Probabilidades1

PROBABILIDADES
Experimentos y Eventos

¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No
es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?
Bertrand Russell
Probabilidad Dominar la fortuna
La probabilidad de tener un accidente de
tráfico aumenta con el tiempo que pasas
en la calle. Por tanto, cuanto más rápido
circules, menor es la probabilidad de que
tengas un accidente.
El 33% de los accidentes mortales
involucran a alguien que ha bebido. Por
tanto, el 67% restante es causado por
alguien que no ha bebido. A la vista de esto
y de lo anterior, esta claro que la forma más
segura de conducir es ir borracho y a gran
velocidad.

“OPORTUNIDADES” Y “PROBABILIDADES”
Ante la falta de certidumbre, es común utilizar
expresiones como : “Las oportunidades son
muy buenas”, o, “Tenemos buenas
oportunidades” , o “pocas oportunidades”.
Sin embargo, las Probabilidades nos
proporcionan una mejor descripción para
estas situaciones, que son mejor percibidas y
empleadas en la TOMA DE DECISIONES.

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 cara si
arrojamos una moneda una vez?
PosiblesResultadosdeNúmero
FavorablesResultadosdeNúmero
Prob
 
 
5.0
2
1
,

sc
c

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 cara si
arrojamos una moneda tres veces?
Prob
 
 
375.0
8
3
2
3
3

),(sss)(scs),(sscss),(scc),),(csc),(c(ccc),(ccs
),(ssc)(css),(scs

C
S
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S
C
ÁRBOL DE
PROBABILIDADES

Definiciones
• Experimento
– Actividad que origina un evento.
– Proceso de hacer una observación y obtener un resultado.
• Evento (o punto muestral)
– Uno o más de los posibles resultados de un experimento.
• Espacio Muestral
– Colección de todos los posibles resultados de un experimento.
• Probabilidad
– Medida numérica entre 0 y 1 que expresa la posibilidad que
ocurra un evento

Probabilidad como una medida numérica
de su posibilidad de ocurrencia
0 1.5
Incremento posibilidad de Ocurrencia
Probabilidad:
El evento es
muy
improbable
de ocurrir.
La ocurrencia del
evento es tanto
probable como
improbable.
El evento es
casi seguro
que ocurra.

Lanzar una moneda Cara, Sello.
Lanzar dos monedas CC, CS, SC, SS
Sacar una carta (valor) 2, 2, ..., A (52)
Sacar una carta (color) Roja, Negra
Lanzar un dado. 1, 2, 3, 4, 5, 6
Jugar un partido Ganar, Empatar, Perder
Inspeccionar una parte Defectuoso, Bueno
Experimento Espacio Muestral

1 Cara y 1 Sello CS, SC
Cara en la 1ra. moneda CC, CS
Al menos una Cara CC, CS, SC
Cara en cada lanzamiento CC
Experimento: Lanzar dos monedas
Espacio Muestral: CC, CS, SC, SS
Evento Resultados

• ¿Si lanzamos 2 dados, cuál es la probabilidad
de obtener un puntaje de 7?
Prob
  1667.0
36
6
6
)1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1(
2


• ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as al
sacar un naipe de una baraja?
Prob
  0769.0
13
1
52
4
Naipes52
EspadasdeAsDiamantes,deAsTréboles,deAsCorazones,deAs


Principios de conteo
• Principio aditivo: Si se desea escoger un objeto que
puede tener r tipos distintos, y para el primer tipo
hay t1 opciones, para el segundo tipo hay t2 opciones,
para el tercer tipo t3 opciones, y así sucesivamente
hasta tr opciones para el ultimo tipo, entonces el objeto
puede escogerse de t1 +t2 ...+tr maneras. Es decir, el total
de opciones es la suma del número de opciones en cada
tipo.
• EJEMPLO: Supongamos que hay que escoger un libro de
entre tres materias: matemáticas, historia y biología. Hay
seis libros de matemáticas, 9 de historia y 4 de biología.
Entonces tenemos 6+9+4 = 19 opciones.
5-37

