Choques impulso

1. Introducción.
2. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques.
3. Choques elásticos. Sistemas de coordenadas laboratorio y centro de
masas.
4. Choques inelásticos. Variación de la energía en el choque. Reacciones.
5. Dispersión elástica por una esfera dura. Sección eficaz.
6. Dispersión por un potencial central: Dispersión de Rutherford.
Bibliografía: [Marion], [Rañada], [Goldstein], [AFinn]
Tema 7. Colisiones o choques y dispersión
Chantal Ferrer Roca 2008

NOTA IMPORTANTE:
Los contenidos de este documento representan un esquema de los conceptos
fundamentales del tema, por lo que en ningún caso se trata de apuntes
completos. Este esquema se complementa con explicaciones, razonamientos,
ejemplos y problemas que se desarrollan durante las clases, así como con
alguno(s) de los libros que se incluyen en la bibliografía
Bibliografía: [Marion], [Rañada], [Goldstein], [AFinn]
Tema 7. Colisiones o choques y dispersión

1. Introducción
COLISIÓN O CHOQUE : proceso de
interacción interno de un sistema (de dos cuerpos)
entre los que se transfiere momento y energía e
incluso masa
Ai + Bi
Af + Bf
interacción
m2
m1 p1,i
v2,i=0
m1 p1,f
m2
v2,i=0
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,f
m2
p2,f
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,f
m2
p2,f
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,f
m2
p2,f
(Justo) antes (Justo) después
b
b
b
Choque frontal
Choquesoblicuos
Dispersión o difusión: las partículas son las
mismas antes y después de la colisión
Reacción: cambia la naturaleza de las
partículas
Fuerzas impulsivas: grandes, tiempo breve
Fuerzas externas insignificantes en comparación
v (t)
Velocidad de un cuerpo deformable que cae desde una
cierta altura y choca contra el suelo
dt
b = parámetro de impacto
colisióncolisióncolisión

2. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques
if TT >
BfAfBiAi TTTT +=+
fi PP
rr
=
Q>0 exotérmico
Choque elástico : T se conserva
choques 2D, en general
1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL (CML): las fuerzas externas son
despreciables frente a las fuerzas internas durante la colisión
BfAfBiAi pppp
rrrr
+=+
2. En base a la CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA (CE) en el choque:
if TT =
Choque inelástico : T no se conserva QTT if += QTTT if =∆=−
Q<0 endotérmico fi TT >La energía mecánica (cinética) se transforma en energía interna u otras
formas de energía disipativas (calor, deformación, etc.)
La energía interna se transforma en energía mecánica (cinética) de las
partículas finales (por ej.: en reacciones químicas, reacciones nucleares)
Se conocen los movimientos de las partículas antes de la colisión, pero se desconocen las fuerzas de
interacción. ¿Qué se puede saber de su movimiento final aunque desconozcamos las fuerzas de interacción?
Aunque no se conozca la interacción, los principios de conservación permiten deducir el estado final a
partir del inicial o viceversa .
Como vimos en el tema 4:

21 mm = 21 mm > 21 mm <
Choques 1D elásticos (se conserva la energía)
Choques 1D completamente inelásticos (no se conserva la energía)
21 mm =
21 mv00mv +=+
21 mm > 21 mm <
fi1 mv2mv =
f2f2f1f1i1i1 vmvm0vm +=+
0v,vv f1i1f2 >> 0v,vv f1i1f2 <<
f21i1i1 v)mm(vm +=
DEMO DEMODEMO
DEMO DEMO DEMO
DEMO de choques en 1D en clase (frontales)
2. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques
http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars.MPG
http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars_bs.MPG
http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars_sb.MPG
http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars.MPG
http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars_bs.MPG
http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars_sb.MPG
Videos
Videos

