universidad nacional de ingenieria

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA PROFESIONAL DE FÍSICA
EXAMEN FINAL
Álgebra Lineal. CF251-A. 2017-I
03-07-2017
Instrucciones. Se permite el uso de apuntes de clase. Justi…que completamente sus respuestas y
escríbalas en forma clara.
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1. En Julio del 2012, el CERN anunció el descubrimiento de una nueva partícula elemental: el bosón
de Higgs. Este bosón cumple un rol especial en el Modelo Estándar de la física de partículas, su
existencia permite explicar el valor de las masas de las otras partículas elementales. En la actualidad
son propuestos modelos en los que se tiene más de un bosón de Higgs.
En una extensión mínima del Modelo Estándar se postula la existencia de dos bosones de Higgs.
Podemos estudiar este modelo via un espacio vectorial bidimensional complejo H, además en este se
de…ne el operador lineal:
^m : H ! H
En cierta base fe1; e2g se tiene que ^m tiene la siguiente representación matricial:
M =
m2
1 m2
1
m2
1 (m2
2 m2
1)
donde m1 y m2 son números reales, y a M se le conoce como matriz de masas.
(a) (2 pts) Encuentre los autovalores del operador ^m.
(b) (2 pts) Considerando el siguiente cambio de base:
e0
1 = e1 cos + e2sen
e0
2 = e1 ( sen ) + e2 cos
En caso que exista, encuentre el ángulo tal que e0
1 y e0
2 sean autovectores de ^m.
(c) (3 pts) Considerando el siguiente cambio de base:
e00
1 = e1 cosh + e2senh
e00
2 = e1senh + e2 cosh
En caso que exista, encuentre el ángulo tal que e00
1 y e00
2 sean autovectores de ^m. Recuerde
que:
senhx =
ex
e x
2
, cosh x =
ex
+ e x
2
, tanh x =
senhx
cosh x
2. (2 pts) Sean U; T subespacios del espacio vectorial V . Pruebe que el mapeo f : (U + T) =T !
U=U T, con regla de correspondencia:
f (u + t + T) = u + U T
es un isomor…rmo.
1

2. 3. Sean V , U espacios vectoriales de dimensión …nita. Y, sean los mapeos lineales: g : V ! U y
g : U ! V , donde V ; U son los espacios duales de V; U respectivamente, y g es el mapeo dual
o conjugado de g.
(a) (1 pts) Pruebe si los espacios ker (g ), co ker (g) son o no isomór…cos.
(b) (1 pts) Pruebe si los espacios coim (g ), im (g) son o no isomór…cos.
(c) (1 pts) Pruebe si los espacios im (g ), coim (g) son o no isomór…cos.
(d) (1 pts) Pruebe si los espacios co ker (g ), ker (g) son o no isomór…cos.
4. (4 pts) Sea A una matriz m n. Pruebe que existen las matrices no singulares B y C de dimesiones
m m y n n, respectivamente, tales que:
BAC =
Ir 0r (n r)
0(m r) r 0(m r) (n r)
donde Ir es la matriz identidad de dimensión r r y r = rankA. Considere como cierto que la
dimensión de la imagen de un mapeo lineal es igual al rango de la matriz que lo representa.
5. El espacio-tiempo de la relatividad especial puede ser entendido como un espacio vectorial real 4-
dimensional M con producto interno simétrico g y signatura 2. Luego, existe una base ortonormal
fe1; e2; e3; e4g tal que:
g (ei; ej) =
8
<
:
1 , i = j = 1
1 , i = j = 2; 3; 4
0 , i 6= j
(a) (1 pts) Considerando el siguiente cambio de base:
e0
1 =
1
p
2
(e1 + e4) , e0
2 = e2 , e0
3 = e3 , e0
4 =
1
p
2
(e1 e4)
Encuentre la matriz de Gram asociada a la base fe0
1; e0
2; e0
3; e0
4g.
(b) (2 pts) Sea el operador l : M ! M, tal que en la base fe1; e2; e3; e4g tiene la siguiente repre-
sentación matricial:
L =
0
B
B
@
cosh 0 0 senh
0 1 0 0
0 0 1 0
senh 0 0 cosh
1
C
C
A
encuentre la representación matricial de l en la base fe0
1; e0
2; e0
3; e0
4g y muestre si l es un operador
ortogonal.
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