Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Capitulo II
Matemática II (179)
Objetivo 9. Resolver problemas de física, ingeniería o economía, donde
se utilicen procedimientos matemáticos y conceptos relacionados con el cálculo
diferencial y los sistemas de ecuaciones lineales.
Ejercicio 1
Determine el conjunto de los números reales donde es continua la función h ,
dada por:
( 2 ) h(x) = cos x - 5x + 2
Solución
Justificación: Esta función está compuesta por 2 funciones, una polinómica, y
una trigonométrica, ahora pasemos a verificar si se cumplen las 3 condiciones
de continuidad:
1) Verifiquemos que la función existe en un punto aÎℝ .
( )
( )
= 2
- +
= - +
h x x x
( ) cos 5 2
2
h a a a
( ) cos 5 2
Este valor existe porque el dominio de la función cos x son los Reales.
SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1
2) Verifiquemos que el límite existe en el punto aÎℝ
lim h ( x ) = limcos ( x 2 - 5 x + 2 ) = cos ( a 2 - 5 a
+
2
) x a x a
® ®
Este valor del límite existe porque el dominio de la función cos x son los
Reales.
3) Ahora aplicaremos la condición 3, que consiste en comparar el valor
obtenido en la condición 1 con el resultado obtenido en la condición 2, en este
caso:
Valor en la condición 1: ( 2 ) h(a) = cos a -5a + 2
Valor en la condición 2: ( 2 ) lim ( ) cos 5 2
x a
h x a a
®
= - +
Evidentemente: ( 2 ) ( 2 ) cos a - 5a + 2 = cos a - 5a + 2 ,
por lo tanto:

Respuesta: La función es continua en todos los puntos del conjunto de los
números reales.
Ejercicio 2
Dada la función f : D Í ℝ®ℝ definida por:
 1
 x 2 - x
< =
 ³
si 2
( ) 4
si 2
f x
x x
Indique si esta función es continua en a = 2 .
Solución
Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad:
1) Verifiquemos que la función existe en el punto a = 2 , ESTA PRIMERA
CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función dada, en
este caso:
Por lo tanto tomamos la función x que corresponde a donde esta
ubicada la igualdad, tal como se señala en rojo, es decir:

Por lo tanto evaluamos x en el punto a = 2 , donde se nos pide la
continuidad:
f (2) = 2
Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE
2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a = 2 . Para este punto,
dado que nos dan una función a trozos CON DESIGUALDADES, nos
apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el límite lateral por la
izquierda y luego el límite lateral por la derecha y si son iguales concluiremos
que el límite EXISTE, de lo contrario, es decir, si son diferentes el límite NO
EXISTE.
límite lateral por la izquierda
Para este límite siempre tomaremos el símbolo < en la función dada, es
decir:
Para representar que estamos en un límite por la izquierda, al número 2
al cual tiende el límite se le coloca un superíndice NEGATIVO, ojo no es que el
valor 2 es negativo, sino que estamos por la izquierda, observa la notación
utilizada en el límite lateral por la izquierda:
Así pues, el límite lateral por la izquierda será:
  -  -  = - = - = =
 
1
4
2 2
® 2
-
1 1 16 1 15
lim 2
4
x
x 4 4 4 4

límite lateral por la derecha
Para este límite siempre tomaremos el símbolo > en la función dada, es
decir:
Para representar que estamos en un límite por la derecha, al número 2
al cual tiende el límite se le coloca un superíndice POSITIVO, ojo no es que el
valor 2 es positivo, sino que estamos por la derecha, observa la notación
utilizada en el límite lateral por la derecha:
Así pues, el límite lateral por la derecha será:
lim x
2
x
2
® +
=
Como los límites laterales son diferentes
15
= ¹ = , el
lim f ( x ) lim f ( x
) 2
® - 4 +
x 2 x
® 2
límite
lim f ( x
)
x
2
®
no existe
NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2
Respuesta: La función no es continua en el punto a = 2 , porque el límite no
existe.
NOTA: Observa que no hubo necesidad de aplicar la condición 3, ya que la
condición 2 NO SE CUMPLIO, es decir, apenas se deje de cumplir cualquiera
de las 3 condiciones puedes concluir que la función NO es continua, en este
orden de ideas, para que una función sea CONTINUA deben cumplirse TODAS
Y CADA UNA de las 3 condiciones.