CM
vCM
m2
m2
m1 v1i
v2i=0
v2f
v1f
θ1
θ2 CM
vCM
m1
SISTEMA LABORATORIO
0p i2 =
r
ec2ppp f2f1i1
rrr
+=
ec1TTT f2f1i1 +=
CML
CE
2
2
f2
1
2
f1
1
2
i1
m2
p
m2
p
m2
p
+=
Momento y energía del estado inicial + una
medida del final (ángulo, por ejemplo) =
conocido estado final.
f2f1
2
f2
2
f1
2
f2f1
2
i1 pp2ppppp
rrrrrrr
⋅++=+=
Si las masas son idénticas, CML y CE son
compatibles si uno de los momentos es nulo
o si el ángulo entre ellas es 90º
3. Choques elásticos. Sistema laboratorio
En general, ambas partículas pueden tener velocidades iniciales. No obstante, siempre se puede encontrar un sistema
inercial en el que una de ellas está quieta inicialmente (principio de relatividad de Galileo: todos los sistemas inerciales
son equivalentes). Por otro lado, en muchos casos ese sistema es el sistema laboratorio (en el caso de reacciones
nucleares el blanco está fijo).
21
2211
CM
mm
vmvm
v
+
+
=
rr
r
La velocidad del CM es la misma
durante todo el proceso, al ser
despreciables las fuerzas externas
(Justo) antes
(Justo) después
colisión
1
21
sin
)2sin(
θ
θ+θ
= Demostrar
1
1
m
m
=ρ

-vCM
SISTEMA LABORATORIO
i2i1 'p'p
rr
−=
CMvvv
rrr
−='
SISTEMA CENTRO DE MASAS (CON `)
f2f1 'p'p
rr
−=
Trasf. Galileana
v
mmm
)vv(m
mm
vmvm
vvv'v
121
212
21
2211
1CM11
r
rrrr
rrrr µ
=
+
−
=
+
+
−=−=
v
mmm
)vv(m
mm
vmvm
vvv'v
221
121
21
2211
2CM22
r
rrrr
rrrr µ
−=
+
−
=
+
+
−=−=
CM
vCM
m2
m2
m1 v1i
v2i=0
v2f
v1f
θ1
θ2 CM
vCM
m1
0p i2 =
r
21
2211
CM
mm
vmvm
v
+
+
=
rr
r
después colisión
antes
De hecho, el SCM se define como aquel en el que el
momento lineal total (del sistema) es nulo
f2f1i2i1 'T'T'T'T +=+CE
f1i1 'p'p =
solo cambia la dirección del
movimiento θcm
CML
f2i2 'p'p =
f1i1 'v'v = f2i2 'v'v =
m1
CM
v'1i
m2
v'2i=vCM
p'i p'i
v'2f
θ’=ángulo de
dispersión
CM
θcm=θ’
θ‘=θcm+π
p'f
p'f
colisión
antes
después
CMvvv
rrr
−='
3. Choques elásticos. Sistema centro de masas

SISTEMA LABORATORIO SISTEMA CENTRO DE MASAS (CON `)
m1
CM
v'1,i
m2
v'2,i=vCM
p'i p'iCM
vCM
m2
m2
m1 v1,i
v2i=0
v2,f
v1,f
θ1
θ2 CM
vCM
m10p i2 =
r
después
colisión
v'2,f
θ’=ángulo de
dispersión
CM
θcm=θ’
θ‘=θcm+π
p'f
p'f
colisión
antes antes
después
v
r
CMv
r
θ
'v
r
θ’
CMf11f1
f11f1
v'cos'vcosv
'sin'vsinv
+θ=θ
θ=θ
Relación estados
finales para cualquiera
de las partículas
f1
cmfx1
fy1
1
v
v
'cos
'sin
p
p
tg
+θ
θ
==θ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ρ====
2
1
i1
i2
f1
f2
f1
cm
m
m
'v
'v
'v
'v
'v
v
Análogo para masa 2 (atención
signos)
ρ+θ
θ
=θ
'cos
'sin
tg 1
Si m2 está quieta (blanco en reacciones
nucleares) hemos visto que:
-vCM
CMvvv
rrr
−='
Trasf. Galileana
'cos1
'sin
tg 2
θ−
θ
=θ
Problema 7.7 de boletín
i1
f1
E
E
demin
3. Choques elásticos. SL y SCM

