complemento tema 4

José Agüera Soriano 2011 1
ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO
• ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
• ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
• ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
• RESALTO HIDRÁULICO

INTRODUCCIÓN
Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo:
• ecuación de continuidad (conservación de la masa)
• ecuación de la energía (conservación de la energía)
• ecuación de la cantidad de movimiento
(conservación de la cantidad de movimiento).

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
En un flujo permanente,
volumen de control
V2
1
2
V1
m
m
m &
&
& =
= 2
1
Q
Q
Q ⋅
=
⋅
=
⋅ ρ
ρ
ρ 2
2
1
1
2
2
2
1
1
1 S
V
S
V
m ⋅
⋅
=
⋅
⋅
= ρ
ρ
&
)
( 2
1 ρ
ρ
ρ =
=
2
2
1
1 S
V
S
V
Q ⋅
=
⋅
=
a) para gases,
b) para líquidos

2
2
1
1
z
g
p
z
g
p
E ⋅
+
=
⋅
+
=
ρ
ρ
2
2
1
1
z
p
z
p
H +
=
+
=
γ
γ
Energía de un líquido en reposo
o en metros de columna de líquido,
S.I.
en
J/kg
2
2
z
g
p
V
E ⋅
+
+
=
ρ
m
2
2
z
p
g
V
H +
+
=
γ
Energía de un líquido en movimiento
o en metros de columna de líquido,

SLL
plano de referencia
z1
γ
p /
1
1
V 2g
/
2
1
H
2
2 /
V 2g
γ
/
p2
z2
2
H
12
Hr
A
1
A'
B'
B
2
V
plano de carga inicial (PC)
línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)
LP
Ecuación energía en conducciones de líquidos
H1 = H2 + Hr12 12
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
r
H
z
p
g
V
z
p
g
V
+
+
+
=
+
+
γ
γ

γ
p
g
V 2
2
z
z
p +
γ = altura piezométrica
=altura cinética (desnivel entre LE y LP)
=altura de presión (desnivel entre LP y conducto)
= altura de posición respecto plano de referencia
SLL
plano de referencia
z1
γ
p /
1
1
V 2g
/
2
1
H
2
2 /
V 2g
γ
/
p2
z2
2
H
12
Hr
A
1
A'
B'
B
2
V
plano de carga inicial (PC)
línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)
LP

Ecuación energía en máquinas flujo líquido
Ht trabajo técnico, el que atraviesa los límites de la máquina
r
t H
z
z
p
p
g
V
V
H −
−
+
−
+
−
= 2
1
2
1
2
2
2
1
2 γ
H1 = H2 + |Hr12| + Ht
1
H
z
turbina
plano de referencia
z1
1
Ht
2
2
H H1
12
Ht
Hr
Ht
plano de referencia
bomba
1
1
2
Ht
H2
H 12
r

Ecuación energía en máquinas flujo líquido
H1 − H2 = |Hr12| + Ht
TURBINA
H
H1 2
Hr
Ht
t
H
He
m
H
BOMBA
1
H H
2 Hr
He
Ht
t
H Hm

Turbina de reacción
Potencia de un flujo
(W)
J/s
H
Q
g
P ⋅
⋅
⋅
= ρ
(J/kg)
s
m
s
m
:
Gravedad
m
:
Altura
kg/s
m
kg
:
Densidad
s
m
:
Caudal
2
2
2
3
3
H
g
g
H
Q
Q
⋅



⋅



ρ
ρ

EJERCICIO
La energía de un caudal de agua, de 60 m3
/s,
es, H= 50 m. Calcúlese su potencia.
Solución
CV)
(40000
kW
29430
W
10
29430
50
60
81
,
9
1000
3
=
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= H
Q
P γ

ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad
del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo
aceleran:
a
m
F
r
& ⋅
=
Σ
1
V
C
V
F
A
V
1 Σ
D
C
2
A
F
Σ
D
α
V
2
B

