar una nueva función
derivada de la misma, que será a su vez la función derivada segunda de f (x).
Las funciones derivadas sucesivas de una función f(x) se denotan del modo
siguiente:
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Siendo c una constante real y existiendo f(x) y g (x) con sus derivados tenemos.
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10. REGLAS DE DERIVACION
El cálculo de la derivada de una función puede realizarse a partir de un
conjunto de reglas fijas de aplicación sistemática. A la hora de derivar una función, se
utilizan primero las propiedades generales de la derivación, para reducirla a una serie
de funciones simples conocidas, cuyas derivadas se obtienen directamente a partir
de una tabla.
REGLA DE LAS CUATRO PASOS
El proceso más general utilizado para la obtención de derivadas de funciones
se denomina regla de los cuatro pasos. Dada una función f(x) continúa y derivable,
esta regla aplica las siguientes etapas:
• Se determina: `
• Se calcula:
• Se obtiene el cociente incremental entre ambos términos:
• Se calcula el límite de este cociente incremental cuando h tiende a cero:
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11. SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones u (x) y v (x) continuas y derivables, la derivada de la
función suma (o diferencia) de las dos es igual a la suma (o diferencia) de sus
derivadas.
PRODUCTO DE UNA FUNCION POR UNA CONSTANTE
Dada una función f(x) continua de derivable y un número real l, la derivada del
producto de ambos es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
Dada una función:
PRODUCTO DE FUNCIONES
Dadas dos funciones continuas y derivables, la derivada del producto de las
dos es igual a la derivada de la primera por la segunda, sin derivar, más la primera
por la derivada de la segunda. Dada una función:
COCIENTE DE FUNCIONES
Dadas dos funciones continuas y derivables u (x) y v (x), donde la segunda es
distintas de cero, la derivada del cociente de la primera por la segunda se determina
con arreglo a la expresión dada a continuación.
Dada una función:
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12. REGLA DE LA CADENA
Dada una función f (u) derivable con respecto a u, siendo u derivable con
respecto a x, la derivada de la composición de funciones f [u(x)] con respecto a x es
igual al producto de la derivada de f con respecto a u por la derivada de u con
respecto a x.
Es decir, si
La derivación por regla de cadena se aplica cuando buscamos derivar una
composición de funciones.
Si tenemos una función compuesta de la forma
Entonces su derivada, respecto a x está dada por
O en notación con diferenciales
Debemos notar cuidadosamente que f‟ (u) es la derivada de f pero en términos de u.
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13. La demostración por definición sería como sigue
Consideremos un ejemplo muy particular, supongamos que queremos calcular
la derivada de la función . Con las reglas de derivación que
conocemos actualmente, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el
producto notable para obtener y posteriormente derivar cada
sumando para obtener que
Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que
queremos calcular la derivada de la función . Pudiéramos pensar en
expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este
procesos pudiera ser engorroso, más aún si consideramos una función expresada
como . Entonces, debemos desarrollar otra regla que nos permita
calcular la derivada de este tipo de funciones.
Si y son dos funciones tales que es su composición,
entonces definimos la derivada de esta composición de la siguiente forma:
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14. Esta regla para calcular la derivada de una función compuesta se conoce
como la Regla de la Cadena, nos permite calcular la derivada de funciones que no
están expresadas como operaciones básicas entre funciones elementales y de ella
consideraremos algunos casos específicos para facilitar su comprensión.
REGLA DEL EXPONENTE
Si , entonces . De esta forma, al aplicar la regla
de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que
A esta regla la llamamos regla del exponente y nos presenta una
generalización de la derivada . Sabiendo esto, al retomar nuestro último
ejemplo, podemos notar que la función está expresada como una
función compuesta, así que al aplicar la regla del exponente tenemos que
REGLA DE LA EXPONENCIAL
Si , entonces . De esta forma, al aplicar la regla de la
cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que
A esta regla la llamamos regla de la exponencial y nos presenta una
generalización de la derivada . Considerando un ejemplo concreto,
si entonces
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15. REGLA DEL LOGARITMO
Si , entonces . De esta forma, al aplicar la regla
de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que
A esta regla la llamamos regla del logaritmo y nos presenta una generalización
de la derivada . Considerando un ejemplo concreto,
si entonces
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16. CONCLUSIONES
El concepto de derivada es importante comprender y derivar fórmulas, que a
su vez tienen una importante aplicación en cualquier campo de trabajo y la ciencia en
general. El propósito principal de un derivado es optimizar los sistemas que se
expresan por las funciones más o menos complejo.
Para las personas que dedican su vida a la investigación, las matemáticas o
las ciencias, las derivadas son una parte esencial de conocimiento para
poder llegar a entender y conocer muchos de los misterios, desde el punto de vista
de nuestra realidad como seres humanos y como habitantes de un planeta y de un
punto del espacio.
Es interesante explicar cómo la derivada nace al darle solución a un problema
de la física, como era el estudio del movimiento producido por diversas variables y
además todo el problema del estudio del cálculo, de la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de una curva. Debido a los avances tecnológicos y a las aplicaciones de
este concepto en la vida real, es vital su enseñanza.
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17. BIBLIOGRAFÍA
• https://www.tusclases.pe/blog/tabla-derivadas-integrales
• https://www.importancia.org/derivadas.php
• https://es.slideshare.net/LeonardoLopez8/trabajo-resumen-derivada-versin-
final-13451580
• https://www.mat.uson.mx/~jldiaz/intro_obj_Derivadas.html
• http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-
24362008000200005
• https://totumat.com/2020/03/16/la-regla-de-la-cadena/
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