Este documento describe las proposiciones matemáticas y sus características. Define una proposición como una unidad semántica que puede ser verdadera o falsa. Explica los diferentes tipos de proposiciones, conectivos lógicos, formas proposicionales, leyes de las proposiciones y métodos de demostración. También describe cómo construir redes de circuitos lógicos para representar formas proposicionales.

1. PROPOSICIONES MATEMÁTICAS
República Bolivariana de Venezuela
Universidad “Fermín Toro”
Sistema Interactivo a Distancia “SAIA”
Materia: Estructuras Discretas I
Profesora: Espinoza Alba
Elaborado por:
Pedro Luis Rodríguez Cabeza
C.I.: 16.388.340
Noviembre, 2014

2. ¿Qué son las Proposiciones?
• En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y
que tienen un sentido pleno, tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos
enunciados o proposiciones.
• Una proposición es una unidad semántica, que solo puede ser verdadera o falsa, pero no
ambas cosas a la vez
• Ejemplo 1: Preposiciones
▫ Gabriel Garcia Marquez escribío Cien años de soledad.
▫ 6 es un número primo.
▫ 3+2=6
▫ 1 es un número entero, pero 2 no lo es.
Nota: Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r…
• Ejemplo 2: Las siguientes no son proposiciones.
▫ x + y > 5 , es una afirmación pero no es una proposición ya que será verdadera o
falsa dependiendo de los valores de x e y
▫ ¿Te vas?, no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones

3. Tipos de Proposiciones
• Proposiciones atómicas: son aquellas
proposiciones que no figuran ningún operador
lógico
▫ Ejemplo:
Yo voy al cine a: Yo voy al cine
• Proposiciones moleculares: son aquellas
que están compuestas por varias proposiciones
atómicas unidad por conectores lógicos.
• Ejemplo:
(a=>b) ^ (b v a)

4. Conectivos lógicos de una proposición
Son aquellos símbolos que se usan para unir proposiciones, las cuales van a obtener un valor
verdadero o falso. Entre los operadores o conectores mas utilizados tenemos:
• Negación: cambia el valor lógico de una proposición, se le presenta con formas
gramaticales como “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”.
a: Hoy es martes
~a: Hoy no es martes
• Conjunción: relaciona proposiciones para formar una nueva, se le presenta con formas
gramaticales como “y”, “pero”, “mas”, y signos de puntuación como el punto, la coma, el
punto y coma
a: Hoy es martes
b: Faltaré a clases
a ^ b: Hoy es martes y faltaré a clases
• Disyunción: relaciona dos proposiciones para formar una nueva que será falsa solo
cuando las dos proposiciones sea falso, se le presenta con el termino gramatical “o”.
a: “voy al cine”
b: “como en la casa de mis abuelos”
a v b: Voy al cine o como en la casa de mis abuelos

5. Conectivos lógicos de una proposición
• Condicional: es una enunciación hipotética que tiene un antecedente y una
consecuencia, se le presenta con formas gramaticales como “si a, entonces b”, “a solo
si b”, “b siempre que a”, “b debido que a”, “solo si b, a” y cualquier expresión que
denote causa y efecto.
a: “hago caso a mis padres”
b: “voy al estadio”
a => b: Si hago caso a mis padres entonces voy al estadio
En esta tabla se puede resumir los operadores lógicos pero estos no son los únicos sino que
son los mas utilizados :

6. Formas Proposicionales
• Una forma proposicional es lo que se obtiene al reemplazar, una
preposición; la cual va a tener un valor de verdad, y va a estar formada por
conectores lógicos y proposicionales.
• Para armar una forma proposicional es muy importante reconocer los
conectores lógicos.
• Ejemplo:
▫ a: Voy al cine
▫ b: Compro cotufas
“Si voy al cine entonces compro cotufas y si compro cotufas, voy al cine”
(a=>b)^ (b=>a)
• Como se puede observar se ha representado por letras del abecedario
las proposiciones y se encuentran unidas por conectores lógicos, por lo
cual mediante su operación, van a obtener un valor verdadero.