V1
A '
A
B'
B
m 1
α
D '
(c)
D
ΣF
V2
C'
2
m
C
)
( dt
F ⋅
Σ
)
( V
m
d ⋅
p
d
V
m
d
dt
F
r
=
⋅
=
⋅
Σ )
(
p
d
r
)
(
)
( CD
B'
A'
A'
ABB'
C'
CDD'
CD
B'
A'
ABCD
D'
C'
B'
A'
p
p
p
p
p
p
p
d
r
r
r
r
r
r
r
+
−
+
=
=
−
=
El impulso sobre la masa del volumen de control
provocará una variación de su cantidad de movimiento [ ]:
Esta variación del sistema es la corresponde al instante
(t + dt), menos la que tenía en t:
V
1
A'
A
B'
B
m1
α
D'
(c)
D
ΣF
V
2
C'
2
m
C

V
1
A'
A
B'
B
m1
α
D'
(c)
D
ΣF
V
2
C'
2
m
C
1
1
2
2
1
1
2
2
A'
ABB'
C'
CDD'
V
dt
m
V
dt
m
V
m
V
m
p
p
p
d
dt
F
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
=
=
−
=
=
⋅
Σ
&
&
r
r
r
1
1
2
2 V
m
V
m
F ⋅
−
⋅
=
Σ &
&
Por ser el régimen permanente
válida para líquidos y para gases
)
( 1
2 V
V
m
F −
⋅
=
Σ &

APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
Salida por un orificio
p
γ
V
2
V
=
g
2
H
SLL
a
p
g
V
H
2
2
=
H
g
V ⋅
⋅
= 2

línea piezométrica (LP)
línea de energía (LE)
L
V
1
SLL
g
2
V 2
2
/ H
= 2
H H
r
Flujo en tuberías con salida libre
SLL
pérdida de carga
Con el mismo diámetro y el mismo desnivel entre el
extremo 2 y la SLL, se cumple para cualquier longitud,
g
V
H
Hr
2
2
−
=

Mayor longitud L de la tubería origina:
- más pérdida de carga Hr
- menos velocidad V del flujo en la tubería
- menos caudal Q
- menos pérdida de carga unitaria J (Hr/L)
M
1
(a)
L 2
LP
LE
γ
p
V
SLL
r
H
V 2
2g
= 2
H
H
SLL
1
(b)
L 2
LP
V
LE
g
V
2
2
H
= 2
H
r
H

línea piezométrica sin tobera (
)
V
p
γ
Q
máx
B
S
V
H
S
=
= H
B S
V
g
2
2
1
línea piezométrica con tobera
plano de carga inicial
SLL
A
A'
L
r
H
B'
LE
V 2
LP
V
2g
B
S
γ
B
p
L
P
γ
i
VS
2g
=
2g
p
S
V 2
H
i
V 2
LE
línea piezométrica sin tobera (
)
V
p
γ
Q
máx
B
S
V
H
S
=
= H
B S
V
g
2
2
1
línea piezométrica con tobera
plano de carga inicial
SLL
A
A'
L
r
H
B'
B
pérdida de carga
Salida por tobera
Cuanto menor sea la sección S de salida, menor
será el caudal Q que circula y menor Hr

LE
V2
LP
V
2g
B
S
γ
B
p
L
P
γ
i
VS
2g
=
2g
p
S
V2
H
i
V2
LE
una tobera es un transformador
de energía potencial en energía
cinética.
En B, la energía H está
prácticamente en forma
de presión: pB/γ. A lo
largo de la misma, la
velocidad aumenta y la
presión disminuye. A la
salida, pS = pa

EJERCICIO
g
V
D
L
Hr
2
02
,
0
2
⋅
⋅
=
Solución
Velocidad en la conducción
r
r
r
H
H
g
V
g
V
D
L
H
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
005
,
0
10000
02
,
0
1
2
2
02
,
0
2
2
s
m
981
,
1
;
m
2
,
0
2
2
=
= V
g
V
Calcúlese la sección de salida de la tobera al final de una
conducción, de 10 km y 1 m de diámetro, origine la pérdida
de 40 m en un salto de 400 m.
Tómese,

Caudal
s
m
556
,
1
981
,
1
5
,
0 3
2
2
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= π
π V
r
Q
Velocidad de salida
s
m
04
,
84
m;
360
2 S
2
S =
=
= V
g
V
H
Diámetro de salida
m
154
,
0
;
04
,
84
556
,
1 S
S
S =
=
= D
V
Q
S

