Este documento presenta información sobre ángulos trigonométricos. Define ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, y describe las diferencias entre ellos. Luego, introduce tres sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial. Explica las equivalencias y relaciones entre estos sistemas. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Por ejemplo:
CEPUNS 
- -10º
10º - 
Ciclo 2013-II
TRIGONOMETRÍA
“Ángulo Trigonométrico” Semana Nº 1
Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de
ángulo geométrico y observar las características de ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el movimiento
partir de un mismo punto. de rotación de un rayo alrededor de su
A origen, desde una posición inicial (lado
inicial) hasta una posición final (lado final)
A
Lado Inicial
Definición
0 
0 
Lado Terminal
B
B
 Son estáticos  Son móviles
 No tienen sentido de giro, por lo  Su sentido de giro está definido:
tanto no hay ángulos negativos.
 Están limitados
 Los ángulos positivos tienen
sentido antihorario ().
Características ( 0º  águlo Trigonomét rico  360º )
 Los ángulos negativos tienen
sentido horario ().
 Su magnitud no tiene límites.
Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:
Por ejemplo:
10º - 
- -10º

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Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1º  (GradoSexagesimal )
360
1º  60`( MinutoSexa gesimal )
1` 60``(SegundoSex agesimal )
1º  3600``(SegunoSexa gesimal )
0
Debemos tener en cuenta:  b c 
a º b ´ ´´ a ºb ´c ´´  a 
c  
 60 3600 
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´
Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1g  (GradoCentesimal )
400
1g  100 m (min utoCentesi mal )
1m  100 s ( SegundoCen tesimal )
1g  10000 s ( segundoCentesimal )
g
Debemos tener en cuenta: g g b c
a b mc s  a  b m  c s  a 
 
 
 100 10000 
Ejemplo: 28g30m27s= 28g + 30m + 27s
Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)
Equivalencias:
La medida de un ángulo en Aproximaciones de 
radianes viene expresado por:   3,1416
 22
   
r 7
  3 2
Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g
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RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:
Sº Cg Rrad
  a
360º 400 g
2rad
Sº Cg Rrad
  c
180º 200 g
rad
Sº C g 20 Rrad
  k
9º 10 g rad
También una equivalencia de esta última relación es:
 S  9k ; C  10k ; R  k
20
 S  C ; S  180 R ; C  200
R
9 10  
 S  C ; S  180 R ; C  200
R
9 10  
OBSERVACIÓN
Sexagesimales Centesimales
RELACIÓN DE MINUTOS: # de grados S C
. M  m . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES # de minutos 60 S 100 C
27 50 m: # MINUTOS CENTESIMALES # de segundo 360 S 10000 C
RELACIÓN DE SEGUNDOS:
. a  b .
a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
81 250 b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
PROBLEMA S RESUELTOS Número Número
Segundos  Minutos = 15700
1. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal Sexg. Cent.
que la diferencia de su número de segundos
3600 S  100 C = 15700
sexagesimales y de su número de minutos 39(9n)  (10n) = 157
centesimales sea 15700. 314n = 157
A)  B) 2 C)  D) 40 E)  1 
n R 
2 40 10 2 40
RESOLUCIÓN

  rad RPTA.: C
Piden:  Rrad S = 9n
40
Sabemos C = 10n
2. Sabiendo que “S” y “R” son los números de
R=  n grados sexagesimales y radianes de un
Condición: 20 ángulo, donde:
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²S²  R² A)52g B) 30º C)45g D)45º E) 135º
 179R RESOLUCIÓN
181
=?
Halle “R”.
10g
A) 5 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2 10  ²  10  40    45  9  º
g
RESOLUCIÓN 9º
S = 180 K ²  10 + 40 =   5
C = 200 K
R=K ( + 5)² + 15 =   5
² 180k    k  ²
2
( + 5)² =   20
  179(k)
181   20  0   = 20 (mínimo)
²k² 180 ²  ²k²
 179  k 
181 
²k² 181 179 
   179k
181   45  9  º
k = 1
1 1
k R      1 RPTA.: A
  (45 9)º = (9  45)º
3. Halle “C” a partir de la ecuación: = (180  45)º
= 135º
S6 C7 20 8

