Unidad2 1

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Límite y continuidad

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Unidad2 1

  1. 1. Instituto Universitario Aeronáutico Facultad Ciencias de la Administración INGENIERÍA DE SISTEMAS Matemática II plan 2010 MATEMATICA II 21) Análisis de continuidad: Vemosquela funciónestá definidaen x=1 y f (1)=0. lo que satisface la primera condición siendo que x=1 pertenece al dominio de la función. lim x→1< ( x 2 −1) (x−1) >¿ ¿ lim x−1< ((x−1)(x+1)) (x−1) >¿ ¿ lim x−1 (x+1) Ahora determinamos el límite cuando x--> 1 lim x→1 (1+1) =2
  2. 2. Instituto Universitario Aeronáutico Facultad Ciencias de la Administración INGENIERÍA DE SISTEMAS Matemática II plan 2010 Satisface la segunda condición ya que el límite existe. F(1)=0 lim x→1 ( (x 2 −1) (x−1) )≠F(1) Concluimos que la función es discontínua en x=1. El tipo de discontinuidad es evitable porque el límite de la función cuando x tiende a 1 sí existe. Cálculo cuando x tiende a 2. lim x→2 ( (x 2 −1) (x−1) ) lim x−2 ( ((x−1)(x+1)) (x−1) ) lim x−2 (x+1) lim x→2 (2+1) =3
  3. 3. Instituto Universitario Aeronáutico Facultad Ciencias de la Administración INGENIERÍA DE SISTEMAS Matemática II plan 2010 Demostración por definición de límite de la existencia de lim x−1 ( (x 2 −1) (x−1) )=2 0<|(x−1)|<∂ ⇒|( (x 2 −1) ( x−1) −2)|<ƛ |(x+1−2)|<ƛ |(x−1)|<ƛ⇒∂⩽ƛ Entonces dado unƛbastatomar ∂⩽ƛ paraque existael límite. 22) Para empezar a evaluar la continuidad vemos que la función si está definida en x=5 y su correspondiente imagen es 0. Luego vemos si existe el límite de la misma. lim x→5 ( (x 2 −25) (x−5) ) lim x→5 ((x−5)(x+5)) (x−5) ¿ lim x→5 (x+5) =10 Así el límite existe y es igual a 10. Ahora verifiquemos lim x→5 ( (x 2 −25) (x−5) )=f (5) lim x→5 ( (5 2 −25) (5−5) )=0 y comprobamos 0=0 ya que f(5)=0; Concluímos que la función si es contínua en x=5.
  4. 4. Instituto Universitario Aeronáutico Facultad Ciencias de la Administración INGENIERÍA DE SISTEMAS Matemática II plan 2010 Límite de la función cuando x tiende a 2: lim x→2 ( (x 2 −25) (x−5) ) lim x→2 ((x−5)(x+5)) (x−5) ¿ lim x→2 (x+5) =7 Demostración por definición de límite de la existencia de lim x−1 ( (x 2 −25) (x−5) )=10 0<|(x−5)|<∂⇒|( (x 2 −25) (x−5) −10)|<ƛ |(x+5−10)|<ƛ |(x−5)|<ƛ⇒∂⩽ƛ Entonces dado unƛbastatomar ∂⩽ƛ paraque existael límite.

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