ρ
∞→θπ=θ 1tg,'para∞→θρ−=θ 1tg,'cossi
1'vv fcm <ρ<
2
0posible 1
π
<θ≤π≤θ≤ 10posible
max1θ
2
0 max11
π
<θ≤θ≤
El denominador nunca será nulo,
Luego
'v
v
'cos
'sin
tg
f1
cm
1
+θ
θ
=θ
1'vv fcm =ρ=
1tgθ
1tgθ
'θ
1'vv fcm >ρ>
max1θ
1tgθ
'θ'θ
'θ
CMv
r
CMv
r
CMv
r
fv
r
fv
r
f'θb'θ
'θ
fv
r
Para un valor de θ1 hay dos posibles de θ’, el “forward” y el “backward”. También
hay dos posibles valores del módulo de la velocidad en SL. Conocido el ángulo θ1 y
ρ, queda indeterminado en SL el módulo de la velocidad.
f'v
r
fbv
r
0
'd
)tg(d 1
=
θ
θ
ρ
−=−=θ
1
m
m
'cos
1
2
max
Sólo si 12 mm <
1θ f'v
r ff'v
r
Determinación de la masa del blanco
3. Choques elásticos. SL y SCM
Figuras del libro “Mecánica”. Berkeley Physics Course I" Kittel-Knight-Ruderman

fi PP
rr
= 0TTQ if ≠−=
NO hay CONSERVACIÓN DE LA
ENERGÍA CINÉTICA
CML
i1i2
f1f2
i
f
vv
vv
)inicialrelativavelocidad(u
)finalrelativavelocidad(u
e rr
rr
−
−
==
coeficiente de restitución (CHOQUES FRONTALES)
e=1 la velocidad relativa no cambia (T se conserva) choque elástico
0<e<1 la velocidad relativa cambia (T no se conserva) choque parcialmente inelástico
e=0 la velocidad relativa final=0 (variación máxima de T) choque completamente inelástico
)1e(u
2
1
TTTQ 22
iif −µ=−=∆=
r
21 ppP
rrr
+=
En el sistema CM: Q2'p'p 2
i
2
f µ+=
21
21
mm
mm
+
=µ
i
f
p
p
e
'
'
=
CM
p'f
m2θ'
p'ip'i
p'f
12 vvu
rrr
−=
2
22
2
11 vmvmT2 +=
T)mm(2ummP 21
2
21
2
+=+
v Válido para el estado final o
el inicial
CASOS según e
En CM
(demostrar)
4. Choques inelásticos unidimensionales. energía del choque
Mayor cuanto mayor la velocidad
relativa inicial, y cuanto menor el
coeficiente e
Problemas del boletín 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

2
i1
22
i v
2
m
2
1
)1e(u
2
1
Q −=−µ=
EJEMPLO: Choque completamente inelástico de dos masas idénticas
SISTEMA LAB
CM
vCM
mm v1i
v2i=0
SISTEMA CM (CON `)
m
CM
v'1i
m
θ' v'2i=vCM
p'i p'i
2
v
'v
2
v
'v i1
i2
i1
i1 −== 2
i1
2
i2
2
i121f mv
4
1
)'v'v(m
2
1
0)'T'T('TQ −=+−=+−=
m2= m1= m
2m 2m
0'v f =
CÁLCULO DIRECTO EN CM (CON `)
A PARTIR DE LA
EXPRESIÓN
GENERAL
En CM toda la energía cinética inicial se
disipa (calor, deformación permanente, etc.)
2
v
v i1
f =
Problema 7.1 del boletín: caso particular
4. Choques inelásticos. Coef. de restitución y energía del choque