Principios de conteo
• Principio multiplicativo: si hay n1 modos de hacer una
cosa y n2 formas de hacer otra, existen n1 x n2 formas de
hacer ambas.
• EJEMPLO: Una persona tiene 10 camisas y 8 corbatas.
¿Cuántos conjuntos de camisas/corbatas tiene?
(10)(8) = 80 - - - Visualizar en el diagrama de árbol
• Principio multiplicativo (Extensión): Si cada uno de los k
eventos independientes puede ocurrir de n modos
diferentes, el numero total de posibilidades es nk
• EJEMPLO: Las placas de automóvil tienen 6 números o
letras que se pueden repetir, y hay 26 letras y 10 dígitos
posibles. Entonces (36)6 = 2,176’782,336 placas
5-37

Ejemplos :
• Si Jaimito tiene 2 autos diferentes y 4 rutas para ir a
la Universidad, puede llegar 2*4, es decir de 8 modos
distintos.
• EJERCICIO : Si queremos buscar las posibles
combinaciones de consonantes y vocales para
completar el nombre “_ _ _TECH”, donde la 1a sea
c(21), la 2a v(5), y la 3a c(21) para completar la forma
cvcTECH.
(Puede ayudarse empleando el diagrama de árbol o
árbol de probabilidades)

Otro ejemplo
• ¿Cuántos números de 5 cifras están formados
únicamente de cuatros y doses (ejemplos: 44242,
24422)?
• Se pide números de cinco cifras, es decir llenar con doses
y cuatros las cinco rayitas _ _ _ _ _.
• En la primera rayita podemos poner un dos o un cuatro (2
opciones), en la segunda podemos poner un dos o un
cuatro (2 opciones), lo mismo en la tercera, cuarta y
quinta rayita. Usando el principio de la multiplicación :
2× 2 × 2× 2 × 2= 25 = 32.
• Rpta : Hay 32 números de 5 cifras formados solo por 4 y 2.

Otro ejemplo más
• ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos
ni treses?
• Tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _. En el primer
espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el
cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si
ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras.
Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio.
• En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier
digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso.
• Usando el principio de la multiplicación :
7 × 84 = 28672 números posibles.

• Si hay que escoger un número de 4 cifras que tenga todas
sus cifras pares excepto 4s y 8s, o todas sus cifras
impares, excepto 5s y 7s, ¿De cuantas formas puede
hacerse?
• Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen
dígitos pares y los que tienen dígitos impares.
• Por principio aditivo el total lo obtendremos sumando el total de
cada caso.
• Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la
primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4
ni 8, pero tampoco 0 (??). Entonces tenemos 2 opciones (2,6). Para
las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total
es 2×33 = 54.
• Cuando todos son impares, como no podemos poner 5s ni 7s,
tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 34 = 81
números de esta forma.
• Entonces, el total pedido (con el principio aditivo) es 54 + 81 = 135.
Más ejemplos

Último ejemplito
• ¿Cuántos números de seis cifras hay que no
tienen sus dígitos repetidos ?
• Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ .
• En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos
poner al cero.
• En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque,
aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes,
ahora si podemos usar el cero.
• Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10
dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7
opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5.
• En total hay 9×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin
dígitos repetidos.

Permutaciones
• Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados
a partir de un grupo único
de n objetos posibles.
• Se refiere al número de modos diferentes en los
que los objetos pueden ser ordenados. En una
permutación, cada objeto sólo puede aparecer una
vez, y cada ordenamiento de los objetos constituye
una permutación diferente.
• Nota: el orden del arreglo es importante en las
permutaciones.
5-38

Permutaciones
• Supóngase que hay ocho máquinas disponibles, pero
solo tres espacios en el piso del taller donde se han
de instalar tales máquinas. ¿De cuántos modos
diferentes pueden colocarse las ocho máquinas?
)!(
!
Pr
rn
n
n



Permutaciones
• Primer espacio: 8 posibilidades
• Segundo espacio: 7 posibilidades (una ya se utilizó)
• Tercer espacio: 6 posibilidades.
• 8 x 7 x 6 = 336 permutaciones
• Excel : =PERMUTACIONES(8,3)
)!38(
!8
!5
!8
1*2*3*4*5
1*2*3*4*5*6*7*8



Permutaciones
• Usted tiene 10 camisas. Suponiendo que cada
camisa que viste va a la ropa sucia y que las
camisas se lavan cada semana, ¿Cuántas
maneras diferentes de seleccionar sus camisas
se producen en una semana?
800,604
!3
!10
)!710(
!10
710 

