El documento presenta tres problemas de cálculo diferencial resueltos por un estudiante. En el primer problema, se demuestra que una función satisface la ecuación de Laplace. En el segundo problema, se verifica que una función no satisface una ecuación dada. En el tercer problema, se pide hallar cuánto debe alargarse el radio de un sector circular para que su área no varíe al disminuir su ángulo central en un grado.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CABUDARE.ESTADO LARA
Apellidos: Alvarado Nombres: Juneiska
Cédula: 21048696 Fecha: 01/08/17
Examen Individual On line I
1. Dada
22
)()(
1
ln),(
byax
yxu

 satisface la ecuación 02
2
2
2






y
u
x
u
Solución:
Calculando:
𝛿𝑢
𝛿𝑥
(𝐿𝑛[
1
√( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
]) =
𝛿𝑢
𝛿𝑥
(−
1
2
𝐿𝑛[( 𝑥 − 𝑎)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2]) =
−(𝑥 − 𝑎)
( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
=
=
𝑎 − 𝑥
( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
Calculando nuevamente:
𝛿2
𝑢
𝛿𝑥2
=
−[( 𝑥 − 𝑎)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2] + 2( 𝑥 − 𝑎)2
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
=
[( 𝑥 − 𝑎)2
− ( 𝑦 − 𝑏)2
]
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
Ahora calculamos:
𝛿𝑢
𝛿𝑦
(𝐿𝑛[
1
√( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
]) =
5

2. 𝛿𝑢
𝛿𝑦
(−
1
2
𝐿𝑛[( 𝑥 − 𝑎)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2]) =
−(𝑦 − 𝑏)
( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
=
=
𝑏 − 𝑦
( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
Seguimos:
𝛿2
𝑢
𝛿𝑦2
=
−[( 𝑥 − 𝑎)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2] + 2( 𝑦 − 𝑏)2
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
=
[( 𝑦 − 𝑏)2
− ( 𝑥 − 𝑎)2
]
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
Satisfacer la ec. 02
2
2
2






y
u
x
u
[( 𝑥 − 𝑎)2
− ( 𝑦 − 𝑏)2
]
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
+
[( 𝑦 − 𝑏)2
− ( 𝑥 − 𝑎)2
]
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
=
=
( 𝑥 − 𝑎)2
− ( 𝑦 − 𝑏)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2
− ( 𝑥 − 𝑎)2
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
= 0
Por lo tanto satisface la ecuación de Laplace.
2. Si 





 
x
y
z 1
tan verificar que
xy
z
yx
z
yx
z








2
3
2
32
Derivando con respecto a x la función z(x,y):
𝛿𝑧
𝛿𝑥
=
−𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Derivando con respecto a y la ecuación anterior:
𝛿2
𝑧
𝛿𝑥𝛿𝑦
=
(𝑦2
− 𝑥2
)
( 𝑥2 + 𝑦2)2
Derivando con respecto a x la primera derivada:

3. 𝛿2
𝑧
𝛿𝑥2
=
2( 𝑥𝑦)
( 𝑥2 + 𝑦2)2
Derivando con respecto a y la ecuación anterior:
𝛿3
𝑧
𝛿𝑥2 𝛿𝑦
=
2𝑥(𝑥2
− 3𝑦2
)
( 𝑥2 + 𝑦2)3
Derivando con respecto a y la función z(x,y):
𝛿𝑧
𝛿𝑦
=
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
Derivando con respecto a y nuevamente:
𝛿2
𝑧
𝛿𝑦2
=
−2( 𝑥𝑦)
( 𝑥2 + 𝑦2)2
Por último se deriba nuevamente la ecuación anterior pero con respecto a x:
𝛿3
𝑧
𝛿𝑦2 𝛿𝑥
=
−2𝑦(𝑦2
− 3𝑥2
)
( 𝑥2 + 𝑦2)3
Veremos si satisface la ec.
xy
z
yx
z
yx
z








2
3
2
32
(𝑦2
− 𝑥2
)
( 𝑥2 + 𝑦2)2
=
2𝑥(𝑥2
− 3𝑦2
)
( 𝑥2 + 𝑦2)3
+ (
−2𝑦( 𝑦2
− 3𝑥2)
( 𝑥2 + 𝑦2)3
)
2𝑥( 𝑥2
− 3𝑦2) − 2𝑦( 𝑦2
− 3𝑥2)
( 𝑥2 + 𝑦2)3
≠
(𝑦2
− 𝑥2
)
( 𝑥2 + 𝑦2)2
No se satisface la ecuación dada
3. El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se desea disminuirlo en
1°.¿en cuanto hay que alargar el radio del sector para que su área no varíe , si
su longitud inicial era igual a 20 cm?. Aplique diferencial total (1 ptos)