1i1i2
21f1f2
i
f
cos)vv(
)cos(vv
)segúninicial.rel.vel(u
)segúnfinal.rel.vel(u
e
θ−
θ+θ−
=
ξ
ξ
=
coeficiente de restitución
2
222
i1if cos)1e(v
2
1
TTTQ θ−µ=−=∆=
4. Choques inelásticos bidimensionales. Reacciones
mide el cociente cambiado de signo, entre la velocidad
relativa de alejamiento a lo largo del eje ξ y la velocidad
relativa de aproximación a lo largo del mismo ejeCM
vCM
m2
m2
m1 v1,i
v2,i=0
v1,f
θ1
θ2 CM
vCM
m1
0p i2 =
r
(Justo) antes
(Justo) después
colisión
v1,i
v1f
ξ
Se demuestra que:
v2,f
En las reacciones (las partículas no mantienen su identidad)
Q no está relacionado con el coeficiente e. Q puede incluso
ser positivo. Supongamos reacciones nucleares (idem reac.
químicas).
La energía total del
sistema se conserva
cteETUETE intext
i
int
i
i
CMi =+=++= ∑∑
int
ETQ ∆−=∆=
Problema del boletín 7.6

DISPERSIÓN : Choques en los que un
proyectil se lanza contra un blanco,
existiendo una relación entre la interacción
que sufren (potencial) y los parámetros
finales (ángulo de dispersión, velocidad).
Estudios de interacciones a nivel atómico
con muchas partículas incidiendo sobre un
blanco con distintos parámetros de impacto.
De la proporción de partículas desviadas en
diferentes ángulos se puede deducir el tipo
de interacción y viceversa.
5. Dispersión y sección eficaz
m2
m1 p1,i
v2,i=0
m1 p1,f
m2
v2,i=0
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,f
m2
p2,f
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,f
m2
p2,f
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,f
m2
p2,f
(Justo) antes (Justo) después
s
s
s
Choque frontal
Choquesoblicuos
b = parámetro de impacto = s
colisióncolisióncolisión

5. Dispersión por una esfera dura y sección eficaz
Dispersión elástica por una esfera dura Esfera dura: objeto extenso (radio a), masa
infinita (no hay retroceso) e impenetrable.
E
equivalente a barrera
infinita: ⎩
⎨
⎧
>
≤≤∞
ar0
ar0
)r(U
2
2
ef
mr2
)r(U)r(U
l
+=
)r(U
E0
E
a r
s = parámetro de impacto= distancia
entre centros perp. a la dirección de
impacto
2
cosasinas
θ
=α=
π=α+θ 2
áng. inci.
áng. refl.
ejeapsidal
22
s)mE2(=l
smv)sin(rmvpr ii =α−π=×=
rr
l
r
2
imv
2
1
TE == ∞
s
Punto apsidal rmin según los valores de la energía
s
iv
r
a
α
α
α
θ áng. disp
2
2
0
ma2
E
l
=

Blanco que dispersa muchas partículas incidentes
con diferentes parámetros de impacto s: se tienen
todas las posibles deflexiones finales con distribuciones
por ángulos que dependen de la interacción con el
blanco
haz de partículas
incidente
blanco
iΦ
Flujo total de part. incidentes=
N. part/u. sup/u. tiempo
fΦ Flujo total de part. dispersadas
= N. part/u. sup/u. tiempo
Partículas
dispersadas

φθθΩ
=ΩΩ
ddsin)(N
d)(N
s
ds
ds
φsd
I = Partículas incidentes por u.
de superficie y tiempo a través
de una superficie elemental
normal al haz, con parámetro s y
ángulo φ
haz de partículas
blanco
N(Ω) =Num. de partículas detectadas después
de la colisión por u. de ángulo sólido y tiempo
en la posición esférica θ, φ
)sdsd(I φ
Num. Part./u. tiempo
)sdsd(Id)(N φ=ΩΩ
θθ
=
Ω
d
ds
sin
s
I
)(N
(s disminuye cuando aumenta el ángulo)
Simetría alrededor del eje: ángulo φ incidente y
final iguales
Conservación del flujo:
Las part. entre s y s+ds salen entre
θ y θ+dθ

s
ds
ds
φsd
haz de partículas
blanco
Sección eficaz diferencial dσ correspondiente a dΩ : aquella que exponiéndola
transversalmente al haz (homogéneo) es atravesada por un número de proyectiles
equivalente a los que son dispersados en dΩ
)sdsd(I φ
σ=ΩΩ Idd)(N
Ω
σ
=
d
d
Conservación del flujo:
σId
Datos experimentales,
es algo que se mide
Modelo teóricoσd
)sdsd(Id)(N φ=ΩΩ
θθ
=
Ω
d
ds
sin
s
I
)(N