9 10


R  4 S5  C6  R7 ,     = 45º RPTA.: D
Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un 5. Se inventan 2 sistemas de medición
angular “x” e “y”, tal que: 25x < >
mismo ángulo. 50g , además 80y < > 90º.
A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10 Determinar la relación de conversión entre
RESOLUCIÓN estos 2 sistemas x/y.
S = 180 K A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
Sabemos C = 200 K =? 8 8 8 8 8
R=K RESOLUCIÓN
1x = 2 g
8y = 9º
Condición: 1x 2g  9  º
S 5 C 6 20  º  g
9
S 
10
C 

R R 7  4 S5  C6  R 7   8 y
9  10 
20 K 20 K 20 K
1x 1

8y 5
20k (S5+C6R7) = 4 (S5 + C6 R7)
k= 1
5x  8y  Re lación de Sistemas
5
 C  40 RPTA.: C x y x 5 RPTA.: B
  
5 8 y 8
4. A partir del gráfico mostrado, determine la
medida del ángulo AOB, si “” toma su
mínimo valor. PROBLEMA DE CLASE
B A
c  s  20R
F
1) Simplificar la expresión: 3 C  S  20R ,
donde C, S y R son las medidas de un ángulo en
 45  9  º 10  ²  10  40 
g
grados sexagesimales, centesimales y radiales
o
respectivamente.
A) 0 B) ½ C) 1 D) 1/3 E)2
C D
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2) Se crea un nuevo sistema de medición angular, 8) Si se cumple que 3F  18º  20  60 F ' ,
g g
donde su unidad fundamental es el “gradón” 20 m
30 '
(denotado por 1G). Si un “gradón” equivale a la entonces el valor de F es:
quinta parte de un ángulo recto. ¿A cuántos A) 2 B)4 C) 6 D) 8 E) 10
gradones equivale 36º?.
A) 2 B)2,5 C)3 D)3,5 E) 4 9) Si a(2a)0  a0b , determinar el valor de
g 0
3) El ángulo de la figura cumple las relaciones (b+2a)g en radianes.
C + S = a ..... (1) A)  B)  C)  D)  E) 
C – S = 1/a ..... (2) 30 25 20 18 15
Hallar la medida radial del ángulo.
A) 0,036 B) 0,052 C) 0,068 10) Se tienen los ángulos
0
 36º  ;
D) 0,072 E) 0,082   g 
 25 
g
4) Si y representa el número de segundos  x º  y º  z º  ; entonces
  g
 x  yg  zg 