P

Permutaciones
• Se desean acomodar cinco libros en un librero,
¿De cuantas maneras posibles pueden ser
ordenados?
120
!0
!5
)!55(
!5
55 

P

Permutaciones
• Se tienen 6 libros, pero solo caben 4 en la
repisa. Los que restan quedaran finalmente en
el escritorio. De cuantas maneras se pueden
acomodar los libros en la repisa?
360
!2
!6
)!46(
!6
46 

P

Permutaciones
• Un alumno tiene para el fin de semana 9
tareas, pero como tiene una fiesta solo tendrá
tiempo para hacer 5 de ellas. En cuántos
ordenes/arreglos diferentes puede cumplir
con las tareas en el fin de semana?
120,15
!5
!9
)!59(
!9
59 

P

Combinaciones
• Combinación: el número de modos para elegir r
objetos de un grupo de n objetos.
• Solo considera los posibles conjuntos de objetos,
sin tomar en cuenta el orden en el que se
organizan los elementos del conjunto.
• El orden no interesa.
5-39

Combinaciones
• En un juego de cartas, usted recibe 5 naipes de una
baraja compuesta por 52 naipes. ¿Cuántas “manos” de
cartas puede usted recibir?
– Primer naipe: 52 posibilidades
– Segundo naipe: 51 posibilidades
– Tercer naipe: 50 posibilidades
– Cuarto naipe: 49 posibilidades.
– Quinto naipe: 48 posibilidades.
• Si fuera una permutación 
52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311’875,200 manos.

Combinaciones
0311’875,20


)!552(
!52
!47
!52
rnP
960,598'2
)!552(!5
!52
!5
)!552(
!52




rnC
)!(!
!
rnr
n
Crn


Pero el orden no importa:

Permutaciones o Combinaciones?
Permutación (interesa
el orden)
Combinación (no
interesa el orden)
C,T C,T = T,C
C,D C,D = D,C
C,E C,E = E,C
T,C
T,D T,D = D,T
T,E T,E = E,T
D,C
D,T
D,E D,E = E,D
E,C
E,T
E,D
6
4
24
)!24(!2
!4
24 

C
12
2
24
!2
!4
)!24(
!4
24 

P

Combinaciones
• En una clase de 24 alumnos se quieren formar
6 grupos de estudio. ¿Cuántos grupos
diferentes se pueden formar?
626,10
!20!*4
!24
)!424(!4
!24
424 

C

Combinaciones
• En el ejemplo de la repisa, cuantas
combinaciones habrían para acomodar los 4
de los 6 libros?
15
126
• En el ejemplo del alumno, cuantas
combinaciones tendría para hacer las 5 de las
9 tareas del fin de semana?

Asignación de probabilidades a
resultados muestrales
• Deben satisfacerse dos requerimientos de probabilidad
básicos :
• Los valores de probabilidad asignados a cada resultado
experimental (punto muestral) deben estar entre 0 y 1.
• La suma de TODAS las probabilidades de los resultados
experimentales debe ser 1. Por ejemplo, para un espacio
muestral de k resultados experimentales :
0 <= P(Ei) <= 1 para todo i
P(E1) + P(E2) + … + P(Ek) = 1

Asignación de Probabilidades
Método Clásico
Método de Frecuencia Relativa
Método Subjetivo
Asigna probabilidades basado en asumir la
igualdad de resultados igualmente probables
Asigna probabilidades basado en la
experimentación o datos históricos
Asigna probabilidades basado en el juicio propio

Enfoques de la probabilidad
• Probabilidad clásica: se basa en la
consideración de que los resultados de un
experimento son igualmente posibles.
• Utilizando el punto de vista clásico,
posiblesresultadosdetotalnúmero
favorablesresultadosdenúmero
=eventoundeadProbabilid
5-4

• Frecuencia Relativa: La probabilidad de que
un evento ocurra a largo plazo se determina
observando en qué fracción de tiempo
sucedieron eventos semejantes en el pasado.
• Proporción de veces que se observa que
ocurre un evento en un número muy grande
de pruebas.
nesobservaciodetotalnúmero
eventoelocurrióquevecesdenúmero
=eventodeladProbabilid
5-8