Sección eficaz diferencial dσ correspondiente a dΩ : aquella que exponiéndola
transversalmente al haz (homogéneo) es atravesada por un número de proyectiles
equivalente a los que son dispersados en dΩ
Ω
σ
=
θθ d
d
d
ds
sin
s
=
Ω
I
)(N
Si el blanco retrocede, el ángulo de dispersión θ del
movimiento relativo de dos cuerpos coincide con el
ángulo θ en CM, pero no con el ángulo en SL:
habría que transformar uno en otro usando las
relaciones que vimos al tratar las colisiones en el
tema de sistemas de partículas.
∫∫ ∫∫
ππ π
θθθσ=θθφ
Ω
σ
=Ω
Ω
σ
=σ
00
2
0
dsin)(dsind
d
d
d
d
d
Sección eficaz total σ : superficie efectiva de la partícula blanco que produce una
desviación
)(θσ Unidades: S.I. m2
fisica nuclear: barn =10-28 m2 (uranio)

6. Dispersión por una esfera dura y sección eficaz.
EJEMPLO: sección eficaz de la dispersión por una esfera dura
4
a
d
ds
sin
s
d
d 2
=
θθ
=
Ω
σ
s
iv
r
s = parámetro de impacto= distancia
entre centros perp. a la dirección de
impacto
a
α
α
α
θ
2
cosasinas
θ
=α=
π=α+θ 2
áng. inci.
áng. refl.
ejeapsidal
áng. disp
2
2
ad
4
a
d
d
d
π=Ω=Ω
Ω
σ
=σ ∫∫σ
esfera cilindro cono
Igual sección transversal (si tienen el mismo radio), luego igual
sección eficaz total
Partículas
puntutales

6. Dispersión por una esfera dura y sección eficaz.
RECORRIDO LIBRE MEDIO Y RELACIÓN CON SECCIÓN EFICAZ.
El recorrido libre medio es la distancia promedio que recorre una partícula entre dos colisiones sucesivas
Γ
==
v
colisióndefrecuencia
promediovelocidad
l
n = num de blancos/ unidad de volumen
Número de blancos en una porción L X L X dx: dxLnVn 2
⋅=⋅
Probabilidad de que una partícula incidente colisione en dx: dxn
L
Vn
2
σ=
σ
Disminuación de intensidad del haz incidente (por colisiones
desvían o frenan):
ndxIdI σ−=
l
I
dx
dI
−=
lx
0eII −
= Luego en estos casos representa la
distancia de atenuación
(1/t entre colisiones)
σ
=
n
1
)colisionesentret()promediov( ⋅=l
Número de colisiones por
unidad de longitud
Luego
Σ= num de colisiones/ unidad de longitud = l/1
σ
=
Σ
=
n
11
l (Suponiendo que las partículas
blanco estén quietas. No es así
entre las moléculas de un gas)

Esquema del experimento
de Rutherford
Casi todas las partículas α
atraviesan el metal, como si
estuviera “agujereado”,
dispersándose
Sabemos que:
Núcleo atómico: diámetro de 3 x 10-15 m (hidrógeno) a
20 x 10-15 m (uranio).
Átomo de H: diámetro de ~10-10 metros
partículas α
= He2+ (carga +)
una peqeuña fracción retrocede (unas pocas por
cada millón de partículas incidentes)
E. Rutherford
(Nobel 1906)
+ Geiger y Marsden
El resultado (partículas dispersadas para cada ángulo sólido en
relación a incidentes= sección eficaz diferencial) es incompatible
con el modelo del átomo de Thomson (modelo “plumcake”). Para
hacer retroceder completamente a las partículas α hace falta algo
macizo y positivo en el centro, pero muy pequeño (muy pocas
retroceden). El resto es espacio vacío:
Modelo de átomo “planetario”, con nucleo
muy pequeño (+) y electrones (-) que siguen
órbitas muy grandes.
6. Dispersión por un potencial central: fórmula de Rutherford
Blanco: Lámina fina
de oro (0,4 µm)
em7000m =α

