1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
18 Te´cnicas de recuento
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) 4! b) P8 c) 5! P4
2. Simplifica las siguientes expresiones:
a)
10!
2! · 5!
b)
4!
7! 3!
c)
(x 4)!
P(x6)
3. a) ¿De cuantas formas diferentes pueden colocarse en fila 7 personas?
b) ¿Y si la primera y la u´ltima son fijas?
4. Calcula y simplifica:
a) V6,2 b) V7,4 c)
V V 8,5 8,2
V5,2
5. Resuelve la siguiente ecuacio´n: Vx,5 12 · Vx,3
6. Con las letras de la palabra CUERPO, ¿cua´ntas palabras de cuatro letras distintas, con o sin sentido, se pueden
formar? ¿Cua´ntas empiezan por p y terminan por e?
7. Al lanzar un dado 3 veces, ¿cua´ntos resultados distintos podemos obtener?
8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) VRx,2 4VRx1,2 305
b) 16VRx1,2 9VR4,3
c) VR6,2 15VRx3,2 171
9. a) ¿Cua´ntos nu´meros de 5 cifras, repetidas o no, se pueden formar con los dı´gitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?
b) ¿Cua´ntos sera´n mu´ltiplos de 5?
c) ¿Cua´ntos tienen el 2 en la posicio´n de las unidades y el 7 en la posicio´n de las centenas?
10. Comprueba las siguientes igualdades:
a) C10,6 C10,4
b)
11 11 4 7
c) Cx,x3
x 3
11. Se dispone de 10 botes de pintura de diferentes colores. ¿Cua´ntas mezclas de tres colores se pueden hacer?
¿Y cua´ntas mezclas se pueden hacer de siete colores?
12. Un examen consta de 25 preguntas, de las que se deben contestar 20.
a) ¿De cua´ntas formas diferentes se pueden elegir esas 20 preguntas?
b) ¿Y si 15 de ellas son obligatorias?

2. SOLUCIONES
1. a) 4! 4 · 3 · 2 · 1 24
b) P8 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 40 320
c) 5! P4 5 · 4 · 3 · 2 · 1 4 · 3 · 2 · 1 96
10! 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!
2! · 5! 2 · 1 · 5!
2. a) 15 120
4! 4 · 3! 4
b)
7! 3! (7 · 6 · 5 · 4 1)3! 839
(x 4)! (x 4)(x 5)(x 6)!
P (x 6)! (x6)
(x 4)(x 5) x 2 9x 20
c)
3. a) Influye el orden de colocacio´n e intervienen to-das
las personas en cada ordenacio´n. Se trata
de permutaciones de 7 elementos:
P7 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 5 040 formas
diferentes.
b) Si la primera y la u´ltima son fijas, solo hay
que cubrir 5 posiciones, con 5 personas, luego:
P5 5 · 4 · 3 · 2 · 1 120 formas diferentes.
4. a) V6,2 6 · 5 30
b) V 7 · 6 · 5 · 4 7,4 840
V 8,5 V 8 · 7 · 5 · 4 · 3 8 · 7 c) 8,2
V 5 · 4 5,2
56(60 1) 826
20 5
5. Debe ser: Vx,5 12 · Vx,3, con x
5
x (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)
12x (x 1)(x 2)
(x 3)(x 4) 12; x 2 7x 12 12
x 2 7x 0; x (x 7) 0
x 0 x 7
La solucio´n es x 7, porque x
5.
6. Influye el orden, y no entran todas las letras en
cada palabra, sin poder repetirse ninguna letra. Se
trata de variaciones sin repeticio´n.
V6,4 6 · 5· 4 · 3 360 palabras distintas.
Que empiecen por p y terminen por e :
V4,2 4 · 3 12
7. En cada lanzamiento hay 6 posibles resultados,
puede haber repeticio´n y hay que tener en cuenta
el orden:
VR6,3 63 216 resultados distintos.
8. a) VRx,2 4VRx1,2 305; x 2 4(x 1)2 305;
5x 2 8x 4 305; 5x 2 8x 301 0;
x 7 8 64 6 020
43 10 x
x
5
La solucio´n va´lida es x 7.
b) 16VRx1,2 9VR4,3; 16(x 1)2 9 · 43;
(x 1)2 62; solucio´n va´lida, x 7.
c) VR6,215VRx3,2171; 6215(x 3)2171
(x 3)2 9; solucio´n va´lida, x 6
9. a) VR7,5 75 16 807 nu´meros distintos.
b) Son mu´ltiplos de 5 solo los que acaban en 5;
por tanto, VR6,4 64 1 296.
c) Al fijar los dos nu´meros en las dos posiciones,
nos quedan 5 nu´meros para ocupar tres posi-ciones,
por consiguiente: VR5,3 53 125
10. a)
C10,6C10,4
10! 10!
C10,6 (106)! · 6! 4! · 6!
10! 10! C10,4 (104)! · 4! 6! · 4!
b)
11 11! 4
7! · 4!
11 11! 7
4! · 7! 11 11 4 7
c)
x! x!
x x! 3
(x 3)! · 3! Cx,x3
[x(x3)]!·(x3)! 3!·(x3)!
Cx,x3
x 3
11. Nu´mero de mezclas posibles de tres colores:
10 · 9 · 8
3 · 2 · 1
C10,3 120
Con siete colores, es: C10,7 C10,3 120
25 · 24 · 23 · 22 · 21
12. a) C25,20 C25,5
5 · 4 · 3 · 2 · 1
53 130 formas diferentes.
b) Si 15 son fijas, quedan 10 para elegir 5:
10 · 9 · 8 · 7 · 6
C10,5 252 formas di-
ferentes. 5 · 4 · 3 · 2 · 1