El documento presenta la resolución de un problema que involucra un polígono regular con 4 vértices consecutivos (A, B, C, D) donde se cumple que AD+AC+AB=111. La solución utiliza propiedades de triángulos rectángulos formados a partir de las mediatrices de los lados del polígono para establecer una igualdad entre funciones trigonométricas del ángulo central del polígono. Al resolver esta igualdad, se obtiene que el valor del ángulo central es 2π/7, lo que implica que el número de l

1. Si A , B ,C y D son cuatro vértices consecutivos de un polígono regular tal que
ADACAB
111
+= ,
¿cuántos lados tiene este polígono?
SOLUCIÓN
Tengamos en cuenta las siguientes convenciones:
• n es número de lados del polígono
• 0≠=
n
π
α es la mitad del ángulo central, y
NOPMONAOM ===α
• El radio del polígono es 1
• O es el centro del polígono regular
• M , N y P son los puntos medios del los
segmentos respectivos AB , AC y AD
• Los triángulos OMA , ONA y OPA son
rectángulos, respectivamente, en M , N y P (véanse las mediatrices de los segmentos del
enunciado, señaladas por líneas de puntos)
En estas condiciones,
• en el triángulo rectángulo OMA se verifica que αα senABsenAM .2=⇒=
• en el triángulo rectángulo ONA se verifica que αα 2.22 senACsenAN =⇒=
• en el triángulo rectángulo OPA se verifica que αα 3.23 senADsenAP =⇒=
Por lo tanto,
⇒+=⇒+=⇒+=
αααααα 3
1
2
11
3.2
1
2.2
1
.2
1111
sensensensensensenADACAB
⇒=
−
⇒=−⇒
ααα
αα
ααα 2
1
3.
3
2
1
3
11
sensensen
sensen
sensensen
⇒




 −+
=−=⇒
2
.
2
cos.2
2
1
3.
.2cos.2 ba
sen
ba
bsenasenpues
sensensen
sen
ααα
αα
⇒=⇒≠= αααα
αα
α
32cos.2.2)0(
2
1
3
2cos.2
sensensenpues
sensen
( )aasenasenpuessensen cos..2234 ==⇒ αα , lo que quiere decir, en el contexto del problema, que
7
7
734 =⇒==⇒==+ n
n
ππ
απααα
El polígono tiene 7 lados