Este documento presenta los objetivos y contenidos de la unidad 1 de la asignatura Estructuras Discretas I. Los objetivos incluyen definir proposiciones, identificar conectivos lógicos y formas proposicionales, conocer las leyes del álgebra proposicional, aplicar métodos de demostración y construir circuitos lógicos. Se explican conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, formas proposicionales, leyes del álgebra proposicional y métodos de demostración directa e indirecta

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
ESTRUCTURAS DISCRETAS I
Participante:
T.S.U. Victor Sanchez
C.I. V-15.262.126
Materia:
Estructura Discreta I
Octubre, 2013

2. Objetivo Unidad 1
Basados en la revisión bibliográfica, la discusión y ejercitación dirigida,
experimentar los métodos de demostración directa e indirecta.
Objetivos Específicos
1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.
2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición.
3. Identificar las distintas formas proposicionales.
4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional.
5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería.
6. Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional.

3. 1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.
Una proposición se define como un enunciado, una oración
declarativa, o una expresión simbólica, de la cual se puede decir sin
ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero no ambas.
La proposición no se identifica con la oración sino con su contenido
descriptivo o su carga informativa, pudiendo haber diferentes oraciones que
sean la misma proposición desde el punto de vista lógico.
2. Identificar las distintas formas proposicionales.
Son palabras y/o símbolos que enlazan proposiciones con el fin de
construir un lenguajes (verbal o simbólico) más amplio.
SÍMBOLO
PALABRA
() []
Agrupación
No, no es
cierto, not
Y, and
O, or
0..0, xor
Si… entonces
Si y solo si
NOMBRE
Negación
Conjunción
Disyunción inclusiva, permite todos los casos.
Disyunción exclusiva, permite solo uno de
todos los casos.
Si condicional o implicación
Bicondicional o implicación doble
La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción,
disyunción, implicación, bicondicional y son asociadas por la izquierda.
De esta manera sin nos encontramos ante la siguiente proposición:
p
q
r.
El correcto para resolverlo sería para este caso:
a) Primero negamos r (
r)
b) Luego resolvemos la conjunción q
r
c) Por último resolvemos la implicación
Pero tiene mayor los signos de agrupación, de esta manera, si nos
encontramos con la proposición:

4. (p
q)
r.
a) Primero resolvemos la implicación (p
b) Luego hacemos la negación de r (
q)
r)
c) Por último la conjunción.
Como podemos observar los operadores se colocan a la izquierda de
la variable proposicional, siendo incorrectos los siguientes ejemlos:
 p

q
r
3. Identificar las distintas formas proposicionales.
Existen 3 formas proposicionales:
 Tautológicas.
 Contradicciones.
 Falacias
Tautológicas:
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.
Contradicciones:
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.
Falacias o Indeterminada:
Es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.
Condición Suficiente: H es condición suficiente para C.
Ejemplo: Si llueve hoy entonces me mojo. HC
Condición Necesaria: C es condición necesaria para H, si la enunciación
hipotética A-B es verdadera se dice que A es una condición suficiente para

5. B. Bajo las mismas condiciones, se dice que B es una condición necesaria
para A. Esquemáticamente:
A-B Dónde:
A: Condición suficiente para B
B: Condición necesaria para A
4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional.
Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas
que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del
bicondicional. Las leyes del algebra de proposiciones son las siguientes:
1. EQUIVALENCIA
P⇔P
2. INDEPOTENCIA
P∧P ⇔P
P∨ P ⇔P
3. ASOCIATIVA
P∨Q ∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q∨R)
P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R ⇔ P∧(Q∧R)
4. CONMUTATIVA
P∧Q⇔ Q∧P
P∨Q⇔ Q∨P
5. DISTRIBUTIVAS
P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R)
P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)
6. IDENTIDAD
P∧F ⇔ F
P∧V⇔ P
P∨F⇔ P
P∨V⇔V

6. 7. COMPLEMENTO
P∧¬P⇔F
P∨¬P⇔V
¬(¬P)⇔P
¬F⇔V
¬V⇔F
8. DE MORGAN
¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q
¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q
9. ABSORCION
P∧(P∨Q)⇔P
10. CONDICIONAL SIMPLE
P
Q⇔ ~ P∨Q
P
Q⇔ ~ Q
~P
11. BICONDICIONAL
P
Q ⇔ (P
Q) ∧( Q
P)
12. CONJUNCIÓN NEGATIVA
P↓Q ⇔ ~ P∧~ Q
5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e
Ingeniería.
Un método de demostración es un esquema argumentativo válido
con fundamento lógico no perteneciente en si a la matemática sino como
elemento propio de una meta teoría. La validez de la argumentación
radica en la veracidad de las hipótesis consideradas para deducir una
conclusión. Los métodos de demostración estudiados aquí son:
o Método directo de demostración
o Métodos indirecto de demostración
por reducción al absurdo

7. por contrapositiva
o Método de Inducción matemática
También llamado demostración por contrareciproca
Método directo de demostración: En el método de demostración
directa se tiene como hipótesis verdaderas las proposiciones H1 y H2 y… y
Hn procediendo a la deducción de que la conclusión
Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es decir
como una cadena de implicaciones lógicas. El esquema de demostración en
el método directo es de la forma:
Si H1 y H2 y … y Hn entonces Q
En forma simbólica:
H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn → Q
El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la
regla de inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado: Modus
Ponens.
[ P∧ (P→Q) ] →Q Modus Ponens
Que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la
conclusión Q
Entonces la conclusión Q es verdadera.
Para una mejor comprensión del esquema de demostración directa se
tiene algunos ejemplos donde se identifica cada elemento en la
demostración.
Métodos de demostración indirectos
El método de demostración directa no siempre es aplicable debido a la
naturaleza de las proposiciones a demostrar, por lo que es necesario realizar
una demostración indirecta las cuales son ampliamente usadas en
matemáticas,
a
continuación
demostración indirecta.
algunos
de
los
métodos
usuales
de

8. Método de demostración por reducción al absurdo:
Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C.,
la invención del método de reducción al absurdo que utilizaba en sus
argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un método
ampliamente aplicado en matemáticas.
6. Construir
una
red
de
circuitos
lógicos
de
una
forma
proposicional.
Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos
identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma
proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos
asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las
leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros
más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original.
Veamos los siguientes interruptores en conexión:
 Conexión en serie, la cual se representa como p ^ q
 Conexión en paralelo la cual se representa como p v q