sexagesimales; x representa el número de  
segundos centesimales para un mismo ángulo; el valor de  es:
entonces calcule x cuando la medida del ángulo
º A)  B)  C)  D)  E) 5
 9 
  5 4 3
es  125  .
11) La tercera parte del número de grados
A) 200 B) 800 C)1400 D)2400 E)4000
sexagesimales de un ángulo, excede en 10 a la
quinta parte del número de grados
5) La diferencia de los recíprocos de los números
centesimales del mismo ángulo. Determinar
de grados sexagesimales y centesimales de un
dicho ángulo en radianes.
mismo ángulo es igual a su número de radianes
que contiene el ángulo dividido por . ¿Qué A)  B)  C)  D)  E) 
parte del ángulo de una vuelta es dicho 6 4 3 2 5
ángulo?
A) 1/10 B)1/20 C)1/30 D) 1/60 E)1/80 12) Si de acuerdo a lo convencional se cumple que:
S C = R S . Calcular 9 S
6) Se ha ideado un nuevo sistema para medir A)  B)  C)  D)  E) 
ángulos tal que el valor de cualquier ángulo 30 125 200 180 150
expresado en este nuevo sistema es
equivalente a la tercera parte de la diferencia 13) En la figura mostrada se tienen las medidas de
de la cuarta parte del número del grados los ángulos:  = (1 + x - x2)rad ,
sexagesimales y de la quinta parte del número  = ( x/2 – 2)rad; calcular la medida de  ,
de grados centesimales del mismo ángulo. ¿A cuando  tome su máximo valor. Considere
cuántos radianes equivalen 10 unidades de este (1rad = 57º17’44’’,  = 3,1416)
nuevo sistema?.
A) 2B)3 C)4D)5 E)6
7) Si a y b son dos números reales positivos.
Hállese la mayor medida (en radianes) que
puede tener un ángulo que cumple:
a  b   a  b 
2 2
CS  A) 188º06’48’’ B)188º08’44’’ C)229º10’42’’
a  b   a  b 
2 2
D) 232º12’48’’ E) 245º14’50’’
, donde C y S son su medida en grados
sexagesimales y grados centesimales 14) Si se cumple :
 S 2  C 2  R2 
2 2 2
respectivamente. S   R   C 
  1    1    1  
19 190 380   12 R S  C  R 2  S  C  R   S  C  R   S  C  R 
A)  B)  C)  D) 190 E) 380 donde S, C y R son las medidas usuales del mismo
ángulo; entonces R es igual a:
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6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
a) 
rad
b) 
rad
c) 
rad
d) 
rad
e) 5
rad
A)  B)  C)  D)  E) 3
120 60 40 30 120 6 4 3 2 4
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III) 8) La medida de un ángulo “” está dado por
S º C ’ y la de un ángulo ““ está dado por
PROBLEMA DE REPASO S g C m . Si la diferencia del número de minutos
Centesimales de  y el número de minutos
Sexagesimales de  es 360. Calcular “ “
Si:   1a5 b3 c3 , es el suplemento del
0 / //
1)
(S y C son los números convencionales)
complemento de 25,3925º; entonces el valor A) 17º21’24’’ B)17º24’11’’ C)17º24’21’’
de “a + b + c”, es: D) 18º11’24’’ E) 18º24’11’’
A) 3 B)4 C) 5 D) 6 E) 7
9) Un cierto ángulo mide a minutos sexagesimales
2) Siendo S , C y R los números convencionales y a su vez mide b minutos centesimales.
para un mismo ángulo; se cumple: Calcular el valor de: F  a  23
SC  180CR  200SR 5
 S b 50
SCR 3 A) 0 B)1 C)2 D) 3 E) 4
Calcular el número de grados sexagesimales.
A) 9 B)10 C) 18 D) 24 E) 36 10) Si: x º y 'y º x '  AB º CD ' ;   x  y  90 ,
3) Siendo S y C los números convencionales para calcular A + B + C + D
un mismo ángulo; se cumple: a) 10 b) 18 c) 15 d) 12 e) 13
 S g 3 , calcular el valor de:
rad   Cº 11) Si al número de minutos centesimales de un
6 3 8 ángulo se le suma y también se le resta un
F = 129 ( 2S – C ) cierto número x, se obtienen dos cantidades
A) 1200 B)1500 C)2400 D) 3000 E)4800 proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Si
además el ángulo mide 7 segundos
4) Siendo S y C los números convencionales para centesimales, calcule el valor de x.
un mismo ángulo; se cumple: A)0,01 B)0,02 C)0,003 D) 0,04 E) 0,2
Cº =1,9º + Sg , calcular el ángulo en radianes.
A)  B)  C)  D)  E)  12) Calcule la medida de un ángulo en radianes,
4 8 10 20 50 sabiendo que el doble del número de segundos
sexagesimales menos 6 veces el número de
5) Si se cumple que: Ag = Bº, calcular el valor de: minutos centesimales de dicho ángulo es igual
9A º6B ' a 29400.
E  A)  B)  C)  D)  E) 
6B g  9A m
A) 549 B) 849 C) 9 D) 1010 E) 1010 40 30 20 10 5
1010 1010 10 849 549
13) Calcular la medida de un ángulo en radianes, si
6) El número de grados sexagesimales de un se cumple la siguiente condición:
 2S 4  C 4  R 4 
cierto ángulo y los 2/3 del número de grados S 5 C 5 5R 5
centesimales de otro ángulo están en relación  
36 40 
de 9 a 10; además dichos ángulos son
a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 2
suplementarios. Calcular la medida del mayor rad rad rad rad rad
5 5 10 4 9
ángulo.
A)100º B)102º C)104º D)108º E)111º
14) En la siguiente figura, la medida del ángulo
7) Siendo S , C y R los números convencionales AOB, en radianes, es:
para un mismo ángulo; Determinar la medida
a)
 b)
 c)
 d)
 e)

de dicho ángulo, en radianes, si se cumple que:
4S +2C + R = 561,57 ; Considerando que
6 36 18 12 22
(2º EXAMEN CEPUNS 2010 III)
 = 3,14.
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