Mecanica de Fluidos, ecuaciones fundamentales de un flujo

José Agüera Soriano 2011 1
ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO
• ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
• ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
• ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
• RESALTO HIDRÁULICO

INTRODUCCIÓN
Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo:
• ecuación de continuidad (conservación de la masa)
• ecuación de la energía (conservación de la energía)
• ecuación de la cantidad de movimiento
(conservación de la cantidad de movimiento).

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
En un flujo permanente,
volumen de control
V2
1
2
V1
mmm  == 21
QQQ ⋅=⋅=⋅ ρρρ 2211
222111 SVSVm ⋅⋅=⋅⋅= ρρ
)( 21 ρρρ ==
2211 SVSVQ ⋅=⋅=
a) para gases,
b) para líquidos

2
2
1
1
zg
p
zg
p
E ⋅+=⋅+=
ρρ
2
2
1
1
z
p
z
p
H +=+=
γγ
Energía de un líquido en reposo
o en metros de columna de líquido,
S.I.enJ/kg
2
2
zg
pV
E ⋅++=
ρ
m
2
2
z
p
g
V
H ++=
γ
Energía de un líquido en movimiento
o en metros de columna de líquido,

Ecuación energía en conducciones de líquidos
122
2
2
2
1
1
2
1
22
rHz
p
g
V
z
p
g
V
+++=++
γγ

γp
gV 22
z
zp +γ

Ecuación energía en máquinas flujo líquido
Ht trabajo técnico, el que atraviesa los límites de la máquina
rt Hzz
pp
g
VV
H −−+
−
+
−
= 21
21
2
2
2
1
2 γ

Ecuación energía en máquinas flujo líquido

Turbina de reacción
Potencia de un flujo
(W)J/sHQgP ⋅⋅⋅= ρ
(J/kg)sm
sm:Gravedad
m:Altura
kg/s
mkg:Densidad
sm:Caudal
22
2
3
3
Hg
g
H
Q
Q
⋅



⋅



ρ
ρ

La energía de un caudal de agua, de 60 m3
/s,
es, H = 50 m. Calcúlese su potencia.
CV)(40000kW29430W1029430
506081,91000
3
=⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅= HQP γ

ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad
del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo
aceleran:
amF

 ⋅=Σ

)( dtF ⋅Σ
)( Vmd ⋅
pdVmddtF

=⋅=⋅Σ )(
pd

)()( CDB'A'A'ABB'C'CDD'CDB'A'
ABCDD'C'B'A'
pppp
pppd


+−+=
=−=
El impulso sobre la masa del volumen de control
provocará una variación de su cantidad de movimiento [ ]:
Esta variación del sistema es la corresponde al instante
(t+dt), menos la que tenía en t:

11221122
A'ABB'C'CDD'
VdtmVdtmVmVm
pppddtF
⋅⋅−⋅⋅=⋅−⋅=
=−==⋅Σ


1122 VmVmF ⋅−⋅=Σ 
Por ser el régimen permanente
válida para líquidos y para gases
)( 12 VVmF −⋅=Σ 

APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
g
V
H
2
2
=
HgV ⋅⋅= 2

Flujo en tuberías con salida libre
SLL
pérdida de carga
línea piezométrica (LP)
Con el mismo diámetro y el mismo desnivel entre el
extremo 2 y la SLL, se cumple para cualquier longitud,
g
V
HHr
2
2
−=

Mayor longitud L de la tubería origina:
- más pérdida de carga Hr
- menos velocidad V del flujo en la tubería
- menos caudal Q
- menos pérdida de carga unitaria J (Hr/L)

línea piezométrica sin tobera (
)
V
p
γ
Q
máx
B
SV
H
S
==HB SV
g2
2
1
línea piezométrica con tobera
plano de carga inicialSLL
A
A'
L
rH
B'
LEV 2
LP
V
2g
B
S
γ
Bp
LP
γ
i
VS
2g
=2g
p
SV 2
H
iV 2
LE
línea piezométrica sin tobera (
)
V
p
γ
Q
máx
B
SV
H
S
==HB SV
g2
2
1
línea piezométrica con tobera
plano de carga inicialSLL
A
A'
L
rH
B'
V
B
S
γ
Bp
γ
i
VS
=2g
p
SV 2
línea piezométrica (LP)
pérdida de carga
Cuanto menor sea la sección S de salida, menor
será el caudal Q que circula y menor Hr

