derivadas direccional

1. Derivadas direccional
La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función f(x,y)
con respecto a la distancia en el plano xy, medida en la dirección del vector
unitario. La derivada direccional Duf, calculada en Po, es la pendiente de la recta
tangente a la curva C en Po en el plano de R, Q y Po.
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una
dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección
marcada por el gradiente de f se define como:
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el
incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida
tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente
media” en una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a
la función en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede
representar mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta
interpretación posee significado geométrico. En tres dimensiones la
interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la
misma.

2. Derivada direccional en un punto
Sea f una función definida en un entorno del punto P o y u → una dirección. Se
define la derivada direccional de f en el punto P o como el valor del siguiente
límite en el caso de que exista:
lim⁡ t→0 f( P o +t u → )−f( P o ) t
Notación: La derivada direccional se denota por D u f( P o )= f u ' ( P o )= f φ ' ( P
o ) siendo u → =( cos⁡φ,senφ ) .
Observaciones:
 La existencia de esta derivada direccional significa que la función de una
variable h( t )=f( P o +t u → ) es derivable en t=0: D u f( P o )=h'( 0 ) .
 En el caso de una función de dos variables tenemos:
o La derivada direccional en la dirección u → =( 1,0 ) es la derivada
parcial respecto a x
o La derivada direccional en la dirección u → =( 0,1 ) es la derivada
parcial respecto a y.
o