ra
Uef(r)
2
2
cent
mr2
)r(U
l
=
r
k
)r(U −=
E >0
rc
E=Umin
E=0
rmin rmax
x
0>E >Umin
Uef(r)
2
2
cent
mr2
)r(U
l
=
r
k
)r(U −=
Potencial coulombiano atractivo Potencial coulombiano REPULSIVO
0k <
0k >
f '
E=Umin,B=0, ε =0
circunferencia
elipse
parábola
Hipérbola (r. izquier.)
ε<1, Umin<E<0
C>B>0
ε =1, E=0
C=B>0
ε >1, E>0
B>C>0
f
Hipérbola (r. der.)=
potencial electrostático
repulsivo
E >0
rmin
ε <1, E>0 B>C>0
f ‘'
C/B=ε
Ecuación
integral de la
órbita o
ecuación
diferencial

iv
r
ψ
ψ
θ
s
s
iv
r
a
α
α α
θ
Dispersión por una esfera dura Dispersión Coulombiana
π=θ+α2
π=θ+ψ2
2
cosasinas
θ
=α=
2
cot
E2
k
s
θ
=Parámetro de impacto
Figura del libro
Lecciones de Física de
M. Ortega Girón

Ec de rama (-) de hipérbola
en coordenadas polares
2
mk
C
l
=
π=θ+ψ2
excentricidad
)cos1(
)1(a
1
r
1
2
ψε−
−ε
=
a : semieje mayor
ε : excentricidad=c/a
1cosr =ψε∞→asíntota
ψ
ψΨ, en esfera dura, lo
llamábamos α 2
sin)
22
cos(cos
1 θ
=
θ
−
π
=ψ=
ε
C
B
=ε =+=+= 222
2
C
mE2
1
mE2
C
C
1
ll 2
2
mk
E2
1
l
+
0
2
21
4
eZZ
k
πε
−=
Como en el caso de la esfera
dura, se cumple
2
mv
2
1
TE ∞∞ == mE2ssmv == ∞l
2
2
2
2
k
Es2
1
mk
E2
1
2sin
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=ε=
θ
l
2
cot
E2
k
s
θ
=
Parámetro de
impacto
Problema de dos cuerpos: µ en lugar de m, sistema CM
Figura del libro
Lecciones de Física de
M. Ortega Girón

2
cot
E2
k
s
θ
=Parámetro de
impacto
θθ
=
Ω
σ
d
ds
sin
s
d
d
)2(sin
1
)
E2
k
(
2
1
d
ds
2
θ
=
θ
)2(sin
1
E4
k
)2(cos)2(sin2
/)2(sin/)2(cos
E2
k
2
θθθ
θθ
=
)2(sin
1
)
E4
k
( 4
2
θ
=
Válida en CM o con
blanco fijo
0
2
21
4
eZZ
k
πε
−=
θθ
=
Ω
σ
d
ds
sin
s
d
d
∫ Ω
Ω
σ
=σ d
d
d
Como en todos los casos de potenciales de largo
alcance, el valor es infinito : incluso las partículas con
gran parámetro de impacto son desviadas. Lo que
significa que la superficie dispersora es infinita. Sólo
si el campo y el potencial se anulan a una cierta
distancia, se obtiene un valor finito (por ejemplo,
campo coulombiano de un núcleo apantallado por
electrones de la corteza.atómica)
θ
σ
=Ω
d
d
I)(N
Sección eficaz diferencial
Sección eficaz total
Partículas desvidas en un ∆Ω
σ∆⋅=Ω
Ω
σ
=∆Ω ∫
θ
θ
Id
d
d
I)(N
f
i
Det.
)(N ∆Ω
Problemas 7.10 y 7.11 del boletín

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