Ejercicio 3
Sea g :ℝ®ℝ definida por
 + = x x
¹ -

 = -
5 si 5
( )
1 si 5
g x
x
estudie la continuidad de la función g .
Solución
Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al
igual que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a = -5,
porque es el número en el cual la función puede sufrir particularidades
geométricas:
1) Verifiquemos que la función existe en el punto a = -5, ESTA
PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función
dada, en este caso:
Por lo tanto:
g(-5) =1
2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a = -5. Para este punto,
dado que nos dan una función a trozos CON 2 SIGNOS, UNO IGUAL Y UNO
DE DIFERENTE, nos apoyaremos en calcular el límite a la función donde se
encuentra el símbolo de diferente ¹ , y según nos de un número real o no,
concluiremos si el límite existe o no.

( ) 5
lim x
5 5 5 0
x
®-
+ = - + =
Este valor es un número Real, por lo tanto EL LÍMITE EXISTE
caso:
Valor en la condición 1: g(-5) =1
Valor en la condición 2:
lim g
0
x
5
®-
=
Evidentemente: 1 ¹ 0, por lo tanto:
Respuesta: La función g no es continua.
Ejercicio 4
Hallar el valor de la constante “k” para que la función dada por:
 - = kx x
£

 >
1 si 1
( )
3 si 1
f x
x x
Sea continua en el punto 0 x =1.
Solución
Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad
para obtener el valor de k :
1) Verifiquemos la condición 1, que consiste en observar si la función
existe en el punto a =1, ESTA PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica
ubicando la igualdad en la función dada (véase detalle del ejercicio 2 de esta
clase del objetivo 9), en este caso:

 £
= kx 1 x

si 1
( )
3 si 1
f x
x x
>
-

f (1) = k (1) -1 = k -1
Este valor es un número Real, siempre y cuando k sea Real
DEPENDE DEL VALOR DE k QUE SE CUMPLA O NO LA CONDICIÓN 1
2) Normalmente, es en esta condición es donde se logra calcular el valor
de k , apoyándonos en la existencia del límite en el punto de estudio a =1.
Para este punto, dado que nos dan una función a trozos CON
DESIGUALDADES, nos apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el
límite lateral por la izquierda y luego el límite lateral por la derecha y al
IGUALARLOS CALCULAREMOS EL VALOR DE k .
decir:
 £
= kx 1 x

si 1
( )
3 si 1
f x
x x
>
-

( ) ( )
lim kx 1 k 1 1 k
1
x
1
® -
- = - = -
Para este límite siempre tomaremos el símbolo > en la función dada, es
decir:
 - = kx x
£

 >
1 si 1
( )
3x si 1
f x
x
( ) ( )
lim 3 x
3 1 3
x
1
® +
= =
Para que la función sea continua, esta condición 2 se debe cumplir, es
decir, necesitamos que el límite exista, y sabemos que el límite existe si los
límites laterales son iguales:
1 3
3 1
4
k
k
k
- =
= +
=

De manera que SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2 para el valor de k igual a 4 ya
que los limites laterales para este valor son iguales, es decir el límite existe:
= - = - = = = , el límite tiene valor 3.
Ahora bien, ya sabemos que para k = 4 SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2,
lim f ( x ) k 1 4 1 3 lim f ( x
) 3
x x
® - ® +
1 1
la pregunta será ¿se cumplirá la condición 1 y 3?, entonces, fíjate como se
procede en este tipo de problemas, después de calcular el valor de k , que
como te dije, normalmente se calcula con la igualdad de los límites laterales de
la condición 2, se procede a verificar cada una de las condiciones faltantes, es
decir la condición 1 y 3, observa:
PARA LA CONDICIÓN 1:
f (1) = k (1) -1 = k -1 = 4 -1 = 3
El número 4 existe por ser un número Real
PARA LA CONDICIÓN 3:
Valor en la condición 1: f (1) = 3
lim f
3
x
1
®
=
Evidentemente: 3 = 3, por lo tanto:
Respuesta: El valor de k es 4, para que la función f (x) sea continua.
Ejercicio 5
Dada la función:
 
x
2
-  4
¹ 3
=- si 2
( ) 4
1
= 
si 2
2
x
f x x x
x
a. Calcula el límite de f (x) , por la izquierda de x = 2 .
b. Calcula el límite de f (x) , por la derecha de x = 2
c. ¿Es f (x) una función continua en el punto x = 2 ? Explica.
Solución
Justificación: En este caso analizaremos cada uno le los ítems.
Antes de continuar analizando la continuidad de la funciones introduciré
lo siguiente:

