Límite y continuidad

1. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II plan 2010
MATEMATICA II
21) Análisis de continuidad:
Vemosquela funciónestá definidaen x=1 y f (1)=0.
lo que satisface la primera condición siendo que x=1 pertenece al dominio de la función.
lim
x→1<
( x
2
−1)
(x−1)
>¿
¿ lim
x−1<
((x−1)(x+1))
(x−1)
>¿
¿ lim
x−1
(x+1) Ahora determinamos el límite cuando x--> 1
lim
x→1
(1+1) =2

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Satisface la segunda condición ya que el límite existe.
F(1)=0
lim
x→1
(
(x
2
−1)
(x−1)
)≠F(1)
Concluimos que la función es discontínua en x=1. El tipo de discontinuidad es evitable porque el
límite de la función cuando x tiende a 1 sí existe.
Cálculo cuando x tiende a 2.
lim
x→2
(
(x
2
−1)
(x−1)
) lim
x−2
(
((x−1)(x+1))
(x−1)
) lim
x−2
(x+1)
lim
x→2
(2+1) =3

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Demostración por definición de límite de la existencia de lim
x−1
(
(x
2
−1)
(x−1)
)=2
0<|(x−1)|<∂ ⇒|(
(x
2
−1)
( x−1)
−2)|<ƛ
|(x+1−2)|<ƛ
|(x−1)|<ƛ⇒∂⩽ƛ Entonces dado unƛbastatomar ∂⩽ƛ paraque existael límite.
22)
Para empezar a evaluar la continuidad vemos que la función si está definida en x=5 y su
correspondiente imagen es 0.
Luego vemos si existe el límite de la misma.
lim
x→5
(
(x
2
−25)
(x−5)
)
lim
x→5
((x−5)(x+5))
(x−5)
¿ lim
x→5
(x+5) =10
Así el límite existe y es igual a 10.
Ahora verifiquemos lim
x→5
(
(x
2
−25)
(x−5)
)=f (5)
lim
x→5
(
(5
2
−25)
(5−5)
)=0 y comprobamos 0=0 ya que f(5)=0;
Concluímos que la función si es contínua en x=5.

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Límite de la función cuando x tiende a 2:
lim
x→2
(
(x
2
−25)
(x−5)
)
lim
x→2
((x−5)(x+5))
(x−5)
¿ lim
x→2
(x+5) =7
Demostración por definición de límite de la existencia de lim
x−1
(
(x
2
−25)
(x−5)
)=10
0<|(x−5)|<∂⇒|(
(x
2
−25)
(x−5)
−10)|<ƛ
|(x+5−10)|<ƛ
|(x−5)|<ƛ⇒∂⩽ƛ Entonces dado unƛbastatomar ∂⩽ƛ paraque existael límite.