7. Tipos de formas Proposicional
• Tautológicas: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero (1)
▫ p: Voy al cine
▫ q: Compro cotufas
p=> (q=>p)
“Si voy al cine entonces compro cotufas solo si voy al cine”
• Contradicciones: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso (0)
▫ a: Voy al cine
▫ b: Compro cotufas
(~a^b)^a
“No voy al cine y compro cotufas y voy al cine”
• Contingencia: es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez (0 1 )
▫ a: Voy al cine
▫ b: Compro cotufas
(a=>b) ^ (b=>a)
“Si voy al cine entonces compro cotufas y si compro cotufas, voy al cine”

8. Leyes de las Proposiciones
Las leyes de las proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden
demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del
bicondicional, estas leyes son las siguientes:
• Equivalencia
p = p
• Idmepotencia
p ^ p = p
p v p = p
• Asociativa
p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r
p v (q v r) = (p v q) v r
• Commutativa
p ^ q = q ^ p
p v q = q v p
• Distributiva
p ^ (q v r) = (p ^q) v (p ^ r)
p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)
• Identidad
p v 0 = p p v 1 = 1
p ^ 1 = p p ^ 0 = 0

9. Leyes de las Proposiciones
• Complemento
p v ~p = 1 ~~p = p
p ^ ~p = 0 ~0 = 1
~1 = 0
• Morgan
~ (p ^ q) = ~p v ~q
~ (p v q) = ~p ^ ~q
• Absorción
p ^ (p v q) = p
p v (p ^ q) = p
• Condicional
p -> q = ~p v q
p -> q = ~q -> ~p
• Bicondicional
p ↔ q = (p -> q) ^ (q -> p)
• Dominancia
p ^ F = F
p v V = V
• Elemento neutro
p ^ V = P
p v F = P

10. Métodos de demostración
• Demostración Directa :
La forma mas natural de demostración de una proposición que es condicional
es la demostración directa, ya que analizando la tabla de verdad para P =>
Q, vemos que es suficiente demostrar que q es verdadera siempre que p lo
sea (pues P => Q es verdadera cuando p es falsa)
Así, en una demostración directa de P => Q asumimos que la hipótesis p; es
verdadera y demostramos usando argumentos lógicos que la tesis q; es
verdadera. Una demostración directa sigue el siguiente esquema:

11. Métodos de demostración
• Demostración Indirecta: dentro de este método veremos dos formas
1. Método del Contrarrecíproco: se usa para demostrar, al igual que la
demostración directa, teoremas y proposiciones que tienen la forma condicional
P => Q, esta forma de demostración se basa en el hecho de que P => Q es
lógicamente equivalente a (~Q) => (~P), como muestra la siguiente tabla.
De esta manera, si queremos demostrar P => Q por contrarrecíproca, basta
demostrar (~Q) => (~P), usando una demostración directa, asumimos que ~Q es
verdadera y demostramos que ~P es verdadera. Una demostración por
contrarrecíproca sigue el siguiente esquema:

12. Métodos de demostración
2. Método del Bicondicionales: sabemos que una proposición
bicondicional es:
P si y solo si Q
es lógicamente equivalente a la proposición:
(si P; entonces Q) y (si Q; entonces P).
De esta manera, para demostrar una proposición de la forma “P si y
solo si Q" debemos demostrar dos proposiciones condicionales: la
proposición “si P; entonces Q" y la proposición “si Q; entonces P".
Una demostración de una proposición bicondicional tiene el
siguiente esquema:

13. Construcción de una red de circuitos
lógicos de una forma proposicional
• Circuito en serie, es aquel que está constituido por interruptores
dispuestos uno detrás de otro, se le representa mediante una
conjunción y basta que uno de los interruptores esté abierto para
que el foco no prenda.