g
V
D
L
Hr
2
02,0
2
⋅⋅=
r
r
r
H
H
g
V
g
V
D
L
H
⋅=
⋅
⋅
=
⋅⋅=
005,0
1000002,0
1
2
2
02,0
2
2
sm981,1;m2,022
== VgV
Calcúlese la sección de salida de la tobera al final de una
conducción, de 10 km y 1 m de diámetro, origine la pérdida
de 40 m en un salto de 400 m.
Tómese,

Caudal
sm556,1981,15,0 322
=⋅⋅=⋅⋅= ππ VrQ
Velocidad de salida
sm04,84m;3602 S
2
S === VgVH
Diámetro de salida
m154,0;04,84556,1 SSS === DVQS

Conducción hidroeléctrica de Villarino
m30m;0,8
m60m;,07
m40m;5,7
m402
m15000
==
==
==
=
=
r
r
r
HD
HD
HD
H
L

Tubo de Pitot
γ
p
g
v
h +=
2
2

rp FFF +=
=⋅ 11 Sp
=⋅ 22 Sp
=− F
=G
GFSpSpF +−+⋅+⋅=Σ )(2211
Fuerza sobre un conducto corto
Valoración indirecta de la fuerza F
fuerza sobre la sección 1
fuerza sobre la sección 2
fuerza que ejerce la pared
fuerza de gravedad
(Fr insignificante)
Las fuerzas sobre el volumen de control entre 1 y 2 son:

GFSpSpF +−+⋅+⋅=Σ )(2211
)( 12 VVmF −⋅=Σ 
F
)( 122211 VVmGSpSpF −⋅−+⋅+⋅= 
)( 122211 VVmSpSpF −⋅−⋅+⋅= 
2211 SpSpF ⋅+⋅=
Por otra parte,
Igualando y despejando
En conductos cortos, G≈0), en cuyo caso,
Cuando no hay flujo,

Generalmente la fuerza será mayor cuando no hay flujo.
Las presiones a sustituir en las fórmulas anteriores son la
diferencia entre la interior y la que actúa exteriormente
sobre el conducto. Si ésta fuera mayor, los términos de
presión cambiarían de signo y con ello la fuerza F.
Cuando la presión exterior es la atmosférica, las presiones
a sustituir son las relativas.

EJERCICIO
Calcúlese la fuerza sobre el codo de una conducción
hidráulica, de 90o
y de 2,8 m de diámetro,
a) cuando fluyen 38,75 m3
/s y la presión
manométrica
es de 8 bar,
b) cuando el flujo se anula bruscamente, momento
en el que se prevé que la presión en el codo se
eleve
a 13 bar.
Solución a)
Velocidad media
m/s29,6
4,1
75,38
2
=
⋅
==
πS
Q
V

)( 122211 VVmSpSpF −⋅−⋅+⋅= 
kN5169,8N51697662437374926029
29,675,3810004,1108
0
25
111
==+=
=⋅⋅+⋅⋅⋅=
=⋅⋅++⋅=
π
ρ VQSpFx
kN5169,8
N51697662437374926029
2967538100041108
0
25
222
=
==+=
=⋅⋅+⋅⋅⋅=
=⋅⋅+⋅+=
,,,
VQSpFy
π
ρ
Fuerza sobre el codo

Solución b)
2211 SpSpF ⋅+⋅=
kN8004,8N8004797
4,110130 25
11
==
=⋅⋅⋅=+⋅= πSpFx
kN8004,8N8004797
4,110130 25
22
==
=⋅⋅⋅=⋅+= πSpFy
El anclaje del codo hay que calcularlo para esta última
situación más desfavorable.

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