Conducción hidroeléctrica de Villarino
m
30
m;
0
,
8
m
60
m;
,0
7
m
40
m;
5
,
7
m
402
m
15000
=
=
=
=
=
=
=
=
r
r
r
H
D
H
D
H
D
H
L

Tubo de Pitot
γ
p
g
v
h +
=
2
2
h
M

F
V
p
1
A
2
D
F
C
B
Fr
1
·
1
p S
1
G
2
· S
p
2
2
F
r
p F
F
F +
=
=
⋅ 1
1 S
p
=
⋅ 2
2 S
p
=
− F
=
G
G
F
S
p
S
p
F +
−
+
⋅
+
⋅
=
Σ )
(
2
2
1
1
Fuerza sobre un conducto corto
Valoración indirecta de la fuerza F
fuerza sobre la sección 1
fuerza sobre la sección 2
fuerza que ejerce la pared
fuerza de gravedad
(Fr insignificante)
Las fuerzas sobre el volumen de control entre 1 y 2 son:
1
·
1
p S
1
G
2
·S
p
2
2
F
F
V
p
1
A
2
D
F
C
B
Fr

G
F
S
p
S
p
F +
−
+
⋅
+
⋅
=
Σ )
(
2
2
1
1
)
( 1
2 V
V
m
F −
⋅
=
Σ &
F
)
( 1
2
2
2
1
1 V
V
m
G
S
p
S
p
F −
⋅
−
+
⋅
+
⋅
= &
)
( 1
2
2
2
1
1 V
V
m
S
p
S
p
F −
⋅
−
⋅
+
⋅
= &
2
2
1
1 S
p
S
p
F ⋅
+
⋅
=
Por otra parte,
Igualando y despejando
En conductos cortos, G ≈ 0), en cuyo caso,
Cuando no hay flujo,

Generalmente la fuerza será mayor cuando no hay flujo.
Las presiones a sustituir en las fórmulas anteriores son la
diferencia entre la interior y la que actúa exteriormente
sobre el conducto. Si ésta fuera mayor, los términos de
presión cambiarían de signo y con ello la fuerza F.
Cuando la presión exterior es la atmosférica, las presiones
a sustituir son las relativas.

EJERCICIO
Calcúlese la fuerza sobre el codo de una conducción
hidráulica, de 90o y de 2,8 m de diámetro,
a) cuando fluyen 38,75 m3/s y la presión manométrica
es de 8 bar,
b) cuando el flujo se anula bruscamente, momento
en el que se prevé que la presión en el codo se eleve
a 13 bar.
Solución a)
Velocidad media
m/s
29
,
6
4
,
1
75
,
38
2
=
⋅
=
=
π
S
Q
V

)
( 1
2
2
2
1
1 V
V
m
S
p
S
p
F −
⋅
−
⋅
+
⋅
= &
kN
5169,8
N
5169766
243737
4926029
29
,
6
75
,
38
1000
4
,
1
10
8
0
2
5
1
1
1
=
=
+
=
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
+
+
⋅
=
π
ρ V
Q
S
p
Fx
kN
5169,8
N
5169766
243737
4926029
29
6
75
38
1000
4
1
10
8
0
2
5
2
2
2
=
=
=
+
=
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
+
⋅
+
=
,
,
,
V
Q
S
p
Fy
π
ρ
Fuerza sobre el codo
y
V
1
S
·
p1 1
p
x
2
2·S
2
V
2
Fx
1
F
Fy

y
V
1
S
·
p1 1
p
x
2
2·S
2
V
2
Fx
1
F
Fy
Solución b)
2
2
1
1 S
p
S
p
F ⋅
+
⋅
=
kN
8004,8
N
8004797
4
,
1
10
13
0 2
5
1
1
=
=
=
⋅
⋅
⋅
=
+
⋅
= π
S
p
Fx
kN
8004,8
N
8004797
4
,
1
10
13
0 2
5
2
2
=
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
+
= π
S
p
Fy
El anclaje del codo hay que calcularlo para esta última
situación más desfavorable.

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