La siguiente manera muy útil de hallar los límites laterales CUANDO NO
TENEMOS UNA FUNCIÓN A TROZOS CON DESIGUALDADES, como la
mostrada en el EJERCICIO 2 del presente objetivo 9, SINO QUE TENEMOS
UNA FUNCIÓN A TROZOS CON LOS SIGNOS ÚNICAMENTE DE IGUAL (=)
Y DIFERENTE (¹ ).
Para límite lateral por la izquierda
Cuando necesitemos calcular el límite lateral por la izquierda y no
contamos con el signo < en la función a trozos se procederá a utilizar la
siguiente modalidad para hacer el cálculo del límite lateral por la izquierda:
PRIMERO: hacer el cambio de variable: x = a - h , de manera que:
SEGUNDO:
= -
Para límite lateral por la derecha
lim f ( x ) lim f ( a h
)
x a h
® - ® +
0
Cuando necesitemos calcular el límite lateral por la derecha y no
contamos con el signo > en la función a trozos se procederá a utilizar la
siguiente modalidad para hacer el cálculo del límite lateral por la derecha:
PRIMERO: hacer el cambio de variable: x = a + h , de manera que:
SEGUNDO:
= + .
lim f ( x ) lim f ( a h
)
x a h
® + ® +
0
Apliquemos pues ésta situación:
Para el ítem “a”
Se pide
lim f ( x
)
x
2
® -
. Para calcular el límite SIEMPRE se tomara la función
donde está ubicado el signo diferente ¹ , en este caso:
-
-
2
x
x
3 si 2
( )
1
si
4
4
2
2
x
f x x
x

= =

¹

Por lo tanto:
= = - = - =
-
-
2
3
® - ® 2
-
x
x 3
x
2
2
2 4 4 4 0
lim ( ) lim
- -
2 4(2) 8 8
4
f
x
x x 4 0
Como tenemos esta forma indeterminada y polinomios en el numerador
y denominador, debemos factorizar, por lo tanto
- = - = -
- - ( 2 ) x x - 4 2
2 2 2
x x x
x x x x ® - ® - ® -
4 4 4
lim lim lim
x 4 x 4 x
( )
3 2 2 2 2
1
lim
x x ® -
=

Se factorizo en el denominador extrayendo el factor común x .
Entonces el límite a calcular es:
2
1
lim
x® - x
Aplicando el cambio de variable mencionado al inicio de este ejercicio, y
teniendo en cuenta que en nuestro caso a = 2 se tiene:
PRIMERO: hacer el cambio de variable: x = 2 - h , de manera que:
SEGUNDO:
1 1
=
lim lim
® - x 2 x h ® +
0
2 h -
Resolviendo este último límite, se tiene:
0
1 1 1
= =
lim
h 2 h 2 0 2 ® +
- -
Para el ítem “b”
Se pide
lim f ( x
)
x
2
® -
. Para calcular el límite SIEMPRE se tomara la función
donde está ubicado el signo diferente ¹ , en este caso:
2
x
x
3 si 2
( )
1
si
4
4
2
2
x
f x x
x

=
=
-
-

¹

Por lo tanto:
= = - = - =
-
-
2
3
® + ® 2
+
x
x 3
x
2
2
2 4 4 4 0
lim ( ) lim
- -
2 4(2) 8 8
4
f
x
x x 4 0
Como tenemos esta forma indeterminada y polinomios en el numerador
y denominador, debemos factorizar, por lo tanto
- = - = -
- - ( 2 ) x x - 4 2
2 2 2
x x x
x x x x ® + ® + ® +
4 4 4
lim lim lim
x 4 x 4 x
( )
3 2 2 2 2
1
lim
x x ® +
=
Se factorizo en el denominador extrayendo el factor común x .
Entonces el límite a calcular es:
2
1
lim
x x ® +
Aplicando el cambio de variable mencionado al inicio de este ejercicio, y
teniendo en cuenta que en nuestro caso a = 2 se tiene:
PRIMERO: hacer el cambio de variable: x = 2 + h , de manera que:

SEGUNDO:
1 1
=
lim lim
® + x 2 x h ® +
0
2 h +
Resolviendo este último límite, se tiene:
0
1 1 1
= =
lim
h 2 h 2 0 2 ® +
+ +
Para el ítem “c”
En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al igual
que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a = 2 , porque
es el número en el cual la función puede sufrir particularidades geométricas:
este caso:
 x
2
- 
4
¹ 3
= -
 si 2
( ) 4

si
= 1
2
2
x
f x x x
x
Por lo tanto:
1
(2)
2
f =
2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a = 2 . Pero ya
calculamos los límites previamente en los ítems “a” y “b” y observamos que los
límites laterales son iguales, por lo tanto el límite existe y tiene valor:
2
1
f x
lim ( )
x ®
2
=
caso:
Valor en la condición 1: 1
(2)
2
f =
2
1
2
f x
lim ( )
x
®
=

Evidentemente:
1 =
1
2 2
, por lo tanto:
Por lo tanto la función es continua en x = 2 .
Respuesta:
a)
2
1
lim f ( x
)
® -
x 2
=
b)
2
1
lim f ( x
)
® +
x 2
=
c) La función es continua es x = 2 .
Ejercicio 6
Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones.
Dada la función f :ℝ®ℝ , definida por:
- 9
x - 
x
£ - =
- 
- > - 1 si 1
4
( )
3
2 si 1
4
f x
x x
Responde con una V si las siguientes afirmaciones son verdaderas o con una F
si son falsas.
a.
1
5
f x
lim ( )
®- -
x 4
= _____
b.
1
5
f x
lim ( )
®- +
x 4
= _____
c. f es una función continua en el punto x = -1_____
Solución
Justificación: En este caso haremos los cálculos solicitados, para poder
responder acerca de la veracidad de los distintos planteamientos:
Para calcular el
1
5
f x
lim ( )
®- -
x 4
= , se toma, como ya sabemos, la expresión
matemática que corresponde al signo <, es decir:

Entonces:

=  -  = - ( - )
- = - = - 
-  =
f x x
®- 1 - ®- 1
-
9 9 9 4 5
lim ( ) lim 1 1 1
4
9
1
x x 4 4 4 4
Por lo tanto la primera afirmación es Verdadera.
Para calcular el
1
5
lim f ( x
)
®- +
x 4
= , se toma, como ya sabemos, la expresión
matemática que corresponde al signo >, es decir:

- x - x
£ - =
3
9
2
1 si 1
4
( )
x si
1
4
f x
x
> -

- - 
Entonces:

=  -  = - ( - )
- = - = - 
-  =
f x x
®- 1 + ®- 1
+
3 3 8 3 5
3
lim ( ) lim 2
1 2
4 4
2
x x 4 4 4
Por lo tanto la segunda afirmación es Verdadera.
que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a = -1, porque
dada, en este caso:
Por lo tanto:

f
- =  - - -  == - = - 
( ) 9
 1 1
=
4
9 9 4 5
( 1) 1
4 4 4


2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a = -1. Pero ya
límites laterales son iguales, por lo tanto el límite existe y tiene valor:
1
5
lim f ( x
)
x ®-
4
=
caso:
4
(
5
f -1) =
1
5
4
lim f ( x
)
x
®-
=
Evidentemente:
5 =
5
4 4
, por lo tanto:
Por lo tanto la función es continua en x = -1.
Respuesta:
a) V
b) V
c) V
Ejercicio 7
Dada la función:

 2
- 4
< - ³ - 
3
si 2
x
+ =
( ) 2
1
si 2
2
x
f x x
x x
a) Calcula el límite de f(x), por la
izquierda de x = -2
b) Calcula el límite de f(x), por la
derecha de x = -2
c) ¿Es f una función continua en el
punto x = -2? Explica
Solución

Justificación: En este caso haremos los cálculos solicitados, para poder
responder cada uno de los planteamientos:
Para calcular el
lim f ( x
)
x
2
®- -
, se toma, como ya sabemos, la expresión
matemática que corresponde al signo <, es decir:
2
- <
+
3
si 2
( )
1
si 2
2
4
2
x
f x
x x
x
x

- 
= 
 ³ - 
Entonces:
 - 
  +
2 2
= = - = - =
f x
®- - ®- -
2 2
2 4 4 4 0
lim ( ) lim
4
0
x
 
x x x 2 2 2 4 4
=
+
Para calcular el
lim f ( x
)
x
2
®- +
, se toma, como ya sabemos, la expresión
matemática que corresponde al signo >, es decir:
Entonces:
 = = - = - = 
3 ( )3 ( )
- 
f x x
®- 2 + ®- 2
+
1 1 8
lim ( ) lim
1
 = -
2 8 4

x x 2 2 2 2
que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a = -2 , porque
1) Verifiquemos que la función existe en el punto a = -2 , ESTA
dada, en este caso:

Por lo tanto:
( ) ( ) 3 1 8
f - = - = - = - = -
( 2) 8 4
2
1
2
2 2
2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a = -2 . Pero ya
límites laterales son diferentes, por lo tanto el límite no existe.
Por lo tanto la función no es continua en x = -2.
Respuesta:
a)
lim f ( x
) 0
x
2
®- -
=
b)
lim f ( x
) 4
x
2
®- +
= -
c) La función f no es continua en el punto x = -2.
Ejercicio 8
Sea g :ℝ®ℝ la función definida por
 + = x x
¹ -

 = -
5 si 5
( )
0 si 5
f x
x
. Entonces
podemos asegurar que:
a. g no es continua en x =1 b. g no es continua en x = 0
c. g no es continua en x = -5 d. g es continua en x = -5
Solución
Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al
igual que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a = -5,
porque es el número en el cual la función puede sufrir particularidades
geométricas:

dada, en este caso:
Por lo tanto:
g(-5) = 0
2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a = -5. Para este punto,
dado que nos dan una función a trozos CON 2 SIGNOS, UNO IGUAL Y UNO
DE DIFERENTE, nos apoyaremos en calcular el límite a la función donde se
encuentra el símbolo de diferente ¹ , y según nos de un número real o no,
concluiremos si el límite existe o no.
( ) 5
lim x
5 5 5 0
x
®-
+ = - + =
Este valor es un número Real, por lo tanto EL LÍMITE EXISTE

caso:
Valor en la condición 1: g(-5) = 0
lim g
0
x
5
®-
=
Evidentemente: 0 = 0 , por lo tanto:
La función g es continua en x = -5
Respuesta: Opción correcta “d”
Ejercicio 9
Haz la representación gráfica de la función h :ℝ®ℝ , definida por:
y determina si es continua en ℝ .
Solución
Justificación: Primero graficaremos cada función en su correspondiente
intervalo.
Para s £ -12
Se tiene la función h(s) = -(s + 22) , como la variable s esta elevado a la
uno, se trata de una línea recta. Para graficar una línea recta es suficiente
obtener 2 puntos cualesquiera de ella, en este caso tomaremos 2 valores de s
que estén por supuesto dentro del intervalo s £ -12 , y así calcularemos las
ordenadas de cada una de esos valores para representarlos en el plano real y
graficar pues la recta.
Tomaremos los siguientes valores arbitrarios: s = -13 y s = -12 . Es
recomendable tomar en éstos 2 valores arbitrarios el valor extremo, es decir,
s = -12 donde cambia la función a trozos dada:
s h(s)
-13 h(-13) = -(-13+ 22) = -9

-12 h(-12) = -(-12 + 22) = -10
NOTA: Debes tener especial cuidado al operar con los signos en la suma
algebraica, si tienes problemas aun con los signos repasa la clase 2 teórica
acerca de la regla de los signos.
Por lo tanto se tienen los puntos del plano;
P(-13,-9) y Q(-12,-10)
Para -12 < s <12
Se tiene la función h(s) = -10 , que es una línea recta horizontal en el
intervalo dado -12 < s <12 .
Para s ³12
Se tiene la función h(s) = s - 22 , como la variable s esta elevado a la
uno, se trata de una línea recta. Para graficar una línea recta es suficiente
obtener 2 puntos cualesquiera de ella, en este caso tomaremos 2 valores de s
que estén por supuesto dentro del intervalo s ³12, y así calcularemos las
ordenadas de cada una de esos valores para representarlos en el plano real y
graficar pues la recta.
Tomaremos los siguientes valores arbitrarios: s =12 y s =13. Es
recomendable tomar en éstos 2 valores arbitrarios el valor extremo, es decir,
s =12 donde cambia la función a trozos dada:
s h(s)
12 h(12) =12 - 22 = -10
13 h(13) =13- 22 = -9
Por lo tanto se tienen los puntos del plano;
R(12,-10) y T (13,-9)
Ahora podemos graficar:

La gráfica de las funciones está en rojo y los puntos en color azul.
Se puede apreciar que la gráfica es continua en todo el eje horizontal
real s , se puede decir geométricamente, que no levantas el lápiz para trazar la
gráfica, por lo tanto la función es continua en todo ℝ .
Respuesta:
a) Gráfica:
b) La función según la gráfica es continua en todo ℝ .
Ejercicio 10

