Este documento describe las ecuaciones y propiedades geométricas de la circunferencia, elipse y parábola. Explica que la circunferencia es el conjunto de puntos a igual distancia del centro, y proporciona su ecuación general. Define la elipse como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a los focos es constante, y da sus ecuaciones horizontales y verticales. Finalmente, describe la parábola como el lugar de puntos a igual distancia de un foco y la directriz, y presenta sus ecuaciones vertical y horizontal.

1. Circunferencia, elipse y
parábola
Rita Aguilar Sánchez

2. CIRCUNFERENCIA
CONCEPTO
• La circunferencia es el lugar
geométrico del plano generado
por un conjunto de puntos tales
que su distancia a un punto fijo,
llamado centro, siempre es
constante.
ECUACIÓN ORDINARIA
CON CENTRO EN EL ORIGEN
Sea una circunferencia con centro
en el origen C(0,0) y radio r,
entonces su ecuación ordinaria es:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
TOMAR EN CUENTA QUE
Si r es positivo, la circunferencia
es real.
Si r es negativo, la
circunferencia es imaginaria.
Si r es igual a cero, entonces
representa un punto.

3. • ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN
x − h 2 + y − k 2 = r2
Ejemplo:
Encuentra la ecuación de la circunferencia con
centro en C(2, -3) y radio r=5.
Solución:
Sustituimos el centro y el radio en la ecuación
ordinaria
x − 2 2
+ y − (−3) 2
= (5)2
Al reducir queda
x − 2 2
+ y + 3 2
= 25
• ECUACIÓN GNENERAL DE LA
CIRCUNFERENCIA
𝑎𝑥2+c𝑦2 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0
Ejemplo:
Hallar la ecuación general de la circunferencia
que tiene como centro C(6, 0) y r= 5
Solución:
Primero sustituimos en la ecuación reducida
x − 6 2 + y − 0 2 = 5
Después se desarrolla el binomio al cuadrado
(𝑥2−12𝑥 + 36) + 𝑦2=5
Igualando a cero
(𝑥2
−12𝑥 + 36) + 𝑦2
− 5 = 0
Reduciendo
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 31 = 0

4. ELIPSE
• CONCEPTO
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de
distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante, mayor a
la distancia entre los focos.

5. ECUACIONES ORDINARIAS DE LA ELIPSE
• Elipse horizontal
La ecuación
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2 = 1 representa una elipse
con centro en el origen y eje focal sobre el eje
x o es paralela a este, es decir es horizontal.
Donde a es la longitud del semieje mayor y b
es la longitud del semieje menor.
Los vértices V(a,0) y 𝑉′(-a,0)
Los focos F(c,0) y F’(-c,0)
Los extremos del eje menor se encuentran en
B(0,b) y B’(0,-b)
Lado recto LR=
2𝑏2
𝑎
Excentricidad e=
𝑐
𝑎
, e<1
La relación entre las magnitudes de los
semiejes es: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

6. • Elipse vertical
La ecuación
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2 = 1 representa una elipse
con centro en el origen y eje focal sobre el eje
y o es paralela a este, es decir es vertical.
Donde a es la longitud del semieje mayor y b es la
longitud del semieje menor.
Los vértices V(0,a) y 𝑉′(0,-a)
Los focos F(0,c) y F’(0,-c)
Los extremos del eje menor se encuentran en
B(b,0) y B’(-b,0)
Lado recto LR=
2𝑏2
𝑎
Excentricidad e=
𝑐
𝑎
, e<1
La relación entre las magnitudes de los semiejes
es: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

7. PARÁBOLA
• La parábola es el lugar geométrico
de todos los puntos del plano
cartesiano que se encuentran a la
misma distancia de una recta
llamada directriz, y de un punto
exterior llamado foco.

8. PARÁBOLA VERTICAL
El eje focal esta sobre el eje
coordenado y
Ecuación ordinaria: 𝑥2 = 4𝑝𝑦
Vértice: V(0,0)
Foco: F(0,p)
Parámetro: p=𝑉𝐹
Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|
Directriz: y+p=0
Eje focal: x=0
ECUACIÓN ORDINARIA DE PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN EL
ORIGEN

9. PARÁBOLA HORIZONTAL
EL eje focal esta sobre el eje
coordenado y
Ecuación ordinaria: 𝑦2
= 4𝑝𝑥
Vértice: V(0,0)
Foco: F(p,0)
Parámetro: p=𝑉𝐹
Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|
Directriz: x+p=0
Eje focal: y=0