Este documento presenta los principios aditivo y multiplicativo de la probabilidad y estadística. Explica que el principio aditivo se usa cuando una actividad tiene alternativas, mientras que el principio multiplicativo se usa cuando una actividad consta de varios pasos sucesivos. También define la notación factorial y discute las permutaciones, combinaciones, y representaciones de permutaciones como ciclos.

1. 2012
PROBABILIDAD Y
ESTADISTICAS
INGENIERIA EN INFORMATICA
03/09/2012

2. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser
realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas
.....y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:
1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha
pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y
General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la
lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11
kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en
tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y
puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se
presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores
diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta
persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General
Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
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3. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones
de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de
Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las
Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes
medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las
Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a
Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de
transporte en que se fue?.
Solución:
a) V = maneras de ir a las Vegas
D = maneras de ir a Disneylandia
V = 3 x 2 = 6 maneras
D = 3 x 4 = 12 maneras
V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia
b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas
D = maneras de ir y regresar a Disneylandia
V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras
D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras
V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje
redondo
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando
del aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser
llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio
multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para
ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
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4. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso
de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N 1 maneras o formas, el
segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas,
entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2x ..........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben
ser llevados a efecto, uno tras otro.
Ejemplos:
1) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede
construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto
o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe,
adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por
último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas
maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que
posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas
posibles de cómo se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.
2) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar
de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del
abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible
repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas
de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por
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5. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra
D seguida de la G.
Solución:
a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil
que es posible diseñar
b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil
c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil
d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil
3) ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar
de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al
inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la
primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números
telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los
números telefónicos del inciso b forman un número impar?.
Solución:
a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos
b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos
c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos
d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos
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6. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
NOTACIÓN FACTORIAL
El factorial Para todo entero positivon, el factorial de n o n factorial se define como
el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números
naturales) hasta n.
La multiplicación anterior se puede simbolizar también como
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas,
particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el
factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos
distintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los
estudiosos indios. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian
Kramp en 1803.
La definición de la función factorial también se puede extender a números no
naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren
matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
LIamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones
de todos los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin
repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos
elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el
ejemplo, X={1, 2, 3}.
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo
equivale a una forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
1→1
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7. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
2→2
3→3
puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
1→3
2→2
3→1
puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual
puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso
en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.
En combinatoria
La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar
conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas
reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema
combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser
las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla.
Básicamente, dos asuntos: permutaciones y combinaciones (ambas sin repetición
o con ella).
Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada
una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones
es el número de n-tuplasordenadas .
Fórmula del número de permutaciones
Dado un conjunto finito de elementos, el número de todas permutaciones es
igual a factorial de n:
.
Demostración: Dado que hay formas de escoger el primer elemento y, una vez
escogido éste, sólo tenemos formas de escoger el segundo elemento, y
así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo
tenemos posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que
tenemos formas de ordenar el conjunto, justamente lo
que enunciamos anteriormente. .
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8. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma
compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos
simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre
aparece 1 2 3.
Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente,
tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo
los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca,
bac, cab, cba.
En teoría de grupos
Notaciones
Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta
por 2 ciclos de longitud 4.
La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta,
consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila
los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes
correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado podemos expresar una
permutación sobre éste mediante una matriz de correspondencias:
Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa de
forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer
lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo
que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:
Notación de ciclos
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9. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de
longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los
restantes.
Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:
1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha
escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y
seguimos así hasta que se complete un ciclo.
2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo,
volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar
el segundo ciclo.
3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita
como producto de ciclos disjuntos.
Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, quedaría
expresada como composición de dos ciclos:
= (1 3 5 6 )(2 4 7 8)
Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos
La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en
principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados
equivalentes:
= (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)= (8 2 4 7)(6 1 3 5)
La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se
obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del
mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando
primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse
los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente
como (1 3)(4 5).
Descomposición de una permutación en trasposiciones
Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los
restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad
interesante es que cualquier permutación se puede construir como una
composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos
descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas
usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de
manera unívoca la signatura de una permutación.
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10. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una
forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones
que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2)
(2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el
4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo
el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).
Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones
bastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo de
nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:
No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de
trasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si admite dos
descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán
la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares). Dada una
permutación cualquiera, se define el siguiente morfismo de grupos:
Donde es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que
exiten transposiciones tales que:
Permutación par y permutación impar
Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición
de un número par (resp. impar) de trasposiciones.
Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en
notación de ciclos:
(1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares.
(1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula
anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones.
e (la identidad) también es par.
En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de
n elementos son pares y la otra mitad impares.
Dado un número natural , consideramos el conjunto .
Definimos el grupo de permutaciones de elementos, que denotaremos por ,o
lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de a .
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11. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo Sn, al
que llamaremos grupo alternado, y notaremos por .
DIAGRAMA DE ÁRBOL
diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del
experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos
tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los
problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para
cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta
ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo
del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,
según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible
final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el
mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de
primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo
ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean
mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las
probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna
de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que
emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada
facultad.
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12. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
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13. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS
pero
también podría ser lo contrario.
TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima
potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (a + b)n
posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas
y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
Fórmula general del binomio
Sea un binomio de la forma (a +b).
Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las
siguientes potencias:
(a + b) = a + b 1
De lo anterior, se aprecia que:
a) El desarrollo de n (a + b) tiene n +1 términos
b) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en
cada término, hasta cero en el último
c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van
aumentando en uno
con cada término, hasta n en el último.
d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n .
e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n .
f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del
término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden
de ese término.
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
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