Sea h :ℝ®ℝ la función definida como sigue:
 <
= 
 - ³
3 si 0
( )
x x
1 si 0
h x
x x
Determine si h es continua en x = 0 .
Solución
Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de
continuidad:
este caso:
Por lo tanto tomamos la función x -1 que corresponde a donde esta
ubicada la igualdad, tal como se señala en rojo, por lo tanto:
f (0) = 0 -1 = -1
2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a = 0 . Para este punto,
dado que nos dan una función a trozos CON DESIGUALDADES, nos
apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el límite lateral por la
izquierda y luego el límite lateral por la derecha y si son iguales concluiremos
que el límite EXISTE, de lo contrario, es decir, si son diferentes el límite NO
EXISTE.
decir:
< 
3 si 0
( )
x
- ³
1 si 0
h x
x =
x x
( 3 ) 3
lim 0 0
x
0
x
® -
= =

Para este límite siempre tomaremos el símbolo > en la función dada, es decir:
( )
lim x
1 0 1 1
x
0
® +
- = - = -
Como los límites laterales son diferentes
= ¹ = - , el
lim f ( x ) 0 lim f ( x
) 1
x x
® - ® +
0 0
límite
lim f ( x
)
x
0
®
no existe
Por lo tanto la función h no es continua en x = 0 .
Respuesta: La función h no es continua en x = 0 .
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Dada la función f :ℝ®ℝ definida por:


- x 2
+ si x
< -

= + - £ £  + + >
f x Ax B si x
2
2 1
( ) 1 1
x x si x
2 3 1
¿Cuánto deben valer A y B para que esta función sea continua en x = -1 y en
x =1?
Ejercicio 2
Halle un valor del número k para que la función f :ℝ®ℝ , definida por:
 - <
= 
 + + ³
2 ( 4) , 5
( )
x x
( 1) 1 , 5
f x
x x
k
k
,
sea continua en x = 5.
Ejercicio 3
Indica los puntos del dominio donde, la siguiente función, es continua:
4 2
= x - x
+
2
3 2
( )
- -
3 4
f x
x x
Ejercicio 4
Dada la función f :ℝ®ℝ definida por:
2
x Ln x x
f x x
3
2 si 1
( ) 1 si 1
x 3 2
si 1
x
x 1
x

+ - >

= = 
 - + < 
-
determine si f es continua en el punto x =1.
Ejercicio 5
Haz la representación gráfica de la función dada por:

 - 9
x - x
£ - = 1 si 1
4
( )
3
- - > - 
2 si 1
4
f x
x x
y determina usando la definición de continuidad, si ella es continua en el
intervalo cerrado [-3, 2].
Ejercicio 6
Determina un intervalo donde es continua la función f , dada por:

( 3 7 )
( )
sen x
1 x
f x
e
-
=
-
.
Ejercicio 7
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos.
a. Si una función f es continua en un punto aÎℝ es indispensable que a
pertenezca al dominio de f _______________.
b. Si f y g son dos funciones continuas en un punto a de su dominio,
entonces f + g es continua en a ________________.
c. Una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], si es continua en el
intervalo abierto (a,b) y en los extremos a y b del intervalo se cumple que
lim f ( x ) f ( a
)
x a
® +
= y lim ( ) ( )
x b
f x f b
® -
= ___________.
Ejercicio 8
Responda con una V si los siguientes enunciados son verdaderos y con una F
si son falsos, en el espacio correspondiente.
a) Una función puede estar definida en un punto sin ser continua en él ___
b) Una función f : I Í ℝ®ℝ es continua en un punto aÎI si a medida que
nos “acercamos” al punto a, manteniéndonos en el dominio de f , los valores
de la función f se “acercan” al valor f (a) __
c) Se dice que una función es continua sobre un intervalo, si su gráfica puede
trazarse sin interrupción, es decir, sin levantar el lápiz del papel ___
Ejercicio 9
Determina el valor de k Îℝ de forma que:
 + £ -
= 
 + > -
2 3 1 1
( )
kx si x
2 1
f x
x k si x
,
sea continua en x = -1.
Ejercicio 10
Dada la función definida a trozos f :ℝ®ℝ tal que
 2
- 9
=  < - 
 2
- + ³
3
( ) 3
2 3 3
x
si x
f x x
x x si x
. Se pide determinar si f es continua en a = 3.

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