Ejemplo : Cara/Sello
• Lanzar una moneda : Cara (0), sello (1)
• Aplicacion en Excel…

Frecuencia Relativa
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0 25 50 75 100 125
Número de Lanzamientos
Total de Caras
Número de Lanzamientos

Ejemplo : Frecuencias relativas
Medio de Transporte
Número promedio de
muertes por 180 millones
km/pasajero
Automóviles de pasajeros 0.96
Autobuses escolares < 0.01
Autobuses diversos 0.03
Autobuses entre ciudades 0.01
Trenes de pasajeros 0.09
Aviones 0.08

• Probabilidad Subjetiva: La probabilidad de que
suceda un evento específico que asigna una
persona con base en cualquier información
disponible.
• Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar
la probabilidad de que un equipo de fútbol gane
el campeonato este año.
5-10

Ejemplo : Enfoque subjetivo
(“corazonadas”)
Evento Probabilidad subjetiva
Robarán el proyector en esta clase Baja (Prob. <= 0.001)
Hablarás por teléfono con alquien hoy Media (Prob. >= 0.600)
Sus zapatos estarán en el pie correcto Alta (Prob. >= 0.999)
Aprobará el curso de Fund Estadística Alta (Prob>= 0.999)
Apuestas en casinos y bingos (1994) 482,000,000,000 dólares
Pago de primas de seguros contra
incendios 2002
8,300,000,000 dólares

Clases de Eventos
• Eventos Mutuamente Excluyentes
– Dos o más eventos que no pueden ocurrir al mismo
tiempo.
– A: Reina de Corazones; B: Reina de Espadas
• Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.
• Eventos No Mutuamente Excluyentes
– Dos o más eventos que si pueden ocurrir al mismo
tiempo.
– A: Naipes de Corazones; B: As
• Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes.
• El As de Corazones

Mutuamente Excluyentes
Evento A Evento B
Espacio Muestral

No Mutuamente Excluyentes
Evento
A
Evento
B

Reglas básicas de probabilidad
• Si los eventos son mutuamente excluyentes, la
ocurrencia de cualquier evento impide que el
otro evento ocurra.
5-11
Evento A Evento B

Regla de la Adición
• Si dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o
B es igual a la suma de sus probabilidades
respectivas:
• P(A o B) = P(A) + P(B)
• Probabilidad que al lanzar una moneda salga
cara o sello.

Regla del complemento
• La regla del complemento se utiliza para
determinar la probabilidad de un evento,
conociendo su probabilidad de No Ocurrencia.
• Se obtiene restando del número 1 la probabilidad
de que No ocurra un evento.
• Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(Ac) es el
complemento de A,
– P(A) + P(Ac) = 1
– P(A) = 1 – P(Ac).
5-14

Complemento
Evento A
Complemento de A
Ac

Regla especial de la adición
• Si A y B son dos eventos que no son
mutuamente excluyentes, entonces
P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:
• P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
5-18

Regla especial de la Adición
Evento
A
Evento
B
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

53
Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco.
¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3?
x
x
36/2)3( P

54
Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido
un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3?
x
6/1)1|3( rojodadosumadeP

Sucesos
A = ser hombre (H)
B = edad 20
A Ac
B
Bc
Probabilidades
P(A) =
4
62
2
6/14 = 0.43
P(B) = 6/14 = 0.43
P(A  B) = 4/14 = 0.29
P(A B) =
6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57
P(AB) = 4/6 = 0.67
P(A) + P(B) - P(A  B)

Intuir la probabilidad
condicionada
A
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A ∩ B) = 0,10
A
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A ∩ B) = 0,08
B
B

A
B
A
B
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A ∩ B) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A ∩ B) = 0
Intuir la probabilidad
condicionada

Cuatro tipos de probabilidad
Marginal
La probabilidad
de que ocurra
X
Unión
La probabilidad
de que ocurra
X o Y
Conjunta
La probabilidad
de que ocurra
X e Y
Condicional
La probabilidad
de que ocurra
X sabiendo que
ha ocurrido Y
YX YX
Y
X
P X( ) P X Y( ) P X Y( ) P X Y( | )

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