Ejercicio resuelto sobre límites sin L'Hopital, explicado paso a paso.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Cálculo
Calcular el valor del límite
l´ım
x0+
xx − 1
ln(x) − 1 = L
Solución:
Evaluando el lm´ ite para determinar si existe indeterminación o no resulta en lo siguiente:
l´ım
x0+
xx − 1
ln(x) − 1 =
00 − 1
ln(0) − 1 = indeterminado − 1
indeterminado − 1
De lo anterior se concluye que se debe manipular el límite para encontrarlo. Aplicando logaritmo natural
en ambos lados de la igualdad, se obtiene:
x0+ xx − 1
ln Œ l´ım
ln(x) − 1 ‘ = ln(L)
Dado que si x 0+ entonces x 0 y el logaritmo es continuo en todo su dominio, es decir, es continuo
en x 0, por lo tanto se puede reescribir el límite de esta forma:
l´ım
x0+ ln Œ xx − 1
ln(x) − 1‘ = ln(L)
Haciendo uso de las propiedades de los logaritmos, se obtiene:
l´ım
x0+[ln(xx − 1) − ln(ln(x) − 1)] = ln(L)