Este documento explica la derivada direccional y cómo calcularla. Define la derivada direccional como el límite de la razón de cambio de una función cuando se mueve en una dirección dada por un vector unitario. Presenta teoremas para encontrar la dirección de cambio mínimo y máximo de una función de varias variables. Incluye un ejemplo de cálculo de la derivada direccional para una función dada.

1. Derivada direccional
Alumno:
Carlos Fuentes
CI:26103400
Matematica 3
San Cristobal, Julio 2017

2. Derivada direccional
La derivada direccional de fen en la dirección de un vector unitario u=
<a,b> es
si el límite existe
Teorema
Si f es una función diferenciablede y , entonces ftiene una derivada
direccionalenla direcciónde cualquier vector unitario u=<a,b>y
Nota: Si u= <a,b> es un vector unitario
Demostración: Si definimos una función g de la variable individual h por
g(h) =
entonces, por la definición de una derivada tenemos
Por otra parte podemos escribir g(h) = f (x,y), donde x= , de
modo que la regla de la cadena da
si ahora podemos h=0, entonces x = , y= y
g'(0) =
comparando las ecuaciones veremos que

3. si el vector unitario u= <a,b> forma un ángulo θ con el eje x positivo (como se ve en
la siguiente figura)
entonces escribimos u= <cosθ, senθ> y lfa formula se convierte en
Minimización de la derivadadireccional
En una funcion "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un
punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que
"f" cambia mas lento y encontrar la mínima razon de cambio.
Teorema
Al ser "f" es una función diferencial de tres variables, el valor mínimo de la
derivada direccional es . La dirección de menor incremento en
la función "f" esta dado por
Maximización de la derivada direccional
En una función "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un
punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que
"f" tiene una la mayor razón de cambio
Teorema
Al ser "f" es una función diferencial de tres variables, el valor máximo de la
derivada direccional es . La dirección de mayor incremento en
la función "f" esta dado por
Ejemplo
Encontrar la derivada direccional para:

y ues el vector unitario dado por el ángulo
Cual es ?
Solución
Utilizando la primera ecuación

4. Por tanto